On tap HH12 ca nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (384.7 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 1

:KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT

CẦU

I.TÓM TẮT KIẾN THỨC

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.

V = abc ( a, b, c là 3 kích thước)
2. Thể tích của khối lập phương

V = a3
3. Thể tích của khối lăng trụ

V = B.h
4. Thể tích của khối chóp.

V = 13 B.h ( B là diện tích của đáy )

5. Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2..R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường
sinh)

6. Thể tích khối trụ: V = .R2.h

 ( h : độ dài đường cao, R bán kính đáy )

7. Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l
8. Thể tích khối nón: V = . .R .h

1 2



9. Diện tích mặt cầu: S = 4. .R2



10. Thể tích khối cầu: V = . 3

3
4

R



II.BÀI TẬP

1) Vấn đề 1: KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

BT1

Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng
a , SAO 30, SAB 60 . Tính độ dài đường sinh theo a .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

*BT3:

Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA .
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC .

BT4

Cho hình vng ABCD cạnh a.SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA= 2a.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

BT5:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và
mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp SABCD theo a.

BT6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . SA (ABCD) và SA =

2a .

1. Chứng minh BD vng góc với SC.

2. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a .
BT7

Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết SA=BC=a.
BT8

Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các
cạnh AB và CD. Khi quay hình vng ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụ
trịn xoay . Hãy tính thể tích của khối trụ trịn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
BT9

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh bên là a 3 .

Tính thể tích hình chóp S.ABCD

BT10Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA= 3; góc giữa các cạnh

SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC) bằng 600.

*BT11:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC cân tại A, đường thẳng SA vng góc với mặt

phẳng (ABC).Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Biết SA3 ,a AB a BC , 2a.

1) Chứng minh đường thẳng AG vng góc với đường thẳng BC.
2) Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a.

BT12

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2.

Tính thể tích của hình chóp đã cho.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên SA bằng a 2.

a/ Chứng minh rằng ACSBD.

b/ Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo a.
BT14

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu

vng góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C)
tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này .

BT15

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B, cạnh bên SA
vng góc với đáy. Biết SA AB BC  a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

BT16

Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD theo a.

BT17:

Cho hình chóp đều S ABCD. có đáy ABCD là hình vng cạnh

a

, cạnh bên bằng

2 a

.

Tính thể tich của khối chóp theo

a

.
BT18;

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2 . Tính

thể tích khối chóp.
BT19

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng
bằng a

a. Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón .
b. Tính thể tích của khối nón tương ứng .

----HD---Xét hình nón đỉnh S , đáy là đường trịn tâm O , bán kính R
Gọi SAB cân là thiết diện qua trục SO .

Đường sinh : l = SA = SB = a AB a 2,R a 2
2

  

a. Do đó : Sxq Rl 2 2a
2



 

2 2 a 2 1 2

Stp Sxq S a a

2 2 2

  

  đáy    

b. Đường cao : h SO AB a 2

2 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

V 1 R h2 2 a3

3 12

   

nãn

BT20

1) Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 6 cm; AD = 8 cm; AA’ = 10
cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và B’C’.

a) Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
b) Tính thể tích khối tứ diện D’DMN.

2) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; các cạnh bên tạo với
đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM đồng thời
song song với BD; cắt SB, SD lần lượt tại E, F.

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
ĐÁP ÁN:

Tóm tắt cách giải Thang

điểm
1)

// //

\
\ N

M B'

A'
D'

D

C'
C
B
A

_
_
N
B'
M //
//

D'

A'

C'

1,5đ

1a) VABCD.A’B’C’D’ = 6.8.10 = 480 cm3. 1,5đ

1b) 2

D'MN

1 1 1

S 6.8 6.4 3.4 8.3 18cm

2 2 2

    

3
D'DMN

V 18.10 60cm
3

 

1,0đ

1,0đ
2)

a

a
600

x

x
x
O

I
F

E
//

//
M

D C

B
A

S

1,0đ

2a) O là tâm hình vng  SO  (ABCD).

 0

SAO 60 SAC đều và AC a 2  SO a 6
2


3

2
S.ABCD

1 a 2 a 6

V a

3 2 6

   

2,0đ

2b)

Cách 1: AM SO a 6
2

  ;

2 2

EF BD a 2

3 3

 

Cách 2:

S.AMF
S.ACD

V SA.SM.SF 1 2 1
V SA.SC.SD   2 3 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2
AEMF

1 a 3

S AM.EF

2 3

 

S.AEMF AEMF

1 a 6

V S .SM

3 18

 

S.AMF S.AMF
S.ABCD S.ACD

V V 1

V 2V 6;

S.AME
S.ABCD

V 1

V 6

S.AEMF
S.ABCD

V 1 1 1

V  6 63

3
S.AEMF S.ABCD

1 a 6

V V

3 18

 

2) Vấn đề 2: MẶT CẦU

BT21

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với nhau từng đơi một với SA =
1cm,SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện ,
tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .

BT22:

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính diện tích

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
BT23:

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với nhau từng đơi một với
SA = 1cm,SB = SC = 2cm .

Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt
cầu và thể tích của khối cầu đó .

BT24

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc  0



SAC .

a. Tính thể tích hình chóp.

b. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
BT25

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh SA = 2a và SA
vng góc với mặt phẳng đáy ABCD.

1) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Chú ý:

* Hình chóp nội tiếp một mặt cầu thì đáy của hình chóp nội tiếp một đường trịn là giao
của mặt phẳng đáy với mặt cầu.

* Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của  và (). Trong đó  là trục của

đa giác đáy của hình chóp và () là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

M4

M5

M6

M3

M2

M1

A

D

C
B

Phương pháp

- Dựng đường cao SO vng góc với mp(ABC)

- Trong tam giác SAO đường trung trực của SA cắt SO tại .

- Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có tâm  và bán kính

2
SA
R S

SO



 

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy
một góc .

Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải:

Dựng SO(ABC)

ta có SA = SB = SC  SO là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của SA cắt SO tại , ta có:

S A

  và



A





B





C

Vậy



là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD -> Tìm tâm và tính bán kính.

Bài tập 6. (ĐỀ SGK)

Củng cố phương pháp xác định tâm và
bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.

Hướng dẫn học sinh
giải câu b):

Giả sử mặt cầu (S)
tiếp xúc với sáu
cạnh

của tứ diện ABCD
tại M1, M2, M3,
M4, M5, M6.

 AM1 = AM2 = AM3,

BM1 = BM6 =BM4,

CM5 = CM2 = CM4, DM5 = DM6 = DM3.

 AB + CD = AC + BD = AD + BC.

Bài tập 7.

Củng cố phương pháp xác định tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.

HDcâu7 b):

\
\

O
H'
D'

B'

H

D C

B
A

S

A'

C'

I

Gọi SH là đường cao hình chóp đều
S.ABCD  H là tâm hình vng ABCD,

SH đi qua tâm H’ của hình vng

BT 6. (ĐỀ SGK)
a) Mặt cầu tâm O
tiếp xúc với
ba cạnh AB,
BC, CA
(của ABC)

lần lượt tại I, J, K.

 OI  AB,

OJ  BC, OK  CA

và OI = OJ = OK.

Gọi H là hình chiếu vng góc của O
trên (ABC)

 H là tâm đường tròn nội tiếp ABC.
 O thuộc trục của đường tròn nội tiếp
ABC.

BT 7. (ĐỀ SGK)

\

\
I

S

H
A

O

C

B

a) Giả sử SH là đường cao của hình chóp
đều S.ABC. SA = SB = SC  SH là trục

của đường tròn ngoại tiếp ABC.

Trong (SAH), đường trung trực của cạnh
SA cắt SH tại O  O là tâm mặt cầu

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

=
/
\
\
=
=

J
I
G
M
A

C
B
S
c
2
c
2
c
2
c
2
a
a
//
//
J
I
O
A
C
B D

A’B’C’D’ (SH là trục của hình vng
ABCD, A’B’C’D’). Mặt phẳng trung
trực của đoạn AA’ cắt SH tại O  O là

tâm mặt cầu đi qua tám điểm A, B, C, D,
A’, B’, C’, D’ và bán kính R = OA. Gọi I
là trung điểm của AA’  SIO vuông

cân tại I  OI SI 3a

 



2 2

3a a a 10
R OA

4 4 4

   

      

   

V 5 a3 10
24




mặt cầu là R = SO.



2 2

2 a 3h



 .

Gọi I là trung điểm của SA  SIO ~
SHA

 SO.SH = SI.SA

2 2
a 3h
R SO
6h

 






3
2 2
3
a 3h
V

162h
 
 .

Bài tập 8. HD

Củng cố phương pháp xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối đa diện.

Hướng dẫn giải câu b):

Củng cố phương pháp xác định
tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp
hình chóp.

Các mặt của hình tứ diện là các
tam giác bằng nhau (đều có độ dài
ba cạnh bằng a, b, c) nên các đường
tròn ngoại tiếp của các tam giác đó
có bán kính r (bằng nhau). Các
đường trịn đó đều nằm trên mặt
cầu (O; R) nên khoảng cách từ tâm
O đến các mặt phẳng chứa các
đường trịn đó bằng nhau và bằng

2 2

h R  r .

Vậy mặt cầu (O; h) là mặt cầu
nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài tập 9. (sgk)

Củng cố phương pháp xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối đa diện.

Củng cố các kiến thức của hình
học phẳng có liên quan.

Thay cho việc dựng mặt phẳng
trung trực của cạnh SC, hướng dẫn
học sinh chú ý : SC và  cùng

vng góc với (SAB)  SC // .

Trong (SC; ) dựng đường trung

trực cạnh SC, đường trung trực nầy

BT 8.

a) Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của
AB và CD.

 IJ  AB

và IJ  CD.

Gọi O là trung
điểm

của IJ thì OA = OB
và OC = OD.

AB = CD = c

OIB = OJC  OB = OC.

 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

và có bán kính R = OA. 

2 2 2

2 2a 2b c

 





2 2 2
2 a b c

 

 

2 2 2

2 2 a b c

R OA

 

 

 Diện tích mặt cầu: S 4 R2



a2 b2 c2





    

BT 9.
Gọi J là

trung điểm của AB.

SAB vuông ở S
 JS = JA = JB.

Gọi  là trục của

đường trịn ngoại
tiếp

SAB thì  đi qua J

và vng góc
với (SAB).

Gọi I là giao điểm của  và đường trung trực

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

cắt  tại I. S.ABC và mặt cầu có bán kính R = IA. 

2 2 2

2 2 2 2 a b c

R IA IJ AJ

 

   

Diện tích mặt cầu: S 4 R2 (a2 b2 c )2

     .

SJ // IJ  SJ cắt CJ tại G. SC = 2IJ
 CG = 2GJ.

CJ là trung tuyến ABC  G là trọng tâm
ABC.

Bài tập đề nghị:

1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.

a) Biết AB=a và SA=l, tính thể tích khối chóp.

b) Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng , tính thể tích khối chóp.

2) Một hình nón trịn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vng cân có cạnh
bằng a.

Tính diện tích tồn phần của hình nón đó .

3) Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình vng cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD
cùng vng góc với mặt đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300.

Tính thể tích hình chóp S.ABCD

4) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là

. Tính diện tích tồn phần của hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy là hình trịn ngoại tiếp

đáy hình chóp.

5) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và

ASB

 =. Tính thể tích hình

chóp.

6) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB=a,

BAC







, (



là góc
nhọn ) . Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh SB tạo với đáy một góc



.
Tính diện tích tồn phần hình chóp S.ABC

7) Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết cạnh CD=2a, các cạnh còn lại
đều bằng

a

2

8) Tính diện tích tồn phần tứ diện ABCD biết cạnh CD=2a, các cạnh còn lại đều bằng

a .

Chủ đề 2:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PT ĐƯỜNG THẲNG – PT MẶT PHẲNG – PT MẶT CẦU.

I) V

ấn đề 1 :

T

ọa độ trong không gian

1) Tóm tắt kiến thức:

Trong khơng gian Oxyz cho
1 2 3 1 2 3

( ; ; ), ( , , )

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

1 1 2 2 3 3

(1)a b  (a b a, b a, b )

1 2 3 2 3

(2)ka k a a a ( ; ; ) ( ka ka kaa, , )

(k )

Hệ quả:
*
1 1
2 2
3 3



   
 



  a b

a b a b

a b

Xét vectơ 0 có tọa độ là (0;0;0)

1 1 2 2 3 3

0, //
, ,
( , , )

   
  
   
  


B A B A B A

b a b k R

a kb a kb a kb
AB x x y y z z

+ Nếu M là trung điểm của đoạn AB Thì: , ,

2 2 2

  

 

 

 

A B A B A B

x x y y z z
M

+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì , ,

3 3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z Z

G       

 

V dụ 1: Cho ( 1, 2,3)
)3,0, 5)

a
b
 
 



a. Tìm tọa độ của x biết

2 3

x a b
  

b. Tìm tọa độ của x biết

3a  4b2x O

V dụ 2: Cho

( 1;0;0), (2;4;1), (3; 1;2) 

A B C

a. Chứng minh rằng A,B,C không thẳng hàng

b. Tìm tọa độ của D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

+ Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng.

1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3

( , , ), ( , , )
.

a a a a b b b b
a b a b a b a b

 

  

 

Hệ quả:

+ Độ dài của vectơ

2 2 2
1 2 3



  

a a a a

Khoảng cách giữa 2 điểm.

2 2

( ) ( )

  B A  B A

AB AB x x y y

Gọi  là góc hợp bởi a và b
1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

os ab a b a b ab

C

a b a a a b b b

  

   





 

1 1 2 2 3 3

a b  a b a b a b

Vdụ: (SGK)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tính : a b c  (  )và 
 

a b
+ Phương trình mặt cầu.

Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a,b,c) bán kính R có phương trình.

2 2 2 2

(x a ) (y b ) (z c ) R

Ví dụ: Viết pt mặt cầu tâm
I (2,0,-3), R=5

* Nhận xét:

Pt: x2 y2 z2 2 x-2by-2cz+d=0a

   (2)

2 2 2 0

R  a b c  d

pt (2) với đk:

2 2 2 0

a b c  d  là pt mặt cầu có tâm I (a, b, c)

2 2 2

R a b c  d

Ví dụ: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

2 2 2 4 6 5 0

x y z  x y 

2) Bài tập

Bài 1

: Cho ba vectơ 

a= ( 0;-2 ; 4 ),b= ( 1; 3; -1) , c = (2 ; 0; 5 ).Tìm tọa độ

của :

a) Vectơ d  a b3c

4 .

b) Vectơ 

x biết x2a a.

c) Vectơ 

u biết 2au5b

d) Tìm   







a.b .c

, e)   







b.c .a

, g )   







a,b .c

Bài 2 : Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; 2 ; 0) , C ( -4; 2 ; 5).
a) Chứng minh A , B ,C là ba đỉnh của một tam giác .

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
c) Tìm a , b để điểm M(a+2 ;2b – 1 ; 1) thuộc đường thẳng AC.

Bài 3: Cho bốn điểm A(-3 ; 5 ;15) , B(0 ;0 ;7) , C (- 4 ; 2 ; 5) , D(4 ;-3 ; 0) .Chứng
minh rằng hai đường thẳng AB và CD cắt nhau .

Bài 4: Cho bố điểm A(0 ; -1 ; 0) , B(0 ; 0 ; 2) ,C( 1 ; 0 ; 0) , D(-1 ; 1 ; -2) .
a) Chứng minh rằng A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện .

b) Chứng minh rằng AC vuông góc với BD .
c) Tính góc tạo bới hai đường thẳng AB và CD .

d) Tính thể tích của tứ dịên và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A.
Bài 5:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; 0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0) ,C (0 ; 2 ;0) , A’( 0 ; 0 ;
3).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) Goi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC , CD, DD’. Tính
khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ)

Bài 6 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt
là trunh điểm của A’D’ và B’B .

a) Chứng minh rằng MN vng góc với AC’ .

b) Chứng minh rằng AC’ vng góc với mặt phẳng (A’BD).
c) Tính góc giữa MN và CC’.

I I)

V

ấn đề 2

: Ph

ương trình tổng qt của mặt phẳng

Tóm tắt kiến thức

1) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

+ Vec tơ pháp tuyến (vtpt) của mặt phẳng (sgk)
+ Biểu thức tọa độ tích có hướng của hai vec-tơ (sgk)
+ Định nghĩa (SGK)

Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A, B, C khơng đồng thời bằng 0 được gọi là phương
trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

a. Nếu mp ()có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vtpt là

n



(A;B;C)

b. Pt mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ

n



(A;B;C) làm vtpt là:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Vd 4: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1;1;10; N(4;3;2);
P(5;2;1)

Giải:

MN = (3;2;1)

MP = (4;1;0)

Suy ra (MNP)có vtpt
n=(-1;4;-5)

Pttq của (MNP) có dạng:-1(x-1)+4(y-1)-5(z-1) = 0 Hay x-4y+5z-2 = 0

+ Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc:

@ Điều kiện để hai mặt phẳng song song:
Trong (Oxyz) cho2 mp ( 1)và ( 2) :

( 1): A1x + B1y+C1z+D1=0

( 2 ): A2x+B2 y+C2 z+D2 =0

Khi đó ( 1)và ( 2) có 2 vtpt lần lượt là:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

D1 kD2thì ( 1)song song ( 2 )
@ Điều kiện để hai mp vng góc:

(1)(2) n1 .n2 =0  A1A2+B1B2+C1C2=0
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

d(M0,( )) = 2 2 2
0
0
0

C
B
A

D
Cz
By








2)Phương trình tham số của đường thẳng.

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M x y z0



0; ;0 0



và có vtcp



1; ;2 3



a a a a là phương trình có dạng

0 1

0 2

0 3

x x ta
y y ta
z z ta

 




 



  


trong đó t là tham số.

* Chú ý: Nếu a a a1, ,2 3 đều khác 0 thì ta viết phương trình của đường thẳng dưới

dạng chính tắc như sau: 0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

  

 

Điều kiện để 2 đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau:

Cho 2 đường thẳng :
x = x0 + a1 t
d : y = y0 + a2t
z = z0 + a3t

x = x’0 + a’1 t’
d’ : y = y’0 + a’2 t ‘
z = z’0 + a’3 t’

có vtcp a & a’

a & a’: cùng phương

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a & a’: cùng phương

d // d’ d &d’: khơngcóđiểm chung

a & a’: khơng cùng phương

d &d’: có điểm chung d cắt d’

a & a’: không cùng phương

d &d’: khơng có điểm chung d & d’ chéo nhau

* Chú ý: Để tìm giao điểm của d & d’ ta giải hệ : 
x0 + a1 t = x’0 + a’1 t’

y0 + a2t = y’0 + a’2 t ‘
z0 + a3t = z’0 + a’3 t’

Ví dụ1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
x = 1 + 2t

a/ d : y = 5 +t

z = 2 - 3t
x = 3 - t’

và d’ : y = 6 + 5 t’
z = - 1+ t’

x = 2- t

c/ d : y = 1+2t
z = 3 - 3t
x = 1 + 2t’ 
và d’ : y = 3 - 4t ‘
z = 6t ‘

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

x = 5t ‘
và d’ : y = 3 - t’
z = 4 - 3t’

* Chú ý:

- d d’ a . a’ = 0 
- Nhận xét: SGK

- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng ta có thể dựa vào bảng tóm tắt sau:

x0 + a1 t = x’0 + a’1 t’
y0 + a2t = y’0 + a’2 t ‘ (I)
z0 + a3t = z’0 + a’3 t’

Quan hệ giũa vtcp a
& a’

Hệ phương trình (I) Vị trí giữa d và d’

Cùng phương Có nghiệm d trùng với d’

Cùng phương Vơ nghiệm d song song d’

Khơng Cùng phương Có nghiệm d cắt d’

Không Cùng phương Vô nghiệm d , d’ chéo nhau

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Trong kg Oxyz cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D=0 và đường thẳng

0 1

0 2

0 3

; (

)

x x

a t

y

a t t R

z z

a t

















  



Xét phương trình A(x0a t1 ) + B(y0a t2 ) + C(z0a t3 ) + D = 0 ( 1) ( t là ẩn)

* TH1 : PT(1) vơ nghiệm thì d và (P) song song

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

VD2: SGK

3) Một số bài toán cần chú ý

Bài tốn 1: Viết phường trình hình chiếu vng góc a’ của đường thẳng a trên mp(P)
Phương pháp

B1: Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng a và vng góc với mặt phẳng (P)
B2: Phương trình đường thẳng a’ cần tìm là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) -> ptts của 
đthẳng a

Bài tốn 2

Phương pháp

B1: Viết phương trình đường thẳng a đi qua M và vng góc với mp(P)

B2: Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình gồm mp(P) và đường thẳng a

Bài tốn 3: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của điểm A trên mp(P)
Phương pháp

B1: Tiềm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A trên mp(P)
B2: A’ là điểm đối xứng của A -> H là trung điểm của AA’

Ta có:
'

2

H A

A

H A

A

H A

A

x

y

A

Z

























Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm M’ là hình chiếu vng góc của điểm M trên đường thẳng
a

Phương pháp

B1: Viết phương trình mp(P) đi qua M và vng góc với a

B2: Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình gồm mp(P) và đường thẳng a

Bài tốn 5: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của điểm A trên đường thẳng a
Phương pháp

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ta có:

'
2

2
2

H A

A

H A

A

H A

A

x x x

y y y A

Z Z Z

  



  




 



Bài tập

Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng theo các điều kiện sau:

1) Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB, biết



2;1; 4 ;





1; 3;5



A B  

2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm



1;6;2 ;





4;0;6 ;





5;1;3



A B C

3) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M



1;3; 2



và // với

mp(Q): x2y z  4 0

4) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua I



2;6; 3



và // mặt phẳng

(xOz);

5) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M



1;1;1



và song song với trục

;

Ox Oy

6) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M



1; 1;1 ;



N



2;1;1



và

// với trục Oy

7) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M



2; 1;1 ;



N



2;3; 1



và vng góc với mặt phẳng

 

Q x:  3y2z 4 0 .

8) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A



1;2;3



và vng góc với

hai mặt phẳng :

 



:x 2 0 ;

 

 :y z  1 0

9) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ và vng góc với
hai mặt phẳng :

 

P

:

x y z



 

7 0



và

 

P2 : 3x2y12z 5 0

10) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của
điểm M



2; 4;3



trên các trục toạ độ.

11) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của
điểm M



4; 1; 2



trên các mặt phẳng toạ độ.

Bài 9: Cho tứ diện ABCD có A



5;1;3 ;



B



1;6; 2 ;



C



5;0; 4 ;



D



4;0;6



1)Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

2)Viết phương trình mặt phẳng

 

P1 đi qua A và vng góc với BC

3) Viết phương trình mặt phẳng

 

P2 đi qua A,B và //CD

4) Viết phương trình mặt phẳng

 

P3 đi qua A và chứa Ox

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

6) Tìm toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)

Bài 10/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) trong các trườnghợp

1) () đi qua M (3; 2; -5 ) và vng góc với trục Oz .

2) () là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).

3) () qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz .

Bài 11/ Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:

a. () đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .

b. () đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .

c.() đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng

(P): x + y – z = 0 .

d. () qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vơng góc với hai mặt phẳng :

( 1): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 .
Bài 12/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :

(1): 2x + 3y – 4 = 0 , (2) : 2y – 3z – 5 = 0 , (3) : 2x + y – 3z –2 = 0.

a. Viết phương trình mặt phẳng (  ) quiểm M( 1;3; -4 )và giao tuyến

của(1) ,(2)

b. Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua giao tuyến của (1) ,(2) đồng thời

vng góc với (3) .

Bài 13/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :

d1::



















0

1

2

0

5

4

2 z

y

x

z

y

x

, (d2) :





















t

z

t

y

t

x

2

3

2

1

1) Viết phương trình mặt phẳng () qua (d1) và song song với (d2).

2) Viết phương trình mặt phẳng (1) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai

đường thẳng (d1), (d2) .

Bài 14 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:1 21 22






y z

x

và
vng gócvới mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0

Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 1) ,B(–1 ;1 ;

C(–1 ;1 ; 0) , D(2 ;–1 ; –2)

a. CMR: A , B , C , D là bốn đỉnh của tứ diện .
b. Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.

c. Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

C(-1;1;0); D(2;-1;-2).

a. Chứng minh rằng ABCD là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện.
b. Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ D

c. Tính độ dài đường cao từ A của tứ diện.
d. Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
e. Viết phương trình trung trực của AB.
f. Viết phương trình đường thẳng AB.

g. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện ABCD.
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

h. Chứng minh rằng AB và CD chéo nhau.

i. Tìm tọa độ điểm M sao cho ABCM là hình bình hành.

k. Viết phương trình đường trịn (ABC). Tìm tâm và bán kính của nó.

Bài 17 Cho hai dường thẳng d1: 1 1 2

2 1 2

x y z

  và d2: 2 1 2

2 3 1

x y z

 


a. Chứng minh rằng d1và d2 chéo nhau. Tính khỏang cách giữa chúng.
b. Viết phương trình dường thẳng chứa M( 1; -2; 1) và d1

c. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song d2

d. Viết phương trình mặt phẳng qua M(1; -2; 1) và vng góc với d2
e. Viết phương trình đường thẳng qua M(1; -2; 1) và cắt cả d1 và d2
f. Viết phương trình mặt cầu tâm M(1; -2; 1) và nhận d1 làm tiếp tuyến.
g. Tìm hình chiếu vng góc của M(1; -2; 1) trên d2

h. Viết phương trình đường vng góc chung của d1 và d2

Bài 18 Cho đường thẳng : 12 9 1

4 3 1

x y z

  và mặt phẳng ():3x+5y-z-2=0.

a. CMR :  và () cắt nhau. Tìm giao điểm giữa chúng.

b. Viết phương trình mp(’) qua M(1; 2; -1) và vng góc với 

c. Viết phương trình hình chiếu vng góc của  trên ().

d. Tìm điểm A’ đối xứng với A(1; 0; -1) qua ()

e. Viết phương trình mặt cầu tâm A nhận () làm tiếp diện.

Bài 19 Viết phương trình mặt cầu qua A(1; 2; -4); B(1; -3; 1); C(2; 2; 3) và có tâm
nằm trên mp(Oxy).

Bài 20 Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(1; -1; 2); B(3; 2; -2)

Bài 21 Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1; 2; -4); B(1; -3; 1); C(2;2;3) và có
tâm nằm trên mp(Oxy).

Bài 22 Viết phương trình chính tắc của các giao tuyến của (): 3x + 5y–z -15=0. với các

mặt phẳng tọa độ

Bài 23 Tìm hình chiếu vng góc của M(1; -1; 2) trên (): 2x - y + 2z +12 = 0.

Bài 24 Cho :

1 2
1
2

x t

y t

z t

 




 


 


và M(2; -1; 1)
a. Tìm hình chiếu vng góc của M trên 

b. Tìm điểm đối xứng của M qua 

c. Viết phương trình mặt phẳng chứa M và .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 25 .Viết phương trình hình chiếu vng góc của : 1 2 3

2 3 1

x y  z

 



a. Trên mp Oxy
b. Trên mp Oxz

c. Trên mp Oyz

Bài 26 CMR đường thẳng (d):

2 10
11
1

2
5 7

x t

y t

z t

 





 




 




(tR) nằm trong (P):3x-8y+2z-8=0

Bài 27. Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2

1 2

: & : 1

2 1 1

x t

x y z

d d y t

z

 


  

    



 


1/ CMR: d1 & d2 chéo nhau.

2/ Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp(P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai
đường thẳng d1, d2 .

Bài 28. Trong kgOxyz, cho hai điểm A(1; 4;2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng

1 2

1 1 2

x y z

d    

 .Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác OAB

và vng góc với mp(OAB).

Bài 29. Trong kgOxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và 
mp(P): 2x – y + 2z – 14 = 0.

Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox và qua tâm I của mặt cầu (S).

Bài 30 Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2) , C(4; 3; 2), D(4; -1; 2).
1/ CMR: 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.

2/ Gọi A’ là hình chiếu vng góc của A trên mp(Oxy). Viết phương trình mặt cầu (S)
qua 4 điểm A’, B, C, D.

3/ Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại A’.

Bài 31 Trong kgOxyz, cho 3 điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1) , C(0; 2; 0). Gọi G là trọng
tâm của tam giác ABC.

1/ Viết phương trình đường thẳng OG.

2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, C.

3/ Viết phương trình các mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt
cầu (S).

Bài 32 : Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau.

1) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua M(1;0;1) và nhận VTCP u



3;2; 4



2) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
3) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua A(1;-2;3) và // với

 

2 2

: 3

x t

d y t

z t

 






  


4) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua B( -1;2; 4) và // với

 

: 3 1 4

2 3 5

x y z

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

5) Viết ptts, ptct của đường thẳng đi qua A(2;0;-3) và vng góc

 

P : 2x 3y5z 4 0 .

6)Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Hãy viết ptts,
ptct của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc
với (P).

Bài 33 Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ():

a. Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3).

b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)
c. Qua D(3; 1; -2) và vng góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0
Bài 34 5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt
phẳng :

3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 32 24  21





 y z

x

Bài 35 Lập phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả

hai đường thẳng : (d1):





















t

z

t

y

t

x

3

4

, (d2):

























t

z

t

y

t

x

5

4

3

2

1

Bài 36: Tính khoảng cách từ M(1; 1; 2) đến đờng thẳng (d):

1
3
3
2
2






 y z

x

Bài 37: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:

b) (d):























t

z

t

y

t

x

1

3

9

4

12

(P): y + 4z + 17 = 0

Bài 38: Cho A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0. Hạ AH  (P). Viết
ph-ơng trình tham số của đờng thẳng AH và tìm tọa độ của H

Bµi 39: Cho d: x 1 y 1 z 3

1 2 2

  

 

 và (P): 2x - 2y + z - 3 = 0. Tìm tọa độ giao điểm A

cđa d vµ (P).

Bài 40: Chứng minh rằng hai đờng thẳng sau song song và viết phơng trình mặt phẳng

chứa hai đờng thẳng đó. d1:

x 5 2t
y 1 t
z 5 t

 


 

  


vµ d2:

x 3 2t

y 3 t

z 1 t

'
'
'
 


 

  


Bài 41: Cho A(1; 2; 1) và đờng thẳng d: x y 1 z 3

3 4 1

 

  .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 42: Cho đờng thẳng d:

x 1 2t
y 2 t

z 3t

và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0

1. Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đờng thẳng d

2. Tìm tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó
đến mặt phẳng (P) bằng 1

Bài 43: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) và D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vng góc
của D lên mặt phẳng (ABC) và suy ra tọa độ điểm K đối xứng với D qua (ABC)

Bµi 44: Cho (d1):























t

z

t

y

t

x

5

1

2

5

(d2):























1
1
1

1

3

2

3

t

z

t

y

t

x

(t, t1  R)

CMR: (d1) // (d2). Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2). Tính khoảng cách

giữa (d1) và (d2)

Bài 45: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19
= 0

Bµi 46: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
1) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B vµ  (P).

2) Viết phơng trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K
đối xứng với A qua (P).

Bµi 47: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)

1) Viết phơng trình tham số của BC. Hạ AH  BC. Tìm toạ độ điểm H.

2) Viết phơng trình tổng qt của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(BCD).

Bµi 48: Cho A(2; 3; -1) (d):

1
3
4
2


y z
x

Lập phơng trình đờng thẳng qua A  (d) cắt (d).

Bài 49: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
Tìm điểm M  (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 50:Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d): 11 11 22





 y z

x

Tìm điểm M  (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 51 Cho D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba ®iĨm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1;
8)

1. Viết phơng trình đờng thẳng BC

2. Viết phơng trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(ABC)

Bài 52 Câu 3: Cho đờng thẳng d: x 1 y 1 z 2

2 1 3

  

  vµ x - y - z - 1 = 0. Tìm phơng

trỡnh chớnh tc ca ng thng đi qua điểm A(1; 1; -2) song song với mặt phẳng (P) và
vng góc với đờng thẳng d

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

2. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d đi qua trọng tâm của ABC và
vng góc với mặt phẳng (P)

3. Xác định chân đờng cao hạ từ A xuống BC và tính thể tích tứ diện OABC

Bài 54 C©u 7: Cho (P): 3x - 2y + 2z - 5 = 0 vµ (Q): 4x + 5y - z + 1 = 0
1. Chøng minh r»ng hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau

2. Viết phơng trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng (P) vµ (Q)

Bài 55 Cho đờng thẳng d: x 3 y 4 z 3

1 2 1

  



và mặt phẳng (P): 2x + y + z - 1 = 0

1. Tìm tọa độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P)

2. Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua điểm A, vng góc với đờng thẳng d và
nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 56 : Các cặp đờng thẳng sau có chéo nhau hay không?

1. d1:

x 3t 7
y 2t 4
z 3t 4

 


 

  


vµ d2:

x 1 t
y 9 2t
z 12 t

'
'
'
 


 

  


2. d1:

x 2 y 3 z 1

2 3 5

  

 

 vµ d2:

x 2 y 4 z 4

1 2 1

  

 

  

Bài 57: Chứng minh rằng hai đờng thẳng d1:

x 1 y 1 z 2

5 6 3

  

 

  vµ

d2:

x 2 y 1 z 1

1 1 1

  

 

  cùng nằm trên một mặt phẳng và viết phơng trình mặt phẳng đó

Bài 58 : Chứng minh rằng hai đờng thẳng sau song song với nhau và viết phơng trình

mặt phẳng chứa hai đờng thẳng đó. d1:

x 3 4t
y 2 3t
z 1 5t

 


 

  


vµ d2:

x 1 y 1 z 2

4 3 5

  

 

 

Bài 59: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng d và mặt phẳng (P):
1. d: x 1 y 3 z

2 4 3

 

  ; (P): 3x 3y 2z 5 0   

2. d: x 13 y 1 z 4

8 2 3

  

  ; (P): x + 2y - 4z + 1 = 0

Bài 60: Tìm giao điểm của đờng thẳng d:

x 2t
y 1 t
z 3 t




 



và mặt phẳng (P): x + y + z - 10 =

Bi 61: Cho 4 điêm A(-1; 3; 2), B(4; 0; -3), C(5; -1; 4), D(0; 6; 1)

1. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC. Hạ AH vng góc BC. Tìm tọa
độ điểm H

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 62: ( Nõng cao) Tính khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng d trong các trờng hợp
sau:

1. d: x 2 y 3 z 3

1 1 2

  

 

 và A(2; -1; 3)

2. d: x 1 y 4 z 3

1 2 1

  

 

 và A(0; 1; -1)

Bài 63: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau ,nếu chúng cắt nhau hãy
tìm tọa độ giao điểm :

d/ d: x9 1y6 2 z3 3 vaø d’:

2
5
4

6
6

7 





 y z

x

Bài 64 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau , nếu chúng cắt
nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng:

a/ d:























t

z

t

y

t

x

1

3

9

4

12

vaø () : 3x + 5y – z – 2 = 0

c/ d: x21y12 z43 vaø () : 4x + 2y – 8z +2 = 0

d/ d: x21y12z13 vaø () : 2x + y – z –3 = 0

Bài 65 : Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :























t

z

t

y

t

x

2

1

2

1

.
a) Tìm hình chiếu vng góc H của M trên (d).
b) Tìm điểm M’ đối xưng với M qua (d).

Bài 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng

() : x + 2y – z + 4 = 0.

a. Tìm hình chiếu vng góc của N trên mặt phẳng .
b.Tìm điểm N’ đối xứng với N qua ().

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

(d) :x2 11y z32.

a. Chứng minh (d) cắt () .

b. Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với ().

c.Viết phương trình đường thẳng () qua A vng góc với (d) đồng thời

nằm trong mặt phăng ().

Bài 68 : Cho (d) : 1 2 21 23





 z

m
y
m
x

, () : x +3y – 2z – 5 = 0. Định m để:

a). (d) caét () b). (d) // () c). (d)  ().

Bài 69: Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến

mặt phẳng () : 2x –2y + z – 5 = 0

Bài 70 Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng (NÂNG CAO) :

3
1
2

1
1







 y z

x

Bài 71:Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17

= 0

Bài 72 Cho đường thẳng (d):





















t

z

t

y

t

x

3

2

1

và mặt phẳng () : 2x – y – 2z +1 = 0.

Tìm các điểm M  (d) sao cho khoảng cách từ M đến () bằng 3 .
M

Ặ T C Ầ U : Các dạng bài tập thường gặp:

Bài 73: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau :

a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 = 0

b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0

Bài 74: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 ).

b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 ).

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ), B( 3; -1; 0 ),C( 0; -7; 3 ),D(-2;1;
-1).

Bài 75 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 )

C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy.

Bài 76 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 = 4và

mặt phẳng (): x + z = 2.

Chứng minh rằng mp() cắt mặt cầu (S).

Xác định tâm và tính bán kính của đường trịn (C) là giao tuyến của () với

(S).

Bài 77 Lập phương trình mặt tiếp diện của mặt cầu (S):x2+y2+z2 – 6x– 2y+4z+5

=0.

Tại điểm M(4; 3; 0 ).

Bài 78 Lập phương trình mặt () tiếp xúc với mặt cầu x2+y2+z2 –26x– 2y-2z –

22= 0

biết () song song với (  ): 3x – 2y + 6z +14 = 0.

Bài 79 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):























t

z

t

y

t

x

1

3

1

4

và tiếp xúc
với mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 – 2x + 6y+ 2z + 8 = 0

M

Ặ T PH NGẲ

Bài 80 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) trong các trườnghợp

a) () đi qua A (1; 0; 2 ) và vng góc với mặt phẳng Oxy .

b) (α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vng góc với trục Ox .

c) () là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 ).

d) () qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0.
Bài 81 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ;
-2) , C(-5 ; 2 ; -6) .

a) Chứng minh A, B , C là ba đỉnh của tam giác .

b) Tính độ dài phân giác ngồi góc A của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

Bài 82:Cho mặt phẳng (P) : 2x + 5y – 7x +1 = 0 .
a) Hãy xác định vectơ pháp tuyến của (P).

b) Xác định m để điểm A(2m – 1 ; m +2 ; m – 1) nằm trên (P).
c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với các trục tọa độ .

d) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng tọa độ
.

Bài 83 : Viết phương trình mặt phẳng :

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

b) Đi qua M(2 ;-1 ; -3) và vng góc với trục Ox .

c) Đi qua I( -1 ; 2 ; 4) và song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 =
0 .

d) (α ) là mặt trung tực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3) , B(-1 ; 1 ; 0).
e) (β ) đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6).

f) Đi qua hình chiếu của điểm N( 1 ; -3 ; 1) trên các trục tọa độ .
*Bài 84:Cho điểm M(1 ; 2 ; 3) .

a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) và cắt ba trục tọa độ tại A, B, C sao cho
M là trọng tâm của tam giác ABC .

b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) và cắt ba trục tọa độ tại N, P , Q sao cho
M là trực tâm của tam giác ABC .

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách
đều gốc tọa độ.

Bài 85a :Viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; 2 ; 7) và vng góc với mặt phẳng
(α) :2x–3y+z–7 = 0.

b) Đi qua M(0 ;2; -1) , song song với trục Ox và vng góc với mặt phẳng
(β) x – y +z = 0 .

c) Đi qua N(-3;0;1) và vng góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = 0 ;
(Q):x + 5y–2z = 0

Bài 85b: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD .

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
G và song song với mặt phẳng (ABC ) .

Bài 86: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và 3x – y +z – 1 = 0 .
b) – x +y – z + 4 = 0 và 2x – 2y + 2z – 7 = 0.
c) x + y + z – 3 = 0 và 2x – 2 y + 2 z – 3 = 0.
d) 3x + 3y – 3z – 12 = 0 và 4 x + 4y – 4z – 16 = 0.

Bài 87 : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – 5 = 0 vaø

x + 2y – 3nz +3 = 0 .

Tìm m , n để hai mặt phẳng :
a) Song song với nhau .

b) Trùng nhau .
c) Cắt nhau .

Bài 88 : Cho hai mặt phẳng :3x – (m – 3)y +2z – 5 = 0 và (m + 2)x – 2y + mz – 10 =
0 .Tìm m để :

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

c) Hai mặt phẳng cắt nhau .
Bài 89 : Viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua A(1 ; 2 ; 1 ) và chứa trục Oy .

b) Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng : x – 3z +1 = 0 , 2y +3z – 5 = 0 và
vng góc với mặt phẳng 2x – y – 1 = 0 .

c) Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng 3x – y + 3z +8 = 0 , -2x – y +z +2 = 0
và song song với mặt phẳng x – y – 1 = 0.

Bài 90 : Viết phương trình tham số , ptct của đường thẳng đi qua hai điểm
A(-1 ; 4 ; 3) ,B(2 ; 1 ; 1).

Bài 91 : Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng đi qua
M(2 ; 5 ; -3) và chứa đường thẳng 31 34  23





 y z

x

và mặt phẳng Oxy.

Bài 92 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :

a) Đi qua điểm M( 1 ; - 2 ; 3) và song song với đường thẳng :





















t

z

t

y

t

x

4

3

1

b) Đi qua điểm N( 2 ; 3 ; - 4) và vương góc với mặt phẳng x -2y + z – 6 = 0
c) Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P): x -2y + 3z – 1 = 0 với mặt

phaúng yOz .

Bài 93: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau :
d:x9 1y6 2 z3 3 và d’:

2
5
4

6
6

7 





 y z

x

d) x21 y 22 1z






vaø d’ :























4

3

5

2 z

t

y

t

x

Bài 94 :Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :

a) (P) chứa đường thẳng d và (P) vng góc với mặt phẳng (Q) biết :
d: 21 32 22





 y z

x

vaø (Q) : 3x +2y – z – 5 = 0 .

Bài 95 :Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng
(P) : 3x + 12y – 3z – 5 = 0 ;

(Q) : 3x – 4y +9z +7 = 0 và cắt hai hai đường thẳng :
d1: x25y43z31, d2:x23y31z42

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

với : d:























t

z

t

y

t

x

1

3

4

12

vaø (P) :3x + 5y – z – 2 = 0 .

Bài 97: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của đường thẳng d và
mặt phẳng (P) biết :

d : x211y z32 vaø (P) 2x +y + z – 1 = 0

Bài 98 : Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
sau :

d1:























t

z

t

y

t

x

2

3

2

1

, d2 :



















t

z

t

y

t

x

2

3

1

2

Bài 99: Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) .
Tính khoảng cách từ M đến :

a) Mặt phẳng Oyz .

b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0.

Bài 100 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đường thẳng :
d1: 4

2
1
2
3
1 




 y z

x

,
d2 : x213y z13.

a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau .

b) Chứng minh rằng d1 song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 =

0 .Tính khoảng cách giữa d1 và (P).

c) Tìm điểm N đối xứng với điểm M( 1 ; -1 ;0) qua đường thẳng d1.

Bài 101 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ . Biết tọa độ các điểm A(0 ;0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0 ) , D( 0 ; 1 ; 0)
và A’( 0 ; 0 ; 1) .

a) Hãy xác định các điểm cịn lại của hình lập phương .
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’ .
c) Tính khoảng cách giữa MN và AD.

Bài 102 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( 2 ; 3 ;1) ,B( 1 ; 1 ;
-1),

C(2 ; 1 ; 0) , D(0 ; 1 2) . Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện .
a) Viết phương trình đường thẳng AB .

b)Viết phương trình mặt cầu có tâm trên đường thẳng AB và qua hai điểm C và D.

Bài 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1 ;2 ;-3) và mặt phẳng
(P):4x–y + 4z -15 = 0.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Baøi 104 :Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau :
a) x2 + y2 + z2 – 6x +2y – 4z – 2 = 0.

b) x2 + y2 + z2 – 4x +8y +2z – 4 = 0

Bài 105 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi
qua 3 điểm A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 1 ; 2) , C( 1 ; -1 ; 2)

và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0 .

Bài 106:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;-1;2) và mặt phẳng
(P):3x+4y–z–23 = 0.

Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P) . Tìm tọa độ tiếp điểm .

Bài 107 : Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3 ; 2; 6 ),
B( 3 ; -1 ; 0 ), C( 0; -7 ; 3 ),D(-2 ;1 ; -1).

Bài 109 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho dường thẳng d:

1
2
1

2
2

1 





 y z

x

và hai điểm A( 0 ;1;-1) , B(2; -1 3).Viết phương trình mặt cầu (S)
có tâm trên d và (S) đi qua hai điểm A,B.

Bài tập đề nghị

Bài 1)TNTHPT 2002-2003

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định
bởi các hệ thức :

A = (2; 4.; -1) , OB  i  4j k , C = ( 2; 4; 3), OD 2 i2j k
   

1) Chứng minh rằng ABAC, ACAD, ADAB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

2) Viết phương trình tham số của đường vng góc chung của hai đường thẳng AB

và CD. Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng (ABD).

3) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp
diện ( ) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).

Bài 2)TNTHPT 2003-2004

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2) ,
D(4;-1;2).

1) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng

2) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy hay viết
phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D.

3) Viết phương trình tiếp diện ( ) của mặt cầu (S) tại A’.

Bài 3)TNTHPT 2005

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

(S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng (

 ) :

2 4

2 ;( )

1 2

x t

y t t R

z t

 




 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

( ) : 1

1 1 1

x y z

 

 

1. Chứng minh (1) và ( )2 chéo nhau.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt phẳng (S) , biết tiếp diện đó song song với
hai đường thẳng (1) và( )2 .

Bài 4)TNTHPT 2006

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C (0;2;0). Gọi
G là trọng tâm tam giác ABC.

1. Viết phương trình đườnt thẳng OG.

2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.

3. Viết phương trình các mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG và tiếp xúc
với mặt cầu (S).

Bài 5)TNTHPT 2007

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng (d) có phương trình

2 1 1

1 2 3

x y z

  và mặt phẳng (P) có phương trình x – y + 3z + 2 = 0.

1. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vng góc với mặt
phẳng (P).

Bài 6)TNTHPT 2007 lần 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thằng (d) và (d’) lần lượt có
phương trình

(d) : x11y22z11 vaø (d’) :

1
1 2

1 3

x t

y t

z t

 



 


  


Baøi 7

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6).

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B , C. Tính diện tích tam giác
ABC.

2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

Bài 8

Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1;1;2) , B(0;1;1), C(1;0;4).

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2. Gọi M là điểm sao cho MB=-2MC  , viết phương trình mặt phẳng đi qua M và

vng góc với đường thẳng BC.
Bài 9 TNTHPT 2007

Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương
trình x + y – 2z – 4 = 0.

1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm M và song song với mặt phẳng
(P).

2) Viết phương trình tham số của đườnt thẳng (d) đi qua điểm M và vng góc với
mặt phẳng (P). Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).

Bài 10:

Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng ( ) có phương trình x

+ 2y – 2z +6 = 0.

1. viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O va tiếp xúc với mặt
phẳng ( ) .

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm E và vng góc

với mặt phẳng ( )

Bài 11:

Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2) , N(3;1;5) va đường thẳng (d)
có phương trình

1 2
3
6

x t

y t

z t

 



 


  


1. viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng
(d)

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và N.

Bài 12 TNTHPT 2008
Câu 5b (2,0 điểm)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mặt phẳng (P) có phương
trình

2x – 2y + z – 1 = 0.

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng (P)
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng
(Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bẳng khoảng cách
từ A đến (P).

Bài 13

Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;-1;3) mặt phẳng (P) có phương trình
x – 2y – 2z – 10 = 0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng (P)

</div>

On tap HH12 ca nam

<b>Chủ đề 1</b>

:KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT

<b>CẦU</b>

<i><b>II.BÀI TẬP</b></i>

<b>1) Vấn đề 1: KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN – MẶT TRỤ</b>

<i>a</i>

2

<i>a</i>

<i>a</i>

<b>2) Vấn đề 2: MẶT CẦU</b>



<i>A</i>





<i>B</i>





<i>C</i>











<i><sub>ASB</sub></i>

<i><sub>BAC</sub></i>

<sub></sub>

<sub></sub>





<i><sub>a</sub></i>

<sub>2</sub>

<b>Chủ đề 2:</b>

<b>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN </b>

<b> PT ĐƯỜNG THẲNG – PT MẶT PHẲNG – PT MẶT CẦU.</b>

<b>I) V</b>

<b>ấn đề 1 :</b>

<b> T</b>

<b>ọa độ trong không gian</b>

<b>Bài 1</b>

<b>I I) </b>

<b>V</b>

<b>ấn đề 2 </b>

<b>: Ph</b>

<b>ương trình tổng qt của mặt phẳng</b>

<i>n</i>



<i><sub>n</sub></i>











; (

)

<i>x x</i>

<i>a t</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>a t t R</i>

<i>z z</i>

<i>a t</i>

















  



2

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>