Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng tính kế thừa của bài toán gốc

SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

I. Phần mở đầu:
I.1. Lý do chọn đề tài.
Mơn tốn là một mơn khoa học tự nhiên. Nó đóng vai trị rất quan trọng trong
thực tiễn cuộc sống, liên quan mật thiết với các môn học khác, làm nền tảng cho
các bộ mơn khoa học tự nhiên khác. Vì vậy việc giảng dạy mơn Tốn ở các
trường THPT nói chung và mơn Tốn lớp 11 nói riêng là một vấn đề hết sức
quan trọng. Vì thế, để đáp ứng được nhu cầu giảng dạy theo chuẩn kiến thức, kỹ
năng và phân hóa theo năng lực học sinh thì giáo viên phải có sự đầu tư nhiều
hơn để đưa ra phương pháp dạy học mới cho phù hợp.
Trong thực tế việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là theo hướng
phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh. Bên cạnh việc đổi mới trong
phương pháp dạy thì việc đổi mới phương pháp học của học sinh cũng rất quan
trọng. Nó góp phần làm cho học sinh tăng khả năng tư duy, tìm tịi và sáng tạo,
q trình lĩnh hội kiến thức đạt hiệu quả hơn.
Dạy học không đơn thuần chỉ là truyền đạt kiến thức cho học sinh mà còn
đòi hỏi là phải xây dựng cho các em một phương pháp, một “con đường đi” tự
tìm đến “cái đích” của khoa học.
Qua nhiều năm giảng dạy thực tế trên lớp, tơi thấy rằng cứ nói đến "hình
học" là các em học sinh đã thấy sợ chưa cần đi sâu vào môn học. Nhất là đứng
trước một bài tập không biết phải bắt đầu từ đâu, giống như đang đứng giữa "đám
rừng" khơng có lối thốt. Cũng chính vì lẽ đó để giúp cho học sinh có một chút
tự tin khi giải bài tập hình, tơi mạnh dạn đưa ra SKKN "Sử dụng tính kế thừa
của bài tốn gốc". Từ bài tốn lạ ta phân tích, tìm tịi, hướng giải đưa bài toán
này về bài toán mà ta đã được giải, ta đã được học đó là "bài tốn gốc".
Trong chương trình lớp 11 học sinh đã được làm quen với điểm, đường, mặt
phẳng, hay là bất đẳng thức trong tam giác... trong SKKN này tôi đi sâu vào vấn
đề tìm tổng của các khoảng cách sao cho nó nhỏ nhất. Xuất phát từ dạy và học

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
1


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

mà tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu phương pháp giải tốn dạng này. Trước hết
là phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy học đạt kết quả tốt, sau nữa tôi
mong rằng sau bài viết này các giáo viên đang giảng dạy mơn tốn ở chương
trình PTTH có thể tham khảo và áp dụng. Trong bài viết này tôi cố gắng trong
phạm vi có thể trình bày việc giải các bài tốn tìm tổng các đoạn thẳng sao cho
nó ngắn nhất, trên cơ sở phân tích tìm ra tư tưởng đưa bài toán mới lạ về bài toán
quen thuộc mà ta đã biết giải, bằng cách này tôi hy vọng sẽ gúp học sinh tự mình
xây dựng được các kỹ năng tích lũy, kinh nghiệm giải tốn và trong một chừng
mực có thể nêu lên các phương pháp giải toán.
I.2.Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
+ Học sinh hiểu được nội dung và phương pháp của những bài toán gốc (đơn
giản).
+ Hình thành kĩ năng giải bài tập tốn đơn giản.
+ Hình thành kĩ năng tư duy, sáng tạo và phát triển bài toán từ đơn giản
đến phức tạp.
I.3. Đối tượng nghiên cứu
- Bài toán liên quan đến:
+ Phép dựng hình
+ Phép đối xứng trục
+ Phép đối xứng tâm
+ Phép tịnh tiến
+ Điểm

+ Mặt phẳng
+ Đường thẳng
+ Góc.
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 10 và lớp 11
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
2


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

I.5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Qua các tiết thực nghiệm trên lớp
- Điều tra hiệu quả của phương pháp qua phiếu điều tra, qua chất lượng học
tập của học sinh.

II. Phần nội dung.
II.1. Cơ sở lý luận
- Quá trình dạy học bao gồm hai mặt liên quan chặt chẽ: Hoạt động dạy của
thầy và hoạt động học của trò. Một hướng đang được quan tâm trong lý luận dạy
học là nghiên cứu sâu hơn về hoạt động học của trò rồi dựa trên thiết kế hoạt
động học của trò mà thiết kế hoạt động dạy của thầy. Điều này khác với các
phương pháp dạy học truyền thống là chỉ tập trung nghiên cứu kĩ nội dung dạy để
thiết kế cách truyền đạt kiến thức của thầy.
- Trong hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tập trung thiết kế
các hoạt động của trò sao cho họ có thể tự lực khám phá, chiếm lĩnh các tri thức
mới dưới sự chỉ đạo của thầy. Bởi một đặc điểm cơ bản của hoạt động học là

người học hướng vào việc cải biến chính mình, nếu người học khơng chủ động tự
giác, khơng có phương pháp học tốt thì mọi nỗ lực của người thầy chỉ đem lại
những kết quả hạn chế.
II.2. Cơ sở thực tiễn
- Toán học, là mơn khoa học trừu tượng, nói đến tốn học là nói đến các con
số, các ký hiệu, dấu tốn, hình vẽ và các mối quan hệ nhằng nhịt giữa chúng. Tuy
toán học khá trừu tượng nhưng phạm vi ứng dụng lại rất rộng rãi. Cùng là một
vấn đề nhưng lại có thể biểu hiện ở nhiều khía cạnh khác nhau. Chính vì thế rất
khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp và càng
khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy vào việc giải các
bài tập. Đối với các thầy, cơ giáo dạy tốn thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
3


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

phân tích, dẫn giải giúp học sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm được một cách
chắc chắn những gì mà thầy, cô giáo muốn truyền đạt cho họ. Theo tôi, vai trị
người thầy trong q trình truyền đạt tri thức phải là người hướng dẫn và “mở
đường” cho các em, cịn các em phải tự mình xây dựng được các kĩ năng, tích lũy
được các kinh nghiệm giải tốn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập
của học sinh sẽ ngày được nâng lên.
- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường thấy bỡ ngỡ và
không biết định hướng như thế nào khi gặp một số bài tốn – dù là có cùng một
phương pháp giải tốn nhưng nó được thể hiện ở nhiều dạng bài khác nhau. Qua
nhiều năm giảng dạy, tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em

làm thế nào có thể biết vận dụng từ những bài toán quen thuộc để tự lực giải
quyết những bài tập tương tự và từ đó phát triển lên những mức độ cao hơn.
II.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
- Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
khơng áp đặt hoặc rập khn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào
việc giải quyết các bài toán lạ, các bài tốn khó. Bên cạnh đó lại địi hỏi học sinh
phát huy tính tự lực, khả năng tư duy, sáng tạo, để nhận biết từng dạng bài để rồi
tìm ra hướng giải.
II.5. Nội dung cụ thể
II.5.1. Kiến thức sử dụng.
a)Phép dựng hình
b) Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến.
c) Bất đẳng thức trong tam giác.
d) Công thức tính chu vi trong tam giác.
e) Tìm giá trị nhỏ nhất chu vi của tam giác.
II.5.2. Nội dung
Bài toán 1:

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
4


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d). Tìm điểm M thuộc
đường thẳng (d) sao cho AM + BM nhỏ nhất.
A

A

M

M

(d)

(d)
M’

B

Hướng dẫn

B

Gọi M là giao của AB và d. Khi đó A, B, M thẳng hàng nên AM + MB nhỏ nhất.
Giả sử có một điểm M’  M, M’ thuộc d
Trong ABM’ có: AM’ + BM’  AB
 AM’ + BM’ 

(bất đẳng thức trong tam giác)

AM + MB

Dấu “=” xảy ra khi M’ trùng với M
Vậy AM + MB nhỏ nhất khi A, M, B thẳng hàng
Qua bài này thầy phải xem xét kiến thức của học sinh tìm được có đúng hay
sai. Nếu sai thầy sửa chữa cho trò.

Trò: Hoạt động tư duy tích cực sáng tạo, thầy chú trọng đến tính huống
để trị tích cực, tự giác, tạo nguồn lực cho học sinh.
Nâng cao mưu đồ khó khăn.
Bài tốn 2:
Cho hai điểm A và B cùng năm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng xy. Hãy tìm trên xy một điểm M sao cho MA + MB là ngắn nhất .
Tư tưởng của bài toán 2:
Để giải bài toán này ta đưa về bài toán 1
Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng xy
Khi đó: AM + MB = A’M + MB nhỏ nhất
Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh Giải quyết bài toán 2 bằng cách
đưa về bài toán1
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
5


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Hướng dẫn
B

A

B

A
x
x

M

y

M’

M

* Phân tích

y

A’

Giả sử điểm M thuộc xy đã tìm được để có MA+ MB là ngắn nhất.
Lấy A’ đối xứng với A qua xy
ta có: MA = MA’
suy ra MA’ + MB cũng ngắn nhất .
Mà A và B lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy
Nên M phải nằm giữa A’và B tức là MA’ + MB = A’B
Suy ra M phải là giao của A’B và xy.
* Cách dựng
Dựng A’ đối xứng với A qua xy,
Nối A’với B cắt xy tại điểm M
*Chứng minh :
Nối M với A ta có MA = MA’ (A và A’ đối xứng với nhau qua xy)
Mà MA’ + MB = A’B
suy ra MA+MB =A’B là ngắn nhất
Thật vậy: nếu lấy một điểm M’ thuộc xy mà M’ khác M ,

nối M’ với A’ và M’ với B
ta có tam giác M’A’B.
Do đó M’A’ + M’B > A’B
mà M’A’ = M’A’(tính chất đối xứng).

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
6


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Suy ra M’A+M’B > A’B
Hay M’A + M’B > MA + MB
Vậy MA + MB là ngắn nhất
 Trường hợp A và B nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là xy như hình thì
hai đường thẳng A’B và xy chỉ cắt nhau tại một điểm M.
 Nếu có một trong 2 điểm A hoặc B nằm trên xy thì chính điểm A hoặc B đó
là điểm cần tìm.
 Nếu cả hai điểm A và B đều nằm trên xy thì tất cả các điểm M nằm giữa A
và B đều thỏa mãn điều kiện của bài ra.
Khi đó giáo viên bắt đầu nâng cao mưu đồ khó khăn của vai trị thừa kế.

Bài tốn 3:
Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B cố định ở về cùng một phía của xy.
Hãy xác định trên xy một đoạn thẳng CD = a cho trước sao cho AC + CD + DB
là ngắn nhất.

Tư tưởng:

Dựng B’ sao cho BB’  CD và BB’ = CD
Khi đó AC + CD + DB = A’C + CD + CB’
Bài toán trở thành Tìm điểm C trên xy sao cho AC + CB’ nhỏ nhất
Đây là tư tưởng của bài toán 2
Hướng dẫn

*Phân tích

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
7


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

a

B’

2012

a
B

A
a
x

C

D

y

A’

Giả sử đã xác định được đoạn thẳng CD = a trên xy để có AC + CD + DB là ngắn
nhất.
Ta dịch chuyển BD theo phương song song với xy cho D trùng với C thì B
tới vị trí B’
ta có BB’ = CD = a
Suy ra AC + CB’ là ngắn nhất
Lấy A’ đối xứng với A qua xy .
Nối A’với C ta có A’C = AC (tính chất đối xứng)
mà AC + CB’ cúng là ngắn nhất ,
chứng tỏ A’, C, B’ thẳng hàng.
* Cách dựng
Dựng BB’ = a và song song với xy , B’ và C cùng nằm trong một nửa mặt
phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh BD
Dựng A’ đối xứng với A qua xy
Nối A’với B’ cắt xy tại C
Đặt CD = a trên xy
Nối A với C và B với D ta được AC + CD + BD là ngắn nhất
CD là đoạn thẳng phải xác định trên xy

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
8


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC
B’

2012

B

A
y

x
C

C’ D

D’

A’

* Chứng minh
Thật vậy:
Tứ giác BDCB’ là hình bình hành (vì BB’ = CD = a và BB’//CD)
Suy ra BD = B’C,
mà AC = A’C (tính chất đối xứng)
Nên B’C + AC = B’C + A’C = A’B’ ngắn nhất
Do đó B’C + AC + CD là ngắn nhất
hay BD + AC + CD là ngắn nhất
Giả sử có một điểm C’ khác C trên xy và xác định được C’D’ = a.
Ta chứng minh
AC’ + C’D’ + D’B > AC + CD + DB
Nối A’ với C’ và C’ với B’.
Tam giác A’B’C’ cho ta A’C’ + C’B’ > A’B’

Ta cũng có A’C’ = AC’ (tính chất đối xứng)
C’D’ = D’B ( vì BB’C’D’là hình bình hành C’D’ = BB’ = a, C’D’ // BB’)
Suy ra AC’ + D’B > A’C + CB’
Hay AC’ + D’B > AC + DB
Suy ra AC’ + C’D’ + D’B > AC + CD + DB
* Biện luận
Điểm C xác định được trên xy là duy nhất

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
9


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Sau khi hướng dẫn giải quyết bài toán này giáo viên cần phải thăm dò
kiểm tra xem kiến thức của học sinh cơ đọng được từng nào? Có đúng hay
sai? Nếu sai giáo viên sửa chữa cho trị.
Trị: Hoạt động tích cực, sáng tạo, tư duy, nhanh nhẹn.
Thầy: Ủy thác chuyển giao ý đồ nâng cao mưu đồ khó khăn tính kế
thừa thành nhu cầu nhận thức của học sinh.

Bài toán 4:
Cho một góc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc ấy. Dựng một đường thẳng
d cắt cạnh Ox tại M và cạnh Oy tại N sao cho tổng PM + MN + NP có độ dài
x

ngắn nhất.
(d)

M

P
y

0

N

Tư tưởng:
Dựng: P1 là điểm đối xứng với P
qua Ox P2 là điểm đối xứng với P qua O
Khi đó PM + MN + NP = P1M + MN + NP2
Bài toán trở thành: P1M + MN + NP2 nhỏ nhất, là tư tưởng của bài tốn 3
Hướng dẫn
* Phân tích:
Giả sử ta dựng được đường thẳng d cắt cạnh Ox ở M và cạnh Oy ở N

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
10


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Lấy điểm đối xứng P1 của P qua Ox và P2 qua Oy,
ta có:
PM = P1M

PN = P2N
Và PM + MN + NP = P1M + MN + P2N ≥ P1P2
(đường gấp khúc có độ dài lớn hơn đường thẳng có chung 2 đầu mút)
Vậy tổng PM + MN + NP nhỏ nhất.
tức tổng P1M + MN + P2N đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng P1P2.
Lúc đó 4 điểm P1, M, P2, N nằm trên cùng một đường thẳng.
 Cách dựng:
P2
y
N
N’
O

P
x

M

M’

P1
d'

d

- Dựng các điểm P1, P2 theo thứ tự là ảnh của P lần lượt trong các phép đối
xứng qua Ox, Oy.
- Đường thẳng d qua P1, P2 là đường thẳng cần dựng
*Chứng minh:
Thật vậy, giả sử d cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N.

ta chứng minh tổng PM + MN + NP là nhỏ nhất.
Xét một đường thẳng d’ ≠ d, cắt Ox tại M’ và Oy tại N’,
ta có PM’ = P1M’
PN’ = P2N’

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
11


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

PM’ + M’N’ + N’P = P1M’ + M’N’ + P2N’.
Tổng này rõ ràng là không nhỏ hơn P1P2:
P1M’ + M’N’ + P2N’ ≥ P1P2
 PM’ + M’N’ + N’P ≥ P1P2
 PM’ + M’N’ + N’P ≥ PM + MN + NP
Hay tổng PM + MN + NP với cách dựng các điểm M, N như trên có độ dài ngắn
nhất.
*Biện luận:
Bài tốn ln có một nghiệm.
Khơng dừng ở bài tốn 4 mà ta tiếp tục nâng cấp hóa tăng thêm mưu đồ khó
khăn
Bài tốn 5:
Cho tam giác ABC nhọn, lấy điểm M thuộc BC. Tìm trên các cạnh AB,
AC các điểm K, N sao cho chu vi tam giác KMN bé nhất.
B
P1

K

B
K

M

A

K’

N

M

C

C
A

’

N

N
P2

(d’)
(d)

Tư tưởng:
Bài toán 5 được đặt ra từ bài toán 4.
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
12


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Bài toán 6:
Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp trong tam giác MNQ sao cho M thuộc
AB, N thuộc BC, Q thuộc AC và chu vi tam giác MNQ bé nhất.
Tư tưởng:
Lấy các điểm Q1 và Q2 lần lượt là hình chiếu của Q qua các cạnh BC và AB
Khi đó bài toán trở thành xác định điểm M và N lần lượt nằm trên AB và BC
sao cho Q1N + MN + MQ2 nhỏ nhất
Đây chính là tư tưởng của bài tốn 4
B
B

M

N

M

N

Q2

Q1
H

A

I
Q
C

A
Q
C

Từ những bài tốn trên theo dạng góc ta có thể biến dạng ra những bài tốn
khác để cho trị có một cách nhìn rộng hơn, sâu hơn, xa hơn.

Bài toán 7:
Hai làng A và B ở hai bên bờ sông, một con sông cần bắc chung một cây cầu
phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng sao cho đoạn đường đi từ làng A
sang làng B là ngắn nhất. Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sơng để bắc cầu đó

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
13


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

(coi hai bờ sông là 2 đường thẳng song song và cầu bắc vng góc với hai bờ
sơng ).
Tư tưởng:
Bài tốn đặt ra cho đoạn thẳng cho trước vng góc với hai đường thẳng
song song. Xác định hai điểm mút của đoạn thẳng cho trước sao cho khoảng
cách từ làng A sang làng B là ngằn nhất.
Đây là tư tưởng của bài tốn 3.

A
y

x

N

x’

y’
M
B

Hướng dẫn
Gọi hai bờ sơng đó là xy và x’y’ (xy song song với x’y’).
Hai làng A và B là hai điểm A và B nằm ngoài hai đường thẳng song song đó
* Phân tích :
Giả sử vị trí bắc cầu đã chọn được.
Chiều dài cây cầu là MN (MN vng góc với xy).
Đường đi từ hai làng A và B đến hai mố cầu là AN và BM.
Tổng đoạn đường từ A đến B là AN + NM + MB
MN là chiều dài cây cầu không thay đổi.

Muốn đoạn đường từ A đến B ngắn nhất còn phụ thuộc vào AN + BM là ngắn
nhất

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
14


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Giả sử ta có thể dời được làng A theo phương vng góc với bờ sơng xy một
đoạn bằng chiều dài MN của cây cầu cho tới A’
Ta có AA’ = MN. ( theo đề bài)
Ta thấy khoảng cách ngắn nhất từ A’ tới B là đoạn A’B.
A’B cắt bờ sông x’y’ tại M, thì M chính là vị trí để bắc cầu cần phải chọn
A

x

N

x'

H

M

N’

M’

A’

y
y'

B
*Cách dựng
Trên khoảng cách vng góc từ A tới bờ sơng xy (AH)
Ta chọn vị trí A’ cách A một khoảng bằng chiều dài của cây cầu (AA’ = MN)
Dóng thẳng A’B để xác định vị M trên sông x’y’ (A’B cắt x’y’ tại M).
Dựng cây cầu MN (MN vng góc xy)
MN chính là vị trí cây cầu để chọn.
*Chứng minh
Thật vậy :
Nối A với N .
Ta có tứ giác ANMA’ là hình bình hành (vì AA’ = MN, AA’//MN)
Suy ra AN = A’M
Vậy BM + MN + NA = BM + MN + A’M = MN + BA’
Mà BA’ là ngắn nhất nên BM + MN + NA là ngắn nhất
Giả sử có một vị trí bắc cầu khác tại M’N’

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
15


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Ta chứng minh rằng tại vị trí đó đoạn đường đi từ A sang B qua cầu M’N’ xa hơn
đoạn đường qua cầu ở vị trí MN
Nối M’ với A’ và B với M’ ta được tam giác A’BM’ có BM’ + M’A’ > A’B
Nối A với N’ ta cũng có AN’M’A’là hình bình hành nên AN’ = A’M’
Suy ra BM’ + AN’ > A’B
Hay BM’ + AN’ > AN + BM
Chứng tỏ BM + MN + AN là ngắn nhất
* Biện luận
Vị trí bắc cầu MN là duy nhất .
A’B chỉ cắt bờ sơng x’y’ tại một điểm ta có một điểm M thích hợp cho vị trí bắc
cầu.

Khơng dừng ở bài toán 7 mà ta tiếp tục nâng cấp hóa tăng thêm mưu đồ khó
khăn.
Bài tốn 8:
Cho hai đường thẳng song song xy và x’y’, hai điểm cố định A và B nằm ở
hai phía ngồi hai đường thẳng đó.
Hãy chọn trên xy một vị trí thích hợp để dựng đường thẳng EF vng góc
với hai đường thẳng song song sao cho AE = BF.
Tư tưởng:
Bài toán được đặt ra từ bài toán 7
Hướng dẫn
Di chuyển AE theo phương song song với EF sao cho E tới F và A tới A’ thì
A’F = AE. Nhưng AE lại bằng BF.
Tới đây chính là tư tưởng của bài tốn 7.

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
16

SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

A

x

y

E
A’
F

x’

y’

B

Những bài tốn trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh giải quyết một
cách nhẹ nhàng dựa vào các bài tập trước.
Từ một bài toán đơn giản cho trước giáo viên có thể hướng dẫn cho học
sinh giải quyết được vơ số bài tập mang tính thừa kế của bài trước.
Cũng từ đây giáo viên có thể mở rộng ra hướng dẫn cho các em giải quyết
hàng loạt bài tốn, tìm biểu thức ngắn nhất trong hai đường thẳng song song
,tam giác, tứ giác, ngũ giác…
II.5.3. Kết quả nghiên cứu
3.1 Thực trạng

Học sinh lớp 11A, lớp 11B trường PTDT Nội Trú Tây Nguyên. Tổng số có
2 lớp với 65 học sinh, chất lượng về học lực bộ mơn Tốn thấp, cụ thể qua bài
kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm như sau:
Giỏi

Yếu

Điểm

Sĩ

Lớp

số

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

11A

32

0

0

1

3.12

14

43.75

11

43.38

6

18.75

11B

33

0

0

1

3.0

13

39.4

12

36.4

7

21.2

Khá

T. Bình

Kém

3.2 Tiến hành khảo nghiệm SKKN

Hai lớp 11A và 11B có lực học về mơn Tốn là tương đương nhau, vì thế
tơi đã chọn lớp 11A làm lớp thực nghiệm (để tiến hành dạy theo phương pháp đã
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
17


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

trình bày ở trên) và lớp 11B là lớp đối chứng (vẫn dạy theo phương pháp cũ). Sau
đó tơi tiến hành kiểm tra kết quả học tập của 2 lớp thông qua một bài khảo sát.
Kết quả thu được như sau:
Giỏi

Yếu

Điểm

Sĩ

Lớp

số

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

11A

32

0

0

4

12.5

18

56.25

10

31.25

0

0

11B

33

0

0

1

3.0

17

51.5

10

30.3

5

15.2

Khá

T. Bình

Kém

Nhận xét chung: Sau khi thực nghiệm, tơi thấy học sinh lớp 11A khơng
những có kết quả học tập tốt hơn mà các em cịn có ý thức hơn, cẩn thận hơn,
trình bày lời giải bài tốn khoa học chặt chẽ hơn.
3.3 Đề xuất biện pháp
Qua thời gian nghiên cứu và tiến hành khảo nghiệm thực tế, tơi có một vài
đề xuất đối với việc học của trường PT DTNT Tây Ngun nói chung và với mơn
Tốn nói riêng như sau:
- Vì đặc thù của học sinh trường PT DTNT Tây Nguyên là lực học của các
em tương đối thấp nên tăng thời gian phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những
vấn đề cịn vướng mắc trong mơn học từ đó đưa ra những biện pháp giải quyết.
- Qua kết quả thực nghiệm, tôi nghĩ phương pháp mà tôi đưa ra trong sáng
kiến kinh nghiệm này là khả thi nên có thể nhân rộng mơ hình này trong bộ mơn
Tốn để chất lượng ngày cáng được cải thiện và nâng cao.

III.Phần kết luận và kiến nghị
III.1.Kết luận
Hoạt động sáng tạo là một dạng lao động trí óc và miệt mài rèn luyện ý chí
gian khổ, nó địi hỏi người ta phải có khát vọng cháy bỏng về hiểu biết và lòng
say mê, sáng tạo mãnh liệt, phải biết định hướng, phải biết vận dụng những tri
thức từ cái đã biết “Quy lạ về quen”, vận dụng một cách linh hoạt và triệt để.

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
18


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

Nội dung đề tài chỉ đưa ra tư tưởng, hướng giúp học sinh giải quyết trong
q trình giải tốn và hệ thống một số bài tập mang tính thừa kế của lớp bài tốn
trước sao cho phù hợp để giải. Cịn việc giải các bài toán trên nhường lại cho
giáo viên và học sinh giải ở trên lớp chứ không đưa ra lời giải cụ thể trong đề tài.
Do điều kiện và năng lực của bản thân tơi cịn hạn chế, các tài liệu tham
khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn cịn nhiều thiếu sót, những lời giải có thể chưa
phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng SKKN này ít nhiều cũng
giúp học sinh hiểu kỹ hơn về giải tốn hình học.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ
thông, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng
nghiệp cũng như dự giờ các đồng nghiệp ở trường khác, cùng với sự giúp đỡ tận
tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn, các thầy cô trong trường
PTDT NT Tây Nguyên, tôi đã hồn thành SKKN "Sử dụng tính kế thừa của bài
tốn gốc" này một cách hồn thiện.
III. 2. Những kiến nghị, đề xuất:
Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn
giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học sao cho sinh động và thu hút
đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm
và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường

xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Làm tốt cơng tác xã hội hố giáo dục làm cho cha mẹ học sinh, Ban đại diện

cha mẹ học sinh quan tâm hơn nữa đến việc học tập của con em mình trên lớp, ở
trường, học tập kỹ năng sống, kỹ năng tư duy vận dụng lý luận vào thực tiễn.
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
19


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1. Đào Tam. Bài giảng phương pháp dạy học hình học ở trường phổ thơng.
2. Nguyễn Huy Cận. Bài tập quỹ tích và dựng hình, nhà xuất bản giáo dục 1999.
3. Nguyễn Phúc Trình. Dựng hình và phương pháp giải các bài tốn dựng hình,
nhà xuất bản thành phố Hồ Chí Minh.
4. Văn Như Cương (chủ biên). Hình học 10, nhà xuất bản giáo dục.
5. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên). Hình học 11, nhà xuất bản giáo dục.

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
20


SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

MỤC LỤC
Trang
I. Phần mở đầu .......................................................................................... 1
I.1. Lý do chọn đề tài .............................................................................. 1
I.2.Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài ............................................................ 2
I.3. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................... 2
I.4. Phạm vi nghiên cứu........................................................................... 2
I.5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... 3
II. Phần nội dung ........................................................................................ 3
II.1. Cơ sở lí luận .................................................................................... 3
II.2. Cơ sở thực tiễn ................................................................................. 3
II.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu ................................................. 4
II.4 Nội dung cụ thể ................................................................................. 4
II.5.1. Kiến thức sử dụng ..................................................................... 4
II.5.2. Nội dung ................................................................................... 4
II.5.3.Kết quả nghiên cứu .................................................................. 17
3.1. Thực trạng ................................................................................ 17
3.2.Tiến hành khảo sát SKKN ......................................................... 17
3.3. Đề xuất biện pháp ..................................................................... 18
III. Phần kết luận và kiến nghị ................................................................ 18
III.1.Kết luận ...................................................................................... 18
III.2. Kiến nghị đề xuất ........................................................................ 19
Danh mục các tài liệu tham khảo ............................................................ 20
Mục lục ..................................................................................................... 21

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
21

SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TỐN GỐC

2012

PHỤ LỤC
Đề kiểm tra khảo sát
Thời gian 35 phút không kể chép đề
Đề 1
Tìm một điểm M nằm trong tứ giác ABCD sao cho tổng
MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất .
HƯỚNG DẪN

B

A

M
D
C

Ta có: MA + MB + MC + MD = ( MA + MC ) + ( MD + MB )
Mà
MA + MC ≥ AC
MD + MB ≥ DB
Vậy MA + MC đạt giá trị nhỏ nhất khi MA + MC = AC
Suy ra ba điểm A, M, C thẳng hàng (1)
Tương tự MB + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi MB + MD = DB
Suy ra ba điểm B, M, D thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

------------------------------------------------------Đề 2
Cho tam giác ABC. Kẻ đường phân giác ngồi Cx của góc C. Trên Cx lấy
một điểm M.
Chứng minh:
MA + MB > CA + CB
A’

HƯỚNG DẪN

C

M

B
A

Lấy điểm A’ đối xứng của A qua Cx. Ta có MA’= AM và A’C = AC
AM + MB = A’M +MB > A’B và A’B = A’C + CB
Suy ra A’B = AC + CB hay MA + MB > CA + CB
-------------------------------------------------

GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên
22