ôn tập phần ứng dụng đạo hàm page phần giải tích phần i ứng dụng đạo hàm 1 tính đơn điệu của hàm số a các kiến thức cơ bản i định nghĩa cho hàm số yfx xác định trên ab 1 f tăng trên ab nếu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (458.12 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN GIẢI TÍCH:

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)

1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2).

2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2).

3) x0(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay bằng 0.
II. Định lý:

1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại
một điểm c(a,b) sao cho

( )

'( ).(

)

'( )

f b

f a

f b

f a

f c b a hay f c

b a











2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).

 Nếu f’(x)>0 x(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
 Nếu f’(x)<0 x(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP :

Bài 1: Cho hàm số

y x





3 mx



3(2

m



1)

x



1

.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.

b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).

Bài 2: Cho hàm số

y

2

x x





a) Tính y’’(1)

b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số

1

2 mx

y

x m







a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.

b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.

c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng

a) x > sinx x  (-π/2,π/2).

e

x1

x

2 x R

 

 

x>1

ln

x

e

x





Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :

x

2

x

1 0









2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0(a,b) .

 Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có

f(x) < f(x0) (x ≠ x0).

 Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta

có f(x)>f(x0) (x ≠ x0).

2. Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Định lí 1:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0)

a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 +) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số

f(x).

b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x0 -; x0) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x0;+ x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm

số f(x).

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo)  0 thì xo là một điểm

cực trị của hàm số. Hơn nữa

1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.

2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

Nói cách khác:

1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0  x0 là điểm cực tiểu.

2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại.

B . CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số

y



x



2 mx



2 m



1

(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).

Bài 2: Cho hàm số

2

4

2 x

mx

m

y

x









a) Khảo sát hàm số khi m=-1.

b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.

Bài 3: Cho hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6mx 2m







a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).

b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực
trị đó.

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;).

Bài 4: Cho hàm số

2

1

x

kx k

y

x k









với tham số k.

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1

2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và
(d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.

3)Chứng minh với mọi k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số

1

3 2

(

1)

1

3 y



x



mx



m



m



x



đạt cực tiểu tại x = 1.

Bài 6: Cho hàm số

1 x

x m

y

x









Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.

b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số

y



f x

( )



x



3x



3 x+3m-4

m

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

0 0

: ( )

x D f x

M

x

D f x

M

 



 



(ký hiệu M=maxf(x) )

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

0 0

: ( )

x D f x

m

x

D f x

m

 



 



(ký hiệu m=minf(x) )

2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)

+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)

3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].

+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].

+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

[ , ]
[ , ]

max ( ) ;

min ( )

a b
a b

M



f x

m



f x

B. CÁC BÀI TẬP:

Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)

y



2 x



3 x



1

trên [-2;-1/2] ; [1,3).

b) 2

4 y x

 



x

2sinx- sin

4

3 y



x

trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)

y



2 os2x+4sinx

c

x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)

y



x



3 x



2

trên đoạn [-10,10].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y= x 1

3x 6x 9

  



trên đoạn[-1,3].

Bài 3: Chứng minh rằng

2
2

6

3

2

7

2 x





 

với mọi giá trị x.

4. LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Định nghĩa :

+Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến ln ở phía trên cung.
+Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến ln ở phía dưới cung.
2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b).

+ Nếu f”(x)<0 với mọi x(a,b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.

+ Nếu f”(x)>0 với mọi x(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

+ Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x0 thì điểm M0(x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số.

B. CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Tìm a,b để hàm số

y x





ax

 

x b

nhận điểm (1;1) làm điểm uốn.
Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 2

2

1 x

y

x





 

có ba điểm uốn thẳng hàng.

Bài 3: Cho hàm số

y x





3 x



2

viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc
bé nhất.

5. TIỆM CẬN

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Tiệm cận đứng:

Nếu

lim ( )

xx

f x



thì đường thẳng (d) có phương trình x=x0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:

Nếu

lim ( )

x

f x

y

 



thì đường thẳng (d) có phương trình y=x0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C).

3) Tiệm cận xiên:

Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là

lim [ ( ) (ax+b)] 0

x 

f x





hoặc x

lim [ ( ) (ax+b)] 0

  

f x





hoặc

lim[ ( ) (ax+b)] 0

x 

f x





.

4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.

( )

lim

b= lim[ ( ) ax]

x

f x

a

f x

x

   





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 1:

1. Khảo sát hàm số .

4

5

2 x

y

x











2. Xác định m để đồ thị hàm số

(

4)

4

5

2 x

m

x m

m

y

x m













có các tiệm cận trùng với các tiệm
cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)

Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

y

x

1





3
2

1 x

y

x

 





3

1 1 2

x

y

x

 





1 3 2

5 x

y

x

 





PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước khảo sát hàm số :

Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn

- Bảng biến thiên
3. Đồ thị

- Giá trị đặt biệt
- Đồ thị

1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên

3. Đồ thị

- Giá trị đặt biệt
- Đồ thị

Sự khác biệt : Hàm đa thức khơng có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.

 Các dạng đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a  0)

x
y



x
y



a < 0
a > 0

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị



?

x
y

 I

x
y

 I

a < 0
a > 0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị



?

x
y

O x

a < 0
a > 0

Dạng 2: hàm số có 1 cực trị



?

x
y

O x

a < 0
a > 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 Hàm số nhất biến : (ad bc )

b
ax

y  0





 Hàm số hữu tỷ (2/1) :

2

1 ax

bx c

y

a x b







(tử, mẫu khơng có nghiệm chung, ... )

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP

Bài 1) Cho hàm số

x

m

x

)

m

(

x

y







2 

, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó,
tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số

2

5

4 







x

m

mx

x

y

, có đồ thị là (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.
Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.(Học kỳ2)
Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

)

1 x

(

2

3 x

4 x

2 

2. Định m để ptrình : 2x2 – 4x – 3 + 2mx - 1 = 0 có 2 nghiêm phân biệt.

Bài 5 : Cho hàm số

1
3





x
x

y gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên

c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để
đoạn MN có độ dài nhỏ nhất

d) Tìm những điểm trên trục hồnh từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có
tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ

e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất

f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là
trung điểm của IJ

x
y

Dạng 2: hsố nghịch biến

Dạng 1: hsố đồng biến

x
O

x
y

I

x
y

I

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị

I

x
y

I

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm sốy (x 1)2(4 x)





a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)

d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

6

9

4

0

x



x



x



m



Bài 7:

Cho hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6mx 2m







a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực
trị đó

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;)

Bài 8 :

Cho hàm số

-

2

5

3 



y

x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.

c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.

f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.

Số mũ



Cơ số a Lũy thừa a

N
n



 aR a an a.a...a(n




 thừa số )





a0 0 1


a

a

)

(n N*

n 




 a0

n
n

a









1

)
,

(m Z n N*

n
m







a0

a

n n

a

m

(

n

a

b

n

a

)

m









)
,

(

limr r Q n N*

n

n  



 a0

a





lim

a

rn

2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.

* với a > 0, b > 0, ta có



















b
a
b
a
b

a
ab
a

a
a

a
a
a

a

a  











  ;  ; ( ) ; ( ) . ;

. .

a > 1 :    


a

a

0 < a < 1 :    


a

a
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.

* Với số 0a1,b0.

ab  a b



log
b

e
b

b
b
















ln

10
log

4. TÍNH CHẤT CỦA LƠGARIT.

log

a

1 

0 ;

log

a

a



1 ;

a

logab



b

* loga(b.c)logabloga c

b c

c
b

a
a

a log log

log  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

logab 



.logab

Đặc biệt: b

n
b
b

b a an a

a log
1
log
;
log
1

log  

b

c

b

c

a b a

a
a

b

log

.

log







Đặc biệt : b b

a

b a a

b
a log
1
log
;
log
1
log

 


c
b
c
b
a
c
b

c
b
a
a
a
a
a











0
log
log
:
1
0
0
log
log
:
1

5. GIỚI HẠN.

lim 1 1 ; limln(1 ) 1

0
0 




 x
x
x
e
x
x
x

6. BẢNG ĐẠO HÀM.

x
x

e
e )'

(

a
a

ax)' x.ln

( 

x

x)' 1

(ln 

a

x

x
a

ln

1 )'

(log



)
0
,
0
(
.
)'
( 1



 x  x

x   

n n
n
x
n
x
1
1
)'
(


u
u
e
u
e )' '.

( 

a
a
u

au)' '. u.ln

( 

u

u)' '

(ln 
a
u
u
u
a
ln
.
'
)'
(log 
'
.
)'

(u u 1u

 


n n
n
u
n
u
u

1
.
'
)'
(



7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ

LÔGARIT.

a) 0 a 1 af(x) ag(x) f(x) g(x)





















)(

)0)

((

0)

(

)(

log

)(

log

xg

xf

xg

hay

xf

xg

xf

a

a

b) a1 af(x) ag(x)  f(x)g(x)

loga f(x)logag(x)  f(x)g(x)0
c) 0 a 1 af(x) ag(x) f(x) g(x)









loga f(x)logag(x)  0 f(x)g(x)

I. LŨY THỪA

* Đơn giản biểu thức.
1) 3 x6.y12



5 x.y2



 2)
3
3
3
4
3
4

b

a

ab

b

a



3)

.

1 .

1

4 41

2
1
3
4





a

4) 


















 m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
2
2
4
2
1
3
2

* Tính giá trị của biểu thức.

1) 5

3
3
1
75
,
0
32
1

125
1
81

















 2) 3 0 2

1
1
3
2
2
3
1

)

9 (

8

64 .

)

2 (

001 ,

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3) 0,5
75
,
0
3
2
25
16
1

27  









4) 2 3

1
1
25

,
0

4 19( 3)

4
1
2
625
)
5
,
0
( 















* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1) 7 25. 3

8
1

ax 2) 3 5 4

. a

a 3) 8 b3.4 b 4) 4 27.3

3
1

a

* Tính .
1)





3 3

3 






 2) 412 3.161 3 3)
2
3

3
27

 

58 54

2

* Đơn giản các biểu thức.

1) 1

)
( 2 3 2

3
2
2
2



b
a

b
a
2)
3
3
4
3
3
3
3
2
3

2 1)( )

(
a
a
a
a
a
a




3)















b ab

a ) 4 .

(

1
2

II. LÔGARIT.

* Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lơgarit sau theo a và b.

1) log527 2) log515 3) log512 4) log530

* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit.
1)





a

b

2
,
0
6 5
10 








b
a

9

a

b

4) 
7
2

27 a

b

* Tính giá trị các biểu thức.

1) log915 + log918 – log910 2)

3
3
1
3
1
3

1 log 400 3log 45

2
1
6
log

2  

3) log 2 21log 3

6
1

36  4) log (log34.log23)
4

* Tính giá trị các biểu thức.

1) 2log 4 log 8 log 2
1

4
1
7
125
9
49
.
25

81 










2) log 3 3log 5
2

1
5
log

1 2 5

4 42

16 



3) 







 

log 6 log 4
9
log
2
1
5
7
7
5
49
72

* Tìm x biết.

1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 2) log4x = log 216 2log 10 4log 3

4
4

4  

* Tính.

1) log(2 3)20 log(2 3)20



 2) 3log( 21)log(5 2 7)
3)

e

e ln1

ln  4) lne 1 4ln(e2. e)





* Tìm x biết

1) logx18 = 4 2)

5
3
2
log 5 

x 3) logx(2.3 2)6

* Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.

* Biết log214 = a. Tính log4932 theo a

III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
* Tìm tập xác định của các hàm số sau.

1) y =

1 

x
x

e

2) y = e2x1  1 3) y = ln 









x
x
1
1
2

4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =










x
x
x
3
1
1
3
2
log

2
2

* Tìm các giới hạn.
1)
x
e x
x
1
lim
3
0


2)
x
e

e x x

x 5
lim
3
2
0



lim

(

2

3 )

x
x

x



4) 











 xe x

x
x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

lim

x 9

log

x

 6)

x

x

)

1

4 ln(

lim



 7)

x

)

1

2 ln(

)

1

3 ln(

lim








8)

x

sin

2 )

3

1 ln(

lim



 9) 1 1

1
lim

0  

 x

ex

x 10)

x

tan

)

2

1 ln(

lim





* Tính đạo hàm của các hàm số sau.

1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y =

x
x
x
x

e








4) y = 2x - ex 5) y = ln(x2 + 1) 6) y =

x
x

7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x2.ln x2 1 9) y = 3x.log

10) y = (2x + 3)e 11) y = x x



. 12) y = 3 x

13) y = 3 ln22x 14) y = 3 cos2x 15) y = 5cosx + sinx

* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan

x

= 0
4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

5) y = ln2x ; x2.y’’ + x. y’ = 2

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:

1). (0,2)x-1 = 1 2). 3

3
1 3 1








 x 3).

16
4 2 3 2




 x

x 4). x

x
3
4
2
2
2

1 2 










5).



3 2 2



2x 



32 2



6).









1
1
1

2

5

2

5











x
x

x 7). 5 1

9
3x2  x
8). 5 2 4 25




 x

x 9) 3x.2x+1 = 72 9) 2

2
1
.
2

1 7 1 2














 x  x

10)

27
60
20
5
.
3
.

4 1 3 1




 x x

x 11) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52

12) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1

* Giải các phương trình.

1) 4x + 2x+1 – 8 = 0 2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0

3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10

5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 2. 4x

7) 4x – 2. 52x = 10x 8) 27x + 12x = 2. 8x



2 3



x 



2 3



x 2 10) 7 48 7 48 14





 







  x x

11) 6 35 6 35 12





 







  x x 12)



7 3 5



x



7 3 5



x 14.2x







13) 32x+4 + 45. 6x – 9. 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3. 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x

* Giải các phương trình.
1) 3 24 2 4

 x

x

x 2) 1 2 5 4

2x  x  x 3) x
x

x


2



36

.

3

8

5 .

8

500 


x
x
x

5

3log5x



25

x

6)

x

6

.

3

logx3



3

5 7)

9 .

x

log9x



x

2 8)

x

.

5 

5

logx5

* Giải các phương trình.

1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = 5 – 2x 4) 2x = 3 – x

5) log2x = 3 – x 6) 2x = 2 – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0

V. PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT.
* Giải các phương trình.

1) log2x(x + 1) = 1 2) log2x + log2(x + 1) = 1 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)

4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + 2 = 0

6) x

x
x
x
2
log
log
log

.
log
125
5
25
5

 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

* Giải các phương trình.

1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 7 2) log4x8 – log2x2 + log9243 = 0

3) 3 log3 x log33x3 4) 4log9x + logx3 = 3

5) logx2 – log4x + 0
6
7
 6)

x

81
27
9
3

log

1 log

1 





7) log9(log3x) + log3(log9x) = 3 + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x =
3
2
9) log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x 10)

log

x

(

2 x



5 )



log

2x25

x



3

VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.

















15 log

1 log

11

2 x

y

x

















3 log

)

log(

)

log(

8 log

1 )

log(

2 y

x

y

x

y

x















2 )

(

log

972

2.

3 x

y

x















2 log

25

2 x

y

x















1

4

3 y

x

y

x






















3

9

4

3 y

x

y
x
7)

















5

5.

2

7

5

2

1 x

y

x

y

x

















1 )

(

log

)

(

log

3

5

3

2 y

x

y

x

y

x



















0 log

.

log

)

(

log

)

(

log

2 y

x

y

x

xy

y

x

10)











3 log

4 log

)

3(

)

4(

4

3 y

x

y

x

11)

















12

3 )

(

2

4

2 log

3 3

y

x

y

x

xy

12)













64 log

1 2

y

x

y

13)

















1 )

2 3(

log

)

2 3(

log

5

4

9

3

5

2 y

x

y

x

y

x

14)













y

x

y

x

y

x

xy

3
3
3
27
27
27

log

4 log

3 log

.

log

3 log

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1) 32 5 1





x 2) 27x < 
3
1

3) 4

1 2 5 4









 x  x 4) 62 3 2 7.33 1

 x x

x

5) 9x 3x14 6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0 7)

x

log3x4



243

9) log (5 1) 5

1 x  10)

1
3
1
log4




x
x

11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)

12) ) 0

1
2
1
(log
log 2

1 




x
x

13) log22x + log24x – 4 > 0 14) log 3 log 0
3



 x

x

15) log2(x + 4)(x + 2) 6 16)

0

1

3 log

2







x

x 17) log4 x 3 1

18) log2x + log3x < 1 + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 0

20)




































 3

4
1
log
1
2
1
log

2
1
3

x
x

21) log log 11 log log 11

3
1
4
1
3








x
x
x

x

* Tìm tập xác định của các hàm số.

1) y = 2

5
1
2

log0,8 




x
x

2) y = log ( 2) 1

1 x 

§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :

Hàm số

F x

 

gọi là nguyên hàm của hàm số

f x

 

trên



a b

,



nếu

F x



 



f x

 

,

 

x



a b

,



.

Ghi nhớ : Nếu

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

thì mọi hàm số có dạng

F x

 



C

(

C

là hằng số)

cũng là nguyên hàm của

f x

 

và chỉ những hàm số có dạng

F x

 



C

mới là nguyên hàm của

f x

 

. Ta gọi

 

F x



C

là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số

f x

 

và ký hiệu là



f x dx

 

.
Như vậy:



f x dx F x

 



 



C

2). Tính chất:

a.TC1:



kf x dx k f x dx k

 





 

;





0 

b.TC2:







f x

 



g x dx

 









f x dx

 





g x dx

 

c.TC3: Nếu



f x dx F x

 



 



C

thì



f u du F u

 



 



C

.
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ



a,b







a 0





:

dx x C

 



dx

1 ln

ax b C

ax b a













1 ,

x

x dx

 

C















x x

e dx e





C



sin

xdx



cos

x C





e dx

ax

1 e

ax

C

a





</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

cos

xdx



sin

x C





sin

axdx

1 cos

ax C

a







,

2

cos

dx

tgx C x

k

x















cos

axdx



1 a

sin

ax C



cot

,

sin

dx

gx C x k

x











1

2 ,

cos

dx

tgx C x

k

ax a















0 

ln

,

dx

x C x

x









1 cot

,

sin

dx

gax C x k

ax



a









4). Bài tập:

Ghi nhớ:

 Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những

hàm số thành phần.

 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số khơng bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên

hàm của những hàm số thành phần.

 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những

hàm số tìm được nguyên hàm.

Bài 1: Cho hai hàm số

 

1

2

4 sin

F x



x



x

;

f x

 



cos

x

a. Chứng minh rằng

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

.
b. Tìm nguyên hàm

G x

 

biết rằng

0

4 G

















Bài 2: Cho hàm số

 

cos

4

2

4

cos

3 cos

sin

x

f x

x







Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

f x

 

biết rằng

F

 







Bài 3: Cho hàm số

f x

 



2 cos cos

x

4 x

. Tìm hàm số

G x

 

biết rằng

G x



 



f x

 

và

 

0

29

1

144 ;

12

32 G



G

















Bài 4: Cho hàm số

f x

 



8 sin cos cos cos

x

2 x

4 x

.
a. Giải phương trình

f x



 



f x

 



0

b. Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

f x

 

biết rằng đồ thị của hàm số

F x

 

đi qua điểm

0

8 ;

M

















Bài 5: Biết rằng hàm số

 

1 sin

cos

x

F x

x





là nguyên hàm của

f x

 

. Hãy tìm các giá trị của

x

sao cho

 

0 f x



f x





</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a. Tính

y



và

y



 

2

b. Tìm nguyên hàm của hàm số

f x

  



x



2007



e

x.

Bài 7: Cho hàm số

f x

 



e

x

sin

x

. Chứng minh rằng hàm số

f x



 



f x



 

là nguyên hàm của hàm số

 

2 f x

Bài 8: Tìm nguyên hàm

F x

 

của hàm số

 

3 2

3

1

2

1 x

f x

x









,biết rằng

 

1

3 F



. (Đề thi tốt
nghiệp trung học phổ thơng năm 2003)

§2. TÍCH PHÂN :

1). Định nghĩa :

 

b

b
a
a

f x dx F x



F b



F a



2). Tính chất :

a. TC1:

 

b a

a b

f x dx



f x dx



b. TC2:

 

(

0 )

b b

a a

kf x dx k f x dx k







c. TC3:

 

b b b

a a a

f x



g x dx



f x dx



g x dx











d. TC4:

 

b c b

a a c

f x dx



f x dx



f x dx



e. TC5: Nếu

f x

 



0 ,

 

x



a b

;



thì

 

0

b

a

f x dx





f. TC6: Nếu

f x

 



g x

 

,

 

x



a b

;



thì

 

b b

a a

f x dx



g x dx



g. TC7: Nếu

m f x M x a b



 



,

 



;



thì





 





b

a

m b a







f x dx M b a





3). Bài tập :

 Ghi nhớ:

 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của

những hàm số đã biết nguyên hàm.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải

thực hiện phép chia tử cho mẫu.

 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong

dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm
trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a. 4

2 cos cos

x

xdx





cos

x

sin

x dx







2
1

2

3

2 x

dx

x







2 2

x x

e

dx

x





Bài 2: Cho hàm số

 

2

1 x

f x

x





và hàm số

 

1

ln

F x



x



a. Chứng minh rằng

F x

 

là nguyên hàm của

f x

 

.
b. Áp dụng câu a. tính

1
2

1 xdx

x





Bài 3: Cho hàm số

f x

 



x

ln

x



2 x x

ln

.
a. Tính

f x



 

b. Áp dụng câu a. tính 2

ln

e

xdx



Bài 4: Biết hàm số

 

cos

sin

cos

sin

x

F x

x







là một nguyên hàm của

f x

 

. Hãy tính :

 

f x dx







§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1). Cơng thức tổng quát :

 

.

 

b
a

f

x

x dx

f t dt





















Cơng thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của

 

f







x





(hàm số theo biến là



 

x

) với đạo hàm của hàm



 

x

. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp
thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:

a). TH1:

f



sin .cos

x



xdx







 Đặt

t



sin

x

 hoặc

t p



sin

x q





p q

,

 



 hoặc

t



n

p

sin

x q



nếu như biểu thức

p

sin

x q



nằm trong n .

b). TH2:

f



cos .sin

x



xdx







 Đặt

t



cos

x

 hoặc

t p



cos

x q





p q

,

 



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

c). TH3:

f



ln .

x



1 dx

x







 Đặt

t



ln

x

 hoặc

t p x q



ln





p q

,

 



 hoặc

t



n

p x q

ln



nếu như biểu thức

p x q

ln



nằm trong dấu n .

d). TH4:





.

1

2

cos

f tgx

dx

x







 Đặt

t tgx



 hoặc

t ptgx q







p q

,

 



 hoặc

t



n

ptgx q



nếu như biểu thức

ptgx q



nằm trong dấu n .

e). TH5:





1 .

sin

f cotgx

dx

x






 Đặt

t cotgx



 hoặc

t pcotgx q







p q

,

 



 hoặc

t



n

pcotgx q



nếu như biểu thức

pcotgx q



nằm trong n .

2). Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:





2

1 cos

sin

xdx

x







6 cos

x

1 sin

xdx











3 ln

2

e

dx

x





2
3

8 xdx

x





Bài 2: Tính các tích phân sau đây:





1
2
0

2

4

5 x

dx

x







b. 4 2

cos

tgx

e dx

x









2
6

3 cot

1 sin

dx

gx

x







2 1

x

dx

e



x



Bài 3: Tính các tích phân sau đây:

a. 3

cos

tgxdx

x





2 3

sin cos

x

xdx



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

c. 6

4 4

2 sin

cos

sin

xdx

x











2
0

2 cos

sin

cos

xdx

x







Bài 4: Tính các tích phân sau đây:

a. 3 3

sin

cos

xdx

x





2 3

1 x



x dx



c. 6

2

1 sin

xdx

x







3
6

dx

tgx tg x







§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
1). Công thức tổng quát :





b b

b
a

a a

uv dx





uv



vu dx





hay





b b

b
a

a a

udv



uv



vdu



(1)

2). Các bước thực hiện:

 Bước 1:

Đặt

( )

( ) (

)

( )

( ) (nguyên hàm)

u u x

du u x dx Đạohàm

dv v x dx

v v x

















 Bước 2: Thế vào cơng thức (1).

 Bước 3: Tính

 

b

a

uv

và suy nghĩ tìm cách tính tiếp
b
a

vdu



(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài tốn cụ thể
mà ta phải xem xét).

3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:

Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:

a). Dạng 1:

   

.

b
a

p x q x dx



Trong đó

p x

 

là hàm số đa thức, còn

q x

 

là hàm

sin ( )



x

hoặc

cos ( )



x

 Trong trường hợp này ta đặt:

 

u p x

dv q x dx











 Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được

b
a

vdu



phức

tạp hơn
b
a

udv

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b). Dạng 2:

   

.

b
a

p x q x dx



Trong đó

p x

 

là hàm số đa thức, còn

q x

 

là hàm logarit.

 Trong trường hợp này ta đặt:

 

u q x

dv p x dx











Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra

v

từ

dv

4). Bài tập:

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:





2 x

1 sin

xdx











2 cos

x

xdx







c. 4 2

cos

x

xdx





d. 4

cos

xdx

x









2 2

1

x



e dx



3

2

x

dx

e





3 2

(

x

)

x

dx









x

x e



dx



Bài 2: Tính các tích phân sau đây:





3
2

3 x



1 ln

xdx







1 ln

x



dx



c. 2

ln

e

xdx







1 ln

x



dx



§5. CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:





2
6

1 cos

sin

x dx

x











2
2

ln

x x e dx

x









2
2

2 cot

sin

g x

x dx

x







d.2

2

3 cos

x

1 x

sin

xdx





















e. 2

1 sin cos

cos

x

xdx

x







1
2
0

1

2

x

xdx

x

e



















2

3 cos

sin

x

xdx

x





















3

1 ln

x



dx



§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :

 

C

:

y f x



  

;

C



:

y g x x a x b



 

;



;



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a). Công thức:

 

b
a

S





f x



g x dx

(2)

b). Các bước thực hiện:

 Bước1: Nếu hai đường

x a x b



,



đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình

 

f x



g x

(PTHĐGĐ của

 

C

1 và



C

2



) để tìm.

 Bước 2: Áp dụng công thức (2).

 Bước 3: Rút gọn biểu thức

f x

 



g x

 

, sau đó xét dấu của hiệu này.
 Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

c). Chú ý:

Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ

dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,

 

C

1 nằm trên



C

2



thì hiệu

 

0 f x



g x



, và

 

C

1 nằm dưới



C

2



thì hiệu

f x

 



g x

 



0

.
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:

 Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát).

 Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng cơng thức

(2).

 Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.

3). Thể tích của hình trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

 

C y f x Ox x a x b

:



 

;



;



(trong đó hai đường thẳng

x a x b



;



có thể thiếu một hoặc cả hai).

a). Công thức:

 

b
a

V











f x





dx

(3)
b). Các bước thực hiện:

 Bước 1: Nếu hai đường

x a x b



,



đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình

 

0 f x



(PTHĐGĐ của

 

C

và trục Ox) để tìm.

 Bước 2: Áp dụng cơng thức (3).

4). Bài tập:

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

6

5

2

1 :

x

C y

x









và trục Ox.

Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

C y x x

:







3 

2 và trục Ox.

Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

C y x

:





x

2 và trục Ox.

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

 

C y x

:





3 x



1

và đường thẳng

3 :

d y



Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

2

1 :

x

C y

x







; đường tiệm cận

xiên của

 

C

; Ox;

x e

 

1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 7: Cho parabol

 

P y x

:





6 x



5

a. Viết phương trình các tiếp tuyến của

 

P

tại các giao điểm của

 

P

với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

 

P

và các tiếp tuyến nói ở câu a.

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

C y

:



x

;

d y

:

 

2 x

và trục Ox.

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol

 

P y

:



4 x

và đường thẳng

2

4 :

d y



x



Bài 10: Cho parabol

 

P y

:



4 x

a. Viết phương trình tiếp tuyến của

 

P

tại điểm tung độ bằng 4.

b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

P

, trục Ox và tiếp tuyến nói ở
câu a.

Bài 11: Cho đường cong

 

2

1 :

x

C y

x







. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

C Ox Oy

;

. Tính thể tích của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Bài 12: Cho đường cong

 

C y x

:





x

2. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi

 

C

và trục Ox. Tính thể
tích của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.

SỐ PHỨC

Bài 1: Tính căn bậc hai của số phức sau: 1)

z



16 z



4 i

z

 

4 8

i

z

 

5 12

i

Bài 2: Giải các phương trình sau:

(

iz



3)(

z



2 z



5) 0



z

 

9 0

z



7 24



i



0 z



2 1 2

z

 

i



0 4 0

z

 

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, biểu diễn hình học và tính mơdun của số phức sau:
1)

2 (1 )(4 3 )

3 2

i

 







(3 4 )(1 2 ) 4 3

1 2

i

i

i





 



1 2

1 i

















(1 )



i

2006

Bài 4: 1) Cho

3 cos

sin

; '

4 cos

sin

3

4 z











i







z











i















. Tính

2
3

5 . ', , . ',

'

z

z z

z

, căn bậc hai của z’

2) Tính: a)



3 

i



15 b)



2 3 2



i



8 c)

(2 2 )



i

Bài 5: Biểu diễn

sin3 , cos3 , sin 4 , cos4



theo

sin , cos



HÌNH HỌC:

I/LÝ THUYẾT:

Các dạng toán thường gặp:

- Chứng minh đường thẳng d ln thuộc một mặt nón hay mặt trụ trịn xoay xác định
- Tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ và thể tích của khối nón, khối trụ
- Giải các bài tốn tìm thiết diện của một mặt phẳng với khối trụ, khối nón

- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước
- Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

II/BÀI TẬP:

1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a .

2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a .

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt
phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp .

4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vng góc với đáy . Biết
SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC .

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc mp(ABCD) , cạnh bên SB =

a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD .

6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC .
Chứng minh SA vng góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .

7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều bằng nhau
và bằng a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là 900. Chứng minh

tam giác ABC vng và tính thể tích khối chóp S.ABC .

9. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đơi .Tính thể tích khối tứ diện
OABC và diện tích tam giác ABC .

10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD .

11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vng góc với (ABC) , hai
mặt bên cịn lại cùng tạo với (ABC) góc 450. Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung điểm BC

và tính thể tích khối chóp S.ABC .

12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc (ABCD) và SA = a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách từ A đến (SCD) .

Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vng cân có AB = BC = a . Gọi B’ là trung
điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC .

Chứng minh SC vng góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ .

13.Cho hình chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vng tại B cóAB = a , BC = b và SA = c, SA vng góc với
(ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp thành 2 khối đa diện.

a) Tính thể tích hai khối đa diện đó .

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB=a, BC= 2a

3 , SA(ABCD), cạnh bên SC hợp

với đáy một góc α 300 .Tính thể tích hình chóp

15. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết AB = a và AC = AD = BC = BD = CD = a 3

16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là 3a, cạnh bên là 2a, SH là đường cao
a. C/m: SA



BC ; SB



AC. b. Tính SH ;

c. Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

17.Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông và SA



(ABCD). Biết SA =

a

2

; AB = a.
a. CMR: các mặt bên của hình chóp là tam giác vng.

b. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB, SC;

c. Tính diện tích và thể tích khối nón sinh bởi tam giác SAC khi quay quanh trục SA.

1. TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ

A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/.

Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

1).

M x ; y ;z



M M M





OM x i y j z k







2).

Cho

A x ; y ;z



A A A



và

B x ; y ;z



B B B



ta có:

B A B A B A

AB (x





x ; y



y ;z



z )

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

2 2 2

B A B A B A

AB (x  x ) (y  y ) (z  z )

3).

Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k





MA kMB







thì ta có :

A B A B A B

x

kx

y

ky

z

kz

x

; y

; z

1 k







(Với k ≠ -1)

@/. Đặc biệt khi M là trung điểm của AB (k = – 1 ) thì ta có :

A B A B A B

x

y

z

x

; y

;z

2 



II/.

Tọa độ của véctơ : Trong không gian với hệ tọa độ Oyz

1).

a (a ;a ;a )





1 2 3



a a i a j a k





1





2





3



2).

Cho

a (a ;a ;a )





1 2 3 và

b (b ;b ;b )





1 2 3 ta có :



1 1

2 2

3 3

a

b

a b

a

b

a

b







 















a b (a



 



1



b ;a

1 2



b ;a

2 3



b )

3



k.a (ka ;ka ;ka )





1 2 3



a.b

 



a . b cos(a;b) a b

 



1 1



a b

2 2



a b

3 3



a





a

12



a

22



a

32

III/.

Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:

1). Nếu

a (a ;a ;a )





1 2 3 và

b (b ;b ;b )





1 2 3 thì 2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a

a, b

;

b b







 















 

2). Vectơ tích có hướng ca, b vng góc vơi hai vectơ

a



và

b



3).





a, b

 

 



a b sin(a, b)

 

4).

S

ABC

1 [AB,AC]

2 

 

.
5). VHộpABCDA’B’C’D’=

[AB, AC].AA '

  

6). VTứdiện ABCD =

1 [AB, AC].AD

6   

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1).

a



và

b



cùng phương

1 1

2 2

3 3

a

kb

a, b

0 k R : a kb

a

kb

a

kb

















   















 



2).

a



và

b



vuông góc



a.b 0

 

 

a .b

1 1



a .b

2 2



a .b

3 3



0

3). Ba vectơ

a, b, c

  

đồng phẳng 





a, b .c 0







  

(tích hỗn tạp của chúng bằng 0).
4). A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện 

  

AB, AC, AD

không đồng phẳng.

5). Cho hai vectơ không cùng phương

a



và

b



vectơ

c



đồng phẳng với

a



và

b



 k,l R sao cho

c ka lb











6). G là trọng tâm của tam giác ABC

A B C

x

3 y

3 z

3 





























7). G là trọng tâm của tứ diện ABCD 



GA GB GC GD 0















B/.BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính

F







AB, AC .(OA 3CB)







 



b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp.

Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)

a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
c) Tính các góc của tam giác ABC.

d) Tính diện tích tam giác BCD.

e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

Bài 3: Cho

a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)

















a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ

a, b, c

  

không đồng phẳng.

b) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ

a, b, d

  

đồng phẳng, hãy phân tích vectơ

d



theo hai vectơ

a, b

 

.
c) Phân tích vectơ

u







2;4;11



theo ba vectơ

a, b, c

  

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.

b) Tính thể tích hình hộp.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của A lên ba

trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.

a) Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.

b) Chứng minh rằng N1N2 AN3 .

c) Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1.

2. MẶT PHẲNG

A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/.

Phương trình mặt phẳng :

1).

Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát

của mặt phẳng, trong đó

n (A;B;C)





là một vectơ pháp tuyến của nó.

2).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ

n (A;B;C)





làm vectơ pháp tuyến có dạng :
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .

3).

Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận

a (a ;a ;a )



1 2 3



và

b (b ;b ;b )





1 2 3 làm cặp vectơ chỉ
phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

2 3 3 1 1 2

a a

n

a, b

;

b b





























 

II/.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

1).

Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0



(P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A’: B’: C’



(P) // (Q)  A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’



(P) ≡ (Q)  A : B : C : D = A’: B’: C’: D’

2).

Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 .
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:

m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m2 + n2 ≠ 0)

III/.

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :

0 0 0

0 2 2 2

Ax

By

Cz

D

d(M , )

A

B

C



 



IV/.

Góc gữa hai mặt phẳng

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0.

Ta có : P Q P Q 2 2 2 2 2 2

P Q

n .n

A.A' B.B' C.C '

cos

cos(n , n )

n . n

A

B

C . A '

B'

C '



 





 

(00≤φ≤900)



 

90 



n



P





n

Q  hai mặt phẳng vng góc nhau.

 Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x thì mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y thì song song

Oy, khơng có biến z thì song song Oz.
B/. BÀI TẬP:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vng góc với mp(ABC).

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc nhau.

b) Viết phương trình tham số đường thẳng () là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

c) Chứng minh rằng đường thẳng () cắt trục Oz .Tìm tọa độ giao điểm.

d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC.
e) Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.

a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P).

b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng qt đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vng góc với
mặt mp(P).

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P).
( TNPT năm 1993)

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 .
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng.

b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy.

d) Lập phương trình mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q).

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1). 
a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc 450.

Bài 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.

a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính khoảng cách giữa
hai mặt phẳng.

b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến
đường thẳng (d).

3. ĐƯỜNG THẲNG

A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/.

Phương trình đường thẳng :

1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Ax By Cz D 0

A 'x B' y C'z D' 0















(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)

2).

Phương trình ttham số của đường thẳng :

0 1

0 2

0 3

x x

a t

y y

a t (t R)

z z

a t

















  



Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và

a (a ;a ;a )



1 2 3



là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

3).

Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 0 0 0

1 2 3

x x

y y

z z

a





Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và

a (a ;a ;a )



1 2 3



là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Cho hai đ.thẳng () đi qua M có VTCP

a



và (’) đi qua M’ có VTCP

a '



.
 () chéo (’) 





a,a ' .MM ' 0









 

 () cắt (’) 





a,a ' .MM ' 0









 

với





a,a '

 

 



0 

 () // (’) 

[a,a ']=0

M

'







 





  

 () ≡ (’) 

[a,a ']=0

M

'







 





  

2). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng () đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a (a ;a ;a )



1 2 3



và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D =
0 có VTPT

n (A;B;C)





 () cắt (α) 

a.n 0

 



 () // (α) 

a.n 0

M ( )









 





 

 () nằm trên mp(α) 

a.n 0

M ( )









 





 

III/.

Khoảng cách :

1). Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi qua M0 có VTCP

a



 





 



[M M,a]

S

d(M, )

c.đáy

a

2). Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a



, (’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP

a '



  





 

  

 

hoäp

đáy

[a,a'].MM'

V

d( , ')

S

[a,a']

IV/.

Góc :

1). Góc giữa hai đường thẳng :

() đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP

a (a ;a ;a )



1 2 3



(’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP

a (a ' ;a ' ;a ' )



1 2 3



1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.a '

a .a ' a .a '

a .a '

cos

cos(a,a ')

a . a '

a

a . a '

a '



 







 

 

2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
() đi qua M0có VTCP

a (a ;a ;a )



1 2 3



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

Aa +Ba +Ca

sin

cos(a, n)

A

B

C . a

a

 





 

B/. BÀI TẬP:
Bài 1:

a) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 .
Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

c) Viết phương trình tham số chính tắc của đuờng thẳng có phương trình

2 4 0

2 2 0

x y z

x y

z

 

 









 



Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường thẳng () có phương trình

4

2 1 0

3 5 0

x y

z

x z

 

 







 



a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.

b) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,).

c) Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng () đều thỏa mãn AM  BC, BM  AC, CM  AB.

Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là
đỉnh đối diện với O.

a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vng góc với mặt phẳng (A,B,D).
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D). (TNPT năm 1999)

Bài 4: Cho hai đường thẳng:

x 2 t

x 2z 2 0

( ) :

( ') : y 1 t

y 3 0

z 2t

 





















 







 



a) Chứng minh rằng hai đường thẳng () và (’) không cắt nhau nhưng vng góc nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ()và (’).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua () và vng góc với (’).

d) Viết phương trình đường vng góc chung của ()và (’).

Bài 5: Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.

b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vng góc với đường thẳng AB.
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vng góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).

e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 7: Cho đường thẳng

( ) :

2x y z 5 0

2x z 3 0



  









 



và mp (P) : x + y + z – 7 = 0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Tìm tọa độ giao điểm của () và (P).

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () và (’) lần lượt có phương trình:

2x y 1 0

3x y z 3 0

;

x y z 1 0

2x y 1 0

  

 

 







 





 



a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua hai đường thẳng () và (’).

c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc và cắt cả hai đường () và (’) .

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng

x 5 t

y

1 2t

z

4 3t

 





 



  



a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và () vng góc nhau, tìm tọa

độ giao điểm H của chúng.

b) Chuyển phương trình của () về dạng tổng qt. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến ().

c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (), biết (d) và () cắt nhau.

(Đề HK2 2005)

4. MẶT CẦU

A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I/.

Phương trình mặt cầu:

1).

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 .

2).

Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2–D>0 là phương trình mặt cầu tâm

I(-A;-B;-C), bán kính

R

A

B

C

D







II/.

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0.
 Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.

 Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.

 Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn có phương trình :



x a





x a





x a



R

Ax By Cz D 0



























 Bán kính đường trịn

r



R



d(I,(P))

2 .

 Tâm H của đường trịn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).

B/. BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0 và hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5).

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình đường thẳng MN.

c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).

d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với
mặt cầu tại các giao điểm.

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)

a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

e) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A,B,C. Hãy tìm tâm và bán kính của đường trịn đó.

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z

+ 6 = 0.

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Xác định bán kính R và tọa độ tâm H của đường trịn (C).

Bài 4: Trong khơng gian cho (P): x + 2y – z + 5 = 0 điểm I(1;2;-2) và đường thẳng

(d) :

x 2y 1 0

y z 4 0



 







 



.
a) Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P).

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I.

d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm trong (P) cắt (d) và vng góc (d).
(Thi HK2, 2002-2003)

Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.

b) Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi
qua bốn điểm A’, B, C, D.

c) Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
 (TN THPT 2003-2004)

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC tại C. Chứng minh O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí
tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính

R



2

với mặt phẳng(P).

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là hình chiếu vng góc của đường thẳng AB lên mặt
phẳng(P).

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – 1 = 0. mp(P) cắt các trục tọa độ tại A, B, C.

a) Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm D

của (d):

2 0

2 1 0

x y

x y z

 









 





với mp(Oxy). Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ACD. Xác
định tâm và bán kính của đường trịn đó.

(TN THPT 2001-2002)

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi :

A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k







 



















.
a) Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b) Viết phương trình tham số của đường (d) vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc
giữa (d) và mặt phẳng (ABD).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (α ) của (S) song
song với mặt phẳng (ABD).

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. 
a) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).

b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC

c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa đường thẳng DC và
mặt phẳng (P).

Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).

a) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.
b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC).

c) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vng góc mặt phẳng(ABC).
d) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

b) Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với các trục tọa độ Ox, Oy,
Oz. Tính tọa độ A, B, C và viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ đó hãy xác định tâm và bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC.

</div>

ôn tập phần ứng dụng đạo hàm page phần giải tích phần i ứng dụng đạo hàm 1 tính đơn điệu của hàm số a các kiến thức cơ bản i định nghĩa cho hàm số yfx xác định trên ab 1 f tăng trên ab nếu

( )

( )

( )

( )

'( ).(

)

'( )

<i>f b</i>

<i>f a</i>

<i>f b</i>

<i>f a</i>

<i>f c b a hay f c</i>

<i>b a</i>













<i>y x</i>





3

<i>mx</i>



3(2

<i>m</i>



1)

<i>x</i>



1

<i><sub>y</sub></i>

<sub>2</sub>

<i><sub>x x</sub></i>





1

2

<i>mx</i>

<i>y</i>

<i>x m</i>







<i><sub>e</sub></i>

<i><sub>x</sub></i>

<sub>2 x R</sub>

 

 

x>1

ln

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>x</i>





<i><sub>x</sub></i>

<i><sub>x</sub></i>

<sub>2</sub>

<i><sub>x</sub></i>

<sub>1 0</sub>









<i>y</i>



<i>x</i>



2

<i>mx</i>



2

<i>m</i>



1

2

4