đề và đáp án lớp 11 tiết 62 đại số và giải tích

Trường THPT Lê Hồng Phong ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
Tổ :Toán – Tin Lớp 11 (cơ bản)
Đề chính thức Môn :Giải Tích (Tiết 62)
Câu I (6 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1.
1
32
lim
3
23
+
−+
n
nn
2.
( )
3 2
lim 2
x
x x
→+∞
+ −
3.
2
1
3 2
lim
1
x
x
x

→
+ −
−
Câu II (2 điểm)
Xét tính liên tục của hàm số sau : f(x) =
2
5 6
2
2
3 2 2
x x
khi x
x
x khi x

− +
>

−


− ≤

Cầu III (2 điểm)
1. Chứng minh rằng phương trình
( )
3 2
4 2 15 9 0 1x x x− − + =
có ba nghiệm
phân biệt.

2. Gọi
α
là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng
α
cũng là nghiệm
của phương trình
6 4 2
16 124 261 81 0x x x− + − =
.
Hết
(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
Trường THPT Lê Hồng Phong ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
Tổ :Toán – Tin Lớp 11 (cơ bản)
Đề dự phòng Môn :Giải Tích (Tiết 36)
Câu I (6 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1.
1
1
lim
2
2
+
++
n
nn
2.
( )
5 2
lim 3 2
x

x x
→−∞
+ −
3.
2
1
8 3
lim
1
x
x
x
→
+ −
−
Câu II (3 điểm)
Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) =
2
4
2
2
3 2 2
x
khi x
x
x khi x

−
>


−


− ≤

Cầu III (2 điểm)
1. Chứng minh rằng phương trình
( )
3 2
12 6 7 1 0 1x x x+ − + =
có ba nghiệm phân
biệt.
2. Gọi
α
là nghiệm của phương trình
3 2
4 2 15 9 0x x x− − + =
. Chứng minh rằng
2
4
3
α
−
cũng là nghiệm của phương trình (1).
Hết
(Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm)
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Đề chính thức)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 6.0
1 2.0

1
32
lim
3
23
+
−+
n
nn
=
)
1
1(
)
32
1(
lim
3
3
3
3
n
n
n
n
n
+
−+
=
1

)
1
1(
)
32
1(
lim
3
3
=
+
−+
n
n
n
1.0x2
2 2.0
( )
3 2 3
3
1 2
lim 2 lim 1
x x
x x x
x x
→+∞ →+∞
 
+ − = + −
 ÷
 

1.0
Ta có
3
3
lim
1 2
lim 1 1
x
x
x
x x
→+∞
→+∞

= +∞

⇒

 
+ − =

 ÷
 

( )
3 2
lim 2
x
x x
→+∞

+ − = +∞
1.0
3 2.0
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1 1
2
3 2 3 2
3 2
lim lim
1
1 3 2
x x
x x
x
x
x x
→ →
+ − + +
+ −
=
−
− + +
1.0
( )
( )
2

2
1 1
2
1 1 1
lim lim
2
3 2
1 3 2
x x
x x
x
x x
→ →
− +
= = =
+ +
− + +
1.0
II 2.0
Ta có với x
2≠
f(x) liên tục trên khoảng
( ) ( )
; 2 à 2;v−∞ + ∞
(1)
0.5
Ta xét tại x
0
= 2 ta có f(2) = -1 (a)
Khi

( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 3
5 6
2 lim lim lim
2 2
x x x
x x
x x
x f x
x x
+ + +
→ → →
− −
− +
> ⇒ = =
− −

( )
2
lim 3 1
x
x
+
→
= − = −
(b)
0.5

Khi
( ) ( )
2 2
2 lim lim 3 2 1
x x
x f x x
− −
→ →
≤ ⇒ = − = −
(c)
0.5
Từ (a), (b) và (c)
⇒
hàm số f(x) liên tục tại x
0
= 2 (2).
Từ (1) và (2)
⇒
hàm số f(x) liên tục trên R.
0.5
III 2.0
1 1.0
Xét hàm số f(x) =
3 2
4 2 15 9x x x− − +
liên tục trên R
( )
f x⇒
liên tục
trên các đoạn

[ ]
2; 1− −
;
[ ]
1; 1−
;
[ ]
1; 2
0.5
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 1; 1 18; 1 4; 2 3f f f f− = − − = = − =
.
⇒
( ) ( )
2 . 1 0f f− − <
,
( ) ( )
1 . 1 0f f− <
,
( ) ( )
1 . 2 0f f <
0.25
⇒
Phương trình có 3 nghiệm trên 3 khoảng phân biệt 0.25
2 1.0
α
là nghiệm của phương trình nên ta có
3 2
4 2 15 9 0

α α α
− − + =

3 2
4 15 2 9
α α α
⇔ − = −
( ) ( )
2 2
3 2
4 15 2 9
α α α
⇔ − = −
0.5
6 4 2
16 124 261 81 0
α α α α
− + − = ⇒
là nghiệm của phương trình
6 4 2
16 124 261 81 0x x x− + − =
0.5
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Đề dự phòng)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 6.0
1 2.0
1
1
lim
2

2
+
++
n
nn
=
2
2
2
2
1 1
(1 )
lim
1
(1 )
n
n n
n
n
+ +
+
=
2
2
1 1
1
lim 1
1
1
n n

n
+ +
=
+
1.0x2
2
( )
5 2
lim 3 2
x
x x
→−∞
+ −
2.0
( )
5 2 5
3 5
3 2
lim 3 2 lim 1
x x
x x x
x x
→−∞ →−∞
 
+ − = + −
 ÷
 
1.0
Ta có
5

3 5
lim
3 2
lim 1 1
x
x
x
x x
→−∞
→−∞

= −∞

⇒

 
+ − =

 ÷
 

( )
5 2
lim 3 2
x
x x
→−∞
+ − = −∞
1.0
3 2.0

( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1 1
2
8 3 8 3
8 3
lim lim
1
1 8 3
x x
x x
x
x
x x
→ →
+ − + +
+ −
=
−
− + +
1.0
( )
( )
2
2
1 1
2

1 1 1
lim lim
3
8 3
1 8 3
x x
x x
x
x x
→ →
− +
= = =
+ +
− + +
1.0
II 2.0
Ta có với x
2≠
f(x) liên tục trên khoảng
( ) ( )
; 2 à 2;v−∞ + ∞
(1)
0.5
Ta xét tại x
0
= 2 ta có f(2) = 4 (a)
Khi
( )
( ) ( )
2

2 2 2
2 2
4
2 lim lim lim
2 2
x x x
x x
x
x f x
x x
+ + +
→ → →
− +
−
> ⇒ = =
− −

( )
2
lim 2 4
x
x
+
→
= + =
(b)
0.5
Khi
( ) ( )
2 2

2 lim lim 3 2 4
x x
x f x x
− −
→ →
≤ ⇒ = − =
(c)
0.5
Từ (a), (b) và (c)
⇒
hàm số f(x) liên tục tại x
0
= 2 (2).
Từ (1) và (2)
⇒
hàm số f(x) liên tục trên R.
0.5
III 2.0
1 1.0
Xét hàm số f(x) =
3 2
12 6 7 1x x x+ − +
liên tục trên R
( )
f x⇒
liên tục
trên các đoạn
[ ]
2; 1− −
;

1
1;
3
 
−
 
 
;
1
; 1
3
 
 
 
0.5
Ta có
( ) ( ) ( )
1 2
2 57; 1 2; ; 1 12
3 9
f f f f
 
− = − − = = − =
 ÷
 
.
⇒
( ) ( )
2 . 1 0f f− − <
,

( )
1
1 . 0
3
f f
 
− <
 ÷
 
,
( )
1
. 1 0
3
f f
 
<
 ÷
 
0.25
⇒
Phương trình có 3 nghiệm trên 3 khoảng phân biệt 0.25
2 1.0
α
là nghiệm của phương trình
3 2
4 2 15 9 0x x x− − + =
nên ta có
6 4 2
16 124 261 81 0

α α α
− + − =
0.25
Thay
2
4
3
α
−
vào phương trình (1) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 7
4 3 4 2 4 3 4 1 0
3 3
α α α α
− − + − − − + =
( ) ( )
2
2
2
2 2
4
9 2 3 3 4
3
α
α α
 
⇔ − = − −
 ÷

 

0.5
6 4 2
16 124 261 81 0
α α α
⇔ − + − = ⇒
2
4
3
α
−
là nghiệm của phương
trình (1)
⇒
đcm
0.25