Bài soạn LUYEN THI HSG TP MON TOAN

MỘT SỐ BÀI TOÁN
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI
-----------------------------------
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n (n+3)
c. n
2
+ n + 1589
Gợi ý :
a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)

⇒
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2

⇔
k
2
– (n+1)

2
= 11
⇔
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
⇔
1 11
1 1
k n
k n
+ + =


− − =


⇔

6
4
k
n
=


=

Vậy n = 4.
* Các câu khác giải tương tự.

Bài 2: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn
vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gợi ý:
Gọi A =
abcd
= k
2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B =
( 1)( 1)( 1)( 1)a b c d+ + + +
= m
2
với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d ∈ N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
⇒
m
2
– k
2
= 1111
⇔
(m - k)(m+k) = 1111 (*)
Xét các trường hợp, kết quả A = 2025 , B = 3136
Bài tập tương tự :
a. Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
b. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập
phương các chữ số của số đó.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3xy + x - y = 1

⇔

(3y + 1)(3x - 1) = 2 (Phương trình ước số)
Vì x, y là các số nguyên nên 3x - 1 , 3y + 1 là các số nguyên và là ước của 2
ta có bảng sau :
3x - 1 - 1 1 - 2 2
3y + 1 - 2 2 - 1 1
x 0 / / 1
y - 1 / / 0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (0 ; -1), (1 ; 0)
Bài tập dạng khác :
a. xy - x - y = 2.
b. 11x + 18y = 120
c.
1 1 1
3x y
+ =

1
Bài 4 : Cho a, b là các chữ số với a khác 0. Chứng minh rằng
a.
abba
chia hết cho 11
b.
ababab
chia hết cho 7
c.
aaabbb
chia hết cho 37
d.
abcabc
chia hết cho 7, 11 và 13.

Hướng dẫn
a.
11(91 10 )abba a b= +

b.
7.1443.ababab ab=

c.
37.3.(1000 )aaabbb a b= +

d.
.1001 .7.11.13abcabc abc abc= =
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 5, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho mỗi chữ số, kể từ chữ số thứ ba (tính
từ trái sang phải) đều là tổng của 2 chữ số liền kề bên trái.

Gợi ý :
Gọi a là chữ số hàng trăm ngàn (a > 0) và b là chữ số hàng chục ngàn của số tự nhiên cần
tìm.
Chữ số hàng ngàn là : a + b.
Chữ số hàng trăm là : a + 2b.
Chữ số hàng chục là : 2a + 3b.
Chữ số hàng đơn vị là : 3a + 5b.
Ta có 3a + 5b ≤ 9
⇒
b ≤ 1, nên b = 0 hoặc b = 1
Lý luận đưa đến kết quả : 101123 ; 202246 ; 303369 ; 112358 .
Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xxA
−++=

20092008

Gợi ý :
+ Điều kiện để A có nghĩa : - 2008 ≤ x ≤ 2009.
+ Giá trị nhỏ nhất : A = 4017 khi x = -2008 hoặc x = 2009.
+ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski tìm.
Giá trị lớn nhất của A = 8034 khi x =
2
1
.

Bài 7 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   

a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =

6
5
c. Tìm x để A < 1.

Bài 8 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
2
d. Tìm GTLN của A
Bài 9 : Cho A =
2 1 1

:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x
≥
0, x
≠
1 thì A > 0,
Bài 10 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 

− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 
với x
≥
0, x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x = 0,36
c. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

Bài 11 : Tính
1281812226A −++−=
Ta có :
24)24(228412818
22
−=−=+−=−
13)13(13233242326)13(26
13)13(132341224122
2

2
−=−=+−=−=−−=+−=
+=+=++=+=−++
A
Bài 12 :Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
1. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm với mọi m
2. Đặt
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A −+=
a. Chứng minh A = 8m
2
– 18m + 9
b. Tìm m sao cho A = 27
3. Tìm m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
G ợi ý
1. Xét
( ) ( ) ( )
m01m1m2m1m2m
2
2
2
∀≥−=+−=−−−=∆
'

2. a.
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A −+=

( )
21
2
21
92 xxxx −+=
Theo viet ta có :

( ) ( )
( )
9m18m89m18m421m29m22
a
c
xx
a
b
xx
22
2
21
21
+−=+−=−−⇒








=
−=+

điều phải chứng minh
b, Tìm m để A = 27 chính là giải phương trình
4m
2
– 9m – 9 = 0
Phương trình có hai nghiệm : m
1
= 3 , m
2
= -3/4
3.Tìm m để x
1
= 2x
2
m
1
= 3/2; m
2
= 3/4.
Bài 13 :Cho phương trình : x

2
– (3m + 2)x + m
2

= 0. Với giá trị nào của m thì phương trình
có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức : x
2
– 3x
1
= 0
Gợi ý
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = (3m + 2)
2
– 4m
2
> 0
⇔ (5m + 2)(m + 2) > 0
3
⇔
5m 2 0
m 2 0
+ >


+ >


hoặc
5m 2 0
m 2 0
+ <


+ <


⇔
2
m
5
> −
hoặc m < –2
Theo định lý Vi-ét, và đề bài ta có :

1 2
2
1 2
2 1
3 2 (1)
. (2)
3 0 (3)
+ = +


=



− =

x x m
x x m
x x
⇒
3 2
4
m +
.
3(3 2)
4
+m
= m
2

Giải phương trình này ta có hai nghiệm

1
18 8 3
m
11
+
= −
;
1
18 8 3
m
11

−
= −
(thỏa điều kiện)
Bài 14 : Cho phương trình 5x
2
+ mx – 28

= 0
Tìm giá trị nào nguyên của m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ
thức : 3x
1
– 5x
2
= 20
Gợi ý :
Vì a = 5 > 0 và c = – 28 < 0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
với mọi m
Theo định lí Vi-ét, và giả thiết ta có
x
1
+ x
2

=
m
5
−
(1) ; x
1
.x
2
=
28
5
−
(2) ; 3x
1
– 5x
2
= 20 (3)
⇒
1
20
8
−
=
m
x
⇒
2
3 100
40
− −

=
m
x

thay x
1
và x
2
vào (2) ta có : .

⇔ 3m
2
+40m – 208 = 0
Giải phương trình ta có hai nghiệm: m
1
= 4 ; m
2
=
52
3
−
Do m là giá trị nguyên nên m = 4 thỏa điều kiện đề bài
Bài 15 : Cho phương trình x
2
–12x + m
2
+ 4m + 6 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x

2
thỏa mãn hệ thức :
2
1 2
x x
=
Gợi ý : ∆’ = – m
2
– 4m +30
giải phương trình – m
2
– 4m +30 = 0
ta được m
1
= –2 –
34
; m
2
= –2 +
34
để phương trình có hai nghiệm phân biết thì
∆’ > 0 hay – m
2
– 4m +30 > 0 hay m
2
+ 4m –30 < 0
⇔ –2 – 34 < m < –2 + 34
Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có :
x
1

+ x
2
= 12 (1) ; x
1
.x
2
= m
2
+4m +6 (2) ;
2
2 1
x x=
(3)
⇔ x
1
= – 4 ; x
2
= 3
-Với x
1
= – 4 thay vào (3) ta có x
2
= 16, thỏa phương trình (1)
4
Thay x
1
và x
2
vào (2) ta có m
2

+4m +70 = 0 (vô nghiệm)
-Với x
1
= 3 thay vào (3) ta có x
2
= 9 , thỏa phường trình (1)
Thay x
1
và x
2
vào (2) ta có m
2
+4m –21 = 0
⇔ m
1
= –7 ; m
2
= 3
Thỏa điều kiện –2 –
34
< m < –2 +
34
.
Bài 16 : Cho phương trình : x
2
– 4x + m = 0
a. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 26.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x

2
thỏa mãn hệ thức :

3 3 2 2
1 2 1 2
x x 5(x x ) 26+ − + =
.
Gợi ý :
a. Lập ∆’ = 4 – m
để phương trình có nghiệm thì ∆’ = 4 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4
Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có :
x
1
+ x
2
= 4 (1) ; x
1
.x
2
= 4m (2) ;
2 2
1 2
x x 26+ =
(3)
Tính được m = –5
b.
3 3 2 2
1 2 1 2
x x 5(x x ) 26+ − + =
⇔

2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(x x )[(x x ) 3x x ] 5[(x x ) 2x x ] 26+ + − − + − =
⇔
4(16 3m) 5(16 2m) 26
− − − =
m = – 21 thỏa điều kiện.
Bài 17 : Cho 3 đường thẳng
(d
1
) : y = (m
2
– 1)x – m
2
+ 3 ;
(d
2
) : y = x + 5 ;
(d
3
) : y = –x + 1 ;
a. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định.
b. Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
).
c. Với giá trị nào của m thì (d

1
) // (d
3
).
d. Với giá trị nào của m thì 3 đường thẳng (d
1
), (d
2
) và (d
3
) đồng quy ?
(Hướng dẫn : bài tập chủ đề 7 trang 59, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”).

Bài 18 : Cho đường thẳng (d
1
) : y = 2x + 2. Viết phương trình đường thẳng (d
2
) biết rằng
(d
2
) song song với (d
1
) và tam giác tạo bởi (d
2
) với các trục tọa độ có diện tích bằng hai lần
diện tích tam giác tạo bởi (d
1
) với các trục tọa độ.
(Đáp án : (d
2)

:
222
+=
xy
hoặc
222
−=
xy
).
Bài 19 : Xác định đường thẳng (d) : y = ax + b biết (d) cắt đường thẳng y = 2x + 3 tại một
điểm A có hoành độ và tung độ đối nhau và (d) cắt đường thẳng y = - 4x + 7 tại một
điểm B có tung độ gấp ba lần hoành độ.
(Đáp án : (d
)
: y = x + 2 )
Bài 20 : Cho đường thẳng (d
1)
y =
)73(
5
1
+
−
x
.
Viết phương trình đường thẳng (d
2
) đối xứng
với đường thẳng (d
1

) qua trục hoành.
(Đáp án : y =
)73(
5
1
+
x
)
Bài 21 : a) Chứng minh
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
với x, y > 0.
5