Khai thac tu mot bai toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét bài toán lớp 8

Phn I: giới thiệu đề tài:
A.Lý do chọn đề tài:

“Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống nh− bơi lội,tr−ợt tuyết,hay
chơi đàn …”Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua q trình luyện tập .Tuy
rằng,khơng phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu
quả,nếu nh− biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập t−ơng
tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một ph−ơng pháp chứng
minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh th−ờng học tốn khơng chú ý đến
ph−ơng pháp giải nên khi gặp những bài tốn có sử dụng ph−ơng pháp t−ơng tự
gặp nhiều lúng túng.

Vậy khơng ngồi tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho
bộ mơn tốn học và sự mong muốn nâng cao chất l−ợng –tôi đQ tiến hành học
tập tích luỹ soạn ra đề tài này”….”

B.nhiƯm vơ:

+Cơ sở lý luận của đề tài:

viÖc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không?
+VËn dơng lý ln vµo thùc tiƠn:

khai th¸c các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
C.Phơng pháp nghiên cứu:

+phơng pháp nghiªn cøu thùc tiƠn,lý thut
+phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

+ph−ơng pháp thực nghiệm s− phạm
D.Giới hạn đề tài và mục đích nghiên cứu:

-Giới hạn đề tài khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8:áp dụng để dạy
học sinh lớp 6,7,8

-Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi d−ỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu
tự học cho các em giúp các em tìm cho mình ph−ơng pháp học tập tích cực.

PhÇn 2: néi dung

A.Cơ sở lý luận của đề tài:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán líp 8

một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một ph−ơng pháp chứng minh nàođó.
Quan sát đặc điểm bài toán,khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan

trọng,song quan trọng hơn là sự khái quát h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp
giải.Sự thực là khi giải bài tập thì khơng chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải
đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp giải
bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái
quát đ−ợc h−ớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể
dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác
nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tơi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực
dùng để giải quyết vấn đề khác”.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai
thác h−ớng suy nghĩ và cách giải.

B.VËn dông lý ln vµo thùc tiƠn:

xÐt bµi toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 tập 1:
a.Chøng minh:
)
1
(
1
1
1
1
+
=
+
−
x
x
x

x (1)

b.§è: Đố em tính nhẩm đợc tổng sau:

)
5
)(
4
(
1
)

4
)(
3
(
1
)
3
)(
2
(
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+

+ x x x x x x x x

x

x

-H−ớng dẫn:a.Biến đổi vế trái thành vế phải :

)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
1
+
=
+
−
+
=
+

−
x
x
x
x
x
x
x
x

b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1
chính là tử thì có

)
1
(
1
1
1
1
+
=
+
−
x
x
x

x .T−ơng tự với đặc điểm nh− VP ở câu a;ta có:
)

5
)(
4
(
1
)
4
)(
3
(
1
)
3
)(
2
(
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1
+
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+

+ x x x x x x x x

x

x + ₅

1
+
x =
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
1
5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
−
+
+

+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−

-Cách phát biểu khác của bài toán:
a.ViÕt ph©n thøc

)
1
(
1
+
x

x thành hiệu của hai phân thức có tử bàng 1

b.VËn dụng kết quả câu a,hQy rút gọn biểu thức sau:

)

5
)(
4
(
1
)
4
)(
3
(
1
)
3
)(
2
(
1
)
2
)(
1
(
1
)
1
(
1
+
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+

+ x x x x x x x x

x

x + ₅

1
+
x

I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính tốn;trong tốn
rút gọn;tốn chứng minh đẳng thức:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét bài toán lớp 8

Bài1:Tính:
a.
100
.
99
1

...
6
.
5
1
5
.
4
1
4
.
3
1
3
.
2
1
2
1
+
+
+
+
+
+
H−íng dÉn:

100
.
99

1
...
6
.
5
1
5
.
4
1
4
.
3
1
3
.
2
1
2
1
+
+
+
+
+
+ =
100
99
100
1

1
100
1
99
1
...
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
=
−
=
−
+
+
−
+
−
+

−
+

+ Từ đó có bài tốn tổng qt :b.Tính tổng

)
1
(
1
...
4
.
3
1
3
.
2
1
2
1
+
+
+
+
+
n

n víi n 1

Hớng dẫn:tơng tự câu a;ta có kết quả

là:1-1
1
1
+
=
+ n
n
n

*)Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài tốn
khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích
2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2
hay 3 hay 4…thì giải bài tốn nh− thế nào?chẳng hạn:

Bµi2:TÝnh tỉng:
a.
2007
.
2005
1
....
7
.
5
1
5
.

3
1
3
.
1
1
+
+
+

+ b. 1 1 1 .... 1

2.5 +5.8+8.11+ +(3n 2)(3n 5)+ + với n 0

Hớng dẫn:a.Viết mỗi hạng tử trong tổng dới dạng hiệu 2phân thức:

)
2007
1
2005
1
(
2
1
2007
.
2005
1
);...

7
1
5
1
(
2
1
7
.
5
1
);
5
1
3
1
(
2
1
5
.
3
1
);
3
1
1
1
(
2

1
3
.
1
1
−
=
−
=
−
=
−
= .VËy
2007
.
2005
1
....
7
.
5
1
5
.
3
1
3
.
1
1

+
+
+
+ =
2007
1003
)
2007
1
1
(
2
1
)
2007
1
2005
1
....
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1

1
(
2
1
=
−
=
−
+
+
−
+
−
+
−

b.Phơng pháp làm tơng tự nh câu a.
Xét hạng tử tổng quát: 1 1( 1 1 )

(3n 2)(3n 5)+ + =3 3n 2 3n 5+ − + nªn ta cã:

1 1 1 1

....

2.5+5.8+8.11+ +(3n 2)(3n 5)+ + =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1

( ... ) ( )

3 2 5 5 8 8 11 3n 2 3n 5 3 2 3n 5 3n 5
+

− + − + − + + − = − =

+ + + +

+T−ơng tự nh− vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với
cùng ph−ơng pháp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Khai th¸c c¸c øng dơng từ một bài toán lớp 8

Bài3:Tính tổng:

a.
100
.
98
5
....
10
.
8
5
8
.
6
5
6
.

4
5
4
.
2
5
+
+
+
+
+
b.
+
+ + +

1 2 2 3 3 4 k k 1

n n n n

...

a a a a a a a a víi a₂−a₁ =a₃−a₂ =a₄−a₃=... a= _{k 1}+ a_k=b

Hớng dẫn:a.Phơng pháp làm:viết các hạng tử trong tổng dới dạng hiệu(tơng

tự bài 2) )

100
1
98

1
(
2
5
100
.
98
5
);....;
8
1
6
1
(
2
5
8
.
6
5
);
6
1
4
1
(
2
5
6
.

4
5
);
4
1
2
1
(
2
5
4
.
2
5

=

=

=

= do đó:

100
.
98
5
....
10

.
8
5
8
.
6
5
6
.
4
5
4
.
2
5
+
+
+
+
+ = ₎
100
1
98
1
....
8
1
6
1
6

1
4
1
4
1
2
1
(
2
5
−
+
+
−
+
−
+
− =
=
20
49
)
100
1
2
1
(
2
5
=

−

b.Ph−¬ng pháp làm tơng tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ các
bài toán trên.Vậy ta xét các trờng hợp sau:

+Trờng hợp 1:Nếu a₂−a₁ =a₃−a₂ =a₄−a₃ =... a= _{k 1}+ −a_k=n

Bài toán này giải đ−ợc dễ dàng theo cách phân tích của bài 1 vì khi đó:
= −

1 2 1 2

n 1 1

a a a a
……….

+ +

= −

k k 1 k k 1

n 1 1

a a a a

Céng tõng vÕ ta cã:

1 2 2 3 3 4 k k 1

n n n n

...
a .a a .a a .a a .a +

+ + + =

k k 1

1 1

a a +

− 

+Tr−êng hỵp 2:NÕu a2−a1 =a3−a2 =a4−a3 =... a= k 1+ −ak = b≠n

Ta cã

1 2 2 3 3 4 k k 1

n n n n

...
a .a a .a a .a a .a +

+ + + =n₍

b ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ ₄ _k _{k 1}

b b b b

.... )
a .a a .a a .a a .a +

+ + + +

Bài toán này thực chất đQ đ−a về dạng bài 2;bài3.Do đó ta có kết quả là

k k 1

n 1 1

( )

b a a +

−

-Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các bài
tốn khó hơn :

Bµi4:TÝnh tỉng :A= 1 1 1 .... 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5+ + + +(n 1).n.(n 1)− + víi n 1

≥ ,n∈N

B= 1 1 1 .... 1

1.3.5 3.5.7 5.7.9+ + + +(2n 1)(2n 1)(2n 3)− + + víi n ; 2
≥
∈N n

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét bài toán lớp 8

Nhận xét: 2 1 1

(n 1)n(n 1)− + =(n 1).n− −n.(n 1)+ Do đó ta có:

A=1 1( 1 1 1 ... 1 1 ) 1 1( 1 )

2 1.2 2.3 2.3 3.4− + − + +(n 1).n− −n.(n 1)+ =2 2−n.(n 1)+

NhËn xÐt: 4 1 1

(2n 1)(2n 1)(2n 3)− + + =(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3)− + − + + Do đó ta có:

B =1 1( 1 1 1 1 1 ... 1 1 )

4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9− + − + − + +(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3)− + − + +

=1 1( 1 )

4 3 (2n 1)(2n 3)− + +

*)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn:1 1 b a
a b a.b

−

− = _{với a}₀_;_b₀_thì

việc áp dụng ngợc công thức trên trong thực tế đợc sử dụng rất nhiều. Chẳng
hạn với bài toán sau:

Bài 5: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh:

b c c a a b 2 2 2

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a

− − −

+ + = + +

− − − − − − − − −
H−ớng dẫn:Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để
chứng minh thì q trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các
số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số:

b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng
ng−ợc công thức b a 1 1

a.b a b
−

= − tøc b c 1 1 .

(a b)(a c) a b a c
−

= −

− − − − Do đó:

b c c a a b 1 1 1 1 1 1

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b a c b c b a c a c b

− − −

+ + = − + − + −

− − − − − − − − − − − − =

1 1 1 1 1 1 2 2 2

a b− +c a− +b c− +a b− +c a− +b c− = a b− + b c− +c a− (§PCM)

*)Chú ý đến mẫu: nếu ta thay x.(x+1)=_x2₊_x_{; (x+1)(x+2)=}_x2₊_{3x 2}₊ _{;….ta sẽ cú}

các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài6:Rút gọn các biªđ thøc sau:

a. M= ₂1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1

x +x+x +3x 2+ +x +5x 6+ +x +7x 12+ +x +9x 20+

b. N= ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1

x −5x 6+ +x −7x 12+ +x −9x 20+ +x −11x 30+
H−íng dÉn:a.§Ĩ rót gän M cần phân tích các mẫu thành nhân tử
Ta cã: _x2_{+x = x(x+1);}_x2 ₊_{3x 2 x}₊ ₌ 2₊_{x 2x 2}₊ ₊ _{= (x+1)(x+2);}

2 2

x +5x 6 x+ = +2x 3x 6+ + =(x+2)(x+3);x2+7x 12 x+ = 2+3x 4x 12+ + =(x+3)(x+4);

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Khai th¸c c¸c ứng dụng từ một bài toán lớp 8

M= 1 1 1 1 1

(x 1)x+ +(x 1)(x 2)+ + +(x 2)(x 3)+ + +(x 3)(x 4)+ + +(x 4)(x 5)+ +

=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x−x 1 x 1 x 2+ + + − + +x 2+ −x 3+ +x 3 x 4+ − + +x 4+ −x 5+

=1 1 5

x−x 5+ =x(x 5)+

b.T−¬ng tù ta cã:

N= 1 1 1 1

(x 2)(x 3)− − +(x 3)(x 4)− − +(x 4)(x 5)− − +(x 5)(x 6)− −

= 1 1 1 1 1 1 1 1

x 2− −x 3− +x 3− −x 4− +x 4− −x 5− +x 5− −x 6−

= 1 1 4

x 2 x 6 (x 2)(x 6)
−

− =

− − − −

Bµi 7: Rót gän:

a.K= ₂ a ₂ a ₂ ₂ a ₂ ₂ a ₂ 1

x +a.x+ x +3a.x 2a+ + x +5.a.x 6a+ +x +7.a.x 12a+ +x 4a+

b.H= ₂ a ₂ a ₂ ₂ a ₂ .. ₂ a ₂ 1

x +ax +x +3ax 2a+ +x +5ax 6a+ + +x +19ax 90a+ + x 10a+
H−íng dÉn:

a.K= a a a a 1

x(x a)+ +(x a)(x 2a)+ + +(x 2a)(x 3a)+ + +(x 3a)(x 4a)+ + +x 4a+

=1 1 1 1 1 1 1 1 1

x−x a+ + x a+ −x 2a+ +x 2a+ −x 3a+ +x 3a+ −x 4a+ +x 4a+

=

x
1

b.H= a a a a 1

x(x a)+ +(x a)(x 2a)+ + +(x 2a)(x 3a)+ + +(x 3a)(x 4a)+ + +x 4a+

-1 a 1

...

x 5a+ + +(x 9a)(x 10a)+ + + x 10a+

H==1 1 1 1 1 1 1 1 1

x−x a+ +x a+ −x 2a+ + x 2a+ −x 3a+ +x 3a+ −x 4a+ +x 4a+

-1 1 1 1

...

x 5a+ + +x 9a+ −x 10a+ +x 10a+

H= 1

x

*)XÐt biÓu thøc sau: _{(x 1)}₊ 2₋_x2 ₌_{2x 1}₊ _{nªn ta cã:}

2 2 2 2

2x 1 1 1

x .(x 1) x (x 1)
+

= −

+ +

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ một bài toán lớp 8

Bài8:Rút gọn biểu thức sau:

A= 3 ₂ 5 ₂ ... 2x 1 ₂
(1.2) (2.3) [x(x 1)]

+

+ + +

+

H−íng dÉn:

-NhËn xÐt: ₂2x 1 ₂ 1₂ 1 ₂

x .(x 1) x (x 1)
+

= −

+ + nªn ta cã:

A= 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ ... 1₂ 1 ₂
1 −2 +2 −3 +3 − 4 + +x −(x 1)+

=1- 1 ₂

( x + 1 ) = 2
x ( x 2 )

( x 1)
+
+

II.khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất
đẳng thức:

Bµi9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n≥1:

a.A = 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ ... 1 ₂ 1
2 + 4 + 6 +8 + + (2n) < 2

b.B = 1₂ 1₂ 1₂ .... 1 ₂ 1

3 +5 + 7 + +(2n 1)+ < 4
H−íng dÉn:

a.NhËn xÐt: 1 ₂ 1 . 1₂
(2 n ) = 4 n <

1 1

.

4 ( n −1).n mµ

1 1 1

(n 1).n− = n 1 n− − nªn ta cã:

A= 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ ... 1 ₂ 1 1( ₂ 1₂ 1₂ ... 1₂)
2 + 4 + 6 + 8 + +(2n) = 4 1 + 2 +3 + + n nªn
A<1(1 1 1 1 ... 1

4 +1.2+2.3 3.4+ + +(n 1).n− ) hay

A<1(1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1)
4 + −2+2 3 3 4− + − + + n 1 n− − hay

A<1(1 1 1)

4 + −n hay A <
1 1

2−4n hay A<2
1

(§PCM)
b.NhËn xÐt:

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

( )

(2n 1)+ <(2n 1)+ −1⇔ (2n 1)+ < 2n.(2n 2)+ ⇔ (2n 1)+ < 2 2n −2n 2+

nªn ta cã:

B < ₂1 ₂1 ₂1 ... 1 ₂

3 −1 5+ −1 7+ −1+ +(2n 1)+ −1 hay
B < 1 1 1 ... 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét bài toán lớp 8

B < 1 1( 1 1 1 1 1 ... 1 1 )
2 2−4+4 6− +6 8− + +2n−2n 2+ hay

B < 1 1( 1 ) B 1 1 B 1

2 2 2n 2− + ⇒ < 4−4(n 1)+ ⇒ < 4 (ĐPCM)
Bài10:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì:

A= 2 2 2 2

1 1 1 1 1

.... 2

1 + 2 + 3 + + n < n

Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội,tơng tự nh− bµi 9.
-NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã: 2 2

1 1 1 1 1

hay

k < (k 1).k− k < k 1 k− − (2)

Lần lợt cho k=2;3;4;;n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta đợc:

A= 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ...

1 +2 +3 + 4 + + n < +1 2− +2 3− + + n 1 n− − hay

A<2-n
1

(ĐPCM)

-Từ bài 10 ta có thể ra bài tập sau:

Bài11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n≥2 th×:

B = 2 2 2 2

1 1 1 1

.... 1

2 + 3 + 4 + + n <
H−íng dÉn: ¸p dơng kết quả bài 10 ta có A<2-1

n mà B = A-1 hay A = B+1 khi

đó: B+1 < 2-1

n hay B <
1-1

n hay B < 1 (ĐPCM)

Bài12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; n 2 thì:

C = 2 2 2 2

1 1 1 1 2

...

2 + 3 + 4 + + n < 3
H−ớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng ph−ơng pháp làm trội.Vậy vận dụng nó
nh− thế nào?có giống với bài 11 khơng?(với bài 11 thì ch−a đánh giá đ−ợc

C<

3
2

).HQy xem nhËn xÐt sau:

2 2 2 2

1 4 4 1 1 1

2( )

n = 4n < 4n −1⇔ n < 2n 1 2n 1− − + Do đó:

C < 2(1 1 1 1 ... 1 1 )
3 5 5 7− + − + +2n 1 2n 1− − + hay

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Khai th¸c các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

C <

3
2

(ĐPCM)

Bài13: Chứng minh rằng víi mäi sè tù nhiªn n;n≥2 ta cã:

D= 3 3 3 3

1 1 1 1 1

...

2 +3 +4 + + n < 4
Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy sử dơng nh−
thÕ nµo?HQy xem nhËn xÐt sau:

3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

hay hay ( )

k < k −k k < (k 1)k(k 1)− + k < 2 (k 1)k− − k(k 1)+ Do đó ta có:

D< ₃1 ₃1 .... ₃1

2 −2 3+ −3+ +n −nhayD<

1 1 1 1 1 1 1

( ... )

2 1.2 2.3 2.3 3.4− + − + +(n 1)n− − n.(n 1)+

hay
D<1 1( 1 )

2 2−n(n 1)+ hay D < ₄
1

(§PCM)
Bµi14: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n≥3 ta cã:

E= 1₃ 1₃ 1₃ .... 1₃ 1

3 +4 +5 + +n <12

H−íng dÉn:Ta cã: 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

hay hay ( )

n < n −n n < (n 1)n(n 1)− + n < 2 (n 1)n− −n(n 1)+

Do đó :

E < 1 1( 1 1 1 ... 1 1 )

2 2.3 3.4− +3.4 −4.5+ +(n 1)n− −n(n 1)+ hay

E < 1 1( 1 )

2 2.3 n(n 1)− + hay E < ₁₂

1

(ĐPCM)

Bài15:Chứng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n≥2 ta cã:

H= 1 2 3 ... n 1 1

2! 3! 4! n!

−

+ + + + < 
H−íng dÉn:Ta cã:

n 1 1 1

n! (n 1)! n!

−

= −

− Do đó:

H=1- 1 1 1 ... 1 1

2! 2! 3!+ − + +(n 1)! n!− − hay

H=1-1

n! hay H<1 (§PCM)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét bài toán lớp 8

K= 1 5 11

2! 3! 4!+ + +….+

2

n

n 1

n!

+

−

<2
H−íng dÉn:Ta cã:

2

n n 1 n(n 1) 1 1 1

(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)!

+ − +

= − = −

+ + + − +
Do đó K= 1 (1 1) (1 1) (1 1) ... ( 1 1 )

2!+ 1! 3!− + 2! 4!− + 3! 5!− + + (n 1)! (n 1)!− − + hay
K= 1 (1 1 1 ... 1 ) (1 ... 1 )

2!+ 1! 2! 3!+ + + +(n 1)!+ − 3!+ +(n 1)!+ hay

K= 1 1 1 1 1

2! 1! 2! n! (n 1)!+ + − − + hay K =

2-1 1

n! (n 1)!− + VËy K < 2 (ĐPCM)

Bài17: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:

M= 2 2

3 5 7 2n 1

.... 1

4 36 144 n .(n 1)

+

+ + + + <

+

H−íng dÉn:Ta cã: 2 2 2 2

2n 1 1 1

n .(n 1) n (n 1)

+

= −

+ + Do đó:

M= 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 ... 1

2 2 3 n (n 1) (n 1)

− + − + + − = −

+ + <1 (§PCM)
Bài18:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta cã:

N= 2 2

1 1 1 1 9

....

5 13 25+ + + + n +(n 1)+ < 20

H−íng dÉn:Ta cã: ₂ 1 ₂ ₂ 1 1. 1 1 1( 1 )

k +(k 1)+ = 2k +2k 1+ <2 k(k 1)+ = 2 k −k 1+
Víi k=2: )

3
1
2
1
(
2
1
13

1

−
<

k=3: )
4
1
3
1
(
2
1
25

1

−
< 
……….
k = n: 2 2

1 1 1 1

( )

n +(n 1)+ < 2 n−n 1+
Do đó N<1 1 1 1 1 1( ... 1 1 )

5 2 2 3 3 4+ − + − + + n − n 1+ hay N<

1 1 1 1

( )

5+2 2−n 1+ hay
N<1 1hayN 9

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Khai th¸c c¸c øng dụng từ một bài toán lớp 8

III.khai thác các ứng dụng bài 28 trong giải phơng

trình,bất phơng trình:

Bài19:Giải phơng trình:

a.( 1 1 ... 1 ).x 1 1 ... 1 .

1.101 2.102+ + +10.110 =11 2.12+ + +100.110

b.( 1 1 1 ... 1 ).(x 2) x 148x 98
1.3 3.5 5.7+ + + + 97.99 − + = 99 − 99
c.1 1 1 ... 1 2007

x(x 1)

3 6 10 2009

2

+ + + + =

+

H−íng dÉn:a.XÐt

110
.
10
1
...
102
.
2
1
101
.
1
1
+
+
+ = ₎
110
1
10
1
...
102
1
2
1
101

1
1
(
100
1
−
+
+
−
+
−
= )
110
1
...
102
1
101
1
(
100
1
)
10
1
...
3
1
2
1

1
(
100
1
+
+
+
−
+
+
+
+

XÐt )

110
1
100
1
...
12
1
2
1
11
1
1
1
(
10

1
110
.
100
1
...
12
.
2
1
11
1
−
+
+
−
+
−
=
+
+
+
= )
110
1
...
100
1
...
12

1
11
1
100
1
...
3
1
2
1
1
(
10
1
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
= )
110
1
...
102
1

101
1
10
1
...
2
1
1
(
10
1
−
−
−
−
+
+

+ Do đó ta có:

x= 10
100
1
:
10
1
=

b.XÐt )

99
1
97
1
...
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
(
2
1
99
.
97
1
...
7
.
5
1
5
.

3
1
3
.
1
1
−
+
+
−
+
−
+
−
=
+
+
+
+
=
99
49
)
99
1
1
(
2
1
=

− Khi đó ta có:
99
98
99
148
)
2
(
99
49
−
=
+

− x x

x hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay

49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈R
c.
2009
2007
2
)
1
(
1
...
10

1
6
1
3
1
=
+
+
+
+
+
x

x hay

2 2 2 ... 2 2007
2.3 3.4+ +4.5+ +x(x 1)+ = 2009

⇔2(1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ) 2007

2 3 3 4− + − +4 5− + +x−x 1+ =2009

⇔2(1 1 ) 2007
2−x 1+ = 2009

⇔1- 2 2007

x 1+ = 2009

⇔

2009
2
1
2
=
+
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

Bài21:Giải phơng trình:

a.(
10
9
10
1
)
1
)(
10
.
9
1
....
4
.
3
1
3
.

2
1
2
.
1
1

=
+

+
+
+

+ x x x

b.(
60
.
50
1
...
13
.
3
1
12
.
2
1

11
.
1
1
(
)
60
.
10
1
....
53
.
3
1
52
.
2
1
51
.
1
1
+
+
+
+
=
+
+

+

+ x )

H−íng dÉn:a. (

10
9
10
1
)
1
)(
10
.
9
1
....
4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1

−
=
+
−
+
+
+

+ x x x

⇔( ₎
10
1
9
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1

1− + − + − + + − (x-1)+

10

9
10
1
−
=x
x

⇔

10
9
10
1
)
1
(
10
9
−
=
+

− x x

x

⇔

0x=0 ⇔x ∈R
b. .(
60
.
50
1
...
13

.
3
1
12
.
2
1
11
.
1
1
(
)
60
.
10
1
....
53
.
3
1
52
.
2
1
51
.
1
1

+
+
+
+
=
+
+
+

+ x )

⇔ ₎
60
1
50
1
...
12
1
2
1
11
1
1
1
(
10
1
)
60

1
10
1
...
53
1
3
1
52
1
2
1
51
1
1
(
50
1
−
+
+
−
+
−
=
−
+
+
−
+

−
+
− x
⇔ ₎
60
1
...
12
1
11
1
50
1
...
2
1
1
(
10
1
)
60
1
...
52
1
51
1
10
1

...
3
1
2
1
1
(
50
1
−
−
−
−
+
+
+
=
−
−
−
−
+
+
+
+ x
⇔ ₎
60
1
...
52

1
51
1
10
1
...
2
1
1
(
10
1
)
60
1
...
52
1
51
1
10
1
...
2
1
1
(
50
1
−

−
−
−
+
+
+
=
−
−
−
−
+
+
+ x

⇔ x = ₅
50
1
:
10
1
=

Bài22:Giải các phơng tr×nh sau:

a. ₂ 1 ₂ 1 1

x +4x 3 x+ + +8x 15+ = 6

b. 2 2 2

1 2 3 6

x 5x 6 x 8x 15 x 13x 40 5

−

+ + =

− + − + − +

c. ₂ 1 ₂ 1 1

x +9x 20+ +x +13x 42+ =18

d. ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 .... ₂ 1 1

x +3x 2+ +x +5x 6+ +x +7x 12+ + +x +15x 56+ =14
H−íng dÉn:

a.NhËn xÐt: x2+4x+3=(x+1)(x+3)
_x2

+8x+15=(x+3)(x+5)
§KX§:x≠ −1;x≠ −3;x 5

PT đQ cho đợc viết: 1 1 1

(x 1)(x 3) (x 3)(x 5)+ + + + + = 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét bài toán lớp 8

⇔ 1( 1 1 ) 1

2 x 1 x 5+ − + = 6

⇒3(x 5 x 1) (x 1)(x 5)+ − − = + +
⇔ (x 3)+ 2 =42

⇔ x+3=4 hc x+3=-4

x=1 hoặc x=-7 (thoả mQn ĐKXĐ)

*)Các câu b;c;d phơng pháp làm hoàn toàn tơng tự câu a.
Bài 23:Giải bất phơng trình:

( 1 1 ... 1 )
1.51 2.52+ + +10.60 x <

1 1 1 1

...

11 2.12+ +3.13+ +50.60

H−ớng dẫn:Cách làm t−ơng tự bài 21b);chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức thay cho
dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau ln d−ơng :

1 1 1 1 1 1

1 ... ...

2 3 10 51 52 60

+ + + + − − − _{nên ta có kết quả là x < 5}
PhÇn 3:kÕt luËn:

Ph−ơng pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm
vững kiến thức,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học
tập mơn tốn.Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác
nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán
theo nhiều cách để mở rộng cho các bài tốn khác.Đồng thời qua đó có thể khai
thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quyết các bài toán cùng loại.
Hi vọng rằng với một số ví dụ tơi đ−a ra trong đề tài này giúp các em học
sinh sẽ biết cách làm chủ đ−ợc kiến thức của mình,thêm yêu mến mơn tốn,tự tin
trong q trình học tập và nghiên cứu sau này.

Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân tơi nên chắc chắn cịn nhiều
khiếm khuyết,hi vọng đ−ợc các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài
đ−ợc hoàn chỉnh hơn.

*)Sau đây là một số bài tập đề nghị:
Bài 1:Tính các tổng sau:

a. 1 1 1 ... 1

1.5 5.9+ + 9.13+ +(4n 3)(4n 1)− +

b. 1 1 ... 1

4.5 5.6+ + +(n 3)(n 4)+ +

c. 7 7 ... 7 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán líp 8

d. 1 1 1 ... 1

2.5 5.8 8.11+ + + +(3n 2)(3n 5)+ +

Bài 2:Rút gọn các biểu thức sau:

a. 2 2 2 2

(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) x 4+ + + + + + + + + +
b.

1 1 1 1 1

...

A 1.(2n 1) 3.(2n 3) 5(2n 5) (2n 3).3 (2n 1).1

1 1 1

B ₁ _...

3 5 2n 1

+ + + + +

−

=

+ + + +

Bài 3:Giải phơng trình:

a.( 1 1 ... 1 )(2x 1) x 149.x 99
1.2 +2.3+ + 99.100 − 2 + = 50 − 200

b. ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 1

x +3x 2+ +x +5x 6+ +x +7x 12+ = 6

Bµi 4:Chøng minh r»ng với n là số nguyên dơng bất kỳ thì:
A= 2 2 2 2

1 1 1 1

....

1 +2 +3 + + n <1,65

Ngày 21 tháng 5 năm 2008
Ng−êi thùc hiÖn:

Lê thị hiền

</div>

<!--links-->