Bài soạn ÔN TẬP TOÁN 10

DA
B
C
O
LÝ THUYẾT ÔN TẬP HỌC KỲ I – KHỐI 10
I. HÌNH HỌC :
1. Vectơ :
Quy tắc 3 điểm :
→
AB
+
→
BC
=
→
AC
Quy tắc hình bình hành : Cho hình bình hành ABCD, ta có :
→
AB
+
→
AD
=
→
AC
Quy tắc phép trừ :
→
AB
=
→
CB

–
→
CA

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠
1 khi và chỉ khi :
→
MA
= k
→
MB
Điểm I là trung điểm AM khi và chỉ khi :
→
IA
+
→
IB
=
→
0
.
Khi đó với mọi điểm O ta có :
→
OA
+
→
OB
= 2
→

OI
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi :
→
GA
+
→
GB
+
→
GC
=
→
0
Khi đó với mọi điểm O ta có : 3
→
OG
=
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
Tich vô hướng của 2 vectơ :
+
→
a
.

→
b
= |
→
a
|.|
→
b
|.cos(
→
a
.
→
b
) Công thức tính tích vô hướng 2 vectơ.
+ cos(
→
a
.
→
b
) =
||||
.
→→
→→
ba
ba
. Ghi nhớ : cos(
→

a
.
→
b
) = tích vô hướng chia tích độ dài.
2. Hệ trục toạ độ Đecác vuông góc :
Ta giả sử : A (x
A
; y
A
), B (x
B
; y
B
),C (x
C
; y
C
),
→
a
= (a
1
; a
2
),
→
b
= (b
1

; b
2
)
+ M(x ; y)
⇔
→
OM
= x
→
i
- y
→
j
Ghi nhớ : Hoành độ x luôn đi với vectơ đơn vò
→
i
+
→
a
= (a
1
; a
2
)
⇔

→
a
= a
1

→
i
- a
2
→
j
Tung độ y luôn đi với vectơ đơn vò
→
j
+
→
AB
=( x
B
–x
A
; y
B
–y
A
). G hi nhớ : Lấy ngọn trừ gốc.
+ AB =
22
)()(
BABB
yyxx
−+−
công thức tính độ dài đoạn thẳng
+
→

a
+
→
b
= (a
1
+ b
1
; a
2
+ b
2
)
+
→
a
–
→
b
= (a
1
– b
1
; a
2
– b
2
)
+ k
→

a
= (ka
1
; ka
2
)
+ |
→
a
| =
2
2
2
1
aa
+
công thức tính độ dài vectơ
+
→
a
.
→
b
= a
1
.b
1
+ a
2
.b

2
biểu thưc toạ độ của tích vô hướng
+
→
a
⊥
→
b
⇔
→
a
.
→
b
= 0 Điều kiện 2 vectơ vuông góc
+ Tam giác ABC vuông tại O
⇔
→
AB
.
→
AC
= 0 Điều kiện
∆
ABC vuông
Điểm chia đoạn thẳng :
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠
1 thì : M (
k

kxx
BA
−
−
1
;
k
kyy
BA
−
−
1
)
Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi : A (
2
BA
xx
+
;
2
BA
yy
+
) Ghi nhớ : trung bình cộng.
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi : G (
3
CBA
xxx
++
;

3
CBA
yyy
++
)
3. Tỉ số lượng giác :
sinx
2
+ cosx
2
= 1 1+tg
2
x =
x
2
cos
1
, (cosx
≠
0)
1+cotg
2
x =
x
2
sin
1
, (sinx
≠
0) tgx =

x
x
cos
sin
, (cosx
≠
0)
c
a
b
h
m
MH
A
B
C
cotgx =
x
x
sin
cos
, (sinx
≠
0) tgx.cotgx = 1, (sinx
≠
0 và cosx
≠
0)
Liên hệ giữa 2 góc phụ, bù nhau : sin(180
0

-x) = sinx cos(180
0
-x) = – cosx
sin(90
0
-x) = cosx cos(90
0
-x) = sinx
Dấu các tỉ số lượng giác :
+ sinx
≥
0, với mọi x.
+ cosx, tgx, cotgx luông cùng dấu. Nó dương nếu góc x nhọn và âm nếu góc x tù.
4. Hệ thức lượng trong tam giác :
Đònh lý hàm số cosin :
+ a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA cosA =
bc
acb
2
222
−+
+ b
2
= a

2
+ c
2
– 2ac.cosB cosB =
ac
bca
2
222
−+
+ c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab.cosC cosC =
ab
cba
2
222
−+
Đònh lý hàm số sin :
R
C
c
B
b
A
a
2

sinsinsin
===
Công thức tính diện tích tam giác :
S
ABC
∆
=
2
1
ah
h
=
2
1
bh
b
=
2
1
ch
c
S
ABC
∆
=
2
1
ab.sinC =
2
1

ac.sinB =
2
1
bc.sinA
S
ABC
∆
=
R
abc
4
S
ABC
∆
= pr S
ABC
∆
=
))()(( cpbpapp
−−−
Công thức đường trung tuyến :
m
2
a
=
4
22
222
acb
−+

m
2
b
=
4
22
222
bca
−+
m
2
c
=
4
22
222
cba
−+

II. ĐẠI SỐ :
1. Hàm số : y = f(x)
- Tập xác đònh : là tập các gí trò x làm cho biểu thức f(x) có nghóa.
+ Nếu f(x) có mẫu thì mẫu khác 0.
+ Nếu f(x) có căn bậc hai (tổng quát bậc chẵn) thì biểu thức trong căn không âm.
- Tính đơn điệu : Cho f(x) xác đònh trên D. (a;b)
⊂
D, hàm số f(x) được gọi là :
+ đồng biến trên (a;b) nếu :
∀
x

1
,x
2
∈
(a;b) ta có : x
1
> x
2
⇒
f(x
1
) > f(x
2
) hay
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
> 0
+ đồng biến trên (a;b) nếu :
∀
x
1
,x
2
∈
(a;b) ta có : x

1
> x
2
⇒
f(x
1
) < f(x
2
) hay
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
< 0
- Tính chẵn, lẻ : Cho f(x) xác đònh trên D :
+ f(x) chẵn trên D nếu :



=−
∈−⇒∈∀
)()( xfxf
DxDx
+ f(x) lẻ trên D nếu :




−=−
∈−⇒∈∀
)()( xfxf
DxDx
4
2
5
-
∞
+
∞
Đồng biến
Nghòch biến
-
b
2a
a < 0
O
-2
-4
5
-
∞
+
∞
Đồng biến
Nghòch biến
-
b
2a

a > 0
O
+ Chú ý :
Hàm đa thức chỉ có bậc chẵn là hàm số chẵn :
VD : các hàm số sau đây là chẵn :
y = x
2
+ 1 y = ax
2
+ b y = x
4
+ x
2
+ 1
y = x
4
– x
2
y = –3x
8
+ x
4
– 5
Hàm đa thức chỉ có bậc lẻ và không có hệ số tự do là hàm số lẻ :
VD : các hàm số sau đây là hàm số lẻ :
y = x
3
+ x y = –2x
7
–2 x

5
+x
Hàm đa thức bậc lẻ và có hệ số tự do, hàm đa thức có cả bậc chẵn và lẻ là hàm số không
chẵn, không lẻ :
VD : Các hàm số sau không chẵn, không lẻ :
y = x
3
+ x + 1 y = –2x
7
–2 x
5
+x – 2
y = –2x
7
–2 x
5
+ x
2
y = x
2
+ x + 1
- Hàm số bậc nhất : y = ax + b, (a
≠
0)
+ a > 0 : hàm số đồng biến trên R
+ a < 0 : hàm số nghòch biến trên R
+ Đồ thò là đường thẳng.
+ Cho d
1
: y = ax + b

d
2
: y = a’x + b’
* Nếu a
≠
a’ thì d
1
cắt d
2
* Nếu



≠
=
'
'
bb
aa
thì d
1
// d
2
* Nếu



=
=
'

'
bb
aa
thì d
1
≡
d
2
- Hàm số bậc hai : y = ax
2
+ bx + c, (a
≠
0)
+ a > 0 : hàm số đồng biến trên (–
∞
;
a
b
2
−
), nghòch biến trên (
a
b
2
−
;+
∞
).
+ a < 0 : hàm số đồng biến trên (
a

b
2
−
;+
∞
), nghòch biến trên (–
∞
;
a
b
2
−
).
+ Đồ thò là parabol có trục đối xứng x =
a
b
2
−
. Đỉnh I(
a
b
2
−
;
a4
∆
−
).
a > 0 đồ thò lõm. a < 0 đồ thò lồi
+ Điều kiện để đường thẳng (d) : y = a’x + b’ tiếp xúc parabol (P) : y = ax

2
+ bx + c là phương trình
hoành độ giao điểm : a’x + b’= ax
2
+ bx + c có nghiệm số kép. (tức biệt thức
∆
= 0).
2. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phươnh trình :
- Phương trình : ax + b = 0
+ TXD : D = R
+ a
≠
0, pt có nghiệm duy nhất x =
a
b
−
+ a = 0 và b = 0, pt có nghiệm với mọi x thuộc R
+ a = 0 và b
≠
0, pt vô nghiệm.
Chú ý : Khi giải và biện luận, trong trường hợp a = 0 ta phải thế giá trò tham số m tìm được
vào để biết b = 0 hay b
≠
0.
- Hệ phương trình :



=+
=+

''' cybxa
cbyax
+ tính : D =
'' ba
ba
= ab’ – a’b D
x
=
'' bc
bc
= cb’ – c’b D
y
=
'' ca
ca
= ac’ – a’c
+ D
≠
0, hệ có nghiệm duy nhất : (x
0
; y
0
), với x
0
=
D
D
x
, y
0

=
D
D
y
+ D = D
x
= D
y
= 0, hệ có vô số nghiệm. Khi đó 2 pt trong hệ tỉ lệ nhau.
+ D = 0 mà D
x
hoặc D
y
khác 0 thì hệ vô nghiệm.
Chú ý : Khi giải và biện luận theo tham số m, trong trường hợp D = 0 ta phải thế giá trò m
tìm được vào D
x
, D
y
để xem nó bằng 0 hay khác không.
- Bất phương trình ax + b = 0
+ TXD : D = R
+ a > 0, bpt có nghiệm : x >
a
b
−
hay tập nghiệm T = (
a
b
−

; +
∞
).
+ a < 0, bpt có nghiệm : x <
a
b
−
hay tập nghiệm T = (–
∞
;
a
b
−
).
+ a = 0 và b > 0 : bpt có nghiệm với mọi x thuộc R hay tập nghiệm T = R
+ a = 0 và b
≤
0 : bpt vô nghiệm.
Chú ý : trong trường hợp a = 0, ta phải thế giá trò m tìm được vào bất phương trình.
- Hệ bất phương trình : Nghiệm của hệ bpt là nghiệm chung của các phương trình trong hệ.
+ Hệ bpt 1 ẩn : là hệ gồm 2 hay nhiều bất pt 1 ẩn. Ta giải từng bpt trong hệ được các tập nghiệm
tương ứng T
1
,T
2
, . . Nghiệm của hệ là giao của các tập nghiệm : T
1
,T
2
, . .

+ Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn :



>+
>+
''' cybxa
cbyax
. Biểu diễn miền nghiệm của từng bpt trong hệ, miền
nghiệm chung của các bpt đó là (miền không bò gạch) là miền nghiệm của hệ bpt.