Bài soạn ÔN TẬP HHGT12

CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM.
A. Lí thuyết cần nhớ :
1.Tọa độ của vectơ
Đònh nghóa:
→
u
= ( x ; y ; z ) ⇔
→
u
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Các tính chất :
→
u
= ( x ; y ; z ) ,
→
v
= ( x’ ; y’ ; z’ )
•
→
u
+
→

v
= ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )
•
→
u
-
→
v
= ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )
• k
→
u
= ( kx ; ky ; kz )
2. Tọa độ của điểm :
Đònh nghóa : M ( x ; y ; z ) ⇔
→−
OM
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Các tính chất : A ( x
A
; y
A

; z
A
) , B ( x
B
; y
B
; z
B
) ta có ;
• AB = ( x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
• AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
−+−+−
• MA = kMB ( k ≠ 1) ⇔










−
−
=
−
−
=
−
−
=
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M

BA
M
1
1
1
• M là trung điểm của đoạn AB ⇔









+
+
=
+
+
=
+
+
=
k
zz
z
k
yy
y

k
xx
x
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
3 .Biểu thức tọa độ cua3tích vô hướng của hai vectơ :
Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2
; y
2
; z

2
) ta có :
•
→
a
→
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
•
→
a
⊥
→
b
⇔ x
1
x
2
+ y

1
y
2
+ z
1
z
2
= 0
• |
→
a
| =
2
1
2
1
2
1
zyx ++
• cos
ϕ
=
2
2
2
2
2
2
2
1

2
1
2
1
212121
. zyxzyx
zzyyxx
++++
++
4 . Tích có hướng của hai vectơ:
a. Đònh nghóa : Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2
; y
2
; z
2
). Tích có
hướng của hai vectơ

→
a
và
→
b
là một vectơ kí hiệu là [
→
a
,
→
b
] và

[
→
a
,
→
b
] =








22
11

22
11
22
11
;;
yx
yx
xz
xz
zy
zy
b. Các tính chất :
•
→
a
cùng phương với
→
b
⇔ [
→
a
,
→
b
] = 0
• [
→
a
,
→

b
]
⊥
→
a
, [
→
a
,
→
b
]
⊥
→
b
• |[
→
a
,
→
b
]| = |
→
a
|.|
→
b
|sin
ϕ
c.Diện tích tam giác :

Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:
S
ABC
∆

=
2
1
|[AB, AC ]|
d.Thể tích :
• Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức:
V = |[AB, AD ].AA’|
• Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức :
V =
6
1
|[AB , AC ].AD |
e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ :
Ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
đồng phẳng ⇔ [
→
a

,
→
b
].
→
c
= 0
B. BÀI TẬP :
1/ Cho ba vectơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a. Tìm tọa độ của vectơ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c

.
b.Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
không đồng phẳng .
c.Hãy biểu diển vectơ
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
.
2/ Cho 3 vectơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b

= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Đònh m để
Vectơ đó đồng phẳng .
3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a.Xác đònh điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b.Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.
c.Tính diện tích tam giác ABC , độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC
vẽ từ A.
d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC vẽ từ A.
4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .

II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG .
A. Lí thuyết cần nhớ :
1. Đònh nghóa :
• Vectơ
→
n
≠
→
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm
trên đường thẳng vuông góc với ( α ).
Kí hiệu :
→

n
⊥ ( α )
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ
→
a
,
→
b
≠
→
0
và các
đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (α ) được gọi là cặp
vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( α ).
Chú ý : Nếu ( α ) có cặp vectơ chỉ phương
→
a
,
→
b
thì (α ) có một vectơ pháp
tuyến
→
n
= [
→
a
,
→
b

]
2. Phương trình mặt phẳng:
Mặt phẳng ( α ) qua M
0
( x
0
;y
0
; z
0
) có vtpt
→
n
= ( A; B; C ) có phương trình
là : A ( x – x
0
) + B (y – y
0
) + C ( z – z
0
) = 0
B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :
• Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt
phẳng và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó
• Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng.
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau:
a. (α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz .
b. (α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
c. (α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz .
2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .
b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .
c. (α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt
phẳng : x + y – z = 0 .
d. (α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng :
( α
1
): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α
2
): 5x – 4y + 3z +1 = 0 .
3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :
(α
1
): 2x + 3y – 4 = 0 , (α
2
) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α
3
) : 2x + y – 3z –2 = 0.
a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của
(α
1
) ,(α
2
)
b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α
1
) ,(α
2
) đồng thời
vuông góc với (α

3
) .
4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
( d
1
) :



=−−=
=−+−
012
0542
zyx
zyx
, (d
2
) :





=
+=
−=
tz
ty
tx
2

32
1
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và song song với (d
2
).
b. Viết phương trình mặt phẳng (α
1
) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai
đường thẳng (d
1
), (d
2
) .
III. ĐƯỜNG THẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ
• Vectơ
→
u
≠
→
0
nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng
thẳng (d) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).
• Đường thẳng (d) đi qua điểm M
0
( x
0

; y
0
; z
0
) có vectơ chỉ phương
→
u
= ( a; b; c) có :
phương trình tham số là :





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
Phương trình chíng tắt :
c
zz
b
yy
a
xx

000
−
=
−
=
−
.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng :



=+++
=+++
0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
(1) trong
đó A
2
+B
2
+C
2
≠ 0, A’
2
+B’
2
+C’
2

≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’.
Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vếc tơ chỉ
phương
→
u
=
(
''
;
''
;
'' BA
BA
AC
AC
CB
CB
)
B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng :
Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau:
• Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng.
• Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó.
Chú ý :
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.
• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt làm
vtcp.
C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp:
1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên
mặt phẳng (α ).
Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (α ).
( Mặt phẳng (β ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (α ) làm cặp vtcp )
• Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (α ) là giao tuyến của (α ) và (β ).