phat trien bai toan tu bai toan goc

PHÁT TRIỂN MỘT BÀI TOÁN.
I/ Hệ phương trình: Bài toán gốc
2 2
4
2
x xy y
xy x y

+ + =

+ + =

Phát triển bài toán theo ý tưởng Đại số
1/ Thay
x
bằng
( )
x−
,ta đượchệ phương trình mới:
2 2
4
2
x xy y
xy x y

− + =

− − + =

,hoặc thay
y

bởi
( )
y−
,ta được hệ phương trình mới:
2 2
4
2
x xy y
xy x y

− + =

− + − =

2/ Thay
x kx
=
, chẳng hạn
2k
=
.ta được hệ phương trình mới:
2 2
4 2 4
2 2 2
x xy y
xy x y

+ + =

+ + =


3/ Thay x bằng
x
, y giữ nguyên, ta được hệ phương trình mới:
2
4
2
x x y y
x y x y

+ + =


+ + =


hoặc
thay x bằng
x
, thế y bằng một hàm
2
y
,ta được hệ phương trình mới:
2 4
2 4
4
2
x x y y
x y x y


+ + =


+ + =


4/ Thay
cotx, y =tanyx =
, ta được hệ phương trình mới:
2 2
cot cotx.tan tan 4
cotx.tan cotx tan 2
x y y
y y

+ + =

+ + =

5/ Thay bởi tham số:
2 2
2x xy y m
xy x y m

+ + =

+ + =

a/ giải hệ phương trình khi
2m =

.
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm.
c/ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Phát triển bài toán theo ý tưởng Hình học.
Bài toán gốc:
2 2
4
2
x y
x y

+ =

+ =

. Tacó:
2 2
4x y+ =
là phương trình đường tròn,
2x y+ =
là
phương trình đường thẳng. Phát triển bài toán:
2 2
2x y m
x y m

+ = +

+ =


a/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.( Đường thẳng tiếp xúc đường tròn).
b/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm .( Đường thẳng tiếp xúc đường tròn hoặc cắt
đường tròn).
Có thể mở rộng mặt cầu, mặt phẳng, …
II/ Tích phân: Bài toán gốc:
2
2
1
x dx
∫
.
1/ Thay x bằng
sin x
.Ta đi tìm
(sin )d x
là cosx.dx. Sau đó chọn cận cho phù hợp. Ta
được bài toán mới:
2
2
0
sin . osxdxx c
π
∫
2/ Thay x bằng
1
x
e +
.Ta đi tìm d(
1
x

e +
) là
x
e
dx.Ta được bài toán mới:
ln2
2
0
( 1)
x x
e e dx+
∫
.
3/ Thay x bằng
ln 1x
+
.Ta đi tìm d(
ln 1x
+
) là
1
x
dx.Ta được bài toán mới:
2
1
(ln 1)
e
x
dx
x

+
∫
.
Bài toán gốc:
4
1
xdx
∫
.
1/ Thay x bằng
2 1x
+
. Sau đó chọn cận cho phù hợp. Ta được bài toán mới:
4
0
2 1x dx+
∫
.Tiếp tục thay x bằng lnx, Ta đi tìm
(ln )d x
là
1
x
.dx, sau đó chọn cận cho phù hợp ta
được bài toán mới:
1
2ln 1
e
x
dx
x

+
∫
2/ Thay x bằng
2
1x +
.Ta đi tìm
2
( 1)d x +
là
2x
.dx Sau đó chọn cận cho phù hợp. Ta
được bài toán mới:
3
2
0
1x xdx+
∫
.Tiếp tục thay x bằng lnx, Ta đi tìm
2
(ln )d x
là
1
ln x
x
.dx, sau đó chọn cận cho phù hợp ta được bài toán mới:
2
1
ln 1ln
e
x x

dx
x
+
∫
.
Bài toán gốc:
2
3
3
1
0
1
ln 2
2
0 1
4 4
1
1 1
tanx
4
2
0
1
lnx
0
1
2
sinx
0
2

cosx
0
cotx
4
2
0
ln
os
os
sin
sin
x
e
x
x
x x
x
e
e xdx
e x
e x dx dx
x
e e
dx dx
x x
e
dx
c x
e dx
e

dx
x
e c xdx
e xdx
e
dx
x
π
π
π
π
−





→



→






→
















∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
.
Xuất phát bài toán gốc:
1
1
e
dx
x

∫
( )
2
1 1
2
1
1
0
1
2
0
1
1 1
2 1 2ln 1
sinx
os 1
1
1
osx
sin 1
1
(ln 1)
e
x
e
x
e
dx dx
x x x
dx

c x
e
dx
dx
e
x
c
dx
x
dx
x x
π

→

+ +



+



→

+





+



+


∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
III/ Phương trình: Xuất phát từ bài toán gốc như sau:
2
2 2 3
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
log 3log 3.log 2 0
log log 27.log 2 0

log 3log (2 ) 5 0
1/ 3 2 0 log 3log 2 0
log 3log (4 ) 8 0
log 3log (4 ) 8 0
4
log 3log ( ) 4 0
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x

− + =

− + =


− + =

− + = → − + = →
− + =


− + =


− − =



2
2
2
2
2
log 3
log
2
2. 3
2 / 3 2 0 3
2 2.2 3
log 2log 2 3
x x
x x
x
x
x
e e
x x x
x
x
−
−

+ =


+ =


− + = → + = →

+ =


+ =

3/ Cho hàm số
( )
y f x=
đồng biến hoặc nghịch biến trênmột miền xác định của hàm số.
Kí hiệu:
( )
1
f x
−
là hàm số ngược của
( )
y f x=
. Giải phương trình
( ) ( )
1
f x f x
−
=
Giải.
Đặt
( ) ( )
1

y f x x g y
−
= ⇒ =
. Khi đó
( ) ( )
( )
( )
1
f x y
f x f x
f y x
−

=

= ⇔

=


. Giải hệ đối xứng này
ta thu được ngiệm của phương trình.
VD: Giải phương trình
2
1 3 3 1x x+ = −
(1)
Giải.
Đặt
( )
2 2

3 1 0 3 1 1 3y x y y x y x= − ≥ ⇔ = + ⇔ + =
.
Do đó phương trình (1)
2
2
1 3
1 3
y x
x y

+ =
⇔

+ =
