Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2014-2015 môn Toán 9 - Phòng Giáo dục và Đào tạo UBND huyện Cầu Kè (có hướng dẫn giải chi tiết)

UBND HUYỆN CẦU KÈ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2014 – 2015
Mơn Tốn

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: Với x > 0, cho hai biểu thức:

A

2 x
x 1 2 x 1
B

x và
x
x x .

1) Tính giá trị của A khi x = 64.
2) Rút gọn biểu thức B.

A 3

3) Tìm x để B 2 .

Bài 2: Một người mua 30 con chim gồm 3 loại: chim sẻ, chim ngói và chim bồ câu, hết tất
cả 30 đồng. Biết 3 con chim sẻ giá 1 đồng, 2 con chim ngói giá 1 đồng và mỗi con bồ câu
giá 2 đồng. Hỏi người đó mua mỗi loại bao nhiêu con?
Bài 3: Cho ba đường thẳng (d1):

y   m 2  1 x   m 2  5 

với m ��1 ; (d2): y  x  1 ; (d3):

y   x  3.
1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d1) ln đi qua một điểm cố định.
2) Chứng minh rằng nếu (d1) // (d3) thì (d1)  (d2).

ab
2
2
Bài 4: Cho 2a  2b  5ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức: a  b .
4
3
Bài 5: Giải phương trình: x  5x  10x  4  0 .

�x 2  3xy  2y 2  0
�
� 2
2x  3xy  5  0 .
Bài 6: Giải hệ phương trình: �
Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) và dây BC với số đo của góc BOC bằng 120 0. Các tiếp tuyến
vẽ tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại A.
1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
2) Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại K với đường trịn (O) cắt AB tại M,

cắt AC tại N. Tính số đo của góc MON?
3) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BC với OM và ON. Chứng minh rằng tam giác OMN
đồng dạng với tam giác OPQ?
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vng ADEF cạnh 2 cm có D
thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính AB, AC.


--- HẾT ---

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC

UBND HUYỆN CẦU KÈ

SINH GIỎI
PHỊNG
GD - ĐT

VỊNG HUYỆN NĂM HỌC : 2014 - 2015
MƠN : TOÁN - LỚP 9

Bài

Ý

1

1

(3 đ)

Lời giải vắn tắt

Thay x = 64 vào A ta được:
2

3

B

A

1đ

5
4

x 1
2 x 1
x2 x
x 2



x
x ( x  1)
x ( x  1)
x 1

x  0 , với điều kiện đó giải ra ta được: x < 4.

A 3

Vậy để B 2 thì 0 < x < 4
2

1đ

0,5 đ

A
x 1 3


2 (1)
x
Ta có: B
Vì x > 0 nên

Điểm

0,5 đ

Gọi số chim sẻ là x, số chim ngói là y và số chim bồ câu là z (x, y, z là số
nguyên dương)

(2 đ)

Ta có hệ phương trình:

�x  y  z  30

�
�1
1
x  y  2z  30
�
2
�3

0,5 đ

2x  2y  2z  60
�
�
� �1
1
x  y  2z  30
�
2
�3
Trừ từng vế của 2 phương trình ta được: y + 10 z = 120
0,5 đ

y
z  12 
10
Hay
Để z nguyên dương thì y phải là bội của 10 và nhỏ hơn 30.

0,5 đ

Thử chọn, chỉ có y = 10 là phù hợp.
tính được x = 9, z = 11.
3

1

O

Vậy có 9 con chim sẻ, 10 con chim ngói và 11 con chim bồ câu.
B
C
P Q
y   m 2  1 x   m  5   m 2  x  1  x  5
M
K
N
A

0,5 đ

0,5 đ


� m 2  x  1  x  5  y  0

(2 đ)

(*)

�x  1  0

�x  1
��
��
x  5  y  0
�
�y  4
Để (*) thỏa mãn với mọi m
Vậy khi m thay đổi thì (d1) ln đi qua một điểm cố định là điểm
2
Vì (d1) // (d3) nên

0,5 đ

 1; 4 

m 2  1  1
�
� m0
�2
m  5 �3
�

0,5 đ

Với m = 0 thì (d1) trở thành y   x  5 . Hai đường thẳng (d1) và (d2) có
1 .1  1
tích các hệ số góc là  
nên (d1)  (d2)
4
(2đ)

Ta có 2a  2b  5ab � 2a  2b  5ab  0
2

2

2

2

� 2a 2  ab  4ab  2b 2  0 � (2a  b)(a  2b)  0
Do b > a > 0, nên a – 2b < 0 => 2a – b = 0 hay b = 2a.

a  b a  2a 3a


 3
Vậy: a  b a  2a a
5
(2 đ)

0,5 đ

x 4  5x 3  10x  4  0
Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình;

Chia cả 2 vế của phương trình ta được:
Đặt :

tx

4
� 2�
 5 �x  � 0
2
x
� x�

2
4
4
� t2  x2  2  4 � x2  2  t2  4
x
x
x

t 1
�
t 2  5t  4  0 � �
t4
�
Ta có phương trình:

* t = 1 thì

x1  1
�
2
x   1� x2  x  2  0 � �
x2  2

x
�
x

* t = 4 thì
(2 đ)

1đ

0,5 đ

x2 

6

0,5 đ

�
x3  2  6
2
 4 � x 2  4x  2  0 � �
x
x4  2  6
�
�

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

2
2
�
�x  3xy  2y  0
� 2
2x  3xy  5  0
�

Từ phương trình thứ nhất suy ra:

x  xy  2xy  2y  0 � (x  y)(x  2y)  0
2

2

0,5 đ


xy0
xy
�
�
��
��
x  2y  0
x  2y
�
�

0,5 đ

* Với x = y thay vào phương trình (2) ta được:

 y2  5  0 � y  � 5 � x  y  � 5
* Với x = 2y thay vào phương trình (2) ta được: 2y  5  0 , phương
2

trình này vơ nghiệm.
7
(3 đ)

0,5 đ
0,5 đ

Vẽ
hình
đúng

0,5 đ

1

Theo định lí về hai hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AB = AC �  ABC cân tại A (1)

0,5 đ

0
0

�
�
Do BOC  120 � s®BC  120

�  ACB
�  s®BC
�  1.1200  600
ABC
2
Xét tam giác ABC, ta có :
(2)

�
�
( ABC và ACB là góc tạo dây cung và tiếp tuyến)
Từ (1) và (2) suy ra:  ABC là tam giác đều
Vậy  ABC là tam giác đều.
2

0,5 đ

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

1 �
�
�
MOK

.BOK
�

2
OM là phân giác góc BOK
�  1 .KOC
�
� KON
�
KOC
2
ON là phân giác góc



�  KON
�  1 .BOK
�  1 .KOC
�  1 BOK
�  KOC
�
MOK
2
2
2
Ta có :
1�
1
�
� MON
 BOC
 .1200  600
2

2

0,5 đ


0,5 đ


0
�
Vậy: � MON  60

3

0
�
�
�
�
Do POQ  QCN  60 và OQP  CQN

0,5 đ

�
�
Nên: OPQ : CNQ , do đó : OPQ  CNQ
�
�
Mà: CNQ  MNO ( Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

0,5 đ

�
�
Suy ra: OPQ  MNO

Xét OPQ và OMN
�
�
�
Có: OPQ  MNO (cmt) và POQ là góc chung

0,5 đ

Do đó: OPQ : OMN ; Vậy OPQ : OMN
8
(4 đ)
0,5 đ

0,5 đ
Đặt DB = x, FC = y (x > 0, y > 0)

x 2
 � xy  4
EFC (g-g). Nên 2 y

BDE

Ta có: AB  AC  BC . Hay
2

2

2

 x  2

2

0,5 đ

 1



  y  2  3 5
2



2

 45

� x 2  y 2  4  x  y   37 �  x  y   2xy  4  x  y   37
2

�  x  y   4  x  y   45  0

0,5 đ

2

(do xy = 4)

2
Đặt t = x + y >0, pt thành: t  4t  45  0

0,5 đ

� t  9t  5t  45  0
2

�  t  9   t  5  0

� t = -9 (loại); t = 5 (thỏa mãn)
Do t = 5 � x + y = 5 � y = 5 – x
2
Thay (2) vào (1), được: x  5x  4  0

0,5đ
0,5 đ
(2)

�  x  1  x  4   0

* Với x = 1 thì y = 5 - 1 = 4, khi đó AB = 3cm, AC = 6cm.
* Với x = 4 thì y = 5 - 4 = 1, khi đó AB = 6cm, AC = 3cm.

0,5 đ

Ghi chú: thí sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm trịn theo
từng phần của bài đó./.