Tong hop kien thuc luong giac 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Hs lượng giác</b>

<b>Hàm số sin</b>

<b>Hàm số cosin</b>

<b>Hàm số tan</b>

<b>Hàm số cotan</b>

Dạng: y = f(x)

y = sin

y = cos

y = tan

sin

cos







y = cot

cos

sin







TXĐ: D

D = R

D = R

\

,

2

<i>D R</i>





_





<i>k k</i>







_







<i>D R k k</i>



\





,

 



MGT

 

1 sin





1

 

1 cos





1

tan





<i>R</i>

cot





<i>R</i>

Chu kỳ: T

<i>k</i>

2



<i>k</i>

2



<i>k</i>

<i>k</i>

Chẳn lẻ

f(-x) = f(x) chẳn

f(-x) = f(x) lẻ

f(-x) = -f(x) lẻ

f(-x) = -f(x) lẻ

G

iá

tr

ị đ

ặc

b

iệ

t y = 0





<i>k k</i>



,

 

,

2

<i>k k</i>











 





<i>k k</i>



,

 

,

2

<i>k k</i>











 

y = 1

2 ,

2

<i>k</i>

<i>k</i>











 





<i>k</i>

2 ,



<i>k</i>

 

,

4

<i>k k</i>











 

,

4

<i>k k</i>











 

y = -1

2 ,

2

<i>k</i>

<i>k</i>











 



 



<i>k</i>

2 ,



<i>k</i>

 

,

4

<i>k k</i>











 

,

4

<i>k k</i>











 

Đồ thị

Phương trình lượng giác cơ bản

<b>Phương trình sin</b>

<b>Phương trình cos</b>

<b>Dạng: </b>

sin





<i>a</i>

hoặc

sin





sin



với

sin





<i>a</i>

<b>Cách giải: </b>

+ Nếu

<i>a</i>



1

thì phương trình vơ nghiệm

+ Nếu

<i>a</i>



1

thì

2

2

<i>k</i>

<i>k</i>















 





 





hoặc

360

,

180

360

<i>o</i>

<i>o</i> <i>o</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>











 



















<b>Dạng: </b>

cos





<i>a</i>

_hoặc

cos





cos



với

cos





a

<b>Cách giải: </b>

+ Nếu

<i>a</i>



1

thì phương trình vơ nghiệm

+ Nếu

<i>a</i>



1

thì

2

2

<i>k</i>

<i>k</i>













 











hoặc

360

360

<i>o</i>
<i>o</i>

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>











 

















<b>Phương trình tan</b>

,

2

<i>k k</i>







_













_







<b>Phương trình cot</b>









<i>k k</i>



,

 



<b>Dạng: </b>

tan





<i>a</i>

hoặc

tan





tan



_với

tan





<i>a</i>

<b>Cách giải: </b>



 



<i>k</i>



hoặc

<i>_k</i>

180 ,

<i>o</i>

<i>_k</i>



 



 

<b>Dạng: </b>

cot





<i>a</i>

hoặc

cot





cot



_với

cot





<i>a</i>

<b>Cách giải: </b>



 



<i>k</i>



hoặc

<i>_k</i>

180 ,

<i>o</i>

<i>_k</i>



 



 

Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác

Phương trình bậc 2 đối với 1 hàm số lượng giác

<b>Dạng: </b>

at + b = 0 

<i>a</i>



0



_{với t = (sinx; cosx; tanx; cotx)}

<b>Cách giải: Đưa về </b>

<i>t</i>

<i>b</i>

<i>a</i>



(đây là phương trình

lượng giác cơ bản)

<b>Dạng: </b>

2

0

<i>at</i>



<i>bt c</i>

 

(

<i>a</i>



0)

với t = (sinx; cosx; tanx; cotx)

<b>Cách giải: </b>

Giải phương trình bậc 2 một ẩn rồi đưa về phương

trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Phương trình bậc 2 đối với sin và cos

<b>Dạng: asinx + bcosx = c (*)</b>

<b>Cách giải: chia 2 vế cho </b>

<i>_a</i>

2

<i>_b</i>

2



2 2 2 2 2 2

(*)

sin

cos

sin cos

sin cos

sin

sin(

) sin

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>x y</i>

<i>z</i>

























(Đây là phương trình lượng giác cơ bản)

Với

2 2 2 2 2 2

cos

<i>y</i>

<i>a</i>

;sin

<i>y</i>

<i>b</i>

;sin

<i>z</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>













<b>Dạng: </b>

<i>_a</i>

_sin

2

<i>_{x b}</i>

_{sin cos}

<i>_x</i>

<i>_{x c}</i>

_cos

2

<i>_{x d}</i>







2 2

sin

sin cos

cos

0

<i>a</i>

<i>x b</i>

<i>x</i>

<i>x c</i>

<i>x d</i>











(**)

<b>Cách giải:</b>

+ Xét cosx = 0,



Nếu a = d thì

,

2

<i>x</i>







<i>k k</i>



 

là ng của (**)



Nếu

<i>a d</i>



thì

,

2

<i>x</i>







<i>k k</i>



 

khơng là

nghiệm của (**)

+ Xét cosx



0

, chia 2 vế của pt (**) cho

cos

2

<i>x</i>

đưa

phương trình (**) về dạng:

<i>_m</i>

_tan

2

<i>_{x n}</i>

_tan

<i>_{x k}</i>

₀



 

(đặt t = tan x)

<i><b></b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1.Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
Cịn tang ta hãy tính sau Đối trên, kề
dưới chia nhau ra liền.

Cotang ngược lại với tang.

<b>2.Cơng thức cộng:</b>

Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos, cos sin đó mà.
Sin thì cùng dấu khác lồi

Cos thì trái dấu, chẳng sai bao giờ
Tan của tổng 2 tầng cao rộng
Trên thượng tầng tan cộng cùng tan
Dưới thì chú 1 ngang tàn

Dám trừ cả tích đơi tan oai hung.

<b>3.Tích thành tổng:</b>

Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau
Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ
Cos thì cos hết

Sin sin cos cos, sin cos sin sin

Một phần hai phải nhân vào, chớ qn!

<b>4.Cơng thức đổi tổng thành tích:</b>

+Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của
tổng)

Chia cho cos cos khó lịng lại sai.
+Tang ta cộng với Tang mình

Bằng Sin hai đứa trên Cos mình Cos ta.
+Tổng sin và tổng cos:

--Đối với a & b:

Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau
(“góc chia đơi: trước cộng, sau trừ”
hay “vế phải của 2 tích theo thứ tự
tổng trước,hiệu sau”)

--Đối với các hệ số khi khai triển:
Cos cộng cos là 2 cos cos

Cos trừ cos trừ 2 sin sin
Sin cộng sin là 2 sin cos
Sin trừ sin là 2 cos sin

<b>5.Công thức cos+sin,cos-sin:</b>

Cos cộng sin bằng căn hai cos (căn 2
nhân cos)

Của a trừ cho 4 dưới pi

Nhớ rằng đây cộng kia trừ
Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi.

<b>6.Công thức gấp đôi:</b>

+Sin gấp đôi = 2 sin cos

+Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
+Tang gấp đôi

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

<b>7. </b>Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang,
phụ chéo.

+Sin bù: Sin(180-a)=sina
+Cos đối: Cos(-a)=cosa

+Hơn kém pi tang: Tg(a+180)=tga
Cotg(a+180)=cotga

+Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin
góc này = cos góc kia, tg góc này =
cotg góc kia.

<b>8. Cơng thức tổng qt hơn về việc</b>
<b>hơn kém pi như sau:</b>

Hơn kém bội hai pi sin, cos
Tang, cotang hơn kém bội pi.
Sin(a+k.2.180)=sina ;
Cos(a+k.2.180)=cosa
Tg(a+k180)=tga ;
Cotg(a+k180)=cotga

*sin bình + cos bình = 1

*Sin bình = tg bình trên tg bình cộng
1.

*cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình.
*Một trên cos bình = 1 cộng tg bình.
*Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình.

<b>I.Lượng giác:</b>

+CT cos+sin:

Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2
nhân cos)

Của a trừ cho 4 dưới pi (a là góc, tức là
cos(a-pi/4))

Nhớ rằng đây cộng kia trừ
Đây trừ kia cộng chỉ là thế thơi.
Có một số bài thơ gần như chỉ là cách

đọc, nhưng tôi thấy nhờ những cách
đọc có vẫn điệu như vậy sẽ giúp chúng
ta học nhanh hơn ban ạ. Ví dụ bài thơ
này:

+CT cos+sin…tôi đã nâng cấp thành:
Cos cộng sin bằng căn hai cos, của a
trừ cho 4 dưới pi

Sin cộng cos bằng căn hai sin, của a
cộng cho pi trên 4

Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu
đối nhau (nhớ là trong cơng thức này,
tính theo cos dấu phải coi chừng)
*CT gấp đôi ( dấu "=" là viết tắt của
chữ "bằng"):

+Sin gấp đôi = 2 sin cos

+Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai bình cos (1)
= cộng 1 trừ hai bình sin (2)
(từ (1) & (2) ta có thể => CT hạ bậc
của sin và cos, còn của tg thì dễ thơi,
tga=sina/cosa mà!)

+Tang gấp đơi

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)

Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
*CT gấp ba:

+Sin thì sin hết (3)
Cos thì cos ln

Cos thì 4 lập trừ 3 (tức là
4.cos^3a-3cos, các bài thơ chỉ nói đến hệ số)
Sin thì đảo dấu cos là ra thôi (chú ý
(3)).

+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ 3 a
Cos3a= 4Cos mũ 3 a - 3Cosa
Sin ra sin, cos ra cos

Sin thì 3, 4 Cos thì 4, 3
Dấu trừ ở giữa phân ra
Chỗ nào có 4, mũ 3 thêm vào.
(*cách đọc cho có chất thơ*)
+Tang gấp ba ta lấy ngay tang
Nhân ( 3 trừ lại tang bình) (chú ý dấu
ngoặc)

Chia 1 trừ lại 3 lần bình tang.
*CT chia đơi – CT tính theo t=tg(a/2)
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)
Sin thì tử có hai tê (2t), cos thì tử có 1
trừ bình tê (1-t^2).

(cịn tg thì ta cứ lấy tga=sina/cosa)
*sin bình + cos bình = 1

*Sin bình = tg bình trên tg bình cộng
1.

*cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình.
*Một trên cos bình = 1 cộng tg bình.
*Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình.

(Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với
các dấu * và @ là chúng có liên quan
nhau trong CT trên)

*Đối với dấu thì có:nhất đủ,nhì sin,tam
tang tứ cos.

Nghĩa là ở cung thứ nhất thì sin,cos,
tang (cotang giống dấu của tang nên
khỏi xét ) đều dương.Đối với cung thứ
nhì thì chỉ có sin là dương,cịn cos hay
tang thì đều âm...Cứ tiếp tục, học
thuộc thơ là xét dấu được à
(với các cung đó là góc phần tư thứ
I,II,III,IV ngược chiều kim đồng hồ của
mặt phẳng tọa độ Oxy)

<b>* Công thức cộng</b>

Cos cộng cos bằng 2 cos cos

Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin
Sin cộng sin bằng 2 sin cos
Sin trừ sin bằng 2 cos sin
Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin dấu trừ
Tang tổng thì bằng tổng tang
Chia cho 1 hiệu tích tang ra liền
Tang hiệu thì bằng hiệu tang
Chia cho 1 tổng tích tang ra liền
Biến đổi tích thành tổng:

Cos nhân cos = 1/2 cos cộng cộng cos
trừ

Sin nhân sin = 1/2 cos trừ trừ cos cộng
Sin nhân cos = 1/2 sin cộng cộng sin
trừ

<b>Thơ về lại lượng giác </b>

*Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền)
Cứ Khóc Hồi ( Cos = Kề / Huyền)
Thơi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)
Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)
+Sin: đi học (cạnh đối - cạnh huyền)
Cos: khơng hư (cạnh đối - cạnh huyền)
Tg: đồn kết (cạnh đối - cạnh kề)
Cotg: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)
+Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
Cịn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang ngược lại với tang.
(hoặc Cịn tang ta tính như sau
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra )
*Cơng thức cộng:

+Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu
trừ).

+Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ ịm.
*Tích thành tổng:

+Cách 1:

Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau

Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ (mấy
cái khác còn lại là cộng)

Cos thì cos hết

Sin sin cos cos, sin cos sin sin

Một phần hai phải nhân vào, chớ quên!
+Cách 2:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
*Tổng thành tích:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

tổng)

Chia cho cos cos khó lịng lại sai.
+Tang ta cộng với Tang mình

Bằng Sin hai đứa trên Cos mình Cos ta.
+Tổng sin và tổng cos:

--Đối với a & b:

Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau
(“góc chia đơi: trước cộng, sau trừ”
hay “vế phải của 2 tích theo thứ tự
tổng trước,hiệu sau”)

--Đối với các hệ số khi khai triển:
Cos cộng cos là 2 cos cos

Cos trừ cos trừ 2 sin sin
Sin cộng sin là 2 sin cos

Sin trừ sin là 2 cos sin
+CT cos+sin:

Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2
nhân cos)

Của a trừ cho 4 dưới pi (a là góc, tức là
cos(a-pi/4))

Nhớ rằng đây cộng kia trừ
Đây trừ kia cộng chỉ là thế thơi.
Có một số bài thơ gần như chỉ là cách
đọc, nhưng tôi thấy nhờ những cách
đọc có vẫn điệu như vậy sẽ giúp chúng
ta học nhanh hơn ban ạ. Ví dụ bài thơ
này:

+CT cos+sin…tôi đã nâng cấp thành:
Cos cộng sin bằng căn hai cos, của a
trừ cho 4 dưới pi

Sin cộng cos bằng căn hai sin, của a
cộng cho pi trên 4

Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu
đối nhau (nhớ là trong công thức này,
tính theo cos dấu phải coi chừng)
*CT gấp đôi (dấu "=" là viết tắt của

chữ "bằng"):

+Sin gấp đôi = 2 sin cos

+Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai bình cos (1)
= cộng 1 trừ hai bình sin (2)
(từ (1) & (2) ta có thể => CT hạ bậc
của sin và cos, còn của tg thì dễ thơi,
tga=sina/cosa mà!)

+Tang gấp đơi

Tang đơi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
*CT gấp ba:

+Sin thì sin hết (3)
Cos thì cos ln

Cos thì 4 lập trừ 3 (tức là
4.cos^3a-3cos, các bài thơ chỉ nói đến hệ số)
Sin thì đảo dấu cos là ra thôi (chú ý
(3)).

+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ 3 a
Cos3a= 4Cos mũ 3 a - 3Cosa
Sin ra sin, cos ra cos

Sin thì 3, 4 Cos thì 4, 3
Dấu trừ ở giữa phân ra

Chỗ nào có 4, mũ 3 thêm vào.
(*cách đọc cho có chất thơ*)
+Tang gấp ba ta lấy ngay tang
Nhân ( 3 trừ lại tang bình) (chú ý dấu
ngoặc)

Chia 1 trừ lại 3 lần bình tang.
*CT chia đơi – CT tính theo t=tg(a/2)
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)
Sin thì tử có hai tê (2t), cos thì tử có 1
trừ bình tê (1-t^2).

(cịn tg thì ta cứ lấy tga=sina/cosa)
*Cos đối, sin bù, hơn kém pi tang, phụ
chéo.

*Sin bù, Cos đối,Tang Pi,

Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia
+Cos đối:Cos(-a)=cosa

+Sin bù:Sin(180-a)=sina
+Hơn kém pi tang:
Tg(a+180)=tga
Cotg(a+180)=cotga

+Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin
góc này = cos góc kia, tg góc này =
cotg góc kia ( sự chéo trong bảng giá

trị LG đặc biệt).

*Ta có cơng thức tổng qt hơn về
việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội hai pi sin, cos
Tang, cotang hơn kém bội pi.
Sin(a+k.2.180)=sina ;
Cos(a+k.2.180)=cosa
Tg(a+k180)=tga ;
Cotg(a+k180)=cotga
*sin bình + cos bình = 1

*Sin bình = tg bình trên tg bình cộng
1.

*cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình.
*Một trên cos bình = 1 cộng tg bình.
*Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình.
(Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với
các dấu * và @ là chúng có liên quan
nhau trong CT trên)

*Đối với dấu thì có: nhất đủ,nhì
sin,tam tang tứ cos.

</div>

<!--links-->