Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tái chuẩn hóa và phép toán R trong điện động lực học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Tiến Dự

TÁI CHUẨN HĨA VÀ PHÉP TỐN R
TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Tiến Dự

TÁI CHUẨN HĨA VÀ PHÉP TỐN R
TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn
Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo,
GS.TSKH.Nguyễn Xuân Hãn, là ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình cho
tơi để tơi có thể hồn thành luận văn này, cũng nhƣ đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian
học tập tại trƣờng.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo và tồn
thể cán bộ bộ mơn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng nhƣ khoa Vật lý nói chung, những
ngƣời đã ln tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi. Tôi cũng xin gửi lời cảm
ơn tới các bạn trong bộ mơn đã đóng góp, thảo luận và trao đổi ý kiến khoa học quý
báu để tôi có thể hồn thành luận văn này.
Do thời gian và kiến thức cịn nhiều hạn chế nên khơng thể tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, góp ý của q thầy cơ và các bạn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày … tháng … năm 2015
Học viên
Phạm Tiến Dự


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………………………………………………………..1
Chƣơng 1 – ĐẠI CƢƠNG VỀ TÁI CHUẨN HÓA………………………....6
1.1. S- ma trận………………………………………………………....6
1.1.1. Các điều kiện cho S- ma trận………………………………..7
1.1.2. Xác định S- ma trận………………………………………..12
1.2. Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED...18
1.2.1. Khai triển S- ma trận về dạng N- tích……………………...18
1.2.2. Quy tác Feynman trong QED……………………………...22
1.2.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman………………………24
Chƣơng 2 – TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG………..31

2.1. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron  ……………………….31
2.2. Giản đồ phân cực photon………………………………………..37
2.3. Giản đồ một vòng bậc ba………………………………………..44
2.4. So sánh bốn phƣơng pháp khử phân kỳ…………………………51
Chƣơng 3 – TÁI CHUẨN HĨA VÀ PHÉP TỐN R……………………..54
3.1. Tái chuẩn hóa……………………………………………………54
3.2. Phép tốn R để khử phân kỳ…………………………………….64
KẾT LUẬN…………………………………………………………72
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………..74
PHỤ LỤC…………………………………………………………...76


DANH MỤC BẢNG BIỂU

 Bảng 1: Qui tắc Feynman trong QED………………………………….22
 Bảng 2: Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất trong QED……………….29
 Bảng 3: So sánh phần phân kỳ thu đƣợc bằng các phƣơng pháp khử phân
kỳ trong QED……………………………………………………...…....51
 Bảng 4. Quy tắc Feynman cho lý thuyết QED tái chuẩn hóa…………..58


DANH MỤC HÌNH VẼ
 Hình 1.1. Miền nhân quả………………………………………………………….8
 Hình 1.2 : Giản đồ Feynman bậc hai………………………………………….20
 Hình 1.3 : Giản đồ Feynman bậc ba…………………………………………..21
 Hình 1.4 : Giản đồ một vịng của photon……………………………………...21
 Hình 1.5. Giản đồ năng lượng riêng của electron…………………………..27
 Hình 1.6. Giản đồ năng lượng riêng của photon……………………………27
 Hình 1.7. Giản đồ đỉnh bậc 3…………………………………………………...27
 Hình 1.8.. Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng……………………...........27

 Hình 2.1: Giản đồ năng lượng riêng của electron…………………………...31
 Hình 2.2: Giản đồ phân cực photon……………………………………………38
 Hình 2.3: Giản đồ một vịng bậc ba……………………………………………44
 Hình 3.1: Hàm truyền tồn phần của electron.………………………………59
 Hình 3.2: Bổ chính bậc thấp nhất của 1PI cho electron……………...........61
 Hình 3.3: Bổ chính bậc thấp nhất cho 1PI của photon……………………...63
 Hình 3.4: Bổ chính bậc thấp nhất cho phần đỉnh……………………...........63
 Hình 3.5: Nút suy rộng …………………………………………………………65


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lƣợng tử (Quantum
Electrodynamics- QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với
phƣơng pháp tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích đã cho phép tính tốn các q
trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ chính
xác đến bậc bất kỳ theo hằng số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn  

e2
1

4 137

[10]. Trong các lý thuyết trƣờng tƣơng tác thì QED là lý thuyết đƣợc xây dựng
hồn chỉnh nhất. Mơ phỏng các phƣơng pháp tính tốn của các q trình vật lý
trong QED ngƣời ta có thể xây dựng cơng cụ tính toán cho Sắc động học lƣợng
tử (Quantum Chromodynamics- QCD) – lý thuyết tƣơng tác giữa các hạt quarkgluon, tƣơng tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tƣơng tác – nhƣ lý

thuyết điện yếu và tƣơng tác mạnh - và đƣợc gọi là mơ hình chuẩn.
Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, khơng chứa vịng kín ) ta
khơng gặp các tích phân phân kỳ, nhƣng tính các bổ chính lƣợng tử bậc cao cho
kết quả thu đƣợc, ta gặp phải các tích phân phân kỳ ở vùng xung lƣợng lớn của
các hạt ảo, tƣơng ứng với các giản đồ Feynman có vịng kín của hạt ảo. Các giản
đồ này diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý của các trƣờng tham
gia tƣơng tác và quan niệm hạt điểm khơng có kích thước cũng như khơng có
thể tích.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến
hành theo cách tính toán nhƣ thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ đƣợc

1


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu đƣợc cho quá
trình vật lý là hữu hạn. Lƣu ý, việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trƣờng là
nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải
nghiên cứu , tìm hiểu và giải quyết.
Ý tƣởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lƣợng của
electron đầu tiên đƣợc Kraumer – Bethe, sau đƣợc các tác giả Schwinger
Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED. Cách xây dựng chung S-ma trận
và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson. Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu
phân kỳ trong các số hạng đƣợc tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do
Bogoliubov – Parasyk tiến hành. Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện
tích và khối lƣợng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính

tốn, kết quả ta thu đƣợc là hữu hạn cho các biểu thức đặc trƣng cho tƣơng tác (
bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt). Khi so sánh
với thực nghiệm kết quả thu đƣợc, khá phù hợp với số liệu thực nghiệm. Lý
thuyết trƣờng lƣợng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc
trƣng của các quá trình vật lý, đƣợc gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá. Các phƣơng
pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trƣờng hiện nay bao gồm: phƣơng
pháp cắt xung lƣợng lớn, phƣơng pháp Pauli –Villars, phƣơng pháp chỉnh thứ
nguyên, và phƣơng pháp R- tốn tử do N.N Bogoliubov khởi xƣớng.
Tiếp nối khóa luận tốt nghiệp đại học: “ Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và
các phƣơng pháp khử phân kỳ trong mô hình 3 ”, ta tiếp tục nghiên cứu cho
điện động lực học lƣợng tử. Trong khóa luận tốt nghiệp, chúng ta đã xem xét đến
ba phƣơng pháp khử phân kỳ đầu tiên và ở đây chúng ta sẽ xem xét đến phƣơng
pháp khử phân kỳ cuối cùng sử dụng phép làm đều của Boguliubov và toán tử
R.

2


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Mục đích của luận văn này là chỉ ra ý nghĩa của việc tái chuẩn hóa, sử
dụng phép làm đều của Bogoliubov để tách các giản đồ phân kỳ thành hai phần
hữu hạn và phân kỳ. Cuối cùng tái chuẩn hóa trong gần đúng một vịng và sử
dụng phép tốn R để khử phân kỳ cho trƣờng hợp tổng quát.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, phần kết luận, tài liệu tham
khảo và một số phụ lục.
Chƣơng 1 Giới thiệu chung về lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong
mục 1.1 giới thiệu S-ma trận và các điều kiện của nó, từ đó chỉ ra rằng các kỳ dị

trong lý thuyết trƣờng xuất hiện là do sự bất định của T – tích khi thời gian chập
nhau. Mục 1.2 trình bầy vắn tắt việc xây dựng các giản đồ Feynman và tổng kết
quy tắc Feynman cho QED. Tiếp theo đó là xem xét bậc hội tụ của các giản đồ
Feynman, từ đó chỉ ra ba giản đồ phân kỳ cơ bản nhất của QED.
Chƣơng 2 Xem xét chi tiết ba giản đồ phân kỳ đã đƣa ra ở chƣơng 1, từ
đó tách các tích phân tƣơng ứng thành hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ,
bằng phƣơng pháp làm đều của Bogoliubov. Chi tiết đƣợc trình bầy trong các
mục: 2.1 là giản đồ năng lƣợng riêng của electron, 2.2 là giản đồ phân cực chân
không của photon và 2.3 là giản đồ đỉnh bậc ba. Cuối cùng trong mục 2.4 chúng
ta sẽ so sánh bốn phƣơng pháp khử phân kỳ là : Cắt xung lƣợng lớn; PauliVillars; Điều chỉnh thứ nguyên và phƣơng pháp làm đều Bogoluibov.
Chƣơng 3 Từ kết quả trong chƣơng 2, ta xây dựng lý thuyết tái chuẩn
hóa cho QED. Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lƣợng trong
QED cho gần đúng một vòng; Mục 3.2 chúng ta sẽ đƣa ra phép toán R để khử
phân kỳ dựa trên kết quả trong chƣơng 1 về sự bất định của T - tích.

3


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Phần kết luận liệt kê các kết quả thu đƣợc trong Bản khóa luận và thảo
luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trƣờng
tƣơng tự.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

 c 1

và metric giả Euclide (metric Feynman-hay metric Bogoliubov) tất cả bốn

thành phần véctơ 4-chiều ta chọn là thực A   A0 , A gồm một thành phần thời
gian và các thành phần không gian, các chỉ số    0,1, 2,3 , và theo quy ƣớc ta
gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thành phần này
với chỉ số trên.



 

A  A0 , A  A0 , A1 , A2 , A3



def

 A

(0.1)

Các véctơ phản biến là tọa độ:
x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z   t , x  ,

(0.2)

thì các véctơ tọa độ hiệp biến:
x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  ,

(0.3)

véctơ năng xung lƣợng:

p    E , px , p y , pz    E , p  .

(0.4)

Tích vô hƣớng của hai véctơ đƣợc xác định:
AB  g  A B  A B   A0 B0  AB

Tensor metric có dạng:

4

(0.5)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

g   g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 


 0 0 1 0 


 0 0 0 1

(0.6)

Chú ý, tensor metric là tensor đối xứng g  g và g  g  . Thành phần của
véc tơ hiệp biến đƣợc xác định bằng cách sau:
A  g  A

0
k
, A0  A , Ak   A

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
Ký hiệu tƣơng đồng đƣợc sử dụng trong luận văn: p  pˆ  p  

5

(0.7)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

CHƢƠNG 1
ĐẠI CƢƠNG VỀ TÁI CHUẨN HĨA
Trong khóa luận [3], chúng ta đã trình bầy phƣơng pháp xây dựng lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến từ S- ma trận đến các giản đồ Feynman cho tƣơng tác
đơn giản  3 , song cấu trúc và hình thức luận của lý thuyết sẽ có “mặt tƣơng tự”
trong QED, và QCD. Trong chƣơng này, bằng một cách tiếp cận khác, chúng ta
sẽ xem xét: các điều kiện để xác định S-ma trận, từ đó lý giải tại sao lại xuất hiện

các phân kỳ trong lý thuyết; trình bầy quy tắc Feynman và xác định bậc hội tụ
của các giản đồ trong QED.

1.1.

S- ma trận
Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ đƣợc xác định bằng các yếu tố

của S – ma trận tán xạ. Ma trận tán xạ đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
     S   

(1.1)

Trong đó     là biên độ trạng thái ban đầu còn     là biên độ trạng thái cuối
cùng của hệ.
Ngoài ra ngƣời ta còn đƣa vào hàm g  x  với các giá trị số nằm trong
khoảng 0  g  x   1 để mô tả cƣờng độ tƣơng tác. Lúc g  x   1 , tƣơng tác đƣợc
mở hết cƣờng độ. Nhƣ vậy L  x  g  x  là Lagrangian tƣơng tác đƣợc đƣa vào với
cƣờng độ g  x  . Với hàm g  x  chúng ta có:

6


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

       g   S  g 

(1.2)

Với      
Trong các trƣờng hợp thƣờng dùng S  S 1 .
1.1.1. Các điều kiện cho S- ma trận
Để có đƣợc sự chặt chẽ về mặt tốn học cũng nhƣ phù hợp với các qui luật
của tự nhiên, trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, S- ma trận đƣợc đòi hỏi phải
thỏa mãn một số điều kiện.
a) Điều kiện hiệp biến
Dƣới phép biến đổi Lorentz L:
x  x  Lx
   U L

Điều kiện hiệp biến là phép biến đổi Lorentz không làm thay đổi dạng của Sma trận:
   g   S  g   '  S  g U L

Mặt khác :   g      Lg   U L  g 
    g   S  g U L     LL1 g   U L  L1g   U L S  L1g 

 S  Lg U L  U L S  L1Lg   U L S  g 
 S  Lg   U L S  g U L

Ta có:
S  Lg   U L S  g U L

7

(1.3)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

b) Điều kiện unita
Vì bảo tồn chuẩn (norm) của hàm sóng:
 *  g    g    *

Nên ta có:
S g S g 1

(1.4)

c) Điều kiện nhân quả
Chúng ta phải bảo đảm rằng điều kiện nhân quả đƣợc thỏa mãn, nghĩa là bất kỳ
kiến cố nào xẩy ra trong tƣơng tác cũng chỉ có ảnh hƣởng đến các q trình diễn
ra sau nó. Để thu đƣợc cơng thức tƣờng minh của điều kiện nhân quả, ta sẽ xem
xét trƣờng hợp khi không thời gian giới hạn bởi miền G , trong đó xác định hàm
g  0 có thể đƣợc chia thành hai miền riêng rẽ G1 và G2 mà toàn bộ các điểm của

G1 nằm trong quá khứ so với thời điểm t   và G2 thì nằm hồn tồn trong tƣơng

lai so với thời điểm đó.

Hình 1.1. Miền nhân quả
Vì thế trong trƣờng hợp này ta có thể biểu diễn:
g  x   g1  x   g2  x 

Trong đó g1  0 chỉ trong G1 và g2  0 chỉ trong G2 .

8

(1.5)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Tại thời điểm  có thể xác định một trạng thái đƣợc đặc trƣng bởi biên độ  ,
do điều kiện nhân quả sẽ không phụ thuộc vào tƣơng tác trong G2 và có thể viết
dƣới dạng:
  S  g1  

(1.6)

Với S  g1  là ma trận tán xạ cho trƣờng hợp khi tƣơng tác thay đổi với cƣờng độ
g1 . Trạng thái cuối   g  tƣơng tự sẽ có dạng:

  g   S  g2  

(1.7)

Nhƣ vậy so sánh với định nghĩa của S ma trận, ta có:
  g   S  g2  S  g1    S  g    S  g1  g2  
S  g1  g2   S  g2  S  g1  với G2  G1

(1.8)

( ký hiệu G2  G1 ở đây là điều kiện tất cả các điểm trong G2 là tại thời gian muộn
hơn các điểm trong G1 .)

Chú ý, xa hơn, nếu G1 G2 nghĩa là tất cả các điểm của hai miền có liên hệ khơng
gian gần gũi và vì thế thứ tự thời gian của các miền có thể bị thay đổi bằng một
phép biến đổi Lorentz thì dễ có:
S  g1  g2   S  g2  S  g1   S  g1  S  g 2  nếu G1

G2

(1.9)

Bây giời ta xem xét đến dạng vi phân của điều kiện nhân quả. Xem xét hai
trƣờng hợp khác nhau giữa dạng của sự tƣơng tác trong G2 và thứ đƣợc mô tả
bằng hàm tƣơng tự trong G1 :
g   x   g2  x   g1  x  , g   x   g2 x   g1  x 

9

(1.10)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

( đạo hàm của hàm cƣờng độ theo thời gian từ thời gian  trở đi thì đóng góp
của g1 khơng đổi )
S   g1  g2   S   g1  S   g2  với G2  G1

Và

(1.11)

Do đó








S  g   S  g    S  g 2  S  g1  S  g1  S  g 2   S  g 2  S  g 2 

(1.12)

( do điều kiện unita của S ma trận.)


Vì vậy S  g  S  g  khơng cịn phụ thuộc vào dạng của g trong miền G1 . Nó dẫn
đến sự phụ thuộc vào trạng thái của hệ trƣớc thời gian t chứa trong S  g   là bị


triệt tiêu bởi phần tƣơng ứng trong S  g   . Vì thế trong trƣờng hợp tổng quát hơn,
ta sẽ chấp nhận công thức theo sau của điều kiện nhân quả:
Nếu hai hàm g   x , g   x  xẩy ra đồng thời với x0  t ( thời gian đích


xác), thế thì tích S  g  S  g  không phải phụ thuộc vào sự biến thiên đồng
thời của g  , g  bởi giá trị tƣơng tự trong miền x0  t .
Nếu ta đặt g   y   g  y  và g   y   g  y    g  y  , ở đó  g  y  là biến phân của
hàm g nhận giá trị khác khơng chỉ khi y 0  t , thì ma trận S  g   có thể biểu diễn
thành:

S  g   S  g    S  g 

Ở đó:

S g 



y 0 t

S

 g  y

 g  y  dy

(1.13)
(1.14)

10


Luận văn thạc sĩ

Và:



Phạm Tiến Dự







S  g   S  g    S  g  S  g    S  g  S  g   1   S  g  S  g 

(1.15)

Không phụ thuộc vào trạng thái của hàm g với x0  t  y 0
Dựa vào biến đổi đạo hàm ta có thể thu đƣợc điều kiện nhân quả nhƣ là điều kiện
biểu thức:
H  y; g   i

S g 
S g
 g  y

(1.16)

Là độc lập với hàm g  x  tại các điểm x  y . Biến đổi tƣơng tự, ta cũng có tốn
tử này cũng có tính chất tƣơng tự cả trong trƣờng hợp x y .
Vì thế có thể chứng minh đƣợc rằng điều kiện nhân quả có dạng vi phân sau:
S g 

S  g    0 lúc x  y

 g  x   g  y




(1.17)

Ký hiệu x  y có nghĩa là x0  t  y 0 và x y có nghĩa là các điểm x và y cách
nhau một khoảng đồng dạng không gian.
Điều kiện nhân quả buộc rằng sự cố xẩy ra cho hệ chỉ có ảnh hƣởng đến
tiến trình của hệ trong tƣơng lai mà khơng thể ảnh hƣởng đến hành vi trong
quá khứ.
Có thể chứng minh đƣợc rằng điều kiện nhân quả có dạng vi phân sau:
S g 

S  g    0 lúc x  y

 g  x   g  y




(1.18)

Ký hiệu x  y có nghĩa là x0  t  y 0 và x y có nghĩa là các điểm x và y
cách nhau một khoảng đồng dạng không gian.

11


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

1.1.2. Xác định dạng của S- ma trận
Nhƣ đã đƣa ra ở trên, ma trận tán xạ cần thỏa mãn ba điều kiện: unita, hiệp
biến và nhân quả. Các điều kiện đó đảm bảo cho lý thuyết của ta là bảo toàn
chuẩn, bất biến Lorentz và hợp với luật nhân quả tự nhiên. Các điều kiện này,
đặc biệt là điều kiện nhân quả sẽ ảnh hƣởng đến việc xác định dạng của S- ma
trận. Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét dạng của S- ma trận khi kể đến điều
kiện nhân quả.
Có thể chứng minh đƣợc rằng S- ma trận có dạng:
S  g   Te 

i L x  g  x dx

(1.19)

Trong đó T là tốn tử T-tích tức tốn tử xắp đặt thời gian các điểm từ lớn đến
nhỏ.
Đem phân tích (1.19) thành dãy ta có:
in
S  g   1    T  L  x1  ...L  xn   g  x1  ...g  xn  dx1...dx n
n 1 n !

(1.20)

Với g  1 , ta có :
Sn  x1 ,..., x n   i nT  L  x1  ...L  xn  

(1.21)

Ngƣời ta có thể tính đƣợc S n theo S1 , S2 , ..., Sn1 và:
S1  x   iL  x 

(1.22)

S2  x   T  L  x  L  y  

(1.23)

… …
CHÚ Ý QUAN TRỌNG

12


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Trong tài liệu [14], Bogoliubov và Schirkov chứng minh rằng các điều
kiện hiệp biến, unita và nhân quả chỉ cho phép tính S n theo S1 , S2 , ..., Sn1 đến độ
chính xác một toán tử hermitic, giả định xứ:
i n  x1 ,..., xn



(1.24)

Với hàm hệ số ( coefficient function) có dạng:
  

Z  ...
...  x  x ... x  x
 x   1 2   1 n 
j



(1.25)

Nhƣ vậy phải thêm vào Lagrangian dãy các toán tử giả định xứ:
1
 v  x, x1,..., xv1  g  x  g  x1  ...g  xv1  dx1...dx v1
v2 v !

L  x; g   L  x  g  x   

(1.26)

Từ đó ta có:
Sn  x1 ,..., x n  



1 m  n
vi  n



  





im
P x1 ,..., xv1 xv1 1 ,... ..., x n T  v1 x1 ,..., xv1 ... vm ..., xn 
m!



(1.27)

Chia thành m nhóm với số phần tử của mỗi nhóm là v1 , v2 ,..., vm . P là toán tử lấy
đối xứng theo mọi cách.
Chú ý rằng ở đây để đơn giản hóa biểu thức ta đã đồng nhất ký hiệu:
S1  x   iL  x   i1  x 

(1.28)

Lấy ví dụ trƣờng hợp bậc ba:
S3  x, y, z   i 3T  L  x  L  y  L  z   i 2T  L  x  2  y, z   i 2T  L  y  2  x, z   
 i 2T  L  z  2  x, y    i3  x, y, z 

Nhƣ ta đã biết, biểu thức của S ma trận có dạng:

13

(1.29)

Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

in
 T  L  x1  ...L  xn   g  x1  ...g  xn  dx1...dx n
n 1 n !

S  g   1 

1
 Sn  x1,..., xn  g  x1  ...g  xn  dx1...dx n
n 1 n !

 1 

(1.30)

Ta sẽ thay thế biểu thức của S ma trận bên trên vào ba điều kiện hiệp biến, unita
và nhân quả. Trƣớc tiên chú ý rằng nếu hai tốn tử gọi là multi-local thì chúng
giao hốn với nhau. Mà ở đây ta có:
 Sn  x1 ,..., xn  Sm  y1 ,..., ym   0

x

yj 

i

(1.31)

Có nghĩa là nếu hai hàm g1 và g 2 là xác định trong hai miền không gian mà tất
cả các điểm thuộc miền này thì đồng dạng khơng gian ( spacelike) với miền kia
thì hai tốn tử S  g1  và S  g2  là giao hốn với nhau. Đây là một tính chất rất
quan trọng.
Điều kiện hiệp biến cho ta:


U p Sn  x1 ,..., xn U P  Sn  Px1 ,..., P xn 

(1.32)

Điều kiện unita cho ta liên hệ phi tuyến:


( Nhóm các số hạng cùng bậc trong tích S  g  S  g   1 và đồng nhất hai vế dẫn
đến tất cả các bậc lớn hơn một đều triệt tiêu.)


Sn  x1 ,..., xn   S n  x1 ,..., xn    P  x1 ,..., xk xk 1 ,..., xn  Sk  x1 ,..., xk  
k



S nk  xk 1 ,..., xn   0

14

(1.33)

Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Ở đó P  x1 ,..., xk xk 1 ,..., xn  là tổng theo tất cả n!/ k ! n  k ! cách lấy giao hoán để
thu đƣợc số hạng theo bộ điểm x1 ,..., xn . Ví dụ:








P  x1 , x2 x3  S2  x1 , x2  S1  x3   S2  x1 , x2  S1  x3   S2  x1 , x3  S1  x2   S2  x2 , x3  S1  x1 

(1.34)
Cuối cùng điều kiện nhân quả khi viết lại dƣới dạng khai triển chuỗi của toán tử
H  y; g  mà nó khơng phụ thuộc vào g  x  cho tất cả các điểm x  y . Ta có:
1
 H n  y; x1,..., xn  g  x1  ...g  xn  dx1...dx n
n0 n !

H  y; g   

(1.35)

Do đó điều kiện nhân quả tƣơng ứng với:
H n  y; x1 ,..., xn   0

(1.36)

Thay thế biểu thức của S ma trận vào ta đồng nhất các bậc theo tích phân theo
g  x1  ...g  xn  dx1...dx n ( coi là bậc n):
S  x1 , x 2 ,...  1   S1  x1  g  x1  dx1 

1
S2  x1 , x2  g  x1  g  x2  dx1dx 2  ...
2! 

(1.37)

Lấy biến phân:
S g
2!
 S1  y    S2  y, x1  g  x1 dx1  ...
 g  y
2!

(1.38)

Hệ số trên tử là do số cách lấy biến phân.
Và




S  g   1   S1  x1  g  x1  dx1 

1 
S2  x1 , x2  g  x1  g  x2  dx1dx 2  ...
2! 

15

(1.39)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Do đó ta thu đƣợc:


iH  y; g   S1  y    S1  y  S1  x1  g  x1  dx1  ....
  S2  y, x1  g  x1 dx1 

1 
S1  x1  g  x1  dx1  ...
2! 

(1.40)

...

Đồng nhất các bậc và chú ý đến phép giao hoán của x1 ,..., xn ta thu đƣợc biểu
thức cuối cùng là:
H n  y; x1 ,..., xn   i



0 k  n



P  x1 ,..., xk xk 1 ,..., xn  Sk 1  y; x1 ,..., xk  S nk  xk 1 ,..., xn   0

(1.41)

Cụ thể là với n  1 thì :


S1  y  S1  x1   S2  y, x1   0 với x1  y

Hay



S1  x  S1  y   S2  x, y   S2  x, y   L  x  L  y   0 với y  x

(1.42)
(1.43)

ở đây ta có S1  x   iL  x 
Nhƣ vậy tóm lại:
S2  x, y    L  x  L  y  với y  x

(1.44)

S2  x, y    L  y  L  x  với x  y

(1.45)

Và ngƣợc lại:

Đây chính là dạng của S ma trận dựa trên điều kiện nhân quả.
Định nghĩa lại với lƣu ý loại trừ điểm x  y ta có:
S2  x, y   i 2T  L  y  L  x  

16

(1.46)


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

Có thể thấy với trƣờng hợp x  y , biểu thức của S 2 khơng đƣợc xác định theo
mới liên hệ truy hồi. Vì thế cho nên để xét đƣợc trong tất cả các trƣờng hợp ta
cần đƣa thêm vào một toán tử:
S2  x, y   i 2T  L  y  L  x    i2  x, y 

(1.47)

Với 2  x, y  0 khi x  y gọi là quasi-local ( giả định sứ)
Bằng cách sử dụng mối liên hệ truy hồi ta cũng thu nhận đƣợc dạng của các bậc
tiếp theo. Ví dụ nhƣ bậc 3, ứng với n  2 :







H 3  y, x1 , x2   0  S3  y, x1 , x2   S1  y  S2  x1 , x2   S2  y, x1  S1  x2   S2  y, x2  S1  x1   0

(1.48)
S3  x, y, z   i 3T  L  x  L  y  L  z   i 2T  L  x  2  y, z   i 2T  L  y  2  x, z   
 i 2T  L  z  2  x, y    i3  x, y, z 

(1.49)

Một cách tổng quát hóa thì S n chỉ chứa số hạng là T-tích của tất cả các lagrange,
các tích của lagrange với tốn tử  n1 tại các điểm còn lại và cuối cùng là số
hạng giả định sứ bậc n :
Sn  x1 ,..., x n   i nT  L  x1  L  x2  ...L  xn    T L, 1 , 2 ,...n1  in  x1 , x 2 ,..., x n 

(1.50)
So sánh ngƣợc lại với công thức biểu diễn dạng hàm mũ : S  g   Te 

i L x  g  x dx

thu đƣợc dạng thay thế của hàm Lagrange:
L  x   L  x; g   L  x  g  x  

17

ta sẽ

Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

1
 v  x, x1 ,..., xv1  g  x  g  x1  ...g  xv1  dx1...dx v1
v2 v !



(1.51)

Nhƣ vậy, sự tính tốn trong lý thuyết trƣờng, do điều kiện nhân quả mà
chỉ chính xác đến một tốn tử hermitic, giả định xứ. Điều này lý giải cho việc vì
sao các tính tốn sau này cho các giản đồ Feynman xuất hiện các phân kỳ trong
các giản đồ vòng. Và cũng chỉ ra sự chặt chẽ về mặt toán học cho việc khử đi các
phân kỳ đó bằng cách tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích.

1.2.

Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED
Ta tạm thời khơng xét đến các thành phần chứa các tốn tử giả định xứ ở

trên, và xem nhƣ chúng chỉ với ý nghĩa toán học. Nhƣ đã biết trong lý thuyết
trƣờng, sau khi thu đƣợc S-ma trận dƣới dạng các T-tích, ta sẽ sử dụng cách định
lý Wick để đƣa chúng về dạng tích chuẩn. Các số hạng thu đƣợc sẽ đƣợc tƣơng
ứng với các giản đồ Feynman theo qui tắc: các hàm trƣờng tự do cho tƣơng ứng
các đƣờng ngồi; các tích liên kết cho tƣơng ứng các đƣờng trong liên kết giữa

hai điểm.
1.2.1. Khai triển S-ma trận về dạng N- tích
Nhƣ chúng ta đã biết, khi viết L dƣới dạng N- tích thì:
0 L 0 0

(1.52)

Điều đó có nghĩa là trị số trung bình của L đối với chân không bằng
không và nhƣ thế loại trừ đƣợc vấn đề năng lƣợng chân khơng.
Theo định nghĩa của T-tích:

18


Luận văn thạc sĩ

Phạm Tiến Dự

 

 

T  u1  x1  ...un  xn    u j1 x j1 ...u jn x jn

(1.53)

Trong đó    1 , P  số hoán vị các toán tử fermion trong phép chuyển
P

1, 2,..., n    j1 , j2 ,..., jn  .

Theo định lý Wick, T-tích đƣợc khai triển thành tổng của tích chuẩn và tất cả các
cách lấy tích liên kết giữa các tốn tử trƣờng khơng giao hốn. Số tích liên kết
đƣợc lấy sẽ tƣơng ứng với số đƣờng trong của giản đồ. Ví dụ:
T  u1  x1  u2  x2   : u1  x1  u2  x2  :  u1  x1  u2  x2 

(1.54)

Trong đó:
u1  x1  u2  x2   0 T  u1  x1  u2  x2   0 là tích liên kết cịn ký hiệu “: :” là tích chuẩn.

Ta xét trong QED, với Lint ( x)  N  J  ( x) A ( x)   e0 N  ( x)  ( x) A ( x) 
Sn  x1 ,..., x n    Ki  x1 ,..., x n  :... A  xi ...  xk  ...  xl  ...:

Các hàm K i gọi là hệ số đối xứng của giản đồ:
Xét trƣờng hợp bậc hai, ta có:
S2   ie  T :  x   m  x  Am  x  ::  y   n  y  An  y  :
2

 e2T :  x   m  x  ::  y   n  y  :  T : Am  x  An  y  :



 e2 :  x   m  x   y   n  y  :   x   m  x    y   n  y  



19

(1.55)