DINH LY LAGRANGE VA UNG DUNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (283.83 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SƠ LƯỢC VỀ LAGRANGE

Joseph-Louis Lagrange sinh ra tại Turin, tây bắc Italia trong một gia đình gốc Pháp (tên khai sinh
của ông viết theo tiếng Ý là Giuseppe Lodovico Lagrangia). Khi còn là thiếu niên, Lagrange khơng để ý
nhiều đến tốn học mà có ý ñịnh theo học ñể trở thành một luật sư. Tuy nhiên, ơng đã bị ảnh hưởng mạnh
sau khi ñọc một cuốn sách cuả Halley về việc áp dụng ñại số trong quang học và quyết ñịnh trở thành một
nhà tốn học. Ơng chủ yếu tự học tốn và sau đó trở thành giáo viên giảng dạy trong một trường quân sự.
Năm 1766, nhận lời mời cuả Leonhard Euleur, ơng đến làm việc tại viện Hàn lâm Khoa học Phổ, Berlin.
Năm 1787, ông chuyển từ Berlin ñến Pháp và ñược bầu làm thành viên của viện Hàn Lâm Pháp. Năm
1808, ơng được Napoleon phong bá tước. Sau khi mất, ơng được chơn cất trong ñiện Pathéon, nơi yên
nghỉ cuả những người ñã làm rạng danh cho nước Pháp. Vì những lý do trên, Lagrange thường được coi
là có 2 quốc tịch: Pháp và Italia.

Ảnh: Joseph-Louis Lagrange (25/01/1736 – 10/04/1813)

Những cơng trình tốn học của Langrange có ảnh hưởng rất nhiều đến lĩnh vực cơ học thiên thể.
Ơng đã dùng tốn học chứng minh tính bền vững của hệ Mặt Trời, chỉ ra các ñiểm Lagrange (Lagrangian
Points). Giả sử ta có 2 vật khối lượng lớn, và một vật khối lượng nhỏ hơn hẳn hai vật đó, trong khơng
gian sẽ tồn tại 5 điểm mà ở đó vật khối lượng nhỏ sẽ ln duy trì vị trí tương ñối so với 2 vật khối lượng
lớn.

Một trong những ví dụ minh họa nổi tiếng nhất về điểm Lagrange đó là vị trí tương đối của Sao
Mộc, Mặt Trời và tiểu hành tinh Asin. Quỹ ñạo của Asin gần giống với quỹ ñạo của Sao Mộc, tuy vậy, nó
chẳng bao giờ đụng độ với Sao Mộc, bởi vì nó cách xa vị trí của Sao Mộc trên quỹ đạo hơn 650 triệu km,
và nó ln chuyển động với vận tốc bằng tốc độ của Sao Mộc cho nên nó cứ nằm cách Sao Mộc 650 triệu
km

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHUYÊN

ðỀ

ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

A – GIỚI THIỆU

ðịnh lí Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì 
ln tồn tại c∈

( )

a b, sao cho:

( )

( ) ( )

' f b f a

f c

b a
−
=

−
Ý nghĩa hình học của định lí Lagrange:

Nếu có đủ các điều kiện của định lý Lagrange thì trên đ−ờng cong y= f x

( )

phải tồn tại ít

nhất một điểm M c f c

(

;

( )

)

sao cho tiếp tuyến với đ−ờng cong tại điểm đó song song với dây
cung AB. ở đó A a f a

(

;

( )

)

; B b f b

(

;

( )

)

Tuy nhiên, định lý Lagrange mới chỉ đ−ợc dùng trong chứng minh hệ quả sau:

Hệ quả:

Nếu f '

( )

x =0với mọi điểmx∈

( )

a b, thì f x

( )

=k

(

k=const

)

tại mọi x thuộc khoảng đó.

Những ứng dụng khác của định lý Lagrange trong giải ph−ơng trình, trong chứng minh bất
đẳng thức cũng nh− trong xét cực trị của hàm số đ−ợc nêu rất hạn chế và mờ nhạt. Để giúp học

sinh học tốt phần ch−ơng trình đại số và giải tích liên quan đến Định lý Lagrange, chúng tôi viết
bài này nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống bài tập, thơng qua đó học sinh thấy rõ hơn các
ứng dụng rất phong phú và tinh tế của định lý Lagrange, đặc biệt là biết cách vận dụng định lý
trong giải các dạng bài tập ph−ơng trình, bất ph−ơng trình, bất đẳng thức và dãy số, kể cả những
bài tốn khó trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài tốn sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau:
I. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất ñẳng thức.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

B – NỘI DUNG

I. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

● Phương pháp

+ Từ định lí Lagrange, nếu m≥ f '

( )

c ≥M thì:

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

f b f a

m M m b a f b f a M b a

b a
−

≥ ≥ ⇔ − ≥ − ≥ −

−

+ Vậy từ định lí Lagrange để áp dụng ñược kết quả trên, ñiều quan trọng nhất là xác ñịnh
được hàm số f x

( )

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu 0

a b π

< < < thì: 2 2

cos cos

b a b a

tgb tga

a b

− < − < −

Lời giải:

Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với: 12 12

cos cos

tgb tga

a b a b

−
< <

−
Xét hàm số: f x

( )

=tgx liên tục trên

[ ]

, 0,

2
a b ∈ π

  và có đạo hàm trong khoảng

( )

, 0,
2
a b ∈ π 

 .

Theo định lí Lagrange ln tồn tại c∈

( )

a b, sao cho:

( )

( ) ( )

1
'

cos

f b f a tgb tga

f c

b a c b a

− −

= ⇔ =

− − (1)

Mặt khác 0 12 12 12

2 cos cos cos

a b

a c b

< < < ⇔ < < (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có 12 12

cos cos

tgb tga

a b a b

−
< <

−

Nhận xét: ðiều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra ñược hàm số

( )

f x qua việc biến ñổi tương ñương bất ñẳng thức ñã cho. Ta xét ví dụ 2. 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng :

1 1

x x

   

+ > +

   

    với x>0.

Lời giải:

Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với:

(

1 ln 1

)

1 ln 1 1
1

x x

   

+  + + >  + 

   

ðặt f x

( )

xln 1 1 x ln

(

x 1

)

lnx , x 0
x

 

=  + =  + −  >

 

Ta có: '

( )

(

)

ln 1 ln

(

)

ln 1

1 1

x

f x x x x x

x x

= + − + − = + − −

+ + (1)

Áp dụng định lí Lagrange đối với hàm số: y=lnt trên

[

x x, +1

]

thì tồn tại c∈

(

x x, +1

)

sao cho: ln

(

1 - ln

)

1 1 ln

(

1 - ln

)

1- 1 1

x x

x x c x x

= > ⇔ + >

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(

)

( )

(

)

1 1

1 1 1 ln 1 ln 1

f x f x x

x x

   

+ > ⇔ +  + >  + 

   

Nhận xét: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra 
ñựơc hàm số f (x). Ta xét ví dụ 3.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng 1 ln 1 1
1

x

x x x

 

<  <

+   với x>0.

Lời giải:

Xét hàm số f t

( )

=lnt liên tục trên

[

x x, +1

]

và có f '

( )

t 1
t

= trên

(

x x, +1 .

)

Theo định lí Lagrange luôn tồn tại c∈

(

x x, +1 .

)

sao cho:

( )

( ) ( )

1 ln

(

)

ln
'

f b f a x x

f c

b a c x x

− + −

= ⇔ =

− + −

Suy ra: ln(x 1) lnx (x 1) x ln x 1 1

c x c

+ −  + 

+ − = ⇒  =

  (1)

Mặt khác 0 1 1 1 1

x c x

< < < + ⇒ < <

+ . (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có 1 ln 1 1
1

x

x x x

 

<  <

+   .

Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu 0< <a b thì b a ln b b a

b a a

−   −

<  <

  .

Lời giải:

Xét hàm số f x

( )

=lnx liên tục trên

[ ]

a b và có ; f '

( )

x 1
x

= trên

( )

a b . ,
Theo định lí Lagrange ln tồn tại c∈( ; )a b sao cho

( )

( ) ( )

1 ln ln

' f b f a b a

f c

b a c b a

− −

= ⇔ =

− −

Suy ra: lnb lna b a ln b b a

c a c

−   −

− = ⇒  =

  (1)

Mặt khác 0 a b 1 1 1 b a b a b a

b c a b c a

− − −

< < ⇒ < < ⇒ < < (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có b a ln b b a

b a a

−   −

<  <

  .

Ví dụ 5. Cho a< <b c. Chứng minh rằng:

3a< + + −a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − < + + +a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − <3c
Lời giải:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

f '

( )

x1 f b

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f a ; 'f x2 f c f b 'f

( )

x1 f '

( )

x2 0

b a c b

− −

= = ⇒ = =

− − (1)

Ta thấy:

( )

(

)

' 3 2

f x = x − x a b c+ + +ab bc+ +ca
Từ (1)

2 2 2

a b c a b c ab bc ca

x + + − + + − − −

⇒ =

2 2 2

a b c a b c ab bc ca

x + + + + + − − −

⇒ =

Do đó, từ a< < <x1 b x2<c. Suy ra

3a< + + −a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − < + + +a b c a2+ + −b2 c2 ab bc ca− − <3c
Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi a, b thì sinb−sina ≤ −b a .

Lời giải:

Dễ thấy với a=b ta có đẳng thức xảy ra.

Giả sử a<b. Xét hàm số ( )f x =sinx trên liên tục trên

[ ]

a b và có đạo hàm trên ;

( )

a b . ,
Theo định lí Lagrange luôn tồn tại c∈( ; )a b sao cho

( )

( ) ( )

sin sin

' f b f a cos b a

f c c

b a b a

− −

= ⇔ =

− −

Suy ra sinb−sina = −b a cosc ≤ −b a
Vậy sinb−sina ≤ −b a với mọi a, b.

Ví dụ 7. Cho hàm: f x

( )

=cosa x1 +cosa x2 ; ∀ ∈x R ,

(

a a1, 2∈R

) (

, a1, a2≠0 .

)

Gọi m a

(

1, a2

)

=min f x

( )

. Chứng minh rằng m a

(

1, a2

)

<0 ; ∀a1, a2∈ℝ và

1, 2 0

a a ≠ .

Lời giải:

ðặt

( )

1 2

(

)

1 2

sin sin
,

a x a x

g x x

a a

= + ∀ ∈ℝ

Có thể giả thiết 0< ≤a1 a2 ( do hàm cos là hàm chẵn )
Nếu a1=a2 thì f x

( )

=2 cosa x1

1

(

1 2

)

1 1

2 cos . 2 0 , 2 0

f a m a a

a a

π π

   

= = − < ⇒ ≤ − <

   

   

Xét 0< <a1 a2 có g

( )

0 =0

2 2

1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1

3 3

3 1 3 1 1 1 1 1 1 1

sin sin sin 0

2 2

a a

g

a a a a a a a a a a a

π π

 

= + = − + ≤ − + = − <

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Theo Lagrange, ta có
1
3
0 ,
a
π
ζ  
∃ ∈ 
 
sao cho

( )

( ) ( ) (

)

1
1 2
1
3
0
2

0 ' ,

3
2

g g

a

g f m a a

a
π
ζ ζ
π
 
−
 
 
 

> = = ≥ vì g x'

( )

= f x

( )

, ∀ ∈x ℝ.

Ví dụ 8. Chứng minh rằng:

(

3

(

)

(

)

3 3

(

)

sine cos e−1 −sin e−1 cos e > cos e− −1 cose
Lời giải:

Vì π >e và 1 1, 71828
2

e− ≈ >π suy ra

(

)

(

)

sin 0; sin 1 0
cos 0; cos 1 0

e e

 > − >




< − <



Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với:

3 3

sin sin( 1)
1
cos cos ( 1)

e e

−

− >

−

ðặt:

( )

.
cos
sin
3
x
x
x
f =
TXð:
2
x≠ +π kπ

Ta có f x liên tục trên [

( )

1; ] ,
2
e− e ⊂π π

 

Áp dụng định lý Lgrange ta có tồn tại c∈ −[e 1; ] e sao cho

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

' 1 '

f e f e

f c f e f e f c

e e

− − = ⇔ − − =

− −
Mặt khác

( )

(

)

3 3 2

(

)

2 4

sin '. cos cos '.sin 2 cos 1
'

cos 3 cos

x x x x x

f x

x x

− +

= =

Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy ta có: 2 2 2 3 4

2 cos x+ =1 cos x+cos x+ ≥1 3 cos x>0
Suy ra

( )

3 4

2 cos 1

' 1,

3 cos
x

f x x

x
+

= ≥ ∀

Dấu ''=''không xảy ra với x∈ −[e 1; ] e

Do đó f’

( )

c >1 suy ra

( )

(

)

( )

3 3

sin sin( 1)

1 ' 1 1

cos cos ( 1)

e e

f e f e f c

e e

−

− − = > ⇔ − >

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 9. Bất phương trình sin

(

x+1

)

3cosx−sin . cosx 3

(

x+1

)

< cos .cos3 x

(

x+1

)

. Có

nghiệm x=5

( )

rad hay không? Tại sao?
Lời giải:

Ta xét

[

, 1

]

3 , 2
2

x x+ ⊂ π π

 , khi đó bất phương trình

(

)

(

)

sin 1 sin
1
cos
cos 1

x x

x
x

⇔ − <

Xét hàm

3 cos

sin
)

(

t
t
t

f = trên ñoạn

[

, 1

]

3 , 2
2
x x+ ⊂ π π

 

Ta có f x liên tục trên

( )

[

, 1

]

3 , 2
2
x x+ ⊂ π π

 

Áp dụng ñịnh lý Lgrange ta có tồn tại c∈[ ;x x+1] sao cho

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

f x f x

f c f x f x f c

x x

+ −

= ⇔ + − =

+ −
Mặt khác

( )

(

)

3 3 2

(

)

2 4

sin '. cos cos '.sin 2 cos 1
'

cos 3 cos

t t t t t

f t

t t

− +

= =

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 cos2t+ =1 cos2t+cos2t+ ≥1 3 cos3 4t>0

Suy ra

( )

3 4

2 cos 1

' 1,

3 cos
t

f t t

t
+

= ≥ ∀

Do đó f '

( )

c >1 suy ra

(

)

( )

(

)

(

)

sin 1 sin

1 ' 1 1

cos
cos 1

x x

f x f x f c

x
x

+ − = > ⇔ − ≥

+ .

Vậy x=5

( )

rad không là nghiệm của bất phương trình đã cho vì 5 3 ; 2 .
2π π

 

∈ 

 

Bài tập: Chứng minh rằng nếu x> >y 0 thì

2 ln ln

x y x y

x y

+ > −
− .

II. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ 
NGHIỆM

● Phương pháp:

+ Từ định lí Lagrange, nếu f a

( )

= f b

( )

=0 thì tồn tại x∈

( )

a b, sao cho

( )

( ) ( )

' f b f a 0

f x

b a
−

= = ⇔

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

của hàm số F x

( )

+ Dạng bài toán này làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác ñịnh hàm số f x liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn:

( )

a) f '

( )

x =F x

( )

b) f b

( ) ( )

−f a =0

Bước 2: Khi đó tồn tại x0∈

( )

a b, sao cho: f '

( )

x0 f b

( ) ( )

f a 0 F x

( )

0 0
b a

−

= = ⇔ =

− .

Suy ra phương trình F x

( )

=0 có nghiệm x0∈

( )

a b, .
● Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình: cosa x b+ cos 2x+ccos 3x=0 có nghiệm ∀a b c, , .
Lời giải:

Xét hàm số:

( )

sin sin 2 sin 3

2 3

b c

f x =a x+ x+ x

Dễ dàng nhận thấy:

( )

' cos cos 2 cos 3

f x =a x b+ x+c x

( ) ( )

0 0

f π − f =

Khi đó tồn tại x0∈

( )

0,π sao cho:

( )

( ) ( )

0 0 0

' cos cos 2 cos 3 0

f f

f x π a x b x c x

π
−

= ⇔ + + =

−

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

( )

0,π .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình: acos 3x b+ cos 2x c+ cosx+sinx=0 lu«n lu«n cã

nghiƯm trong kho¶ng

(

0, 2π

)

.
Lời giải:

Xét hàm số:

( )

sin 3 sin 2 sin cos

3 2

a x b x

f x = + +c x− x

Dễ dàng nhận thấy:

( )

' cos 3 cos 2 cos sin

f x =a x b+ x+c x+ x

( ) ( )

2 0 0

f π − f =

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

( )

( ) ( )

0 0 0 0

2 0

' cos 3 cos 2 cos sin 0

2 0

f f

f x π a x b x c x x

π
−

= ⇔ + + + =

−

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

(

0, 2π

)

.
Ví dụ 3. Giả sử 0

3 2

a b

c

+ + = . Chứng minh rằng phương trình 2

ax + + =bx c có nghiệm
thuộc khoảng

( )

0,1 .

Lời giải:

Xét hàm số:

( )

3 2

a b

f x = x + x +cx liên tục trên ñoạn

[ ]

0,1 và có đạo hàm

( )

0,1 .
Ta có f '

( )

x =ax2+ +bx c

( ) ( )

1 0 0
3 2

a b

f − f = + + =c

Khi ñó tồn tại x0∈

( )

0,1 sao cho:

( )

( ) ( )

0 0 0

1 0

' 0

1 0

f f

f x = − ⇔ ax +bx + =c

−
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụơc khoảng

( )

0,1 .
Ví dụ 4. Giả sử 0

3 2

a b

c

+ + = . Chứng minh rằng phương trình a22x +b2x+ =c 0 có nghiệm
thuộc khoảng

( )

0,1 .

Lời giải:

ðặt t=2x>0. Xét hàm số

( )

3 2

a b

f t = t + t +ct khả vi liên tục trên

(

0,+∞

)

và có đạo
hàm

( )

0,1 .

Ta có f '

( )

t =at2+ +bt c

( ) ( )

1 0 0
3 2

a b

f − f = + + =c

Khi đó tồn tại k∈

( )

0,1 sao cho: '

( )

( ) ( )

1 0 2 0
1 0

f f

f k = − ⇔ ak +bk+ =c

−
Do đó x=log2k là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 5. Giả sử 0

2 1

a b c

m+ +m+ + =m . Chứng minh rằng phương trình

0
ax + + =bx c có
nghiệm thuộc khoảng

( )

0,1 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Xét hàm số

( )

2 1

m m m

a b c

f x x x x

m m m

+ +

= + +

+ +

Nhận thấy, f x liên tục trên

( )

[ ]

0,1 và có đạo hàm trong khoảng

( )

0,1
Ta có:

( )

1 1 1

(

)

' m m m m

f x =ax + +bx +cx − =x − ax + +bx c

( ) ( )

1 0 0

2 1

a b c

f f

m m m

− = + + =

+ +

Khi đó tồn tại x0∈

( )

0,1 sao cho:

( )

( ) ( )

(

)

1 2

0 0 0

1 0

' 0

1 0

m

f f

f x = − ⇔ x − ax +bx + =c

−
V ì x0∈

( )

0,1 n ên ta c ó 0

(

)

1 2 2

0 0 0 0 0 0

m

x − ax +bx + = ⇔c ax +bx + =c .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

( )

0,1 .

Bài tập tương tự: Giả sử 0
2008 2007 2006

a b c

+ + = . Chứng minh rằng phương trình

lg lg 0

a x b+ x+ =c có nghiệm thuộc khoảng

( )

0,1 . HD: ðặt t=lgx.

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng phương trình 4x3+3x2+2x− =3 0 có nghiệm trong khoảng

( )

0,1 .
Lời giải:

Xét hàm số

( )

4 3 2

f x =x + + −x x x liên tục trên

[ ]

0,1 và có đạo hàm trên

( )

0,1 
Ta có

( )

3 2

' 4 3 2 3

f x = x + x + x−

( ) ( )

1 0 0

f − f =

Khi đó tồn tại x0∈

( )

0,1 sao cho: '

( )

0

( ) ( )

1 0 4 3 3 2 2 3 0
1 0

f f

f x = − ⇔ x + x + x− =

−
Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

( )

0,1 .
Ví dụ 7. Cho hàm số

(

)

1
)

(

x
e
x
f

x

. Xét dãy

{ }

un xác ñịnh bởi

( )

0 1, n 1 n ,

u = u+ = f u ∀ ∈n ℤ+.

Chứng minh rằng: ∃ ∈k

( )

0,1 sao cho un+1− ≤α k un−α , ∀ ∈n ℤ+.

Lời giải:

Ta có:

( ) (

)

(

)

( )

(

)

1 . 1

' 0, ,1

1 1

x x

x e e

f x x f x

x x

−  

= < ∀ ∈  ⇒ =

 

+ + giảm trên ñoạn 





</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Mà ' 1

( )

0 '

( )

0, 1,1
2
f = ⇒ f x ≤ ∀ ∈x  

 

Suy ra 1,1

x  

∀ ∈ 

  ta có 2 ( ) (1)
1

f
x
f

f ≥ ≥







( )

4 2 1

9 4 2

e

f x

⇒ > ≥ ≥ >

Có 1 1,1
2

o

u = ∈ 

 

Giả sử 1,1
2
u

k

 

∈ 

  khi đó 1

( )

1
,1
2

k k

u + =f u ∈ 

 

Vậy 1,1 ,
2

un∈  ∀ ∈n

  ℕ. Ta có

( )

(

)

(

)

{ }

2 3 .

'' 0, \ 1

x

x x e

f x x R

x
− +

= > ∀ ∈ −

Vì

( )

(

)

(

)

{ }

2 3 .

'' 0, \ 1

x

x x e

f x x R

x

− +

= > ∀ ∈ −

+ nên f' x( ) tăng trên 




1
:
2
1

( )

1 1

' ' ' 1 , ,1

2 2

f   f x f x  

⇒  ≤ ≤ ∀ ∈ 

   

( )

4 1

' 0, ;1

27 2

e

f x x

−  

⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ 

 

Lập tỷ số n 1

( ) ( )

n

n n

f u f

u
u u
α
α
α α
+ − = −

− − ( do f

( )

α =α )

Theo ddinnhj lý Lagrange thì tồn tại c nằm giữa u và n α sao cho

( )

( ) ( )

( )

' n n '

n n

f u f u

f c f c

u u
α α
α + α
− −
= ⇒ =
− −

Hiển nhiên 1 ;1
2
c∈ 

  nên suy ra

1 4
1,
27
n
n
u e

k n N

u
α
α

+ − ≤ = < ∀ ∈
−

Vậy un−α .k≥ un+1−α , ∀ ∈n ℕ ở đó

0 1

27
e
k

< = < .
Bài tập: Chứng minh rằng phương trình

1cos 2cos 2 ... cos

2 2 n 2

a π −x+a  π −x+ +a nπ −x

        ln có nghiệm

III. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ðể áp dụng định lí Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau ñây:
Bước 1: Gọi x là nghiệm của phương trình. 0

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp f a

( )

= f b

( )

, từ đó chỉ ra hàm số

( )

f t iên tục trên

[ ]

a b, và có đạo hàm trên khoảng

( )

a b . Khi đó theo định lí ,
Lagrange tồn tại c∈

( )

a b, sao cho: f '

( )

c f b

( ) ( )

f a

b a

−
=

− (*) 
Bước 3: Giải (*), ta xác ñịnh ñược x 0

Bước 4: Thử lại

● Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2009x+2011x =2.2010x.
Lời giải:

Gọi x0 là một nghiệm của phương trình đã cho. Ta được

( )

0 0 0 0 0 0 0

2009x +2011x =2.2010 x ⇔ 2011x −2010x =2010x −2009 *x

Xét hàm số f t

( ) (

= +t 1

)

x0 −tx0. Khi đó (*)⇔ f

(

2010

)

= f

(

2009

)

.

Vì f t liên tục trên

( )

[

2009, 2010 và có đạo hàm trong khoảng

]

(

2009, 2010 , do đó

)

theo định lí Lagrange tồn tại c∈

(

2009, 2010

)

sao cho

( )

(

) (

)

(

)

0 1 0 1 0

0
2010 2009

' . 1 0

1
2010 2009

x x x

f f

f c x c c

x

− − =

−   

= ⇔  + − = ⇔  =

− 

Thử lại x0 =0, x0 =1 thấy ñúng. Vậy nghiệm của phương trình là x0=0, x0 =1.
Bài tập: 1) cos cos cos cos

3 x −2 x =cos x ⇔ 3 x−2 x =3cosx−2co.
2) 4log3x +2log3x =2x. ðặt

log 3u

u= x ⇒ x= . Phương trình ⇔ 4u+2u =2.3u.
3) x+xlog 53 =2.3log 43 , x> ⇔0 3log3x+5log3x =2.log3x

4) log3(2 1)

2 x+ = +x 1.

5)

(

1 cos+ x

)

(

2 4+ cossx

)

=3.4cossx.
6) 3x2−2x+5x2−2x=22x2− +4x1.
7) x2− + +x 4 3x2− +x 1=5.

Ví dụ 2. Giả sử

1 1

1 2

n
k

S

k
=

∑

và 2 1

1 3

n
k

S

k
=

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lời giải:

● Xét hàm

( )

(

)

2 1

f x =x x≥

Theo ñịnh lý Lagrange trên ñoạn [ , n n+1] ta có

(

1

) ( )

'

( )

1 12 1 12

2 2

f n+ − f n =f c = c− < n−

Suy ra

(

)

1 1 1

2 2 1 2 2

n− >  n+ − n 

 . Cho n chạy từ 1, 2 … ñến

4n rồi cộng lại ta ñược

1 4 2

S > n− .

● Xét hàm

( )

(

)

3 1

f x =x x≥

Theo ñịnh lý Lagrange trên ñoạn [ , n n+1] ta có

(

) ( )

( )

(

)

3 3

2 2

1 ' 1

3 3

f n+ −f n =f c = c− > n+ −

Suy ra

(

)

(

)

1 2

3 3

2 n+1 − <3 n+1 − n 

 . Cho n chạy từ 0, 1 … ñến

(

n−1

)

rồi cộng lại ta

ñược

2
3
2

2S <3n <3n<8n−4.

Tóm lại: 2S2 <2 , S1 ∀n. Vậy khơng tồn tại n thỏa mãn bài tốn.

</div>

DINH LY LAGRANGE VA UNG DUNG

<b>CHUYÊN </b>

<b>ðỀ</b>

<b>ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG </b>

( )

( )

( ) ( )

( )

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>( ) ( )</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

( )

( )

[ ]

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

[

]

( )

(

)

(

)

( )

( ) ( )

(

)

( )

[ ]

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )