Chuyen de the tich khoi da dien co loi giai

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN</b>

<b>Bài 1: </b>

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể
tích của khối chóp theo a.

<b>HD: Gọi O là tâm hình vng ABCD</b>
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên :
Ta có : SABCD = a2.

Và SO là đường cao của khối chóp. Xét tam giác
SAO vng tại O có : AO = 2

2 2
<i>AC</i> <i>a</i>



 SO =

2

2 2 ₄ 2 14

2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SA</i>  <i>AO</i>  <i>a</i>  
Vậy thể tích là

V =

3
2

1 1 14 14

. . . .

3 <i>ABCD</i> 3 2 6

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SO S</i>  <i>a</i> 

<b>Bài 2: </b>

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, <i>AC a</i> 2 và <i>SB a</i> 3
. Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
<b>HD:</b>

Xét tam giác ABC vng cân tại B, ta có: <i>_AC</i>2 ₂<i>_AB</i>2


suy ra: 2 1 2 1.2 2 2

2 2

<i>AB</i>  <i>AC</i>  <i>a</i> <i>a</i>  <i>AB a</i>

 SABC = 1 2

2<i>a</i>

Vì SA vng góc với đáy nên SA là đường cao của khối
chóp S.ABC. Xét tam giác SAB vng tại A có:

SA2_{= SB}2_{– AB}2_{= 3a}2_{– a}2_{= 2a}2__{SA =}<i>_a</i> ₂_.

Vậy thể tích là : V =

2 3

1 1 2

. . . 2.

3 <i>ABC</i> 3 2 6

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SA S</i>  <i>a</i> 

<b>Bài 3: </b>

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, <i>AB a</i> , <i>AC a</i> 3, mặt bên SBC là
tam giác cân tại S (<i>SB SC</i> 2 )<i>a</i> và vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABC.

<b>HD: Gọi O là trung điểm của BC</b>

Vì (SBC)  (ABC), (SBC)  (ABC) = BC và SO  BC nên

SO là đường cao của khối chóp S.ABC.
Xét tam giác ABC vng tại A có :

BC2_{= AB}2_{+ AC}2_{= a}2_{+ 3a}2_{= 4a}2__{BC = 2a, hay}

tam giác SBC là tan giác đều cạnh 2a

 SO = (2 ) 3 3

2
<i>a</i>

<i>a</i>

và SABC =

2

1 1 3

. . 3

2 2 2

<i>a</i>
<i>AB AC</i>  <i>a a</i> 
Vậy thể tích là V =

2 3

1 1 3

. . 3.

3 <i>ABC</i> 3 2 2

<i>a</i> <i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Biết <i>SA SB</i> 2<i>a</i> và hai mặt
phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

<b>HD:Gọi H là trung điểm của AB</b>

ABCD là hình vng cạnh a  SABCD = a2.

Vì (SAB)  (ABCD), (SAB)(ABCD) = AB và SH 

AB nên SH là đường cao của khối chóp S.ABCD.
Xét tam giác SAH vng tại H có :

SH2_{= SA}2_{– AH}2_{= 4a}2_-

2 ₁₅ 2

4 4

<i>a</i> <i>a</i>

  SH = 15

2
<i>a</i>
Vậy thể tích là :

V =

3
2

1 1 15 15

. . . .

3 <i>ABCD</i> 3 2 6

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SH S</i>  <i>a</i> 

<b>Bài 5: </b>

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vng góc với mặt (ABC). Đáy ABC là
tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến <i>AM</i> <i>a</i>. Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc ₄₅0

và <i>_SBA</i> ₃₀0

 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

<b>HD:</b>

Vì

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

<i>SAB</i> <i>ABC</i>

<i>SAC</i> <i>ABC</i> <i>SA</i> <i>ABC</i>

<i>SAB</i> <i>ABC</i> <i>SA</i>






  



 _ _



hay SA là

đường cao của khối chóp S.ABC.

Theo gt, ₍₍<i>_SBC</i>_),(<i>_ABC</i>_{)) (}<i>_{SM AM}</i>_, _{) 45}0

   SA =

AM = a. Xét tam giác SAB vng tại A có :
AB = ₀ 3

tan 30
<i>SA</i>

<i>a</i>

 . Khi đó :
SABC = 2SABM = AM.

2 2 _{. 3} 2 2 2 ₂

<i>AB</i>  <i>AM</i> <i>a</i> <i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i>
Vậy thể tích là : V =

3
2

1 1 2

. . . . 2

3 <i>ABC</i> 3 3

<i>a</i>

<i>SA S</i>  <i>a a</i>  .

<b>Bài 6: </b>

Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bên <i>SA SB SC a</i>   . Góc giữa cạnh bên và đáy bằng

0

60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
<b>HD:</b>

Gọi O là tâm tam giác đều ABC. Khi đó SO là đường cao
khối chóp S.ABC.

Xét tam giác SOA vng tại O có : SO = SA.sin600₌ 3

2
<i>a</i>
Và AM = 3 3 ₀ 3. 3 3

2 2 tan 60 2 2 3 4

<i>SO</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>OA</i>  

Đặt AB = x. Ta có :

SABC =

2 ₃ ₁ ₁ ₃

. . .

4 2 2 8

<i>x</i> <i>a</i>

<i>AM BC</i> <i>AM x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3 3
2
2 3

<i>a</i> <i>a</i>

<i>x</i>  . Do đó SABC =

2_{.3 3}

16
<i>a</i>
Vậy thể tích là : V =

2 3

1 3 .3 3 3
. .

3 2 16 32

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>



<b>Bài 7: </b>

Đáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vng cân (BA=BC). Cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và có độ dài là <i>a</i> 3. Cạnh bên SB tạo với đáy một góc ₆₀0_{. Tính diện tích tồn}

phần của khối chóp.
<b>HD:</b>

Vì SA  (ABC) nên ₍<i>_{SB ABC}</i>_,( _{)) (}_<i>_{SB AB}</i>_, _{) 60}_ 0

 ₀

tan 60
<i>SA</i>

<i>AB</i> <i>a</i> = BC, do đó : AC = <i>_a</i> ₂ và SB = 2a
Mặt khác, ta có :

<i>SA</i> <i>BC</i>

<i>BC</i> <i>SB</i>

<i>AB</i> <i>BC</i>




 




 hay tam giác SBC vuông tại B.
Vậy Stp = SSAB + SSAC + SSBC + SABC

= 1

_

. . . .

_

2 <i>SA AB SA AC SB BC AB BC</i>  

=





2

2 2 2 2

1

3 6 2 ( 3 6 3)

2 2

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i>   

<b>Bài 8: </b>

Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc ₆₀0_{, độ dài các cạnh đáy là}

3, 4, 5

<i>CB</i> <i>CA</i> <i>AB</i> . Tính thể tích V của khối chóp.
<b>HD:</b>

Ta có : AB2_{= CA}2_{+ CB}2_{= 25}___{ABC vuông tại C. Do các}

cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 600_{và gọi O là trung điểm}

AB  SO là đường cao khối chóp S.ABC.

Xét tam giác SAO vng tại O có : SO = OA.tan600₌5 3

2 .
Và SABC = 1 . 6

2<i>CA CB</i> .

Vậy thể tích là : V = 1 5 3. .6 5 3
3 2 

<b>Bài 9: </b>

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC =
a và <i>_BAC</i> _

_

_{. Các cạnh bên nghiêng với đáy một góc}



.

Tính thể tích khối chóp.

<b>HD:</b>

Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc  và gọi O là trung

điểm AB  SO là đường cao khối chóp S.ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

BC2_{= 2AB}2_{– 2AB}2_.cos

_

__AB2₌

2

2 2cos _2sin
2

<i>a</i> <i>a</i>





 

 

 

 _ _

 

 AB = AC =

2sin
2
<i>a</i>



Xét tam giác SCO vng tại O có : SO = OC.tan



= .tan
2
<i>a</i>



Do đó : SABC =

2

2

1 1 1

. .sin . .sin . os

2 2 _2sin 4 2

2
<i>a</i>

<i>AB AC</i>





<i>a c</i>





 

 

 _ _ 

 

 

.

Vậy thể tích là : V =

3
2

1 1 1

. . .tan . . os .sin
3 <i>ABC</i> 3 2 4 2 24 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SO S</i> 



<i>a c</i>







<b>Bài 10: </b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,  _{60 ,}0 5

2
<i>a</i>

<i>BAD</i> <i>SA SC</i>  , SB = SD.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

HD:

Vì AB = AD = a và <i>_BAD</i> ₆₀0

 nên tam giác ABD là tam
giác đều

 SABCD = 2.SABD = 2.

2 ₃ 2 ₃

4 2

<i>a</i> <i>a</i>



Mặt khác, SA = SC, SB = SD, gọi O là trung điểm AC.

 SO  (ABCD) hay SO là đường cao khối chóp .

Xét tam giác SCO có :

SO = 2 2 5 2 3 2 2

4 4 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SC</i>  <i>OC</i>   

Vậy thể tích là : V =

2 3

1 1 2 3 6

. . .

3 <i>ABCD</i> 3 2 2 12

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SO S</i>  

<b>Bài 11:</b>

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3
2

<i>a</i> _{và mặt bên}

SAB hợp với đáy một góc bằng 600_{. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.}

<b>HD:</b>

Vì SA = SB = SC và ABC vuông tại A, gọi O là trung điểm

BC nên SO là đường cao của khối chóp S.ABC.
Xét ABC vng tại O có :

SO = 2 2 3 2 2 2

4 4 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SC</i>  <i>OC</i>   

Gọi M là trung điểm AB  OM //= 1

2<i>AC</i>. Xét SOM vuông
tại O có : OM = ₀ 2 6

tan 60 2 3 6

<i>SO</i> <i>a</i> <i>a</i>

   AC = 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Suy ra, AB =

2

2 2 2 6 3

9 3

<i>a</i> <i>a</i>

<i>BC</i>  <i>AC</i>  <i>a</i>  

Khi đó : SABC =

2

1 1 3 6 2

. . .

2 2 3 3 6

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>AB AC</i>  

Vậy thể tích là : V =

2 3

1 1 2 2

. . . .

3 <i>ABC</i> 3 2 6 18

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>SO S</i>  

<b>Bài 12:</b>

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA  (ABC),
 _{60 ,}0 _, ₃

<i>ACB</i> <i>BC a SA a</i>  . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh (SAB)  (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.

<b>HD:</b>

Ta có: <i>SA</i> <i>BC</i> <i>BC</i> (<i>SAB</i>)

<i>AB</i> <i>BC</i>




 





hay (SBC) (SAB)

Xét tam giác ABC vng tại B có: AB = BC.tan600_{= a} ₃_.
 SABC =

2

1 3

.

2 2

<i>a</i>
<i>AB BC</i> 
Do đó : VABCD =

2 3

1 1 3

. ( 3).

3 <i>ABCD</i> 3 2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SA S</i>  <i>a</i> 

Vì M là trung điểm của SB nên :
VMABC =

3 3

1 1

.

2 <i>ABCD</i> 2 2 4

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i>  

<b>Bài 13:</b>

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, <i>AB a BC a</i> ,  3. Tam giác
SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

<b>HD: Gọi O là trung điểm AC</b>

Vì (SAC) (ABC) và SO  AC nên SO  (ABC) hay SO

là đường cao của khối chóp S.ABC.
Xét tam giác ABC vng tại B, có :
SABC =

2

1 1 3

. . 3

2 2 2

<i>a</i>
<i>AB BC</i>  <i>a a</i> 

Và AC = <i>_AB</i>2 <i>_BC</i>2 <i>_a</i>2 ₃<i>_a</i>2 ₂<i>_a</i>

    , mà tam giác
SAC là tam giác đều nên SO = (2 ) 3 3

2
<i>a</i>

<i>a</i>
 .
Vậy VS.ABC =

2 3

1 1 3

. . . 3.

3 <i>ABC</i> 3 2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>SO S</i>  <i>a</i> 

<b>Bài 14:</b>

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng tại B, AB = BC = a, cạnh bên AA’=
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Theo gt ta có : SABC = 2

2<i>a</i> . Vì đây là lăng trụ đứng nên AA’ là
đường cao của lăng trụ.

Vậy V = AA’.SABC =

3 ₂

2
<i>a</i>

<b>Bài 15:</b>

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng tại

A, AC = a, góc ACB bằng 600_{. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 30}0_{. Tính thể tích}

khối lăng trụ đã cho.
<b>HD:</b>

Vì đây là lăng trụ đứng nên các cạnh bên là đường cao của lăng trụ.

Xét tam giác ABC vng tại A, có : AB = AC.tan600_{= a} ₃

và BC = B’C’ = 2a.

 SABC =

2

1 3

.

2 2

<i>a</i>
<i>AB AC</i> 

Mạt khác, ABAC và AB  AA’ nên AB (AA’C’C) ,do đó :

  0

(<i>BC</i>',(AA ' ' ) (<i>C C</i>  <i>BC AC</i>', ')<i>BC A</i>' 30 .

Xét tam giác BC’A vng tại A, có : BC’ = ₀ 2 3
sin 30

<i>AB</i>

<i>a</i>

 .

Xét tam giác BB’C’ vng tại B’, có :

BB’ = <i>_BC</i>_'2 <i>_{B C}</i>_{' '}2 ₁₂<i>_a</i>2 ₄<i>_a</i>2 ₂<i>_a</i> ₂

   

Vậy : V = BB’.SABC =

2

3

3

2 2. 6

2
<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> .

<b>Bài 16: </b>

Đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh
a. Góc giữa cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng ₃₀0_{. Hình}

chiếu vng góc của đỉnh A trên mặt phẳng đáy (A’B’C’)
trùng với trung điểm H của cạnh A’C’. Tính thể tích khối lăng

trụ.

HD:

Họi H là hình chiếu của A lên (A’B’C’)  AH là đường cao

của lăng trụ.

Theo gt ta có : SABC =

2 ₃

4
<i>a</i>

.
Xét tam giác AHA’ vng tại H có :
AH = A’H.tan300₌ _. 3 3

2 3 6

<i>a</i> <i>a</i>


Vậy : V = AH.SABC = 3

6

<i>a</i> _. 2 ₃

4

<i>a</i> ₌ 3

</div>

<!--links-->