Luận văn “Dạy học giải bài tập toán lớp 11 THPT theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan’’

1

MỞ ĐẦU
1, LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ cao, nhằm đáp ứng được
những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyền thông. Chúng
ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phải tin tưởng vào
những quá trình giải quyết các vấn đề mới.
Đảng và Nhà nước ta đã đề ra mục tiêu đổi mới giáo dục là phải đổi mới
một cách toàn diện về tất cả các mặt theo hướng tạo những cơ hội thuận lợi nhất
cho người học hoạt động một cách tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản
thân. Nghị quyết TW2 (khoá VIII) của Đảng đã khẳng định: Cuộc cách mạng
của phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả
năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo
ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông. Việc xác định mục tiêu đổi
mới này, một mặt xuất phát từ đòi hỏi của điều kiện thực tiễn đất nước ta, mặt
khác nó hoàn toàn phù hợp với quan điểm của triết học Mác - Lênin và tâm lí
học hiện đại về con người và hoạt động học tập của con người.
Trong lịch sử phát triển, các phương pháp dạy học (PPDH) truyền thống
luôn có những ưu thế đặc biệt, đó là: Cung cấp cho người học một hệ thống kiến
thức lí thuyết chặt chẽ, lôgic và đầy đủ. Tuy nhiên, nó cũng đã bộc lộ những
nhược điểm cơ bản như: ít phát huy được tính chủ động, độc lập và sáng tạo của
người học, làm cho người học luôn bị phụ thuộc và thiếu khả năng học tập suốt
đời.
Trong những thập kỷ qua, các quốc gia trên thế giới cũng như Việt Nam
đã nghiên cứu để đề xuất và vận dụng các PPDH theo xu hướng hiện đại nhằm
phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh (HS) như: Dạy học phát hiện
và giải quyết vấn đề; dạy học phân hoá; dạy học với sự trợ giúp của máy tính
điện tử ; dạy học khám phá… Tất cả các PPDH trên đều nhằm mục đích cho

2
người học chủ động và tích cực tham gia vào quá trình học chứ không phải thụ
động tiếp nhận những kiến thức từ thầy giáo, từ đó chất lượng của quá trình dạy
học ngày càng được nâng cao.
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội
hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở thành
công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của sự phát
triển.
Ở trường phổ thông “dạy toán là dạy hoạt động toán học”. Học sinh phải
hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt
động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt
ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức
nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được
những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề. Việc tìm ra lời giải
một bài toán nhiều khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có
biết bao điều lí thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự
tìm tòi khám phá những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết
thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo. Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán
chúng ta tìm được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuổi
bài toán gốc liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng
tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.
Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng :
“Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù
khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen
thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán, việc tìm
hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta nảy sinh ra những ý chói lọi, đôi lúc còn
tìm được đúng chìa khoá để giải các bài toán đó

3
Vì những lí do nêu trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là:
“Dạy học giải bài tập toán lớp 11 THPT theo hướng phát hiện và vận dụng
các bài toán gốc liên quan’’
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tạo cầu nối gắn tri thức đã có với tri thức cần tìm. Tiếp cận cách phát hiện
vấn đề, cách giải quyết vấn đề.
Xây dựng các thành tố của năng lực huy động kiến thức. Từ đó đề xuất
một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng các thành tố của năng lực huy động
kiến thức để giải bài tập toán theo hướng phát hiện và sử dụng các bài toán gốc.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Dạy học toán lớp 11- THPT theo phương thức tiếp cận phát hiện thông
qua khai thác vai trò của bài toán gốc.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn sẽ làm rõ các vấn đề sau:
4.1. Đưa ra khái niệm bài toán gốc
4.2. Vai trò của bài toán gốc trong dạy học giải bài tập toán
4.3. Đưa ra cách thức xây dựng và các phương thức phát hiện bài toán,
chuổi bài toán cùng với việc mở rộng tiềm năng ứng dụng
4.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu quả của các
biện pháp được đề xuất trong luận văn
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Có thể xây dựng và sử dụng các bài toán gốc làm phương tiện giúp HS phát
hiện và tìm tòi lời giải các bài toán. Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học
dạy toán ở trường THPT.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU


4
6.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài

liệu giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán có liên quan
đến đề tài luận văn.
6.2. Nghiên cứu thực tiễn qua điều tra, thăm dò về lĩnh vực phát hiện năng
lực huy động kiến thức trong dạy học Toán nói chung và dạy học tìm tòi các bài
toán mới nói riêng.
6.3. Thực nghiệm kiểm chứng: tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn ngoài phần tài liệu tham khảo còn có những nội dung chính sau:
MỞ ĐẦU
NỘI DUNG:
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương II: Phát hiện sử dụng các bài toán gốc trong dạy học giải bài tập toán
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
KẾT LUẬN
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.

Những yêu cầu đổi mới dạy học giải bài tập toán.

1.2.

Quan niệm về bài toán gốc

1.3.

Vai trò của các bài toán gốc

1.4.

Định hướng phát hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán.

1.5.

Các chức năng và yêu cầu dạy học giải bài tập toán.

1.6.

Khảo sát thực trạng dạy học bài tập toán theo hướng phát hiện và sử dụng

các bài toán gốc.
1.7.

Những vấn đề chung về tổ dạy học giải bài tập toán theo hướng phát hiện và

vận dụng các bài toán gốc liên quan rút ra từ cơ sở lí luận và thực tiễn
1.8.

Kết luận chương 1


5
Chương 2: PHÁT HIỆN SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN “GỐC” TRONG
DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
2.1. Xây dựng bài toán gốc:
2.1.1. Các yêu cầu của việc xây dựng bài toán gốc nhằm nâng cao chất
lượng học tập cho HS
2.1.2. Xây dựng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm
2.1.3. Xây dựng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc
2.1.4. Xây dựng bài toán nâng cao cho một dạng toán điển hình

2.2. Chuổi bài toán theo thướng mở rộng tiềm năng ứng dụng.
2.3. Một số phương thức phát hiện bài toán mới
2.3.1. Sử dụng tương tự
2.3.2. Sử dụng khái quát hóa
2.3.3. Sử dụng đặc biệt hóa
2.3.4. Chuyển hoá nội dung và hình thức bài toán.
2.4. Kết luận chương 2
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục tiêu thực ngh iệm,
3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.3. Các tổ chức thực nghiệm
3.3. Đánh giá thực nghiệm
3.4. Kết luận chương 3


6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. NHỮNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN.
Luật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy định:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn”.
Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định,
không còn là vấn đề tranh luận. Cốt lõi của việc đổi mới PPDH môn Toán ở
trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học
tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo
luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn. “Thay cho lối truyền thụ một chiều, thuyết
trình giảng dạy, người GV cần phải tổ chức cho HS được học tập trong hoạt

động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo’’ (Tài liệu bồi
dưỡng thường xuyên GV THPT chu kỳ III). Đây chính là tiêu chí, là thước đo
đánh giá sự đổi mới PPDH.
Chúng ta đang sống trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước,
thời đại mà lượng thông tin phát triển mạnh như vũ bão. Từ những năm 70 của thế
kỷ XX, đã xuất hiện những lời nhận xét: "Khối lượng tri thức khoa học tăng lên
nhanh chóng một cách lạ thường, theo các nhà bác học, cứ 8 năm nó lại tăng lên
gấp đôi" [5, tr. 112]. Dòng thông tin khoa học phát triển mạnh làm cho khoảng
cách giữa tri thức khoa học nhân loại và bộ phận tri thức được lĩnh hội trong nhà
trường ngày một tăng thêm. Do đó, tham vọng giáo dục sẽ truyền thụ cho học sinh
tất cả tri thức đủ để đảm bảo cuộc sống sau này của học sinh là không tưởng. V.
A. Cruchetxki cũng từng nói: "Không một trường học nào cung cấp cho con người
đủ một phần tri thức dù ít ỏi cần thiết" [5, tr. 113]. Lượng tri thức đó phải là kết


7
quả của quá trình học tập lâu dài, “Học nữa, học mãi”, học suốt đời chứ không
phải chỉ khi còn ngồi trên ghế nhà trường. Vì vậy, giáo dục không chỉ dạy tri thức
mà còn phải truyền thụ cho học sinh phương pháp tự học tích cực, độc lập, sáng
tạo, khả năng thích ứng tốt trong cuộc sống.
Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó như là động lực để phát huy tính tự giác,
tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui,
hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lí. "Nếu học sinh được độc lập quan
sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu
sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt". Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo
viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến
thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi
dưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa, thực hiện định hướng "hoạt động hóa
người học", học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên

tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa biết,
chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã được sắp sẵn. Cần đặt học sinh
vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải
quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới,
kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không
nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm
năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3).
Như vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển sang
vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã chú trọng đến việc
phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học,
"chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học cũ theo
kiểu “thầy đọc, trò chép”, "học vẹt", "học tủ", "học thuộc lòng mà không hiểu,
không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh",


8
chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa
tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có
vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược"
(Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 4).
1.2. QUAN NIỆM VỀ BÀI TOÁN GỐC
1.2.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông
qua một số định nghĩa sau:
G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không
thể đạt được ngay”.
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:
“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán).
- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán).

- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành
động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể
hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế
hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến
trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.
1.2.2 Bài toán gốc
Theo quan điểm của luận văn bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối
dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản.
Đồng thời bài toán gốc phải thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán
khác.


9

- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.
- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.
1.2.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài
toán khi giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến
thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng toán.
1.3. VAI TRÒ CỦA BÀI TOÁN GỐC
G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được một bài toán mới, không
giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một
bài toán trước đó đã giải. Nếu như có một bài toán như vậy vì tất đã giải được.
Thực vậy, khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã
giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán
đó. Hiển nhiên, những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện

có [27, tr. 55]. Một bài toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề
khác, cũng có thể là một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác. Vì vậy ,
trong dạy học toán GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán gốc để
dễ dàng áp dụng khi cần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo
nên một số bài toán mới.
Trong dạy học Toán, bài toán gốc có vai trò quan trọng như:
- Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết
đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để
dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới.
- Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng.
- Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên
quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn.
- Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán mới.


10

- Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán với
phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc.
1.3.1. Bước đầu tạo sự kết nối giữa tri thức đã có với các bài toán nâng cao
Qua thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy thời gian học tập của HS ở
trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học
phải theo phân phối chương trình nên việc mở rộng khai thác ứng dụng của các
khái niệm, định lí chưa được sâu sắc đặc biệt việc khai thác các bài toán cơ bản
trong SGK thì ít có thời gian và điều kiện để thực hiện. Điều này hạn chế đến
việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển tư duy của HS
trong học tập.
Việc vận dụng các bài toán cơ bản vào giải các bài toán nâng cao còn
nhiều hạn chế. Mỗi chương hoặc mỗi chủ đề nhằm khắc sâu, ứng dụng khái
niệm, định lí còn rất ít và chưa phong phú đa dạng. Do đó HS vận dụng tri thức

đã học vào việc giải bài toán còn lúng túng. Với những kiến thức đó thì chưa đủ
để HS giải các bài toán nâng cao, bài toán khó.
Để khắc phục phần nào những hạn chế trên chúng ta nhận thấy rằng GV
phải tận dụng tối đa giờ trên lớp, phải chuẩn bị hệ thống bài tập mới bổ sung cho
sách giáo khoa nhằm mục đích khắc sâu các định lí, các khái niệm toán học giúp
các em nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ bản vững chắc. Trên cơ sở đó
phát huy được khả năng tư duy của các em, rèn luyện khả năng huy động kiến
thức để giải quyết những bài toán nâng cao, các bài khó.
Nếu xây dựng được hệ thống bài toán gốc thì sẽ góp phần phát triển tư duy
cho HS. Thông qua việc sử dụng bài toán gốc sẽ rèn luyện và từ đó phát triển
cho các em khả năng liên tưởng, huy động kiến thức, quy lạ về quen...
Mục đích của việc xây dựng các bài toán gốc nhằm làm cho các em biết
cách phát triển các bài tập trong sách giáo khoa phổ thông, biết trăn trở khi giải
xong một bài toán, biết tổng quát hoá, biết đặc biệt hoá một bài toán hoặc có thể


11
đề xuất các bài toán tương tự. Đó là một trong những điều kiện quan trọng để
phát triển tư duy cho các em.
Từ thực tiễn dạy học giải bài tập ở trường trung học phổ thông cho thấy
học sinh cũng bộc lộ những khó khăn, yếu điểm sau đây khi giải bài toán nâng
cao
- HS gặp khó khăn trong việc định hướng, vận dụng khái niệm, định lí,
bài toán gốc liên quan
- Chưa biết lợi dụng có hiệu quả những tính chất, quy luật. Có sự ngăn
cách giữa bài toán gốc với bài toán nâng cao.
Bài toán gốc sẽ góp phần củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo
đã được hình thành ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Thông qua
bài toán gốc HS tự tìm hiểu, nhận thức rõ hơn các kỹ năng thường được áp dụng
trong việc giải các bài tập toán.

Hệ thống bài toán gốc đóng vai trò hết sức quan trọng vì ngoài chức năng
củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài toán gốc còn góp phần định hướng
tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng toán có quy trình giải. Việc
thực hiện quy trình trong dạy học toán không những hướng cho học sinh tới tư
tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho học sinh sử dụng mềm mại, uyển
chuyển các phương pháp dạy học khác nhau. Giáo viên dựa vào những kiến thức
truyền đạt để dạy học sinh tưởng tượng, phát triển trực giác, giúp học sinh phát
triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Theo G.Polya
* Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có
liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp
riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không? Hãy
giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm được xác định
đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những
điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có thể


12
thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải
tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay
chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước
đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?
* Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay
kết quả không?
* Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra
lời giải ngắn gọn và hợp lí nhất [27, tr.420-422].
Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng túng ko định
hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết vì vậy GV cần
hướng dẫn, định hướng các em liên tưởng đến những bài toán quen thuộc đã giải,

lựa chọn cách giải độc đáo.
Ví dụ 1.3.1: Xét bài toán “Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Chứng minh rằng các
đỉnh A, C1 và trọng tâm G của tam giác BDA1 thẳng hàng.”
A
O
B

G

A

D

O

C

G

C

D1
C1

B1
Hình 1

C1

A1

Hình 2

GVcó thể định hướng để học sinh hoạt động:
- Xác định G là giao điểm của AC1 với mặt phẳng (BDA1), (xem hình 1).


13
- Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BDA 1, có nghĩa là chứng minh
G1O/ GA1 = 1/2 vì GO là đường trung tuyến.
- Có thể định hướng cho học sinh tập trung vào chi tiết mặt phẳng ACC1A1
(hình 1), hoặc tách hình chữ nhật ACC1A1 ra khỏi hình không gian.
- Bài toán cần xác định tỉ số ta thường dùng kiến thức nào đã biết?
Yêu cầu để học sinh huy động kiến thức về đồng dạng hay định lý Talet trong
tam giác. Do các tam giác GOA và GA1C1 đồng dạng nên
GO
OA
OA
1
=
=
=
GA1 A1C 1 AC
2
1.3.2. Vai trò của bài toán gốc của một dạng bài tập toán
Tập hợp các bài toán có mối liên hệ xác định về cấu trúc bài toán hay về
tri thức phương pháp giải các bài toán phục vụ cho mục đích dạy học xác định.
Thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài tập cơ bản,
nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập SGK cũng
chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được
hệ thống các bài toán mới. Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy rằng các em

thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công
việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác,
tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác.
Ví dụ 1.3.2.1: Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng :
+ + ≥ ‘
(Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2013-2014. Tỉnh Nghệ An)
Chứng minh: Vì a, b, c > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương và
2
b+c
Ta có : +
≥ 2 a .b + c ⇔
+ ≥ a
4
b+c 4
Tương tự, ta có : + ≥ b ;
+ ≥ c
⇒
⇔

+ + + + + ≥ a+b+c
+ + ≥

(đpcm)


14
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Bằng phương pháp tương tự ta có thể chứng minh
các bài toán sau:
BT 1.3.2.1: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: + + ≥
BT 1.3.2.2: Cho a, b, c >0 và ab+bc+ca =1.Tìm Min của P = + +

BT 1.3.2.3: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng + +

c2
≥ a+b+c
a

BT 1.3.2.4: Cho a, b, c,d >0. Chứng minh rằng:
+ + + ≥
BT 1.3.2.5: Cho a,b,c >0, chứng minh rằng : + + ≥
1.3.3. Gợi động cơ trong dạy học giải bài tập toán giúp HS định hướng
biến đổi bài toán cần giải về bài toán gốc.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn ta
nhận thấy: Khi giải một bài toán chúng ta cần tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ
những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm
hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với tri thức đã biết,
liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài
toán nào đó tổng quát hơn hay một bài toán nào đó liên quan, sử dụng phương
pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh, quy nạp toán học, toán dựng
hình, toán quỹ tích...
Bài toán 1.3.3.1: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1. Lấy M trên
3
cạnh CC1 sao cho độ dài MC = . Trên cạnh A1D1 lấy N sao cho độ dài A1N =
5
1
o
. O là tâm hình lập phương. Tính khoảng cách từ D đến (MNO)?
3
Khi gặp bài toán này học sinh sẽ thấy khó khăn khi tìm hình chiếu của D
trên (MNO). Khi đó giáo viên gợi ý để học sinh tìm cách đưa về bài toán gốc.

Ví dụ 1.3.3.2:
a
Cho tam diện vuông OABC có OA = a, OB = b, OC
= c.

c
h
b


15
Tính khoảng cách từ O đến (ABC)
(Ví dụ 2: SBT Hình học 11,Trang 132 - Ban cơ bản)
Giải: Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC)
Áp dụng tính chất của tam diện vuông ta có:
1
1
1
1
1
1 1
=
+
+
= 2+ 2+ 2
2
2
2
2
OH

OA
OB OC
a
b c
abc
⇒ OH =
a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2a 2
Như vậy: Làm thế nào để đưa về bài toán gốc?
Nếu học sinh chưa trả lời được, giáo viên có thể gợi ý:

r

p a
e

Mặt phẳng (α) trong bài toán gốc cắt 3 cạnh của
góc tam diện A, B, C và độ dài OA, OB, OC đã biết.

c

b

a1

d
o

c1

b1

n

m

d1

Từ đó ta có
Lời giải:
Gọi E = MO ∩ AA1
P = NE ∩ AD; Q = NE ∩ DD1 và R = MQ ∩ DC
2
3
q
Ta có AE = MC1 = ; EA1 = CM =
5
5
2
PA
AE 5 2
2
2
11
=
= = ⇒ PA = A1N = . ⇒ DP = .
⇒
A1N EA1 3 3
3
9
9
5

11
11
Tương tự ta tính được DQ = ; DR = .
5
8
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
2
Vậy h
 11   11   11  .
 ÷  ÷  ÷
9 5 8
Bài toán tương tự 1.3.3.2: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1.
Trên AA1 lấy E sao cho AE =

1
1
. Trên BC lấy F sao cho độ dài BF = .
3
4

Gọi O là tâm hình lập phương. Tìm khoảng cách từ B1 đến (EFO).

Biến đổi bài toán về dạng bài toán quen thuộc


16
Theo Polya “Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài
toán phụ dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn?
Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ
các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả
thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?”
Bài toán 1.3.3.3: Trong (P) cho nửa lục giác đều ABCD với AB = BC = CD = a,
AD = 2a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc (P) tại A, lấy điểm S. Mặt phẳng
qua A ⊥ SD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B', C', D'.
a) Chứng minh: A'B'C'D' là tứ giác nội tiếp.
b) Khi S chuyển động trên Ax thì đường thẳng B'C' đi qua 1 điểm cố định,
đường thẳng C'D' cũng đi qua 1 điểm cố định.
Để giải bài toán trên giáo viên cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ đến bài
toán quen thuộc đã biết cách giải.
Ví dụ 1.3.3.4: Cho hình chóp SABC có ∆ABC vuông ở C;
SA ⊥ (ABC). Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB cắt SB, SC tại B', C'; B'C'
∩ BC = I. Chứng minh
a) AC' ⊥ (SBC)
b) ∆AC'B' ⊥ tại B'
c) AI ⊥ (SAB). Ngược lại nếu B', C' là hình chiếu của A trên SB, SC thì
(AB'C') ⊥ SB.
BC ⊥ AC
Giải: a) Do 
⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AC'
BC ⊥ SA
Mà SB ⊥ AC' ⇒ AC' ⊥ (SBC) (1)
b) Từ (1) ⇒ AC' ⊥ C'B' hay ∆AC'B' ⊥ ở C'

c) Do AI ⊂ (AB'C') nên AI ⊥ SB. AI ⊂ (ABC)
⇒ AI ⊥ SA. ⇒ AI ⊥ (SAB).
a
Ngược lại, nếu AB' ⊥ SB; AC' ⊥ SC,
ta có: BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AC'; SC ⊥AC' ⇒ AC' ⊥ SB.
Kết hợp với SB ⊥ AB', suy ra SB ⊥ (AB'C')

b'

b
c'

c
i


17
Khi đó ta cũng có các tính chất a, b, c.Sau khi hướng dẫn
HS trình bày bài toán gốc. GV đặt ra các vấn đề
a, So sánh giả thiết của bài toán 1.3.3.3. với bài 1.3.3.1
bài toán gốc ở ví dụ 1.3.3.4 xem có gì giống nhau không?
* Giống: Có mặt phẳng qua A và ⊥ SD, có SA ⊥ đáy.

s

* Giáo viên vẽ riêng đáy để học sinh thấy được do
ABCD là nửa lục giác đều nên nó nội tiếp trong đường

j
d'

·
·
tròn đường kính AD ⇒ ABD
= 1V.
= ACD
* Xét các bộ phận liên quan tới bài toán gốc.
- Học sinh sẽ nhận ra các hình chóp đó là SABD

c'
a

b'

d

và SACD.Quay về chứng minh bài toán gốc
đối với 2 hình chóp này,

i

AB' ⊥ B'D'
ta sẽ có: 
Tứ giác AB'C'D' nội tiếp đường kính AD'.
AC' ⊥ C'D'

b

c

c, Khi S thay đổi trên Ax, những yếu tố nào cố định, những yếu tố nào thay đổi?
* Vẽ vào trường hợp của S và dự đoán điểm cố định mà B'C' đi qua?
Liên hệ với bài toán gốc học sinh sẽ nghĩ tới việc gọi I = BC ∩ B'C'. Và chứng
minh I cố định: Ta đã có I ∈ BC cố định để chứng minh I cố định ta cần chứng
minh thêm điều gì? Lúc này đưa bài toán về bài toán gốc để chứng minh AI ⊥
(SAD) mà (SAD) cố định nên AI cố định.
1.3.4. Tăng cường khả năng huy động kiến thức
Theo G.Polya trước khi giải một bài toán nên hướng suy nghĩ bằng cách trả lời
* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để
ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định
đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?


18
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi ý
trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài
toán. Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả
các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động
giải Toán của mình.
Ví dụ 1.3.4.1: Cho tứ diện trực tâm ABCD
1. Chứng minh các đoạn trung bình của tứ diện bằng nhau.
2. Chứng minh tổng các bình phương hai cạnh đối của tứ diện bằng nhau.
Đối với ví dụ trên, học sinh và giáo viên có thể giải trực tiếp, song việc đặt
tứ diện vào hình hộp, chuyển bài toán tứ diện thành bài toán hình hộp giúp học
sinh có phương pháp giải đơn giản hơn, ngắn gọn hơn và trực quan hơn. Việc đặt
tứ diện vào hình hộp là có thể. Qua mỗi cạnh của tứ diện dựng mặt phẳng song
song với cạnh đối. Ta được ba cặp mặt phẳng, và trong mỗi cặp ấy hai mặt phẳng

song song với nhau. Sáu mặt phẳng này cắt nhau tạo thành B'
D
hình hộp. Quay trở lại ví dụ ở trên, giáo viên hướng dẫn,
I
gợi ý học sinh giải toán:
A
C'
- Tứ diện trực tâm có gì đặc biệt ?
- Là tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
- Hãy đặt tứ diện trực tâm ABCD vào
D'
B
trong hình hộp nào đó, hình hộp ngoại tiếp tứ
J
diện trực tâm ABCD có gì đặc biệt ?
C
A'
Gọi hình hộp đó là A'BD'C.AB'DC'.
Hình 1.3.4.1
Ta có B'C'//BC và A'D' ⊥ BC.⇒AD ⊥ B'C'⇒hình bình hành AC'DB' là hình thoi
⇒ hình bình hành A'CD'B cũng là hình thoi
Chứng minh tương tự ta có các mặt còn lại của hình hộp cũng là hình thoi.
Vậy tứ diện trực tâm ABCD nội tiếp trong hình hộp A'CD'B.AC'DB' có
sáu mặt là hình thoi cạnh bằng nhau, bằng a.
- Gọi I, J là trung điểm các cạnh AD và BC. Nhận xét gì về mối quan hệ của
đoạn thẳng IJ với tứ diện và với mặt chéo AD'DA' của hình hộp ?


19
IJ là đoạn trung bình của tứ diện. IJ cũng là đoạn trung bình của hình bình

hành AD'DA. Do đó: IJ = AA' = a
Chứng minh các đường trung bình còn lại tương tự cũng bằng a.
Vậy 3 đoạn trung bình của tứ diện trực tâm dài bằng nhau.
- Nhận xét gì hai mặt đáy của hình hộp ?
Hai mặt đáy của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau.
- Hãy tính AD2 + BC2 qua a ?
Ta có: AD2 + BC2 = AD2 + B'C'2 = (2 AI)2 + (2IB')2
= 4AI2 + 4IB'2 = 4 (AI2 + IB'2)
= 4AB'2 = 4a2
Tương tự:
AB2 + CD2 = 4a2
AC2 + BD2 = 4a2
Vậy: AB2 + BD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 (= 4a2).
Ở ví dụ trên, chúng ta đã "kế thừa" các tính chất của hình hộp để giải quyết
bài toán tứ diện. Không chỉ đặt được tứ diện vào hình hộp mà đối với hình chóp,
lăng trụ hoặc hai đường chéo nhau bất kỳ ta cũng có thể đặt vào trong hình hộp
được.
1.3.5. Sử dụng bài toán gốc với tư cách phương pháp trong dạy học giải
bài tập toán.
Đặt bài toán cần giải trong mối quan hệ biện chứng với các bài tập Toán
khác. Các qui luật của tư duy biện chứng chỉ rõ rằng: khi xem xét một sự vật
phải xuất phát từ chính bản thân sự vật trong cả quá trình phát triển của nó, phải
xem xét đầy đủ mối liên hệ bên trong của sự vật đó, phải nhận thức sự vật trong
sự phát triển trong sự tự vận động của nó. Chính vì thế khi xem xét bài toán, học
sinh cần phải xem xét một cách đầy đủ toàn diện với tất cả các mối quan hệ bên
trong bên ngoài, giữa cái chung cái riêng, giữa cái cụ thể với cái trừu tượng...
Trên cơ sở đó, dùng phép tương tự hoặc tổng hợp để chuyển cái riêng thành cái
chung, cái cụ thể thành cái trừu tượng… và ngược lại. Từ đó hình thành cho các
em cái nhìn đầy đủ hơn về lịch sử hình thành cũng như quá trình phát triển của
Toán học.

20
Ví dụ 1.3.5.1: Từ hệ thức lượng trong tam
giác vuông:
Cho tam giác OAB vuông tại O.
1
1
1
=
+
CMR:
.
OH 2 OA2 OB 2
Chứng minh:
OA2 + OB 2
OA2OB 2
( AB. AH )( AB.BH )
2
=
⇔ OH =
⇔ OH 2 =
OH 2
OA2OB 2
OA2 + OB 2
AB 2
1

OH BH
=

(Do ∆ BOH ∆ OAH)
AH OH
Bài toán 1 Cho tam giác OAB vuông tại O. Gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi
⇔ OH 2 = AH .BH ⇔

đường cao OH với hai cạnh OA, OB. CMR
2
2
2
2
a) cos α + cos β = sin α + sin β = 1
 sin 2 α
2α
sin 2 β 
cos2β
c
os
÷
+3
≥ 6
+
b) 3
2β ÷
 sin2α
sin
3
3


Chứng minh: a)

OH OH
OH 2 OH 2
2
2
cosα + cos β =
+
⇒ cos α + cos β =
+
2
OA OB
OA
OB 2
OH 2 OH 2
1 
1
 1
2
2
⇒ cos α + cos β =
+
= OH 2 
+
= OH 2
=1
2
2
2
2 ÷
OA
OB

OH 2
 OA OB 
sin 2α + sin 2 β = (1 − cos 2α ) + (1 − cos 2 β ) = 2 − (cos 2α + cos 2 β ) = 2 − 1 = 1
2
2
2
2
b) Đặt a = sin α ; b = sin β ta có a+b=1 và cos α = 1 − a; cos β = 1 − b .

BĐT cần chứng minh trở thành
 a
b 
31−a + 31−b ≥ 6  a + ÷
3b 
3
 a
3
3
b 
3 6a 3 6b
3
3
⇔ a+
≥ 6  a + ÷⇔ a − a +
−
≥ 0 ⇔ a (1 − 2a) + (1 − 2b) ≥ 0
3
3
3
3

3b
3b 
3b 3b
3b
3


21

⇔

3
3
3
3
(a + b − 2a ) + (a + b − 2b) ≥ 0 ⇔ a (b − a ) + ( a − b) ≥ 0
a
3
3
3b
3b

 1
1 
1
⇔  a − ÷(b − a ) ≥ 0 bất đẳng thức này luôn đúng vì hàm số y = x là hàm
3
3b 
3
số giảm nên ta có:

1
1
a≥b⇒ a ≤ 
3
1 
3b   1
 ⇒  a − b ÷( b − a ) ≥ 0
1
1
3
3 
a≤b⇒ a ≥  
b
3
3 
2
2
Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b ⇔ cos α = cos β hay

∆ OAB vuông cân tại O.

Vì trong tam giác vuông, với các góc α , β theo đề bài ta luôn có
cos 2α + cos 2 β = sin 2 α + sin 2 β = 1 nên ta có thể biến đổi bài 2 thành
Bài toán 2. Cho tam giác OAB vuông tại O. Gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi
 cos 2α cos 2 β 
sin α
sin β
≥ 6  cos α + cos β ÷
đường cao OH với hai cạnh OA, OB. CMR: 3 + 3
3

 3

2

2

2

2

Cách giải bài này tương tự như bài trên khác cách đặt một chút như sau:
2
2
2
2
Đặt a = cos α ; b = cos β ta có a+b=1 và sin α = 1 − a; sin β = 1 − b .
phần còn lại làm tương tự.
Ví dụ: Sự hình thành và phát triển hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong
không gian theo thứ tự xét trên nửa đường thẳng, trên đường thẳng, trên mặt
phẳng và trên không gian. Phát triển theo số chiều của không gian, có thể mở
rộng sau này ở bậc Đại học đến n chiều. Ngoài ra có thể phát triển theo hướng
không cần các vectơ đơn vị đôi một vuông góc và độ dài bằng 1, như hệ tọa độ
Afin. Phát triển theo các môn học: Số học, Đại số và Hình học. Ích lợi của việc
phát triển này, thể hiện mối quan hệ giữa Số học, Đại số và Hình học: Đại số hóa
Hình học, tạo ra công cụ khá đắc lực để giải các bài toán Hình học như: phương
pháp vectơ, phương pháp tọa độ.


22
1.3.6 Thực hiện phương thức dạy học bài toán theo hướng, dạng chuổi

bài tập toán.
Mục đích của việc xây dựng chuỗi bài toán nhằm làm cho các em biết
cách phát triển các bài tập trong sách giáo khoa phổ thông, biết trăn trở khi giải
xong một bài toán, biết tổng quát hoá, biết đặc biệt hoá một bài toán hoặc có thể
đề xuất các bài toán tương tự. Đó là một trong những điều kiện quan trọng để
phát triển tư duy cho các em.
Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ được khả
năng về trí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo vv... Cũng thông qua
hoạt động này phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên
nhân dẫn đến sai lầm của học sinh để kịp thời uốn nắn. Từ đó đánh giá
mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình
độ phát triển của học sinh.
Chuỗi bài toán mà chúng ta xây dựng cũng mang những chức năng phát
triển tính suy luận và sáng tạo của HS, ngoài ra nó còn đóng vai trò là “cầu
nối” giữa những kiến thức mà HS được học với những bài toán nâng cao, bài
toán khó. Để có thể giải được những bài toán của chuỗi đòi hỏi học sinh phải
có khả năng liên tưởng huy động kiến thức đã biết để vận dụng. Việc giải các
bài tập của chuỗi sẽ giúp cho HS phát huy khả năng dự đoán các vấn đề tương
tự. Trong quá trình sử dụng chuỗi bài toán, các em phải biết đặt ra các câu hỏi
“tại sao?”, “như thế nào”... Điều đó thể hiện tinh thần hoài nghi khoa học,
tính độc lập, tính phê phán của tư duy.
Ngoài việc rèn luyện những phẩm chất trên của tư duy thì quá trình
giải bài tập toán cũng góp phần rèn luyện tính sáng tạo cho HS. Việc giải
các bài tập của chuỗi , đặc biệt là chuỗi bài toán nâng cao cho một số
dạng toán điển hình, đòi hỏi HS phải phát huy tối đa khả năng sáng tạo
của bản thân để không những giải được các bài toán của chuỗi mà còn
biết đặt ra các vấn đề tương tự để tự mình nghiên cứu.


23

Tóm lại nếu GV có phương pháp sử dụng chuỗi bài toán một cách
thích hợp thì sẽ tạo được điều kiện thuận lợi cho việc phát triển các phẩm
chất trí tuệ ở HS - điều này có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công
tác và trong cuộc sống của các em.
Ví dụ 1.3.6.1 : Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d). Tìm
điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM + BM nhỏ nhất.
A

M

(d)

A

M

(d)
M’

B
B

Hướng dẫn: Gọi M là giao của AB và d. Khi đó A, B, M thẳng hàng nên AM
+ MB nhỏ nhất.
Giả sử có một điểm M’ ≠ M, M’ thuộc d
Trong ABM’ có: AM’ + BM’ ≥ AB(bất đẳng thức trong tam giác)
⇔ AM’ + BM’ ≥ AM + MB. Dấu “=” xẩy ra khi M’ trùng với M

Vậy AM + MB nhỏ nhất khi A, M, B thẳng hàng
Qua bài này thầy phải xem xét kiến thức của học sinh tìm được có

đúng hay sai. Nếu sai thầy sửa chữa cho trò.
Trò: Hoạt động tư duy tích cực sáng tạo, thầy chú trọng đến tình
huống để trò tích cực, tự giác, tạo nguồn lực cho học sinh.
Nâng cao mưu đồ khó khăn. Từ đó ta có chuổi bài toán nhờ vận dụng
kết quả ví dụ trên với mức đô khó dần như sau:


24
Bài toán1.3.6.2: Cho hai điểm A và B cùng năm trong một nửa mặt
phẳng có bờ là đường thẳng xy. Hãy tìm trên xy một điểm M sao cho MA +
MB là ngắn nhất.
Bài toán 1.3.6.3 : Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B cố định ở về
cùng một phía của xy.

Hãy xác định trên xy một đoạn thẳng CD = a cho

trước sao cho AC + CD + DB là ngắn nhất,
Bài toán 1.3.6.3: Cho một góc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc
ấy. Dựng một đường thẳng d cắt cạnh Ox tại M và cạnh Oy tại N sao cho
tổng PM + MN + NP có độ dài ngắn nhất.
Bài toán 1.3.6.4 : Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp trong tam giác
MNQ sao cho M thuộc AB, N thuộc BC, Q thuộc AC và chu vi tam giác
MNQ bé nhất
Bài toán 1.3.6.5 : Cho hai đường thẳng song song xy và x’y’, hai điểm
cố định A và B nằm ở hai phía ngoài hai đường thẳng đó.
Hãy chọn trên xy một vị trí thích hợp để dựng đường thẳng EF vuông góc
với hai đường thẳng song song sao cho AE = BF.
Tùy theo đối tượng HS mà GV có thể chọn lựa bài toán phù hợp để giảng
dạy, để ra đề thi. Có thể mở rộng thành những bài toán trong hình học không
gian.

1.4. ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG
DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
Các biện pháp sử dụng trong từng giai đoạn của quy trình là một yếu tố
đảm bảo cho tính hiệu quả của phương pháp dạy học. Vì vậy, điều cần thiết là
phải trang bị cho giáo viên và qua đó cho học sinh những biện pháp trong quá
trình phát hiện giải quyết, kiểm tra và vận dụng trong giải quyết vấn đề. Để từ
đó, các em học được cách học, cách giải quyết vấn đề và cách tự học cho bản thân. tác


25
giả Nguyễn Lan Phương đã chỉ ra hệ thống các biện pháp sử dụng trong các
bước của quy trình. Cụ thể là:
1.4.1. Biện pháp tích cực hoá tư duy học sinh trong quá trình phát hiện
vấn đề.
- Giải bài tập vào lúc mở đầu: Với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp
dẫn và việc xây dựng nó trở nên dễ hiểu, hợp tự nhiên, chúng ta có thể sử dụng
biện pháp đơn giản là cho học sinh giải bài tập, rồi từ kết quả thu được chuyển
sang vấn đề cần nghiên cứu.
- Hướng dẫn áp dụng phép tương tự: Từ hai đối tượng giống nhau ở một
số dấu hiệu, ta rút ra kết luận chúng giống nhau ở một số dấu hiệu khác. Biện
pháp này sử dụng trong hai hoạt động: dự đoán và đặt đề toán.
- Gợi ý thay đổi một số bộ phận của vấn đề đã giải quyết.
- Gợi ý áp dụng mẫu, mô hình quen thuộc.
- Hướng dẫn dùng quy nạp, thử nghiệm.
- Phân tích sự tối nghĩa và mâu thuẫn.
- Khái quát hoá, trừu tượng hoá những kiến thức đã biết.
1.4.2 Biện pháp tích cực hoá tư duy của học sinh trong quá trình giải quyết
vấn đề.
- Thảo luận thông qua hệ thống câu hỏi.
- Hướng dẫn đặt giả thuyết.

- Hướng dẫn tự nghiên cứu từng phần.
- Dùng phương pháp diễn dịch.
- Dùng phương pháp phân tích và tổng hợp.
- Gợi ý dùng phép tương tự.
- Tìm nguyên nhân của hiện tượng.
- Tạo nên và hướng dẫn giải quyết mâu thuẫn.
- Tổ chức độc lập nghiên cứu.
1.4.3. Tích cực hoá tư duy của học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức.