Phuong trinh dang cap Luonggiac

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

2 2
a sin u bsin u cosu c cos u d+ + =

<b>Cách giải : </b>

(

)

Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 1

2
π

• = + π = = ±

2

Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình :

• ≠

(

)

2 2

atg u btgu c d 1 tg u+ + = +
Đặt t tgu= ta có phương trình :

(

_{a d t}₋

)

2 ₊ _{bt c d 0}_{+ − =}

Giải phương trình tìm được t = tgu

<b>Bài 127</b> : Giải phương trình

( )

2 2

cos x− 3 sin 2x 1 sin x *= +
Vì cosx = 0 không là nghiệm nên

Chia hai vế của (*) cho _cos2 _≠ ₀_{ta được}

( )

_* _{⇔ −}_{1 2 3tgx} ₌

(

_{1 tg x}₊ 2

)

₊_{tg x}2
Đặt t = tgx ta có phương trình :

2

2t +2 3t 0=

t 0 t 3

⇔ = ∨ = −

Vaäy

( )

* ⇔ tgx 0 hay tgx= = − 3 ⇔ x k hay x= π = − + ππ k , k∈
3

<b>Bài 128</b> : Giải phương trình

( )

3 3 2

cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 *− − + =
• Khi x k thì cos x 0 và sin x

2
π

= + π = = ±1

thì (*) vô nghiệm

• Do _{cos x 0}₌ không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos3_x

ta có (*) _{⇔ −}_{1 4tg x 3tg x tgx 1 tg x}3 ₋ 2 ₊

(

₊ 2

)

₌₀

(

)

(

)

⇔ + − − =

⇔ + − =

⇔ = − ∨ = ±

π π

⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈

3 2

2

3tg x 3tg x tgx 1 0
tgx 1 3tg x 1 0

3
tgx 1 tgx

3

x k x k , k

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 129 : Giải phương trình

( )

4 2 2 4

3cos x 4 sin x cos x sin x 0 *− + =

Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho _{cos x 0}4 _≠
Ta coù : (*) _{⇔ −}_{3 4tg x tg x 0}2 ₊ 4 ₌

⇔ = ∨ =

π π

⎛ ⎞ ⎛

⇔ = ± = _⎜± _⎟∨ = _⎜±

⎝ ⎠ ⎝

π π

⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∈
⎞
⎟
⎠

2 2

tg x 1 tg x 3

tgx 1 tg tgx tg

4 3

x k x k , k

4 3

<b>Bài 130</b> : Giải phương trình sin 2x 2tgx 3 *+ =

( )

Chia hai vế của (*) cho _{cos x 0}2 _≠ _{ta được}
(*) 2sin x cos x₂ 2tgx₂ 3

cos x cos x cos x

⇔ + = ₂

(

2

) (

2

)

2tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x

⇔ + + = +

3 2
t tgx

2t 3t 4t 3 0

=
⎧
⇔ ⎨

− + − =

⎩

(

)

(

)

=
⎧⎪

⇔ ⎨ ₋ _{− +}

⎪⎩ 2

t tgx

t 1 2t t 3 =0

⇔ =

π

⇔ = + π ∈
tgx 1

x k , k

4

<b>Baøi 131</b> : Giải phương trình

( )

3
sin x sin 2x sin 3x 6 cos x *+ =

( )

_* _⇔ _{2sin x cos x 3sin x 4 sin x 6 cos x}2 ₊ ₋ 3 ₌ 3

( )

•Khi cos x 0 ( sin x= = ±1 ) thì * vơ nghiệm
• Chia hai vế phương trình (*) cho _{cos x 0}3 _≠ _{ta được}

( )

* ⇔

2 3

2 2

2sin x 3sin x_. 1 ₄sin x

cos x + cos x cos x − cos x3 = 6

(

)

(

)

(

)

⇔ + + − =

⇔ − − + =

⇔ − − =

⇔ = = α ∨ = ±

π

⇔ = α + π ∨ = ± + π ∈ α =

2 2 3

3 2

2

2tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6

tg x 2tg x 3tgx 6 0

tgx 2 tg x 3 0

tgx 2 tg tgx 3

x k x k , k ( với tg

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 132</b> : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)
Giải phương trình

( )

2

cos 2x 1

cot gx 1 sin x sin 2x *

1 tgx 2

− = + −

+

Điều kiện sin2x 0 và tgx≠ ≠ −1

Ta coù :

(

)

2 2

2 2 cos x cos x sin x

cos 2x cos x sin x

sin x

1 tgx ₁ cos x sin x

cos x

−
−

= =

+ ₊ +

(

) (

=cos x cos x sin x− do tgx = −1 nên, sin x cos x 0+ ≠

)

Do đó :

( )

_* cos x ₁

(

_{cos x sin x cos x}2

)

_{sin x}2 1_{sin 2x}

sin x 2

⇔ − = − + −

(

)

(

)

(

)

−

⇔ = −

⇔ − = −

⇔ − = = −

2
cos x sin x 1 sin2x

sin x

cos x sin x sin x cos x sin x

cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**)

(

)

(

)

= ≠

⎡
⎢

⇔ ⎢ ₌ ₋ _≠

⎢⎣ 2 2

tgx 1 nhận so với tgx 1

1 _{sin x tg x do cosx 0}

cos x
cos x

−

(

)

(

)

π

⎡ = + π ∈
⎢

⇔ ⎢

− + =

⎢⎣
π

⇔ = + π ∈ ≠

2

x k , k

4

2tg x tgx 1 0 vô nghiệm

x k , k nhận do sin 2x 0

4

Lưu ý : có thể làm cách khác

( )

* * 1 1sin 2x 1

(

1 cos 2x

)

2 2

⇔ − + − =0

⇔ = +

π

⎛ ⎞

⇔ = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

3 sin 2x cos 2x

3 2 sin 2x : vô nghiệm

4

<b>Bài 133</b> : Giải phương trình sin 3x cos 3x 2 cos x 0 *+ + =

( )

( )

_* _⇔

(

_{3sin x 4 sin x}₋ 3

) (

₊ _{4 cos x 3cos x}3 ₋

)

₊_{2 cos x} ₌₀
=

3 3

3sin x 4sin x 4 cos x cos x 0

⇔ − + −

Vì cosx = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta
được

3

cos x 0≠

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

(

)

(

)

⇔ − − + + =

=

⎧
⇔ ⎨

+ − − =

⎩
=
⎧⎪

⇔ ⎨ ₊ ₋ ₌

⎪⎩

⇔ = − ∨ = ±

π π

⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈

3 2

3 2

2

tg x tg x 3tgx 3 0
t tgx

t t 3t 3 0

t tgx

t 1 t 3 0

tgx 1 tgx 3

x k x k , k

4 3

<b>Bài 134</b> : Giải phương trình _{6sin x 2cos x}3 5sin 4x.cos x

( )

_*
2cos2x

− =

Điều kiện : _{cos2x 0}_{≠ ⇔} _{cos x sin x 0}2 ₋ 2 _{≠ ⇔} _tgx _{≠ ±}₁
Ta coù : (*) 3

10sin 2x cos 2x cos x
6sin x 2cos x

2cos 2x
cos 2x 0

⎧ ₋ ₌

⎪
⇔ ⎨

⎪ _≠

⎩
3

6sin x 2cos x 5sin 2x cos x
tgx 1

⎧ − =

⇔ ⎨

≠ ±
⎩

( )

3 2

6sin x 2cos x 10sin x cos x * *

tgx 1

⎧ − =

⎪
⇔ ⎨

≠ ±
⎪⎩

Do cosx = 0 không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho
ta được

3

cos x

( )

2

6tgx _{2 10tgx}

* * cos x

tgx 1

⎧ _{− =}

⎪
⇔ ⎨

⎪ _{≠ ±}
⎩

(

2

)

t tgx với t 1

6t 1 t 2 10t

= ≠

⎧⎪

⇔ ⎨ ₊ _{− =}

⎪⎩

±

= ≠ ± = ≠ ±

⎧ ⎧

⇔ _⎨ ⇔ _⎨

− − = − + + =

⎩ 3 ⎩ 2

t tgx với t 1 t tgx với t 1

3t 2t 1 0 (t 1) (3t 3t 1) 0

= ≠ ±

⎧
⇔ ⎨ ₌

⎩

t tgx với t 1

: vô nghiệm
t 1

<b>Bài 135</b> : Giải phương trình _{sin x 4 sin x cos x 0 *}₋ 3 ₊ ₌

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

)

(

)

=
⎧
⇔ ⎨

− + + + =

⎩
=
⎧⎪

⇔ ⎨ ₋ ₊ ₊

⎪⎩

⇔ =

π

⇔ = + π ∈

3 2

2
t tgx

3t t t 1 0

t tgx

t 1 3t 2t 1 0
tgx 1

x k , k

4

=

<b>Baøi 136</b> : Giải phương trình _{tgx sin x 2sin x 3 cos 2x sin x cos x *}2 ₋ 2 ₌

(

₊

)( )

Chia hai vế của phương trình (*) cho cos2_x

( )

3 2

(

2 2

)

2

3 cos x sin x sin x cos x
* tg x 2tg x

cos x

− +

⇔ − =

(

)

⇔ _{tg x 2tg x 3 1 tg x tgx}3 − 2 = − 2 +

(

)

(

)

⇔ + − − =

=
⎧
⇔ ⎨

+ − − =

⎩
=
⎧⎪

⇔ ⎨ ₊ ₋ ₌

⎪⎩

⇔ = − ∨ = ±

π π

⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈

3 2

3 2

2

tg x tg x 3tgx 3 0
t tgx

t t 3t 3 0

t tgx

t 1 t 3 0

tgx 1 tgx 3

x k x k , k

4 3

<b>Baøi 137</b> : Cho phương trình

(

_{4 6m sin x 3 2m 1 sin x 2 m 2 sin x cos x}₋

)

3 ₊

(

₋

)

₊

(

₋

)

2 ₋

(

_{4m 3 cos x 0 *}₋

)

₌

( )

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên 0,
4

π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Khi x

2
π

= + πk thì cosx = 0 và sin x = ±1 nên
(*) thaønh : ±

(

4 6m−

)

±3 2m 1

(

−

)

=0

⇔ =1 0 vô nghiệm
chia hai về (*) cho _{cos x 0}3 _≠ _thì

( )

_* _⇔

(

_{4 6m tg x 3 2m 1 tgx 1 tg x}₋

)

3 ₊

(

₋

)

(

₊ 2

)

₊_{2 m 2 tg x}

(

₋

)

2 ₋

(

_{4m 3 1 tg x}₋

)

(

₊ 2

)

₌ ₀

)

(

)

(

)

(

3 2

t tgx

t 2m 1 t 3 2m 1 t 4m 3 0 * *

=

⎧⎪
⇔ ⎨

− + + − − + =

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

(

)

(

2

)

t tgx

t 1 t 2mt 4m 3 0

=
⎧⎪

⇔ ⎨ ₋ ₋ ₊ ₋ ₌

⎪⎩

a/ Khi m = 2 thì (*) thành

(

)

(

2

)

t tgx

t 1 t 4t 5 0

=
⎧⎪

⎨ − − + =

⎪⎩
π

⇔ tgx 1= ⇔ x = + πk , k∈
4

b/ Ta coù : x 0,
4
π
⎡

∈ ⎢_⎣ _⎦⎤⎥thì tgx t= ∈

[ ]

0,1
Xét phương trình : _t2 ₋_{2mt 4m 3 0 2}₊ _{− =}

( )

(

)

2

t 3 2m t 2

⇔ − = −

2

t _{3 2m}

t 2

−

⇔ =

− (do t = 2 không là nghiệm)
Đặt y f t

( )

t2 3

( )

C

t 2
−

= =

− và (d) y = 2m
Ta có :

( )

(

)

2

2
t 4t
y ' f t

t 2

− +

= =

−

3

Do (**) ln có nghiệm t = 1 ∈

[ ]

0,1 trên yêu cầu bài toán

( )

( )

( )

( )

⎡ =

⇔ ⎢

=
⎢⎣

d y 2m khơng có điểm chung với C
d cắt C tại1điểm duy nhất t 1

3

2m 2m 2

2

⇔ < ∨ ≥
3

m m

4

⇔ < ∨ ≥1

<b>Caùch khaùc : </b>

Y C B T ⇔f(t) =_t2 ₋_{2mt 4m 3 0 2}₊ _{− =}

( )

_{vô nghiệm trên}

[

_{0 1}_,

₎

_.

Ta có (2) có nghiệm

_{[ ]}

, ( ). ( ) ( )_{( )}

<i>af</i>

<i>f</i> <i>f</i> <i>_{hay af}</i>

<i>S</i>

Δ ≥
⎧

⎪ _≥

⎪⎪

∈ ⇔ ≤ _⎨ _≥

⎪
⎪ ≤ ≤
⎪⎩

0

0 0

0 1 0 1 0 1 0

0 1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

( ) ( )

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>hay</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

⎧ − + ≥

⎪ _{− >}
⎪

⇔ − − ≤ _⎨

− >
⎪

⎪ ≤ ≤

⎩

2

4 3 0

4 3 0

4 3 2 2 0

2 2 0

0 1

<i>m</i>

⇔ ≤ ≤3 1
4

Do đó (2) vơ nghiệm trên

_[

0 1,

)

⇔ <<i>m</i> 3 <i>hay m</i>>1<i>hay f</i>(1) 0

4 =

m 3 m

4 1

⇔ < ∨ ≥

<b>BÀI TẬP </b>

1. Giải các phương trình sau :

a/ _{cos x sin x 3sin x cos x 0}3 ₊ ₋ 2 ₌

b/ _{sin x tgx 1}2

(

₊

)

₌ _{3sin x cos x sin x}

(

₋

)

₊₃
=

c/ _{2cos x cos2x sin x 0}2 ₊ ₊

d/ 2 3

3
1 cos x
tg x

1 sin x
−

=
−

e/ _{sin x 5sin x cos x 3sin x cos x 3cos x 0}3 ₋ 2 ₋ 2 ₊ 3 ₌
f/ _{cos x sin x 3sin x cos x 0}3 ₊ ₋ 2 ₌

g/ 1 tgx 2 2 sin x+ =

h/ _{sin x cos x sin x cos x}3 ₊ 3 ₌ ₋

k/ _{3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0}2 ₊ ₊ ₊ 2 _{+ =}

m/ ( sin ) cos ( )

cos

<i>x</i> <i>x</i>

<i>tg x</i> <i>tgx</i>

<i>x</i>

π

+

− + − − =

2 2

2

3 1

3 8

4 2 0

n/ sin x cos x 1
sin 2x

+

=

2. Cho phương trình : _{sin x 2 m 1 sin x cos x}2 ₊

(

₋

)

₋

(

_{m 1 cos x m}₊

)

2 ₌
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm

</div>

<!--links-->