Bài giảng ĐỀ + ĐA THI VAO LOP 10 NANG KHIEU

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán
trờng năng khiếu Quảng Bình
năm học 2006-2007
( Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : ( 2,5 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc trong hệ đếm thập phân sao cho
abc = n
2
1
cba = (n - 2)
2

với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 2 : (2,5 điểm)
Giải phơng trình sau :
x
2
+ y
2
2xy + 3x 2y 1 + 4 = 2x - x
2
- 3x + 2
Bài 3 :( 1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A biết :
A =
52
356805616
2
234
++
++++

xx
xxxx
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có
0
20
=
B
,AC = a .M là trung điểm của BC .Qua ba điểm
A,C,M dựng một đờng tròn cắt AB tại K .
a) Hãy tính diện tích và chu vi hình tròn theo a
b) Kẻ phân giác trong BI . Vẽ góc
0
30
=
ACH
về phía trong tam giác ABC đó .Chứng minh tứ
giác CIHK là hình thang .Tính diện tích hình thang đó theo a
Đáp án
Câu 1:
Ta có: abc = 100.a + 10.b +c = n
2
- 1 (1)
cba = 100.c + 10.b + a = n
2
- 4n + 4 (2) (0,5đ)
Lấy (1) trừ (2) ta đợc:
99.(a c) = 4n 5
Suy ra 4n - 5

99 (0,5đ)
Vì 100

abc

999 nên:
100

1
2
n
999
119543931111000101
2

nnn
(0,75đ)
Vì 4n - 5

99 nên 4n - 5 = 99

n = 26

abc = 675 (0,5đ)
Thử lại thấy đúng. Vậy có một số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là 675
(0,25đ)
Câu 2:
x
2
+ y

2
- 2xy + 3x - 2y -1 + 4 = 2x - x
2
- 3x + 2


x
2
+ y
2
- 2xy + 3x - 2y -1 + x
2
- 3x + 2 = 2(x - 2) (1)
Vế trái không âm nên ta suy ra ngay x

2 (2) (0,5đ)
Ta có :
(1)

(x - y)
2
+ 2( x - y) + 1 + x - 2 + (x - 2)
2
+ x - 2 = 2(x - 2)


(x - y + 1)
2
+ x - 2 + (x - 2).(x - 1) = 2(x - 2) (3) .Vì x

2 nên
(3)

(x - y +1)
2
+ x - 2 + (x - 2)(x - 1) = 2 (x - 2) (1,0đ)


(x-y+1)
2
- ( x-2 ) + ( x-2) (x-1) = 0


(x - y +1)
2
+ (x - 2)
2
= 0
x - y +1 =0


x - 2 = 0 (0,75đ)
từ đó ta có x = 2 và y = 3 . Thay x = 2, y =3 thấy phơng trình có nghiệm đúng. Vậy nghiệm
của phơng trình là x = 2; y = 3 (0,25đ)
Câu 3:
Xét A =
52
3368056164
2
234

++
++++
xx
xxxx
;
x

Thực hiện phép chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu là:

452
2
++
xx
;

x. Ta có:
A =
52
256
)52(4
2
2
++
+++
xx
xx
(0,5đ)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dơng:

A
64
52
256
.52(42
2
2
=
++
++
xx
xx
(*);

x.
Dấu đẳng thức trong (*) xảy ra khi và chỉ khi:
4(x
2
+ 2x + 5) =

++
52
256
2
xx
(x
2
+ 2x + 5)
2
= 64 (0,5đ)

x =1
x
2
+ 2x + 5 = 8

x
2
+ 2x - 3 = 0



x = -3
x
2
+ 2x + 5 = - 8 (vô lý vì vế trái không nhỏ hơn 4)
Vậy : GTNN (A) = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 (0,5đ)
Bài 4 :
a) Tứ giác ACMK nội tiếp nên
vCMKCAK 2
=+
nhng
vCAK 1
=

vCMK 1
=

Mặt khác M là trung điểm BC nên tam giác CKB cân tại K .
0
20

==
KBCBCK

0
40
=
CKA
(góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)
Trong tam giác vuông ACK ta có CK =CA/ sin CKA =a / sin40
0
Do A và M cùng nhìn CK với một góc vuông nên CK là đờng kính .
Diện tích hình tròn là S =


=
2
0
)
40sin2
(
a
02
2
40sin4
a
Chu vi hình tròn là 2p =
0
40sin
a

(0,5đ)
b) Tam giác ACH có
0
30
=
ACH
và
00
4070
==
HCBACB
mà
0
20
=
KCB
do đó CK là tia
phân gíac
HCB

.
Bởi vậy:

=
BK
HK
CB
CH
BK
CB

HK
CH
=
(0,75đ)
mà AH=
2
1
CH


BK
CB
HK
CH
HK
AH
.
2
1
.
2
1
==
=
BK
BM

Ta lại có
ABCBMK

(g.g) nên
BC
BA
HK
AH
BC
BA
BK
BM
==
(1)
Mặt khác do BI là tia phân giác
CBA

nên
BC
BA
IC
AI
=
(2) (1,0đ)
Từ (1) và (2) ta có
IC
AI
HK
AH
=

IH//CK ( hệ quả định lý Ta Lét)
Do đó tứ giác CIHK là hình thang (0,5 đ)

S
ACK
= (AC. AK)/ 2
S
AIH
= (AI .AH)/2 .Trong ®ã :
AC = a ; AH = AC tgACH = a tg 30
0
= a
3
3
AI = AH tg AHI = a
3
3
tg40
0
;AK = AC .cotg CKA =a.cotg40
0
S
CIHK
=S
ACK
-S
AIH
=
2
1
(a
2

.cotg40
0
-
3
1
a
2
tg40
0
) =
6
1
a
2
(3cotg40
0
- tg40
0
) (0,75®)