Tổng hợp 15 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn : TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x 2  5 x  m  0 (1) với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x 1 x 2  x 2 x 1  6 .
Câu 2. (3,0 điểm)

 x 2  x 3 y  xy 2  xy  y  1
Giải hệ phương trình:  4
2
 x  y  xy (2x  1)  1

Câu 3.(5,0 điểm)
4sin   cos 
sin 3   2 cos 3 
 2   1 
b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD  BC; AE  AC . Điểm K trên đoạn
3
4

a) Cho góc  thỏa mãn tan   2 . Tính giá trị biểu thức P 

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số

AD
.
AK

Câu 4. ( 5,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm
16
AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD : x  3y 1  0 , E  ;1 .
3 

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD
và BE.
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1
1

.
2
2
a b c
abc
2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

---- Hết ---Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu
1.

Nội dung

Điểm

Phương trình x 2  5x  m  0

5,0

a) Giải phương trình (1) khi m  6

1,5

Khi m  6 PT (1) có dạng: x 2  5x  6  0

0,5

Ta có:  '  4  1  5  0

0,5

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  2 và x2  3

0,5

b) Tìm giá trị m thỏa mãn

3,5

Lập ∆ = 25 - 4m
Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi ∆ ≥ 0 hay m 

0,5

25
4

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1  x2  5; x1 x2  m
0,5

ì
ïx + x > 0
Hai nghiệm x1 , x2 dương khi ïí 1 2
hay m > 0.
ï
ï
ỵx1x 2 > 0

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là

Ta có:
Suy ra

(

x1 + x 2

2

)

25
(*)
4

0,5

= x1 + x 2 + 2 x1 .x 2 = 5 + 2 m

x1 + x 2 = 5 + 2 m

Ta có x1 x 2  x 2 x1  6  x1.x 2
Hay

0




x1  x 2  6

m 5  2 m  6  2m m  5m  36  0 (1)

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Đặt t  m  0 , khi đó (1) thành:
0,5

 2t3 + 5t2 - 36 = 0
 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

0,5

Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vơ nghiệm.
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn
0,5
x1 x 2  x 2 x1  6 .
2.

 x 2  x 3 y  xy 2  xy  y  1
Giải hệ phương trình:  4
2

 x  y  xy (2x  1)  1

3,0

( x 2  y )  xy ( x 2  y )  xy  1
Hệ   2
2
 x  y   xy  1

1,0

a  x 2  y

Đặt 

b  xy

 a  ab  b  1

. Hệ trở thành: 

2
a  b  1

(*)

3
2
2
 a  a  2a  0  a (a  a  2)  0


Hệ (*)  
2
2
b  1  a
b  1  a

0,5

0,5

Từ đó tìm ra (a; b)  (0; 1); (1; 0); ( 2;  3) 
 x2  y  0

Với (a; b)  (0; 1) ta có hệ 

 xy  1
x  y  1

Với (a; b)  (1; 0) ta có hệ 

2

 xy  0

 x  y  1.
0,5

 ( x; y )  (0; 1);(1;0);(1;0) .

Với (a; b)  ( 2; 3) ta có hệ
3
3


 x 2  y  2
y  
y  


 x   1; y  3 .
x
x

 xy  3
 x3  2 x  3  0
( x  1)( x 2  x  3)  0



Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( x; y )  (1; 1);(0;  1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)  .
3.

5,0

a) Cho góc  thỏa mãn tan   2 . Tính giá trị biểu thức P 

4 sin   co s 
sin 3   2 co s 3 

2,5

 4sin   cos   sin 2   cos 2  
4sin   cos 
P

sin 3   2 cos 3 
sin 3   2 cos 3 

1.0

4sin 3   sin 2  cos   4sin  cos 2   cos 3 

sin 3   2 cos 3 

0,5



4 tan 3   tan 2   4 tan   1
tan 3   2

0,5



4.8  4  4.2  1 7

82
2

0,5


2  
3

1 
4
b)
AD
trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số
.
AK

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD  BC; AE  AC . Điểm K



Vì AE 

2,5

A

1   1  3 
AC  BE  BC  BA (1)
4
4
4

E
K
0,5

B

 


Giả sử AK  x AD  BK  xBD  1 x  BA (1)


2 
3







Mà BD  BC nên AK  x.AD  BK 
 

Do BC; BA không cùng phương nên
1
3

8
9



D

C
0,5


2x 
BD  (1  x)BA
3

0,5

m 2x
3m

 0 &1  x 
0
4 3
4

0.5

1 
3

0,5

Từ đó suy ra x  ; m  . Vậy AK  AD 

AD
3
AK

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

4.

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là
trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình
 16 
CD : x  3y 1  0 , E  ;1  .
 3 

5,0

Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao
2,5

a) của CD và BE.
Ta có

BA EA

 2  E là chân đường phân giác trong
BC EC

A

0,5

D

I

E

C

B

Do BD = BC  BE  CD  BE : 3x  y  17  0

0,5

x  3y 1  0
I  BE  CD  tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ 
3 x  y  17  0

0,5

Giải hệ phương trình  I  5; 2 

1,0

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Đặt BC  a  0  AB  2a, AC  a 5, CE 

2,5

a 5
3

0,5

  450  IB  IC  BC  a
Do CBE
2

(1)

2

Tam giác EIC vuông tại I  IE  EC  IC  IE 
2



2

2

a
3 2



Từ (1) và (2)  IB  3IE  B (4;5)

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

(2)

0,5

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Gọi C (3c  1; c) từ

c  1
BC  2 5  c 2  4c  3  0  
c  3

0,5

Với c  1  C (2;1), A(12;1) (KTM)

Với c  3  C (8;3), A(0; 3) (TM)

0,5

Vậy A(0; 3), B(4;5), C (8;3)
Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 .
5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2,0

1
1

.
2
2
2
a b c
abc

Áp dụng BĐT AM- GM ta có
ab  bc  ca  33 a 2 b 2 c 2
1= a + b + c  3 3 abc  3 abc 

P
P


0,5
1
 ab  bc  ca  33 abc
3

3

abc  9abc

1
9

a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca

0,5

1
1
1
7



2
2
a b c
ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca
2

0,5

9
7

 30
a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca a  b  c 2
3
1
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại a  b  c  .

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM
NĂM HỌC 2017-2018
M n thi⪳ TOÁN 10 ề thi ề ngh⪳)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm).
3x  2
1 x

2 x  1  3x
2 xy
 2
2
x  y  x  y  1
b) Giải hệ phương trình 
 x  y  x2  y


a) Giải phương trình

1



Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm tập xác định của hàm số : y  x  2  x  1  x  3 .
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  mx  m  1  0 .
Đặt A 

4 x1 x 2  6
. Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất.
x  x 22  2(1  x1 x 2 )
2
1

Câu 3 (3,0 điểm).
Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Q

x

1 x



y

1 y

Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có
5
3

BC  4 2 ,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;  ) và N(0;

18
). Xác định tọa
7

độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hồnh
độ dương.

Câu 5 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện

sinA
= 2 thì tam giác ABC
sinB.cosC

là tam giác cân.
b) Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một
điểm trên cạnh AC sao cho
   
NC  2 NA và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : BC  NM  BM  NC . Hãy biểu



di n vecto AI theo hai vecto AB và AC .
---------------Hết--------------

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NƠNG SƠN

Câu
Câu 1
a) Giải phương trình:
5,0
ĐK: x  0; x  1 .

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

Nội dung
1
2 x  1  3x

Điểm
2,5

3x  2
(1)
1 x



0,25

2 x  1  3x
3x  2

1 x
1 x
 2 x  1  3x  3x  2

Khi đó: (1) 

0.5
0.5

 2 6 x 2  3x  1  2 x

0.5
0.5

 4  21
10

 4  21
Vậy (1) có nghiệm: x 
10
x

0.25

2 xy
 2
2
x  y  x  y  1
b) Giải hệ phương trình 
 x  y  x2  y


2,5

Điều kiện: x   y .
 1

 1  0
x y 
PT thư nhất tương đương:   x  y  1 x 2  y 2  x  y  0

x  y 2  1  2 xy





 x  y 1
 x  1  x  2

Kết hợp với PT hai ta được 
y  0 y  3
 x  1  x  2

Vậy, hệ đã cho có nghiệm 
y  0 y  3

Câu 2

Nội dung
a) Tìm tập xác định của hàm số : y 

x  2  x 1  x  3

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
Điể
m
1.5

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
4,0

x  2  0
x  1  0

x  3  0

 x  2  x 1  x  3  0


0.5

x  2

ĐK:  

0.5

2

2 x  3 x  2  6  x

0.5

2 21

x6
3

b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  mx  m  1  0 .
Đặt A 
nhất.

4 x1 x 2  6
. Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ
x  x 22  2(1  x1 x 2 )
2
1

+ PT có hai ngiệm khi   0  m 2  4m  4  0, m
+ x1  x 2  m; x1 x 2  m  1
A

0.25
0.25
0.5

4 x1 x 2  6
( x1  x 2 ) 2  2

4m  2
m2  2
( m  2) 2

 1  1
m2  2
A nhỏ nhất khi m  2

0.5



Câu 3 Cho hai số thực dương x, y
3,0 biểu thức sau:

thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Q

x
1 x

y



1 y

.
Viết lại Q 

x 11

Theo Cô si:

1

1 x
1 x





( Do x+y=1 )
Theo Bunhiacopski:

2.5

y 11
1 y
1
1 y





1
1 x



1
1 y

2
4

(1  x)(1  y )



 ( 1 x  1 y)
2
1 x 1 y
2

2 2

1  x  1  y  2 1  x  1  y  2 ( Do x+y=1 ) (2)
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

(1)

0.5
0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có : Q  2
1  x  1  y
1
xy
2
x  y  1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

Vậy minQ = 2
Câu 4 Phương trình đường thẳng  qua N và vng góc với AH là
4,0 x  y   18
7

Tọa độ giao điểm I của AH với  là nghiệm của hệ PT
18

2 16
x  y  
7  I ( ; )

7 7
 x  y  2

0,5
0,5

4
7

Gọi N1 là giao điểm của  và AB, suy ra N 1 ( : 2)

0,25

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2

0,25

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 

0.25

Giả sử B (b;

2  7b
)
3

7x  3y  2
 A(1 : 3)
x  y  2

0,5

1
2
4b  4
b  2  B (2;4)

2 2
3 2
b  4(loai )

Khi đó d ( B, AH )  BC  2 2

PT đường thẳng BC: x-y = 6

0.5

0.5
0.25
x - y  6
 H (4 : 2)  C (6;0)
x  y  2

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 
Câu

0.5
0.25

Nội dung

Câu 5
sinA
a) . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện
4,0
sinB.cosC
= 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5
Điể
m
2,0


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

+ Viết được sin A 
+ cos C 

a2  b2  c2
2ab

a
b
.
; sin B 
2R
2R

sinA
= 2, rút gọn ta được b=c
sinB.cosC
+ Vậy tam giác ABC cân tại A
+ Thay vào

b). Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên
cạnh ACsao
cho NC  2 NA và I là trung điểm của
đoạn MN. Chứng
   
minh
: BC  NM  BM  NC . Hãy biểu di n vecto AI theo hai vecto AB

và AC
   
+ Chứng minh được BC  NM  BM  NC

+ Ta có I là trung điểm của MN






 AM  AN  2 AI



1
1 
 AB  AC  2 AI
2
3

1  1 
 AI  AB  AC
4
6

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5
0.5
0.75
0.25
2.0

0.5
0.5
0.5
0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GD & ĐT THANH HĨA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
***

Câu 1 5.0 iểm). Cho phương trình:

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2016 – 2017
M n thi⪳ Toán - Khối 10
( Thời gian làm bài: 120 phút)

 m  3 x 2  2  m  1 x  m  0

1. Tìm m để phương trình có nghiệm
2. Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , tìm a để biểu thức F   x1  a  x2  a  không phụ thuộc
vào m.
Câu 2 8.0 iểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1.

x 2  2 x  13
4 x2
4 x
2  x 2  1

2.

3.

x2

 x2 

5
x2

1
2
 1
 x  2  y 1  x  y

 x 2  y 2  4 xy  4 x  2 y  5  0


Câu 3 2.0 iểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC,

c2
chứng minh rằng : S 
2  cot A  cot B 
Câu 4 2.0 iểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho
AM 

   
1

1
1
AB, BN  BC , CE  CA . Chứng minh rằng: AN  BE  CM  0
3
3
3

3 
Câu 5 2.0 iểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A  ;3  ; B  6; 0  . Viết phương
2 
trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB
sao cho tứ giác MNEF là hình vng.
Câu 6 1.0 iểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc  1 . Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
3



b  c  1 c  a  1 a  b  1 2

.

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
…………………Hết…………………

Thí sinh kh ng ược sử dụng tài liệu. Giám th⪳ xem thi kh ng giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......

Câu
1
5 )

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm học 2016- 2017
Đáp án
Điểm

Cho phương trình:

 m  3 x 2  2  m  1 x  m  0

1. Tìm m để phương trình có nghiệm
TH1. Nếu m  3  0  m  3 , pt trở thành: 4 x  3  0  x 
 m  3 thỏa mãn.
TH2. Nếu m  3  0  m  3
2
Ta có  '   m  1  m  m  3   1  m

3
là nghiệm
4

Pt đã cho có nghiệm   '  0  1  m  0  m  1
kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là m  1

2. Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , tìm a để biểu thức

F   x1  a  x2  a  không phụ thuộc vào m.

2
8 )

 m  3
Với 
phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , khi đó theo định lí
m  1
2( m  1)

 x1  x2  m  3
vi-et ta có: 
, ta có:
x x  m
1 2
m3

m
2a (m  1)
F   x1  a  x2  a   x1 x2  a( x1  x2 )  a 2 =

 a2
m3
m3
m  2am  2a
m  3  2a (m  3)  4a  3
4a  3


 a2 
 a 2  1 2a  a 2 
m3
m3
m3
3
F không phụ thuộc vào m  4a  3  0  a 
4

1.

x 2  2 x  13
4 x2
4 x

4  x  0
Đk : 
 2  x  4
x  2  0

pt  x 2  2 x  13  4.

4  x x  2 

3.0
1.0
1.0
1.0
2.0

1.0

1.0

3.0

0.5

 x 2  2 x  13  4  x 2  2 x  8
đặt t   x 2  2 x  8 ( đk t  0 ). Ta có phương trình:
8  t 2  13  4t  t 2  4t  21  0
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
 t  7
kết hợp với điều kiện ta được t = 3

t  3

1.0

với t =3   x 2  2 x  8  3   x 2  2 x  8  9  x  1   0  x  1 (TM).
2

2.

2  x 2  1
x2

 x2 

5
x2

Đk x > 2

bpt  2  x 2  1  x  2  5  2  x 2  1  7  x
7  x  0
7  x  0


kết hợp với đk ta có bpt   x  2
 x  2

 x2  14 x  51  0
2
2

 2  x  1   7  x 
x  7

 x  2
 2 x3
 17  x  3

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: S   2;3

3.

1
2
 1
 x  2  y 1  x  y

 x 2  y 2  4 xy  4 x  2 y  5  0


1.0
3.0
1.0

1.0

1.0

2.0

 x  2

Đk:  y  1
x  y  0

 x y
x y
 x y


2
x y


2
x2
y 1


y 1
hpt   x  2

2
2
2

  x  2   y 1 
2
2
 2( x  y )  ( x  2)   y  1 
 x  y    x  y   2
 



a 

đặt 
b 




0.5

x y
x2

a  b  2

(ĐK a, b > 0) , ta có hệ:  1 1
x y
 a 4 + b 4 =2
y 1

 a  b  2
a  b  2
 4

2

4
4 4
2
2 2
4 4
 a  b  2a b
 (a  b)  2ab   2a b  2a b

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
 a  b  2
a  b  2



2
4 4
2 2
2 2
4 4
 a b  a b  8ab  8
 4  2 ab   2 a b  2 a b

3
2 )

 a  b  2
 a  b  2
 2 2 2 2

 2 2

(ab  1) a b (ab  1)  8   0
 a b  a b  1  8  ab  1  0
a  b  2
a  1


( vì a, b > 0)  
 ab  1
b  1

0.5



a  1 
với 

b  1 



0.5

x y
1
x2
x y
1
y 1

 x  y  x  2  x  1
(thỏa mãn)


x  y  y 1

y  2

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác
c2
ABC, chứng minh rằng : S 
4  cot A  cot B 
a

b2  c2  a 2
sin
A


cosA
2R
2bc
Ta có : 
 cot A 

2
2
2
a
sin A
cosA  b  c  a
2R

2bc
(b 2  c 2  a 2 ) R b 2  c 2  a 2 b 2  c 2  a 2



abc
abc
4S
4.
4R
a 2  c2  b2
tương tự ta cũng có:  cot B 
, do đó
4S
b2  c2  a 2 a 2  c2  b2 c2
 cot A  cot B 


4S
4S
2S


4
2 )

c2
 S
2  cot A  cot B 
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho

   
1
1

1
AB, BN  BC , CE  CA . Chứng minh rằng: AN  BE  CM  0
3
3
3
 1    1 
Từ gt ta có: BN  BC  AN  AB  BC
3
3
 1    1 
CE  CA  BE  BC  CA
3
3
 1    1 
AM  AB  CM  CA  AB
3
3
cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

AM 

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

2.0

0.5

0.5

0.5

0.5
2.0

1.0

0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
      1   
AN  BE  CM  ( AB  BC  CA)  ( BC  CA  AB )
3

5
2 )

    
    
mà AB  BC  CA  AA  0 và BC  CA  AB  BB  0 ,
   
nên AN  BE  CM  0

0.5

3 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A  ;3  ; B  6; 0  . Viết
2 
phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N
trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vng.

2.0

*) Viết pt đường thẳng AB:
 9

3
ta có AB có vtcp là AB  ( ; 3)  3; 2   AB có vtpt là : n   2;3 
2
2
 pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0  pt AB: 2x + 3y -12 = 0
*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn

0.5
0.5

OB sao cho MNEF là hình vng.

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vng nên ta có:
MF //AH // NE
MF OM OA  AM
AM
MN
MF


 1
 1
 1
AH OA

OA
OA
OB
OB

y
0.5

A
M

N
B

O F


E

MF
MF
 1
 MF  2  yM  2  xM  1 và y N  2  xN  3
3
6

khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0)
6
1 )

x

0.5

Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn abc  1 chứng minh rằng:

a3
b3
c3
3



b  c  1 c  a  1 a  b  1 2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

1.0


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có:
a3
b c 1
a3
b c  1 3a
3
 
 3.
. .


; tương tự ta cũng có:
b(c  1) 2
4
b(c  1) 2 4
2

b3
c a  1 3b
 

c(a  1) 2
4
2
3
c
a b  1 3c
 

a(b  1) 2
4
2
cộng theo vế các bđt trên ta được:
3
3
a  b  c a  b  c  3 3(a  b  c )
VT +
 VT  (a  b  c ) 



4
4
2
4
2
9
3
3
mà a  b  c  3 3 abc  3 nên VT     đpcm
4 4 2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0.5

0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GD & ĐT THANH HĨA
THPT HẬU LỘC 4
***

Câu 1 5.0 iểm). Cho hàm số

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG
Năm học 2015 – 2016
M n thi⪳ Toán - Khối 10
( Thời gian làm bài: 120 phút)

y  x 2  2  m  1 x  4

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn

x1  x2  4 .
2. Tìm m để

y  0 với mọi x  1; 2  .

Câu 2 8.0 iểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
1.
2.

3.

 x  5 2  x   3.
2( x  1)
x2

x 2  3x

 x2  7

 x 2  y 2  1  2 y  x 2  x  1  3

 2
2
 x  x  y  y   1

Câu 3 2.0 iểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

sin A 

sin B  2sin C
2 cos B  cosC

Câu 4 2.0 iểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QM. Chứng
    
minh rằng: MB  NC  PD  QA  0
Câu 5 2.0 iểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa
đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ
đỉnh B và C của tam giác ABC.
Câu 6 1.0 iểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4  a  b  c   3abc

1 1 1 3
   .
a 3 b3 c 3 8
…………………Hết…………………
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

chứng minh rằng:


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Thí sinh kh ng ược sử dụng tài liệu.Giám th⪳ xem thi kh ng giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh….......

Câu
1
5 )

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm Học 2015- 2016
Đáp án
Cho hàm số

y  x 2  2  m  1 x  4

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2
thỏa mãn

x1  x2  4 .

xét phương trình:

Điểm

3.0

x 2  2  m  1 x  4  0 (*)

để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn

x1  x2  4 trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 ; x2  0
 m  1 2  4  0
 '  0


  s  0   2  m  1  0
p  0

4  0


m  1

   m  3  m  1 ; theo định lí viet ta có:
 m  1


 x1  x2  2(m  1)

 x1.x2  4

x1  x2  4  x1  x2  2 x1 .x2  16  2(m  1)  4  16  m  5 (TM)
2. Tìm m để
để

y  0 với mọi x  1; 2  .

y  0 với mọi x  1; 2 

 '  0

mọi x  1; 2   y (1)  0
 y (2)  0

m  1
m  1



  m  3
m


3

3
3


m
3  2 m  0   m 
2
2
4  4m  0


m  1




1.

 x  5 2  x   3.

1.0
1.0
2.0

 đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với

 

2
8 )

1.0

x 2  3x

2

Đk : x  3x  0
pt  x 2  3x  3. x 2  3x  10  0

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

1.0

1.0

3.0
0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
đặt t  x 2  3x ( đk t  0 ). Ta có phương trình: t 2  3t  10  0
t  2
kết hợp với điều kiện ta được t = 2


 t  5
x  1
với t =2  x 2  3x  2  x 2  3x  4  0  
(TM).
 x  4
2( x  1)
2.
 x2  7
x2
Đk x > 2
bpt  2.  x  1  x  2  7. x  2  7. x  2  3 x  4

0.5
1.0
1.0
3.0
1.0

vì x > 2 nên 2 vế đều dương, do đó

x  6
bpt  49( x  2)  9 x  24 x  16  9 x  73 x  114  0  
 x  19
9

19

2 x


kết hợp với đk ta được
9  tập nghiệm của bpt là:

x  6
2

S = ( 2;
3.

2

1.0

1.0

19
) (6; )
9

 x 2  y 2  1  2 y  x 2  x  1  3

 2
2
 x  x  y  y   1

2.0

( x 2 y 2  2 x 2 y  x 2 )  2 y ( x  1)  3 ( xy  x) 2  2( xy  y )  3
hpt  


 x( x  1) y ( y  1)  1
( xy  x)( xy  y )  1
 a 2  2b  3
 a  xy  x
đặt 
, ta có hệ: 
b  xy  y
 ab  1

0.5

 2 2
3
2
 a  a  3  a  3a  2  0 (a  1) (a  2)  0



1
1
1
b

b 

b 
a
a




a
 a  2
a  1


hoặc 
1
b  1
b   2

0.5

 a  1  xy  x  1
1  5

 x y
với 
2
b  1  xy  y  1

0.5

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

3
2 )

3

x( x  )  x  2
 a  2
 xy  x  2
 xy  x  2





2
với 
1 
1 
3 
b   2  xy  y   2
 x  y   2
 y  x 3

2
2
2 x  5 x  4  0

(vô nghiệm)

3
y


x



2
Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

sin A 
Ta có: (1) 

Cho tứ giác MNPQ
gọi A,
C,D lần

B, 
 lượt
 là trung điểm của MN, NP, PQ, QN.
Chứng minh rằng: MB  NC  PD  QA  0
Theo quy tắc trung điểm ta có:
 1  
 1  
MB  . MN  MP ; NC  . NQ  NP ;
2
2
 1  
 1  
PD  . PM  PQ ; QA  . QM  QN
2
2
cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

   
1    
VT =  QM  MN  NQ  PM  QN  NP  PQ  MP 

2
1    
1  
= QQ  PM  QQ  MP   PP  0 = VP
2
2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng
chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1
= 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.
Tọa độ điểm B:
vì B  đt: x + y + 1 = 0  B(b; -b - 1)
 b  3 b  1 
gọi M là trung điểm của AB ta có M 
;

2 
 2






5
2 )

2.0

sin B  2sin C
(1)
2 cos B  cosC

b
2c

 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 
a
2R 2R


a


  b  2c
a 2  c 2  b 2 a 2 b 2  c 2
2R
ac
2ab


2.

2ac
2ab
a 2 c 2  b 2
a 2 b 2  c 2

a 2  b2  c2 a 2  b2  c2
(
 2 c)  (
 b)  0 

0
c
2b
c
2b
1 1 
  a 2  b 2  c 2  .     0  a 2  b 2  c 2  tam giác ABC vuông tại A
 c 2b 

4
2 )

0.5







 






Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

1.0

0.5
0.5

2.0

1.0

0.5
0.5
2.0

0.5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

vì M  đt: 2x - y -2 = 0  b  3 

6
1 )

b 1
 2  0  b  1  B(-1; 0)
2

0.5

Tọa độ điểm C:
vì AC đi qua A(3; 0) và vng góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có:
pt AC: x - y - 3 = 0
x  y  3  0
 x  1
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt: 

 C ( 1;  4)
2 x  y  2  0
 y  4
Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4  a  b  c   3abc

0.5
0.5

chứng

1 1 1 3
minh rằng: 3  3  3 
a b c
8

1.0

1
1 1 3
 


ab bc ca 4
áp dụng bđt TBC- TBN ta có:
1 1 1
1 1 1 3 1
; tương tự ta cũng có:
 3   3. 3 3 . 3 .  .
3
a b 8
a b 8 2 ab
1 1 1 3 1
   .
b3 c 3 8 2 bc
1 1 1 3 1
   .
c 3 a 3 8 2 ca

từ gt ta có:

cộng theo vế các bđt trên ta được:
3 3 3
3
3 3 1
1 1
2.VT +  .      2.VT   .  VT   đpcm
8 2 4
8
8 2  ab bc ca 

ĐỀ THI OLYMPIC

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải bất phương trình.

b) Giải hệ phương trình

0.5

0.5

M n thi⪳ TỐN 10
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

2x  1

 x  1  3x  2 .
4x  1
 3
x2
x
1
x

2
2 2  3

y

y
y


x 2  1  x  1  2

y
y2

Câu 2 (4,0 điểm).
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
a) Tìm tập xác định của hàm số : y  x  2 x  1 .
b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y  x 2  mx  1 tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ
= 3.
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
x

Q

1 x



y

1 y

.
Câu 4 (4,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC  4 2 ,các đường thẳng
5
3

AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;  ) và N(0;

18
). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
7

ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hồnh độ dương.
Câu 5 (4,0 điểm).
a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:
1  cos B

sin B

2a  c

4a 2  c 2

b) Cho hình vng ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh




 

rằng : DM . DC  CM . CD không đổi khi M di động trên cạnh AB.
---------------Hết--------------

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NƠNG SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 10

Câu
Nội dung
2
x

1
Câu 1
a) Giải bất phương trình:
 x  1  3 x  2 (1)
5,0
4x  1
ĐK: x  1 (*).
Khi đó: (1) 




2x  1

4x  1
2x  1

 3x  2  x  1


0,25
0,25

2x  1

0,5

4x  1
3x  2  x  1
(do x  1 )
3x  2  x  1  4 x  1

 (3 x  2)( x  1)  2
 3x 2  5 x  2  0

1
 x2
3

Kết hợp với điều kiện (*), ta có nghiệm của bất phương trình là 1  x  2
Vậy (1) có nghiệm: 1  x  2
 3

x2
x
1
2 2  3
x  2
y
y
y

b) Giải hệ phương trình 
x 2  1  x  1  2

y
y2
Điều kiện: y  0 .

0,5
0,25
0,25
0.25
0.25

2,5

 3
x
1
x2
x
1

 3 1
x  3  2 (x  )  0
x

2
2 2  3


y
y
y
y
y
y




x 2  1  x  1  2
( x  1 ) 2  2 x  ( x  1 )  2
2


y
y
y
y
y
1 3 x
1


( x  y )  y ( x  y )  0


( x  1 ) 2  2 x  ( x  1 )  2

y
y
y
1
x
Đặt u  x  , v  , hệ phương trình trở thành:
y
y

Điểm
2,5

0.25
0,25
(I)

u 3  uv  0
 2
u  2v  u  2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,25
0,25

0,25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
u  0
 2
u (u 2  v)  0
u  2v  u  2
 2

2
u  2v  u  2
v  u
u 2  2v  u  2


0,25
0,25

u  0

u  0
v  1



v  u 2
v  1

u 2  2u 2  u  2

1

x  y  0


x 1
 y

0,25

  x  1

 y  1

(thỏa điều kiện)
 x  1

 y  1

0,25
0.25

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)
Câu 2
4,0

Nội dung

Điểm
1,0

a) Tìm tập xác định của hàm số : y  x  2 x  1
Viết lại: y  x  1  2 x  1  1  ( x  1  1) 2 
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

x 1 1

x 1  0

0,25
0,25
0,25

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; +)
b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y  x  mx  1 tại hai điểm
P ,Q mà đoạn PQ = 3.
2

PT hoành độ giao điểm của (P) và d là: x 2  mx  1  x  1
 x 2  (m  1) x  2  0 (1)
(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi:
PT (1) có hai nghiệm phân biệt
   0  m 2  2m  7  0  m  1  2 2 hoặc m  1  2 2
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,25
3,0

0,25
0,25

0,5