gia tri lon nhat va nho nhat hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.83 KB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

GIÁ TR Ị LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I.

M

Ụ

C

Đ

ÍCH CHUN

ĐỀ

- Chun đề này sẽ trình bày cho các bạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất của
hàm số như: dung đạo hàm để tìm GTLN, GTNN ; dùng phương pháp chiều biến
thiên hàm số, pp miền giá trị…

- Các bạn sẽ nắm vững được các pp thường gặp để tìm GTLN, GTNN bằng cách
dùng hàm số.

II.

KI

Ế

N TH

Ứ

C C

Ơ

B

Ả

N

1. Lý thuyết.

a. Định nghĩa:

Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D. Số M gọi là giá trị lớn nhất của F(x) trên
miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1/ F(x) ≤ M.

2/ Tồn tại x0 ∈M sao cho F(x0) = M.

Khi đó ta sử dụng ký hiệu: M = max F(x).

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện
sau:

1/ F(x) ≥ M.

2/ Tồn tại x0 ∈M sao cho F(x0) = m.

Khi đó ta sử dụng ký hiệu: m = min F(x).

Chú ý:

Trang 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Định nghĩa có 2 phần và ko được xem nhẹ phần nào. Nói vậy vì các bạn học sinh
thường bỏ qua phần thứ 2 trong định nghĩa. Nói rõ hơn:Từ F(x)≤ M x M thì chưa thể
suy ra M = max F(x).

∀ ∈

Xét VD sau:

Cho F(x,y,z) =

y z +

y z

x + +

x z+

x z

y + +

y x +

x y

Trên miền D = { x>0, y > 0, z > 0}
Nếu bạn làm:

y z +

y z

x ≥ 2

y
x z+

x z

y ≥ 2

y x+

x y

z ≥ 2

Từđó F(x,y,z) ≥ 6 Với x>0, y > 0, z > 0. ∀
Vì thế: Max F(x,y,z) = 6 với x,y,z ∈D.

Chúng tơi nói rằng bạn đã sai. Vì sao?

Đơn giản bạn hãy thử lấy x = y = z =1. Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > 6.
Lý do sai là mới từ phần 1 của định nghĩa đã suy ra kết luận.

- Các bạn cần phân biệt 2 khái niệm:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Xét VD sau:

Cho hàm số F(x) = x3 – 3x2 trên miền D = {-2 ≤ x ≤ 4}.
Ta có: F’(x) = 3x2 – 6x.

Lập bảng biến thiên sau:

x -2 0 2 4

F’(x) + 0 - 0 +

F(x) -20 0 -4 12

Ta thấy khi hàm số có cực đại tại (0,0) => giá trị cực đại = 0

Hàm số có cực tiểu tại (2,-4) => giá trị cực tiểu= -4
Trong khi đó dề thấy:

Max F(x) = 12 Min F(x) = -20

x ∈D x ∈D

Trong VD này:

+ Giá trị lớn nhất của F(x) trên miền > giá trị cực đại của hàm số.
+ Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền < giá trị cực tiểu của hàm số.

Như vậy ta có thể nói rằng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên miền D
mang tính tồn cục; cịn giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số mang tính địa phương.

Dân gian có câu: “ Xứ mù thằng chột làm vua” . Có thể lấy câu ví von này làm VD
chứng minh cho tính địa phương của giá trị cực đại.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số F(x) trên miền D ta có thể sử
dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trịđặc biệt (ta
gọi đó là các giá trị tới hạn).

- Giá trị tới hạn này thường là giá trị tại đầu mút các đoạn (mà trên đó cần tìm Giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số) hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không
tồn tại đạo hàm.

- Lược đồ chung của phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của một hàm số F(x) trên miền D cho trước như sau:

+ Tìm đạo hàm F’(x) và từđó tìm cực đại, cực tiểu của F(x) (dĩ nhiên ta chỉ quan tâm
tới cực đại, cực tiểu thuộc miền D).

+ So sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị tới hạn trên miền D.
+ Từđó suy ra được kết luận cần tìm.

1. Các bài tốn đơn thuần tìm GTLN và GTNN của một hàm số:

Ví dụ 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 32x + 3y.

Từ x + y = 1 => y = 1 – x. Thay vào P ta có:

P = 32x + 31-x = 32x +
x

3
3

Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 => 0 ≤ x ≤ 1
=> 1 ≤ 3x≤ 3.

Đặt t = 3x, khi đó ta đưa bài tốn về: Tìm giá trị mã, min của hàm số:

F(t) = t2 + 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có: F’(t) = 2t -
2

3
t

= 2 −

2t 3

Lập bảng xét dấu với chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 :

t 1 3 3

2 3

F’(t) - 0 +

F(t) 4 33 9

4 10

Từđó suy ra:

Min F(t) = F(3 3

2) = 3

4 với 1 ≤ t ≤ 3.

Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 với 1 ≤ t ≤ 3
Vậy

Max P = Max F(t) = 10

1 ≤ t ≤ 3

Min P = Min F(t) =
1 ≤ t ≤ 3

33 9

Giá trị lớn nhất của P đạt được khi t = 3 <=> 3x = 3 <=> x = 1, y = 0
Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi

t = 33

2 <=> 3

x = 3 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Suy ra: x= log3 3 3

2 =
1
3log3

y = 1 - 1

3log3

3 3

Nhận xét: Người ta hay dung phương pháp đổi biến trong quá trình tìm giá trị max, min của
hàm sốđể đưa về 1 bài tốn mới có cấu trúc đơn giản hơn. Chỉ lưu ý 1 điều: Khi đã đổi biến
thì phải đổi miền xác định của bài toán.

Như VD trên miền xác định cũ là: 0 ≤ x ≤ 1. Khi chuyển sang biến t mới (do t= 3x) nền
miền xác định mới là: 1 ≤ t ≤ 3.

Ví dụ 2: Cho hàm số:

y= Sin
+ 2

1 x

+ Cos

+ 2

4x
1 x

+ 1, Với x ∈R.

Tìm giá trị max, min của hàm số trên R.

áp dụng công thức Cos2u= 1 – 2sin2u, ta có thểđưa hàm số F(x) về dạng:

F(x) = -2Sin2 + 2

1 x + Sin + 2

2x
1 x

+ 2.

Đặt t = Sin

+ 2

2x
1 x

Với x ∈R ta có: -1 ≤

+ 2

1 x

≤ 1

-Sin1 ≤ t ≤ Sin1

(Do [-1,1] ∈[-π

2] nên ta có điều trên).

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

F(t) = -2t2 + t + 2 với -Sin1 ≤ t ≤ Sin1
Ta có: F’(t) = -4t + 1.

Lập bảng biến thiên:

t -Sin1 1

4 Sin1

F'(t) /// 0 ///

F(t) /// ///

(bạn có biết vì sao ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 khơng?)
Từđó suy ra:

Max F(t) = F(1/4) = 17/8

t ≤ Sin1

Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}

t ≤ Sin1 = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + 2 }

= -2Sin21 – Sin1 + 2
Tóm lại:

Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8
x ∈R. t ≤ Sin1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

x ∈R. t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 + 2

Giá trị nhỏ nhất của F(x) đạt được khi t = - Sin1 = Sin(-1).

Tức là: Sin
+ 2

1 x

= Sin (-1).

<=>

+ 2

1 x

= -1 (Chú ý: -1 ≤

+ 2

1 x

≤ 1)

<=> (x+1)2 = 0

<=> x = 1.

Giá trị lớn nhất của F(x) đạt được khi nào, các bạn tự tính.

2. Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất chứa tham số:

- Trong các bài toán này, giá trị max, min của một hàm số F(x) trên một miền D sẽ phụ
thuộc vào tham số m. Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này cũng thay đổi. Cần nhấn
mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu lực rõ rệt với loại bài tốn này.

- Có 2 loại bài tốn chinhs thường gặp:

+ Tìm giá trị max, min của hàm số F(x) trên miền D theo tham số m.

+ Xét 1 bài tốn khác sau khi đã tìm xong giá trị max, min.

Chúng ta hãy xét các VD sau:

Ví dụ 3: Cho hàm số :

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có y = 1 – 1

2Sin

22x + m

2 Sin2x

Đặt t = Sin2x. Bài tốn quy về: Tìm giá trị max, min của hàm số :

F(t) = -1

2 + m

2 t +1 với -1 ≤ t ≤ 1

F'(t) = -t + m

2 .

Xét các khả năng sau:

1) Nếu m ≥ 2 (khi đó m

2 ≥ 1). Ta có bảng biến thiên sau:

t -1 1 m

F'(t) + /// 0

F(t) ///

Ta có:
Max F(t) =

t ≤ 1

F(1) = m+1
2

Min F(t) =

t ≤ 1

F(-1) = − +m 1
2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

t m

2 -1 1

F'(t) 0 /// -
F(t) ///

Ta có:
Max F(t) =

t ≤ 1

F(-1) = − +m 1
2

Min F(t) =

t ≤ 1

F(1) = m+1
2

3) Nếu -2 < m < 2 (Khi đó -1 < m

2 < 1) Ta có bảng biến thiên sau:

t -1 m

2 1

F'(t) + 0 - ///

F(t) ///

Max F(t) =

t ≤ 1

F(m

2 ) =

m 8

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Min F(t)

t ≤ 1

= Min{f(-1); f(1)}

Nếu 0 ≤ m ≤ 2

= Min{− +m 1

2 ;

m 1

2 }

=
⎧ −
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪ +
⎪⎪
⎪⎪⎩

1 m

Nếu -2 ≤ m ≤ 0

Tóm lại ta đi đến kết quả sau:

1 m

2 Nếu 2 ≤ m

+ 2

8 m

8 Nếu -2 < m < 2

Max y
x ∈R.

−

1 m

2 Nếu -2 ≤ m

Nếu 0 ≤ m
Min y

x ∈R.

=
⎧ −
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪ +
⎪⎪
⎪⎪⎩

1 m

2 Nếu m < 0

Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = 1+ m

Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0
Tìm a để: Min F(x): = 2?

-2 ≤ x ≤ 0

Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x = a

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Xét các khả năng sau:

1) Nếu a > 0 (tức a

2> 0). Ta có bảng biến thiên sau:

x -2 0 a

F'(x) 0 - /// 0
F(x) ///

Vì thế: Min F(x) = F(0) = a2 – 2a.
-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a2 – 2a = 2.

<=> ⎡ = +⎢⎢

= −
⎢⎣

a 1 3

Vì a> 0 nên chỉ lấy giá trị: a = 1+ 3

2) Nếu a < -4 (Tức a

2< -2) Ta có bảng biến thiên sau:

x a

2 -2 0

F'(x) 0 /// + ///
F(x) /// ///

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a2 – 6a + 16 = 2.
<=> a2 – 6a + 14 = 0

∆ = 9 – 14 = -5 < 0. PT vô nghiệm.

3) Nếu -4 ≤ a ≤ 0 (Tức -2 ≤ a

2 ≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau:

x -2 a

2 0

F'(x) // - 0 + ///
F(x) // ///

Vì thế: Min F(x) = F(a

2) = – 2a

-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> –2a = 2

<=> a = -1.

Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ 0 nên chấp nhận được.

Tóm lại các giá trị cần tìm của tham số a là: a = -1 và a = 1+ 3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Xét bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) …? Một miền D cho…? . Gọi
yo là một giá trị tùy ý của f(x) trên D, thì hệ sau đây (của x) 0 có nghiệm

( ) (1)

(2)

f x y
x D

=
⎧
⎨ ∈
⎩

Tùy dạng của hệ (1) (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng. Trong nhiều trường
hợp, điều kiện ấy (sau khi biến đổi) đưa được về dạng α ≤ y0 ≤β(3). Vì yo là một giá trị bất

kì của f(x), nên từ (3) ta có ( ) ; ( )

x D x D

Min f x α Max f x β

∈ = ∈ = . Như vậy khi sử dụng phương pháp

này để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, thực chất ta đã qui về việc tìm điều kiện để một
phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm.

Xét các thí dụ sau:

Thí dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) 2sin osx+1, ?i x R
sinx-2cosx+3

x c

f x = + v ∈ .

Bài giải:

Để ý rằng do

3− 5 sinx-2cosx+3 3≤ ≤ + 5,∀x, nên f(x) xác định xác định trên toàn R. Gọi yo là một giá

trị tùy ý của f(x), ta có phương trình sau (của x) 0 2sin osx+1(1)
sinx-2cosx+3

x c

y = + có nghiệm.

Dễ thấy (1) <=> 2sinx + cosx + 1 = yo sinx - 2yo cosx + 3 yo

<=> (2 - yo)sinx + (1 + 2 yo)cosx = 3 yo - 1 (2)

Vì (2) có nghiệm, nên ta có

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

(2 ) (1 2 ) (3 1) 4 6 4 0 2 3 2 0 2(3)

y y y y y y y y

− + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Từ
(3) suy ra ( ) 1; ( ) 2

x R x R

Min f x Max f x

∈ = − ∈ =

Chú ý

Nếu thay yo = 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 <=> cosx = 1 <=> x=2kπ . Vậy Maxf(x) đạt được

khi x=2k k Zπ, ∈ (Xét tương tự cho Min(fx).

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) 2 22 7 23,
2 10

x x

f x x R

x x

+ +

= ∈

+ +

Bài giải:

Gọi yo là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x)

0 2

2 7 23
(1)
2 10
x x
y
x x
+ +
=

+ + có

nghiệm.

Dễ thấy 2

0 0 0

(1)⇔(y −2)x +(2y −7)x+10y −23 0(2)=

Xét 2 khả năng:

+ Nếu yo = 2, thì (2) <=> -3x – 3 = 0 => phương trình này sẽ…? có nghiệm

+ Nếuy0 ≠2, thì (2) có nghiệm 02 0 0

3 5

0 9 16 15 0

2 2

y y y

⇔ Δ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Tóm lại (2) có nghiệm 3 0 5
2 y 2

⇔ ≤ ≤

Vì yo là giá trị tùy ý của f(x), nên ( ) 3; ( ) 5

2 2

x R x R

Min f x Max f x

∈ = ∈ =

Thí dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P x= 2+y2,với x, y thỏa mãn

{

2 2 2 2 2 2 2

}

( , )x y ∈ =D (x −y +1) +4x y −x −y =0

Bài giải:

Gọi to là một giá trị tùy ý của P, khi ( , )x y ∈D. Vậy hệ sau đây (của x,y)
2 2

2 2 2 2 2 2 2

(1)

( 1) 4 0(2)

x y t

x y x y x y

⎧ + =
⎪

⎨

− + + − − =

⎪⎩ có nghiệm. Hệ (1),(2) tương đương với hệ sau:

2 2
2 2

0
0

2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

(3)

3 1 4 0 (4

( ) 3( ) 1 4 0

x y t
x y t

t t x

x y x y x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có 02 30 1 0 3 5 0 3 5(5

2 2

t − t + ≤ ⇔ − ≤ ≤t + )

Với điều kiện (5). Gọi x là nghiệm của (4), và thay vào (3) ta
có:4x2+4y2 =4t0 ⇔ −t02+3t0− +1 4y2 =4t0 ⇔4y2 =t02+ +t0 1(*)

(*) chắc chắn có nghiệm vì t02+ +t0 1>0.

Vậy (5) là điều kiện cần và đủ để hệ (3), (4) có nghiệm. Từđó suy ra

( , ) ( , )

3 5 3 5

;

2 2

x y DMin P∈ x y DMax P∈

− +

= =

Thí dụ 4

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P x= 2−xy−3y2,trên miền D=

{

( , ) :x y x2+xy y+ 2 ≤3

}

Bài giải:

Gọi

{

} {

}

{

}

2 2 2

2 2

( , ) : 3, 0 ( , ) : 3, 0

( , ) : 3, 0

D x y x xy y y x y x y

D x y x xy y y

= + + ≤ = = ≤
= + + ≤ ≠

Ta có 1 2

2 2

( , ) ( , ) ( , )

Max P=Max Max P, Max P ,(1)
Min P=Min Min P, Min P (2)

x y D x y D x y D

∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫
⎨ ⎬

⎩ ⎭

Từ ( , )x y ∈D1thì P x= 2, do đó

1
1 ( , )

( , )x yMax P=3; M in P=0∈D x y ∈D (3)

Xét biểu thức

2 2 2

2 2 2 2

3
3 3
1
1
x x
y y

x xy y t t

S

x xy y x x t t

y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −
= = =
+ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + +
+ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Gọi α là một giá trị tùy ý của S, tức là phương trình (ẩn t)

2
2
3
(4)
1
t t

t t α

− − =

+ + có nghiệm. Dễ thấy

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

+ Nếu α = 1 thì (5) có nghiệm t = -2

+ Nếu α ≠1 thì (5) có nghiệm khi Δ ≥ ⇔0 (α+1)2−4(α −1)(α+ ≥ ⇔ −3) 0 3α2−6α− ≥11 0

( 1)

3 4 3 3 4 3

3 6 13 0 (6)

3 α 3

α α α

≠

− − − +
⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤

Thử lại (5) có nghiệm 3 4 3 3 4 3

3 α 3

− − − +
⇔ ≤ ≤

Ta có P (x2 xy y2)x22 xy 3y22 (x2 xy y S)

x xy y
− −

= + + = + +

+ +

x +xy y+ ≤

Do ( 2 2) 3 khi ( ,x y)∈D2⇒ − −3 4 3≤ ≤ − +P 3 4 3 ∀( , )x y ∈D2

Rõ ràng hệ phương trình

2 2

3 3 4

3
3

x xy y
x xy y
x xy y

⎧ − − − +
=

⎪

+ +
⎨

⎪

+ + =
⎩

có nghiệm.

Như vậy

( , )x y DMax P∈ = − +3 4 3 (7). Tương tự ( , ) 2

3 4 3 (8)

x y DMin P∈ = − −
Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy ra

2 2

( , )x y DMax P∈ = − +3 4 3;( , )x y DMin P∈ = − −3 4 3.

3. Phương pháp chiều biến thiên.

Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến
của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới
hạn). Xét các thí dụ minh họa sau:

Thí dụ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y z 1 1 1
x y z

= + + + + + trên miền

3
( , , ): 0, 0, 0,

D=⎧⎨ x y z x> y> z> x y z+ + ⎫⎬

⎩ ≤ ⎭

Bài giải:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1 1 1

( ) 9

1 1 1 9

9
(1)

x y z

x y z
x y z x y z
P x y z

x y z

⎛ ⎞
+ + ⎜ + + ⎟≥
⎝ ⎠
⇒ + + ≥
+ +
⇒ ≥ + + +
+ +

Đặt t = x + y + z 0<t 3
2

⇒ ≤ . Xét hàm số ( ) 9,0 3
2

f t t t
t

= + < ≤ ; f t'( ) 1 92

t
= −

Ta có bảng biến thiên sau:

0
t
f ’(t)
f (t)
-3 0
3
2 3
0

Vậy

3
0
2
3 1
f(t)=f
2 2
t
Min
< ≤
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠

5. Từ (1) suy ra 15

P≥ (2). Mặt khác với 1
2

x= = =y z (khi đó
3

x y z+ + = thỏa mãn điều kiện 3

x y z+ + ≤ ), ta có 15

P= . Từ đó kết hợp với (2) suy ra

15
2

MinP=

Chú ý: Nếu viết P x 1 y 1 z 1 6(*)

x y z

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ + ⎟+⎜ + ⎟+⎜ + ⎟≥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Tuy nhiên dấu bằng trong (*)
có <=> x = y = z = 1. Nhưng 3 3

x y z+ + = > . Vậy khơng có dấu bằng trong (*)!

Thí dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

1 1

x y

P

y x

= +

+ + với ( , )x y ∈D=

{

x y, ≥0,x y+ =1

}

Bài giải:

Đưa P về dạng 2 2 ( )2 2 (

1 ( ) 1

)

x x y y x y xy x y
P

xy x y x y xy

+ + + + − + +

= =

+ + + + + +

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Đặt t = xy, khi đó ( )2 1

4 4

x y

xy + t

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

0 0 .

Xét hàm số ( ) 2 2
2
t
f t
t
−
=

+ với

1
0

t
≤ ≤

Ta có '( ) 6 2
(2 )

f t

t

−
=

+ , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận:

Vậy

( , ) ( , )

2
1;

x y DMax P∈ = x y DMin P∈ =
Chú ý:

Max P đạt được

0
0, 1
0 1
1, 0
, 0
xy
x y

t x y

x y
x y
=
⎧
= =

⎡
⎪
⇔ = ⇔⎨ + = ⇔⎢ =
=
⎣
⎪ ≥
⎩

Min P đặt được 1 1

4 2

t x y

⇔ = ⇔ = =
Thí dụ 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x( )=x6+4(1−x2)3 khi x∈ −

[

1,1

]

Bài giải

Đặt x2 =t, thì 0≤ ≤t 1. Ta có

6 4(1 2 3) 3 4(1 )3 3 4(1 3 3 2 3) 33 12 2 12 4
x + −x = +t −t = +t − +t t −t = − t + t − t+
Vậy

1 x 2 ( ) 0 t 1 ( ); 1 x 1 ( ) 0 t 1 ( )

Max f x Max F t Min f x Min F t

− ≤ ≤ = ≤ ≤ − ≤ ≤ = ≤ ≤

Ởđây F t( )= −3t3+12t2−12t+4 với 0≤ ≤t 1

Ta có F t'( )= −9t2+24 12t− và có bảng xét dấu sau:

t 0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Vậy

1 1 1 1

4
( ) 4; ( )

x x

Max f x Min f x

− ≤ ≤ = − ≤ ≤ =

III.

C

Ủ

NG C

Ố

KI

Ế

N TH

Ứ

C

Bài 1

Tỉm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P=32x +3y, khi ( , )x y ∈ =D

{

x≥0,y≥0,x y+ =1

}

Bài giải:

Khi ( , )x y ∈ ⇒ = −D y 1 x, ởđây 0≤ ≤x 1, và 32 31 32 3
3

x x x

x

P= + − = +

Đặt t=3x, thì 1≤ ≤t 3(do 0≤ ≤x 1), và P t2 3 t3 3
t t

+
= + =
Xét hàm số f t( ) t3 3

t

= với 1≤ ≤t 3

Ta có f t'( ) 2t32

t
−

= 3. Lập bảng xét dấu sau:

t
f ’(t)
f (t)

1 3
0

4 1

3 3

3 9

3
4

Từđó suy ra

{

}

{ }

( , ) 1 3

3 3

( , ) 1 3

( ) (1), (3) 4,0 10

3 9

( ) 3

2 4

x y D t

Max P Max f t Max f f Max
Min P Min f t f

∈ ≤ ≤

= = =

⎛ ⎞
= = ⎜⎜ ⎟⎟=

⎝ ⎠

Bài 2.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Do f x( ) 0,≥ ∀ ∈x Rnên ta có ( ) 2( ); ( ) 2( )(1)

x R x R x R x R

Max f x Max f x Min f x Min f x

∈ = ∈ ∈ = ∈

Ta thấy f2( ) 2 (s inx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosxx = +

Đặt s inx+cosx( - 2 t 2) sinxcosx=t -12
2

t= ≤ ≤ ⇒

Xét hàm số: ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2

2 2

t t

F t = + +t + +t − = + +t + +t 1
2

'( ) 1 2 ( 1) 1 2 1

F t = + t+ = + t+

Do vậy '( ) 1 2 , 1 2

1 2 , 2

t
F t

t
⎧ + − ≤ ≤
⎪

= ⎨

− − ≤ ≤
⎪⎩ −1
Vì thế có bảng biến thiên sau:

t
F’(t)

F(t)

− -1 2

4 2 2− 4 2 2+

Từđó có 2

{

( ) ( )

}

{

}

( ) ( ) 2 , 2 4 2 2, 4 2 2 4 2 2

( ) ( ) ( 1) 1

x R t

Max f x Max F t Max F F Max
Min f x Min F t F

∈ ≤

= = − = − + = +

= = − =

Bài 3: (Đại học-Cao đẳng khối A.2003)

Cho x y z, , >0 à x+y+z 1. v ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 12 y2 12 z2 12

x y z

= + + + + +

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Áp dụng với u x,1 ,v y,1 , w z,1 ,

x y z

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G G

ta có

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

( )

x y z x y z

x y z

⎛ ⎞

+ + + + + ≥ + + +⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ (1)

Ta có

2 2

2 1 1 1 2 1 1 1

(x y z) 81(x y z) 80(x y z) (2)

x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + +⎜ + + ⎟ = + + +⎜ + + ⎟ − + +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Theo bất đẳng thức CơSi, thì:

2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

81(x y z) 2 81(x y z) 18(x y z)

x y z x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + +⎜ + + ⎟ ≥ + + ⎜ + + ⎟ = + + ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: (x y z) 1 1 1

x y z

⎛ ⎞

+ + ⎜ + + ⎟≥

⎝ ⎠ . Vì thế có:

2
2 1 1 1

81(x y z) 162

x y z

⎛ ⎞

+ + ⎜ + + ⎟ ≥

⎝ ⎠ (3)

Do (x y z+ + ≤ ⇒) 1 80(x y z+ + )2 ≤80 (4)
Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: P≥ 82 (5)

Lấy 1 82

x= = = ⇒ =y z P

Từđó đi đến: Min P = 82

2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

81(x y z) 2 81(x y z) 18(x y z)

x y z x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + +⎜ + + ⎟ ≥ + + ⎜ + + ⎟ = + + ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: (x y z) 1 1 1

x y z

⎛ ⎞

+ + ⎜ + + ⎟≥

⎝ ⎠ . Vì thế có:

2
2 1 1 1

81(x y z) 162

x y z

⎛ ⎞

+ + ⎜ + + ⎟ ≥

⎝ ⎠ (3)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: P≥ 82 (5)

Lấy 1 82

x= = = ⇒ =y z P

Từđó đi đến: Min P = 82

Bài 4: (Đại học – Cao đẳng khối B. 2002)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f x( )= +x 4−x2

Ta có: 2

2 2

4
'( ) 1

4 4

x x x

f x

x x

− −

= − =

− −

Lập bảng xét dấu sau:

x
'( )

f x

( )

f x

-2 0

2

+ + -

2

-2 2

(Chú ý: f x'( ) 0> khi − ≤ ≤2 x 0 là biến thiên)
Từđó có:

ax f(x)=2 2

x

M

≤

{

}

{

}

2 f(x) = min f(-2);f(2) min 2;2 2

x
Min

≤ = − =

Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau:

1/ Ta có: do 2 ( ) 4 2 2

( 2) 2

f x x x

x

f

⎧⎪ = + − ≥ −
≥ − ⇒ ⎨

− = −
⎪⎩

Vậy

2 f(x) = 2

x
Min

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

(

)

(

)

2 2 2 2

2
( )

4 (1 1 ) 4

8 x ( ) 2 2

x x x

f f x

⎡ ⎤

⇒⎢ + − ⎥ + ≥ + −

⎣ ⎦

⇒ ≥ ⇒ ≤

x

Lại có: f( 2) 2 2= ⇒max (x)=2 2f

IV.

BÀI T

Ậ

P V

Ề

NHÀ

Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= 41−x2 +41− +x 41+x trên 
miềnD=

{

x: 1− ≤ ≤x 1

}

Đáp số: Mx D∈ax ( ) 3f x =

Bài 2: Tìm giá trị bé nhất của biến thiên:
1 1 1

( 1) x y z

P xyz x y

x y z y z x

⎛ ⎞

= + ⎜ + + ⎟+ + + − − −

⎝ ⎠ z trên miền D=

{

( , , ) :x y z x>0;y>0;z>0

}

Đáp số: minP=6

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biến thiên: P xyz= trên miền

1 1 1

( , , ) : 0; 0; 0; 2

1 1 1

D x y z x y z

x y z

⎧ ⎫

=⎨ ≥ ≥ ≥ + + ⎬
+ + +

⎩ = ⎭

Đáp số: ax P=1
8

m

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của: P x y= 2 (4− −x y) trên miền D=

{

( , ) :x y x≥0;y≥0;x y+ ≤6

}

Đáp số: Max P = 4; Min P = - 64

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: P x2 2(x 4 )2y 2
x y

− −
=

+ trên miền

{

( , ) : 2 2 0

}

D= x y x +y >

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 2 22 1
7

x y
P

x y
+ +
=

+ + ; x y R, ∈

Đáp số: ax P = 1
2

M ; P = 5
14

Min −

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2

( ) 3 6 18 3

f x = + +x − −x + x−x trên miềnD=

{

x: 3− ≤ ≤x 6

}

Đáp số: ;

x Dax f(x) = 3

M

∈ x D

9 3 2
f(x) =

Min
∈

−

Bài 8: Cho f x( ) 4= x2−4ax a+ 2−2a xét trên miền D=

{

x: 2− ≤ ≤x 0

}

. 
Tìm a để

x D f(x) = 2

Min
∈

</div>

gia tri lon nhat va nho nhat hay

<b>I. </b>

<b>M</b>

<b>Ụ</b>

<b>C </b>

<b>Đ</b>

<b>ÍCH CHUN </b>

<b>ĐỀ</b>

<b>II. </b>

<b>KI</b>

<b>Ế</b>

<b>N TH</b>

<b>Ứ</b>

<b>C C</b>

<b>Ơ</b>

<b> B</b>

<b>Ả</b>

<b>N </b>

{

}

{

}

{

} {

}

{

}

{

}

[

]

<b>III. </b>

<b>C</b>

<b>Ủ</b>

<b>NG C</b>

<b>Ố</b>

<b> KI</b>

<b>Ế</b>

<b>N TH</b>

<b>Ứ</b>

<b>C </b>

{

}

{

}

{ }

{

( ) ( )

}

{

}

2

2

{

}

{

}

(

)

(

)

<b>IV. </b>

<b>BÀI T</b>

<b>Ậ</b>

<b>P V</b>

<b>Ề</b>

<b> NHÀ </b>

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

Tài liệu liên quan