Giai HPT khong mau muc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

96

<b>Bài 5: </b>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC </b>

Có thể giải bằng các pp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, bất đẳng
thức.

<b>I. CÁC VÍ DỤ. </b>
Ví dụ 1:

Cho hệ phương trình:

2
x y m

(x 1)y xy m(y 2)
+ =

⎧⎪
⎨

+ + = +

⎪⎩
1. Giải hệ khi m = 4

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn 2 nghiệm.
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1997)

Giải

1. m = 4

Hệ x y 4₂

(x 1)y xy 4(y 2)
+ =

⎧⎪
⇔ ⎨

+ + = +

⎪⎩

3 2 2

x 4 y x 4 y

y 4y 8 0 (y 2)(y 2y 4) 0

= − = −

⎧ ⎧

⎪ ⎪

⇔_⎨ ⇔_⎨

− + = − − − =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

2

x 4 y x 4 y

y 2 y 1 5

y 2 y 2y 4 0

= − = −

⎧ ⎧

⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨

= ∨ = ±

= ∨ − − = ⎪

⎪ ⎩

⎩

⇒nghieäm (2, 2); (3− 5,1+ 5),(3+ 5,1− 5)
b. Heä x m y₃ ₂ (*)

y my 2m 0 (1)
= −

⎧⎪
⇔ ⎨

− + =

⎪⎩

(*) có hơn 2 nghiệm, (1) phải có 3 nghiệm.
Đặt _{f(y) y}₌ 3₋_my2₊_2m

2
f '(y) 3y 2my

⇒ = −

2m
f '(y) 0 y(3y 2m) 0 y 0 y

3

= ⇔ − = ⇔ = ∨ =

97
Neáu m 0 : (1)≠ có 3 nghiệm phân biệt f(0).f 2m 0

3

⎛ ⎞

⇔ _⎜ _⎟<

⎝ ⎠

3 2

2

2m 2m

2m m 2m 0

3 3

27 3 6 3 6

m m m

2 2 2

⎡_⎛ _⎞ _⎛ _⎞ ⎤

⎢ ⎥

⇔ _⎜ _⎟ − _⎜ _⎟ + <

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⇔ > ⇔ < − ∨ >
Vaäy m 3 6 m 3 6

3 2

< − ∨ > hệ có hơn 2 nghiệm.
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:

2 2

xy 3x 2y 16
x y 2x 4y 33

− − =

⎧⎪
⎨

+ − − =

⎪⎩

(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1999).

Giải

Đặt u x 1,= − ∨ = −y 2, hệ trở thành:
2 2

u (u v) 23

u v 38

∨ − + =
⎧⎪

⎨

+ =

⎪⎩

Đặt s u v,p u.v= + = p s 23 (1)₂
s 2p 38 (2)

− =
⎧⎪
⇒ ⎨

− =

⎪⎩

(1) vaø (2) _s2 _{2s 84 0} s 1 85

s 1 85
⎡ = +

⇒ − − = ⇔ ⎢

= −
⎢⎣
. s 1= + 85 : (1)⇒ =p 24+ 85

u,v

⇒ là nghiệm phương trình: α − α + =2 s p 0

Với _s2₋_{4p (1}_{= +} ₈₅₎2₋₄₍₂₄₊ ₈₅₎_{= − −}_{10 2 85 0}_<
⇒VN

. s 1= − 85 : (1)⇒ =p 24− 85
u,v

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

98

1 85 10 2 85 3 85 10 2 85

u x

2 2

1 85 10 2 85 5 85 10 2 85

v y

2 2

⎧ ₋ _{+ − +} ⎧ ₋ _{+ − +}

⎪ = ⎪ =

⎪ ⎪

⇒_⎨ ⇔_⎨

⎪ ₌ − − − + ⎪ ₌ − − − +

⎪ ⎪

⎩ ⎩

hoặc:

1 85 10 2 85 3 85 10 2 85

u x

2 2

1 85 10 2 85 5 85 10 2 85

v y

2 2

⎧ ₋ _{− − +} ⎧ ₋ _{− − +}

⎪ = ⎪ =

⎪ ⎪

⇒⎨ ⇔⎨

⎪ ₌ − + − + ⎪ ₌ − + − +

⎪ ⎪

⎩ ⎩

Ví dụ 3:

Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

1 _{x 2y 5}

x 2y
x 2y _a
x 2y

⎧ _{+ +} ₌

⎪ −
⎪
⎨ +

⎪ ₌

⎪ −
⎩

(ÑH Kinh Tế TPHCM năm 1995)
Giải

Đặt u 1 0, x 2y
x 2y

= ≠ ∨ +

−
u v 5
u.v a

+ =
⎧
⇒ ⎨ ₌

⎩ nên u, v là nghiệm phương trình:
2 ₅ _{a 0 (*)}

25 4a
α − α + =
∆ = −

Để phương trình có nghiệm 0 a 25

4
⇔ ∆ ≥ ⇔ ≤
* a 25

4

≤ vaø a 0≠ : nghieäm 1 2

2 1

u u

v v

= α = α

⎧ ⎧

∨
⎨ _{= α} ⎨ _{= α}

⎩ ⎩ với α α1, 2là nghiệm
phương

trình (*).

* a = 0: u v 5
u.v 0

+ =

⎧

⎨ ₌

⎩ mà u 0≠ ⇒ ∨ =0,u 5=

99
⇒hệ

1

1 ₅ _{x 2y} 1 x

10

x 2y 5 ₁

x 2y 0 y

x 2y 0

20
⎧

⎧ ₌ ⎧ ₋ ₌ _⎪ =

⎪ ₋ _⇔⎪ _⇔⎪

⎨ ⎨ ⎨

⎪ ₊ ₌ ⎪_⎩ ₊ ₌ ⎪ _{= −}

⎩ _⎪⎩

* a 25
4

> hệ vô nghiệm.
<b>II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. </b>
5.1. Giải hệ phương trình:

3 2
3 2
3 2

x y y y 2

y z z z 2

z x x x 2

⎧ = + + −
⎪⎪ ₌ ₊ _{+ −}
⎨

⎪ = + + −
⎪⎩

(ĐH Ngoại Thương TPHCM năm 1996).
5.2. Giải hệ phương trình: x2₂ xy 6₂

x y 5

⎧ ₊ ₌

⎪
⎨

+ =

⎪⎩

(ÑH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1996).

5.3. Giải hệ:

2 2 82

x y

9

1 10 10 1

x x y y

y 3 3 y

⎧ ₊ ₌

⎪⎪
⎨

⎪ + + − + = + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

100

<b>Hướng dẫn và giải tóm tắt </b>

5.1. Ta có:

3 2
3 2
3 2

x y y y 2 (1)
y z z z 2 (2)
z x x x 2 (3)
⎧ = + + −
⎪⎪ ₌ ₊ _{+ −}
⎨

⎪ = + + −
⎪⎩

2

(1)⇔ =x y(y + + −y 1) 2

. Xeùt y 0≤ ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − ⇒ ≤ −x 2 z 2 y 2

3 2 3 2 3 2
(1) (2) (3)+ + ⇒y +y +x +x +z +z =6

2 2 2

y (y 1) x (x 1) z (z 1) 6 (4)

⇔ + + + + + =

Vì x≤ −2,y≤ −2,z≤ − ⇒ + <2 y 1 0,x 1 0,z 1 0+ < + <

2 2 2

y (y 1) x (x 1) z (z 1) 0 (4)

⇒ + + + + + < ⇒ không thỏa.
. Xét y 0 : z 0> ⇒ > vaø x > 0

. _{0 y 1: y}_{< < ⇒} 3₊_y2_{+ < ⇒ < < ⇒}_{y 3} _{0 x 1} _x3₊_x2_{+ < ⇒ < <}_{x 3} _{0 z 1}
3 2 3 2 3 2

y y x x z z 6 : (4)

⇒ + + + + + < không thỏa.
. y > 1 : ⇒ =x y3+y2+ − > ⇒ >y 2 1 z 1

3 2 3 2 3 2

z z x x y y 6 :

⇒ + + + + + > (4) không thỏa.
* y = 1 : (1) ⇒ =x 1 vaø (3) ⇒ =z 1, (2) ⇒ =y 1
Vậy hệ chỉ có 1 nghiệm là x = y = z = 1
5.2. x2₂ xy 6 (1)₂

x y 5 (2)

⎧ ₊ ₌

⎪
⎨

+ =

⎪⎩

(1) y 6 x2(x 0)
x

−

⇔ = ≠ thế vào (2): 2 2 2
2
(6 x )

x 5

x
−

+ =

4 2 2

2x 17x 36 0 x 4,

⇔ − + = ⇔ = x2 9 x 2,

2

= ⇔ = ± x 3 2
2
= ±
y 1,

⇒ = y= −1, y 2,
2

= y 2

2
= − .

101
5.3.

2 2 82

x y (1)

9

1 10 10 1

x x y y (2)

y 3 3 y

⎧ ₊ ₌

⎪⎪
⎨

⎪ + + − + = + +

⎪⎩

(2) x 1 10 x y x 1 10 x y

y 3 y 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ + + − + =_⎜ + _{⎟ ⎜}+ − + _⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

2 10

1 10 y y 1

1 _{y 0}

x 0 _y ₃ 3 ₀

y _y

10 1

10 _{x y 0} _{y x} ₁₀ ₁

y x

3 y

3 ₃ _y

⎧

⎧ + +

⎧ _{+ ≥} ₊ _{+ ≥} _⎪

⎪

⎪ _⎪ ≥

⎪ ⎪ ⎪

⇔_⎨ ⇔_⎨ ⇔_⎨

⎪ _{− + ≥} ⎪ _{+ ≥ ≥ −} ⎪

+ ≥ ≥ −

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎩ _⎪⎩

Xét 2 trường hợp:

TH 1: y < 0 Heä

2
2

2

2 2

10

10 _y _{y 1 0}

y y 1 0 ₃

3

10 _{y x 0} 10 _y _x 82 _y

3 3 9

⎧

⎧ ₊ _{+ ≤} _⎪ ₊ _{+ ≤}

⎪⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨

⎛ ⎞

⎪ _{+ ≥ >} ⎪ ₊ _≥ ₌ ₋

⎜ ⎟

⎪ ⎪

⎩ _⎩_⎝ _⎠

2
2

2

2 ₂

82 1

10 _y ₃ _x _y

y y 1 0 ₁₀

9 3

3 _y _{y 1 0}

10 3 ₁ ₈₂

y y 1 0 _y _x _y ₃

3 ₃ ₉

⎡

⎧ ₊ _{+ ≤} _⎢ _{= − ⇒ =} ₋ ₌

⎪⎪ _⎢

⇔⎨ ⇔ + + = ⇔_⎢

⎪ ₊ _{+ ≥} _{⎢ = − ⇒ =} ₋ ₌

⎪⎩ _⎢⎣

Là nghiệm của hệ.
TH 2: y > 0: _x2 82 _y2

9

= −

+ Neáu x 0 x 82 y2 82 100 10 y

9 9 9 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

102

2

1 82

x 0 0 x

y 9

10 _{x y 0} _y 82 _x ₀

3 9

⎧
⎧ + ≥ ⎪ ≤ <

⎪⎪ ⎪

⇒⎨ ⇒⎨

⎪ _{− + >} ⎪ ₌ ₋ _>

⎪ ⎪

⎩ _⎩

+ Neáu x < 0

2 2

82 10 82 1

x y 0 x y 0, y y

9 3 9 y

⇒ = − − < ⇒ − + > ∀ ⇒ − ≤
2

2

82 _y 1

9 y

⇔ − ≤ (vì y > 0).
2

4 2

2

y 3

y 9

82

y ₉ y 1 0 _y 1 _y 1

3
9

⎡ ≥ ⎡ ≥

⎢ ⎢

⇔ − + ≥ ⇔_⎢ ⇔

⎢ ≤

≤ _⎢

⎢ ⎣

⎣
Vậy hệ có nghiệm:

2 2

2 2

82 82

1 _{3 y} _{(do x} _y ₎

0 y

9 9

3

82 82

x y x y

9 9

⎧

⎧ _{< ≤} _{≤ ≤} ₊ ₌

⎪

⎪⎪ _∨⎪

⎨ ⎨

⎪ _{= −} ₋ ⎪ _{= −} ₋

⎪ ⎪

</div>

<!--links-->