Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)

Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2016-2017
Mơn thi: Tốn
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chun Tốn)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a 2  11ab  3b2  0, b  2a, b  2a . Tính giá trị biểu thức
a  2b 2a  3b
.
T

2a  b 2a  b
b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức
( x 2  y 2 )3  ( y 2  z 2 )3  ( z 2  x 2 )3
.
P 2
x ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  2 xyz
Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x3  2 x 2 y  x 2  2 xy  x  10 .
b) Cho 19 điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng 3 , trong đó khơng có

3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ln tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong
3
19 điểm đã cho mà có diện tích khơng lớn hơn
.
4
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 2 x  1  x  3  2 .
 2 x3  x 2 y  2 x 2  xy  6  0
b) Giải hệ phương trình  2
 x  3 x  y  1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC
sao cho tam giác ABC nhọn. Bên ngồi tam giác ABC dựng các hình vng ABDE , ACFG
và hình bình hành AEKG .
a) Chứng minh rằng AK = BC và AK  BC .
b) DC cắt BF tại M. Chứng minh rằng A, K , M thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của (O; R) thì K ln thuộc một
đường tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số dương x, y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
(2 x  y )( x  2 y)
8
P



.
3

3
4
3( x  y )
(2 x  y)  1  1
( x  2 y)  1 1
…………..HẾT…………..

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1
a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a 2  11ab  3b 2  0, b  2a, b  2a . Tính giá trị biểu thức
a  2b 2a  3b
T

.
2a  b 2 a  b
Ta có
a  2b 2a  3b ( a  2b)(2a  b)  (2a  3b)(2a  b) 6a 2  11ab  b 2
T




2a  b 2 a  b
(2a  b)(2a  b)
4a 2  b 2
Từ giả thiết suy ra 11ab  2a 2  3b 2 , thay vào T ta được:
6a 2  11ab  b 2 6a 2  2a 2  3b2  b2 2(4a 2  b 2 )
T


 2.
4a 2  b2
4a 2  b 2
4a 2  b 2
b) Ta có: a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ca)
Suy ra nếu a  b  c  0 thì a 3  b3  c 3  3abc
Vì ( x 2  y 2 )  ( y 2  z 2 )  ( z 2  x 2 )  0 nên
TT  ( x 2  y 2 )3  ( y 2  z 2 )3  ( z 2  x 2 )3  3( x 2  y 2 )( y 2  z 2 )( z 2  x 2 )

 3( x  y)( y  z )( z  x)( x  y )( y  z )( z  x).
MT  x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  2 xyz
 ( x 2 y  y 2 x)  z 2 ( x  y )  (2 xyz  y 2 z  x 2 z )
 xy ( x  y )  z 2 ( x  y )  z ( x  y) 2  ( x  y )( xy  z 2  zx  zy )
 ( x  y )  x( y  z )  z ( y  z )   ( x  y)( y  z )( z  x).

TT
 3( x  y )( y  z )( z  x)   Trong ba số ngun dương x, y, z ln có hai số
MT
cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là x, y  ( x  y ) 2 . Vì P  3( x  y )( y  z )( z  x ) nên P 6 .
Suy ra P 

Câu 2 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x3  2 x 2 y  x 2  2 xy  x  10 (1). Ta có

(1)  2 x 2 ( x  y)  2 x( x  y )  ( x 2  x)  10
 2( x  y )( x 2  x)  ( x 2  x)  10
 ( x 2  x)  2( x  y )  1  10
Nhận xét:
+) 10  1.10  2.5  (1)( 10)  (2)(5) ;
+) x 2  x  x( x  1) là số chẵn; 2( x  y )  1 là số lẻ;
2

1 1

+) x 2  x   x     1  x 2  x  0 .
2 4

Từ các nhận xét trên ta thấy chỉ có các trường hợp (TH) sau:
 x 2  x  10
x2  x  2
hoặc


2( x  y )  1  1
2( x  y)  1  5

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 2


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 x 2  x  10
TH1 
. Phương trình x 2  x  10 khơng có nghiệm ngun
2( x  y )  1  1
 x  1
 x  1

2
x  x  2

y  2
H2 
   x  2  
  x  2
2( x  y)  1  5
x  y  3


  y  5
Vậy có hai bộ số ( x; y ) thỏa mãn là: (1; 2), (2;5) .
b) Giả sử 19 điểm nằm trong tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Chia tam giác ABC thành 9 tam
giác đều, có cạnh bằng 1 (gọi là tam giác nhỏ) như hình vẽ.
A

D

E

B

F

K

I

H

G

C

3
4
Vì có 19 điểm nằm trong 9 tam giác nhỏ nên có ít nhất 3 điểm cùng thuộc một hình tam giác
nhỏ. Giả sử 3 điểm đó là I1 , I 2 , I 3 .
Mỗi tam giác nhỏ có diện tích là S 

Khi đó tam giác I1I 2 I 3 nằm trong một tam giác nhỏ nên SI1I 2 I3 

3
.
4

Câu 3 a) Giải phương trình sau: 2 x  1  x  3  2 (1).
Điều kiện: x  3.
(1)  2 x  1  x  3  2
Ta có

 2x  1  x  3  4 x  3  4
 4 x3  x

x  4
.
 16( x  3)  x 2  x 2  16 x  48  0  
x

12

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy PT đã cho có hai nghiệm x  4; x  12.
 2 x3  x 2 y  2 x 2  xy  6  0
(I )
b) Giải hệ phương trình:  2
 x  3 x  y  1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 3


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

( x 2  x)(2 x  y)  6
Ta có ( I )   2
( x  x)  (2 x  y )  1

ặt u  x 2  x; v  2 x  y . Hệ đã cho trở thành:

 u  2

uv  6
v  3


u  v  1  u  3

 v  2.
u  2  x 2  x  2
Với 
. Hệ PT này vô nghiệm.

v  3
2 x  y  3

 x2  x  3
 x2  x  3  0
u  3
Với 


v  2  2 x  y  2
 y  2 x  2 .


1  13 

1  13
x 
x 
Giải hệ này được 2 nghiệm: 
.
;
2
2
 y  13  1  y   13  1


 1  13
  1  13

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm 
; 13  1  ; 
;  13  1 .
2
2

 

Câu 4
K

G

E
C'

B'

A

F

D
O
M
B

H

C

  EAG
  1800 , BAC
  EAG
  1800  KEA
  BAC
 . Lại có:
a) Ta có KEA
EK  AG  AC ; EA  AB  AEK  BAC  AK  BC. Ta có
  ABC
 . Gọi H là giao điểm của KA và BC, ta có:
AEK  BAC  EAK
  ABC
  BAH
  EAK
  900  AH  BC . Vậy AK  BC .

BAH

  BCF
.
  KAG
  900 ; BCF

ACB  KAC
b) Vì KAC
ACB  900 mà KAG

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

  BCF
  KAC  BCF  CKH
  FBC
 . Ta lại có
Vì KA  BC ; AC  CF ; KAC
  KCH
  900  FBC
  KCH
  900  BF  KC (1) . Tương tự ta có KB  CD (2) . Từ
CKH

(1)(2) suy ra M là trực tâm KBC , suy ra M  KH . Vậy A, K, M thẳng hàng.
c) Dựng hình vng BCC ' B ' trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy ra B ' C ' cố
định. Ta có AKB’B là hình bình hành (vì BB ', KA cùng vng góc BC suy ra BB '  KA ;

 Tương tự ta có AKC ' C là hình bình hành
BB '  KA  BC ). Do đó B ' K  BA  B
' KA  BAH



  HAC
  BAC
 Vì khi A
 Suy ra B
suy ra KC '  AC  
' KC '  B
' KA  
AKC '  BAH
AKC '  HAC
thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn (O; R) thì K ln nhìn đoạn B ' C ' cố định dưới
 . Do đó K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng trên đoạn B ' C '
một góc khơng đổi   BAC
cố định.
Câu 5: Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì

ab
8

a3  1  1

b3  1  1 4 a  b
a  1  a2  a  1 a2  2
a2
Ta có a 3  1  (a  1)(a 2  a  1) 

 a3  1  1 
2
2
2
2
2
b 1 b  b 1 b  2
b2
3
2
3
Tương tự b  1  (b  1)(b  b  1) 

 b 1 1
2
2
2
4
1 1
8
2 2
Mặt khác
  
 
ab a b

ab
a b
2

P



2



Vậy

P

4
4 ab 2 2  4
4 4 ab 2 2
  4
 ab 2 2
 2 
    2  1   2  1 
  2  
  2Q
2
a
b
4 a b a
a b 4 a b

 b
 4 a b

PQ 

2 2 ab
2 2 ab
 
 2  33 . .  2  1
a b 4
a b 4


a  1  a 2  a  1

2
b  1  b  b  1
4
4
2
Min( P)  1   2  2  1
a b 2 x  y 
a
3
b
 2 2 ab
a  b  4

a  b

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em u thích tốn và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em cịn hỗ trợ học tập thơng qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 6