Phát triển tư duy đột phá giải bài tập Toán 9 - Tài liệu dạy học (Tập 1): Phần 2

PHẦN HÌNH HỌC….
Chương I.

HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Chủ đề 1:

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ
ĐƯỜNG COA TRONG TAM GIÁC VUÔNG

§1. HỆ THỨC GIỮA CẠNH GÓC VUÔNG VÀ HÌNH
CHIẾU CỦA NÓ TRÊN CẠNH HUYỀN
Hoạt động 1
A

Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC
= a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c.
b
c
h
Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và
HC = b, HB = c lần lượt là hình chiếu của AC,
c
b
B
AB trên cạnh huyền BC.
H
a) Chứng minh các tam giác HBA và ABC đồng
a
Hình 1
dạng, từ đó so sánh c2 và c.a.
b) Chứng minh các tam giác HCA và ACB đồng dạng, từ đó so sánh b2 và b.a.

 THỬ TÀI BẠN
Tìm x, y trong hình 2.

4
3

x

y
5

Hình 2

 BẠN NÀO ĐÚNG?
Có thể tính ba
cạnh của một tam
giác vuông khi biết độ
dài hai hình chiếu của
hai cạnh góc vuông
trên cạnh huyền.

Dũng
Theo em, bạn nào đúng?
100

Không thể
tính được
đâu.

Lan

C


LỜI GIẢI
Hoạt động 1
 (chung), BHA
  BAC
 (= 900)
a) Xét HBA và ABC có: HBA

Do đó HBA ∽ ABC (g.g)
BH AB
 AB2 = BH.BC. Vaäy c2 = c.a.

AB BC
 (chung), AHC
  CAB
 (= 900)
b) Xét HCA và ACB có: HCA



Do đó HCA ∽ ACB (g.g).


HC AC
 AC2 = HC.BC.

AC BC

Vậy b2 = ba.
 THỬ TÀI BẠN
A

Theo đầu bài, ta có tam giác ABC vuông
tại A có AB = 5, AC = 4, BC = 5, BH = x,
CH = y.
Tìm x và y.
ABC vuông tại A, AH là đường cao.
Do đó AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC

B

x

C

y

H

Do đó 32 = x.5, 42 = y.5
x=

92
42
 1, 8 ; y =
 3, 2
5

5

 BẠN NÀO ĐÚNG?
Bạn Dũng đúng.

§2. HỆ THỨC GIỮA BA CẠNH CỦA
TAM GIÁC VUÔNG
Hoạt động 2

A

(Một cách khác để chứng minh định lí Pythagore),
– So sánh a với tổng b + c.
– Hãy cộng hai đẳng thức (1) và (2) sau đây, rồi rút
gọn và nêu nhận xét:
2

b = a.b (1)
2

c = a.c (2)

c
B

b

h
c

b
H

C

a
Hình 3

101


 BẠN NÀO ĐÚNG?
Hai cạnh
và đường chéo của
một hình chữ nhật
có số đo lần lượt là:
6cm; 8cm; 9cm.

Bạn đo sai
rồi.

Dũng

Lan

Theo em, bạn nào đúng?
LỜI GIẢI
Hoạt động 2
a = b + c
b2 + c2 = ab + ac  b2 + c2 = a(b + c)  b2 + c2 = a2

Trong một tam giác vuông tổng bình phương các cạnh góc vuông bằng bình phương
cạnh huyền.
b2 = a.b (1)
c2 = a.c (2)
 BẠN NÀO ĐÚNG?
Bạn Lan đúng.

§3. HỆ THỨC GIỮA ĐƯỜNG CAO ỨNG VỚI
CẠNH HUYỀN VÀ HÌNH CHIẾU CỦA HAI CẠNH GÓC
VUÔNG TRÊN CẠNH HUYỀN
Hoạt động 3

A

a) Hãy chứng tỏ hai tam giác AHB và CHA
đồng dạng.
b) Lập tỉ số đồng dạng, từ đó tính h theo b
và c.

c
B

c

b
H
a

 THỬ TÀI BẠN

Hình 5

Tìm x, y, z trong hình 6.
y

x
4

z

9

Hình 6

102

b

h

C


LỜI GIẢI
Hoạt động 3
a) Xét AHB và CHA có
  CHA
 (= 900), HAB
  HCA
 (cùng phụ với HAC

)
AHB
Do đó AHB ∽ CHA.


AH BH
 AH2 = CH.BH

CH AH

Vậy h2 = b.c.
 THỬ TÀI BẠN
A

Theo đầu bài, ta có tam giác ABC vuông tại
A, AH là đường cao, AH = x, AB = y, AC = z,
BH = 4, CH = 9. Cần tìm x, y, z.
ABC vuông tại A, AH là đường cao.
Do đó AH2 = BH.CH, AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC.
2

B

Neân x = 4.9, y = 4.(4 + 9), z = 9.(9 + 4)
Vaäy x = 6, y =

52 , z =

C

H

2

117 .

§4. HỆ THỨC DIỆN TÍCH
Hoạt động 4 (Xem hình 7)
A

a) Hãy tính diện tích tam giác ABC theo cạnh
huyền a và đường cao tương ứng h.
c

b) Hãy tính diện tích tam giác ABC theo hai cạnh
góc vuông b, c.
B

c) So sánh và nêu nhận xét.

b

h
c

b
H

C

a
Hình 7

 THỬ TÀI BẠN
Tìm x trên hình 8 bằng hai cách khác nhau.

6

4,8

x

10

Hình 8

103


LỜI GIẢI
Hoạt động 4
a) SABC =

1
1
BC.AH  ah
2
2

b) SABC =

1
1
AC.AB  bc
2
2

c) Do vaäy

1
1
ah  bc (= SABC)
2
2

Suy ra ah = bc.
 THỬ TÀI BẠN
A

Theo đầu bài, ta có tam giác ABC vuông tại A,
đường cao AH, AB = 6, AC = x, BC = 10, AH =
4,8. Tìm x bằng hai cách khác nhau.
*Cách 1: ABC vuông tại A.
 AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pythagore)
62 + x2 = 102

B

C

H

Neân x2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64.
Vậy x =

64 = 8.

*Cách 2: Xét ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 AB/AC = AH.BC
Do đó 6.x = 4,8.10.
Vậy x =

4, 8.10 48

 8.
6
6

§5. HỆ THỨC GIỮA ĐƯỜNG CAO VÀ HAI
CẠNH GÓC VUÔNG
Hoạt động 5
A

Bằng cách sử dụng các đẳng thức a2 = b2 + c2
và b.c = a.h, hãy tính theo h biểu thức
1
1
 2 theo gợi ý sau:
2
b

c
1
1
b2  c 2


.
b2 c 2
b2 c 2

104

c
B

b

h
c

b
H
Hình 9

a

C


 THỬ TÀI BẠN

1. Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài đường cao
xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng hai cách khác nhau.
2. Điền các số thích hợp vào các chỗ trống sau đây:
A

c
B

a=

c

c =

b

h

b =

b

h=

C

H

SABC =

a

Chu vi tam giác ABC =

c = 6cm, b= 8cm

THƯ GIÃN
Hùng muốn tính khoảng cách AP nối hai
điểm ở hai bên bờ một con rạch. Bạn ấy đặt
đỉnh góc vuông êke vào đầu B của một cái
sào BA dài 6m. Nhìn theo hai cạnh góc
vuông của êke thì lần lượt thấy điểm Q và
điểm P. Hùng đo thấy đoạn QA dài 2m. Em
có thể tính nhẩm chiều dài đoạn AP được
không?

B

6cm

Q

A

P

LỜI GIẢI
Hoạt động 5
a2
a2

a2
1
1
1
b2  c 2




 2
=
2
2
2 2
2
2
2 2
(bc)
(ah)
a h
h
b
c
bc

 THỬ TÀI BẠN
1. Gọi cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó lần lượt là a, h.
*Cách 1: Ta có a2 = 62 + 82 (định lí Py–ta–go)
Do đó a2= 36 + 64 = 100  a =
Ta coøn có ah = bc. Do đó h =

*Cách 2: Ta có
Do đó

100  10 (cm)

bc 6.8

 4, 8 (cm).
a
10

1
1
1
 2  2.
2
h
b
c

1
1
1
1
1
25
h=
 2  2 



2
36
48
576
h
6
8

576
 4, 8 (cm)
25

2. a = 14 (cm); c = 3,6 (cm); b = 6,4 (cm)
h = 4,8 (cm); SABC = 24 (cm2)
105


THƯ GIÃN
AP.AQ = BA2
AP =

BA 2 62

 18 (m)
AQ
2

GHI NHỚ
A

c
B

b

h
c

b
H

C

a

Trong một tam giác vuông.
2

c = a.c
b2 = a.b

Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình
chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

a2 = b2 + c2

Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

h2 = b.c
b.c = a.h

1
1
1
 2  2
2
h
b
c

Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu
của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao
tương ứng.
Nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng
tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, BC = 15cm, AH là đường cao (H thuộc
cạnh BC). Tính BH, CH, AC và AH.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, AC = 5cm, AB = 4cm. Tính:
a) Cạnh huyền BC.
b) Hình chiếu của AB và AC trên cạnh huyền.
c) Đường cao AH.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 40cm, AC = 36cm. Tính AB, BH, CH và AH.
4. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 24cm. Tính AB, AC, cho biết AB 

2
AC.
3

5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. BH = 10cm, CH = 42cm. Tính
BC, AH, AB vaø AC.
106


6. Cho đường tròn tâm O bán kính R = 10cm. A, B là hai điểm trên đường tròn (O) và
I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Tính AB nếu OI = 7cm.
b) Tính OI nếu AB = 14cm.
7. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 53cm. C là một điểm trên đường tròn sao
cho AC = 45cm. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Tính BC, AH, BH, CH và OH.
8. Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 15cm, đáy nhỏ CD = 5cm và góc A
bằng 600.
a) Tính cạnh BC.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính MN.
9. Cho tứ giác ABCD có AB = AC = AD = 20cm, góc B bằng 600 và góc A bằng 900.
a) Tính đường chéo BD.
b) Tính khoảng cách BH và DK từ hai điểm B và D đến AC.
c) Tính HK.
d) Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài. Tính BE, CE, DC.
10. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ Ox vuông góc với AB. Trên
a
Ox lấy điểm D sao cho OD = . Từu B vẽ BC vuông góc với AD kéo dài.
2
a) Tính AD, AC và BC theo a.
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên
đường tròn.
c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.
d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.
11. Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao BC = 16cm, AH = 6cm. Vẽ điểm

D trên đoạn BH sao cho BD = 3,5cm. Chứng minh rằng tam giác DAC vuông.
LỜI GIẢI
1. ABC vuông tại A có đường cao AH.

A

2

 AB = BC.BH.
Do đó 92 = 15.BH

9

81
Nên BH =
 5, 4 (cm)
15

 Ta coù: BH + HC = BC (vì H nằm giữa B, C).
Do đó HC = BC – BH = 15 – 5,4 = 9,6 (cm)

B

C

H
15

ABC vuộng tại A (gt)
 AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pythagore)

Do đó: AC2 = BC2 – AB2 = 152 – 92 = 144
Mà AC > 0 nên AC =

144  12 (cm)

107


ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)
 AH2 = BH.CH
Do đó AH2 = 5,4.9,6 = 51,84
Mà AH > 0. Nên AH =

51, 84  7, 2 (cm)

2.
a) Xét ABC vuông tại A, có:
2

2

A

2

AB + AC = BC (định lí Pythagore)
 BC2 = 42 + 52 = 41
Mà BC > 0 nên BC =

5

4

41 (cm)

b) ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 AB2 = BC.BH. Do đó 42 =
16

Vậy BH =

41

B

C

H

41.BH

 2,5 (cm)

Mà BH + CH = BC.
Do ñoù CH = BC – BH =

41  2, 5  3,9 (cm)

c) ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt).
Do đó 4.5 =

41 .AH. Nên AH =

20
41

 3,1 (cm).

3. Xét ABC vuông tại A (gt)
2

2

A

2

 AB + AC = BC (định lí Pythagore)
Do đó: AB2 = BC2 – AC2 = 402 – 362 = 304

5
4

Maø AB > 0 nên AB =

3  4  4 19 (cm)

ABC vuông tại A có đường cao AH (gt)
 AB2 = BC.BH.
304
Do đó 304 = 40.BH. Nên BH =

 7, 6 (cm)
40

ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)
Do đó 362 = 40.CH.
Nên CH =

1296
 32, 4 (cm)
40

ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)
 AB.AC = BC.AH.
Do đó 4 19 .36 = 40.AH.
Neân AH =

108

4 19.36
 15,7 (cm)
40

B

C

H
40

4.
Xét ABC vuông tại A.
 AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pythagore)
Mà AB =

2
AB
AC
AB2 AC2 AB2  AC2
BC2 242 576

=
AC (gt) 





3
4
9
49
13
13
13
2
3

Suy ra:


AB2 

576
2304
.4 
13
13

A

2304
 13,3 (cm)
13

Maø AB > 0. Nên AB =
 AC2 =

576
5184
.9 
13
13

B

C

24

5184
 19,9 (cm)
13

Mà AC > 0 nên AC =
5.

Ta có: BH + HC = BC  BC = 10 + 42 = 52 (cm)
ABC vuông tại A có AH là đường cao (gt)

A

 AH2 = BH.CH = 10.42 = 420.
Mà AH > 0 nên AH =

420  105 (cm)

ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 AB2 = BC.BH.

B

 AB2 = 52.10 = 520.
Mà AB > 0 neân AB =

H

10

C

42

520  2 130 (cm)

ABC vuông tại A (gt)
AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pythagore)
Do đó AC2 = BC2 – AB2 = 522 – 520 – 2184
Mà AC > 0. Nên AC =

2184  2 546 (cm)

6.
a) A, B là hai điểm trên đường tròn tâm O bán kính R = 10cm nên OA = OB = 10cm.
Xét OAB có OA = OB (= 10cm)
Do đó: OAB cân tại O.
OAB cân tại O có OI là đường trung tuyến
(vì I là trung điểm của AB).

O

Nên OI cũng là đường cao của tam giác OAB.
OA2 = OI2 + AI2 (định lí Pythagore)
Do đó: AI2 = OA2 – OI2 = 102 – 72 = 51.

10

10

Xeùt OAI vuông tại I ta có:

A

I

B

109


Mà AI > 0 nên AI =

51 (cm)

Vì I là trung điểm của AB nên AB = 2AI = 2 51 (cm)
b) Vì I là trung điểm AB nên ta có: AI = BI 

AB 14

 7 (cm)
2
2

Xét OAI vuông tại I ta có: OI2 + AI2 = OA2 (định lí Pythagore)
Do đó OI2 = OA2 – AI2 = 102 – 72 = 51
Mà AI > 0 nên OI =

51 (cm).

7.
AB là đường kính của đường tròn tâm O và C thuộc đường tròn.

Do đó: OA = OB = OC =

AB 53

 26, 5 (cm)
2
2

ABC có CO là đường trung tuyến OC =

C

AB
.
2

 ABC vuông tại C.
 Xét ABC vuông tại C ta có:

45

A

O

H

B

AB2 = AC2 + BC2 (định lí Pythagore)

Do đó: BC2 = AB2 – AC2 = 532 – 452 = 784
Mà BC > 0 nên BC =

784 = 28 (cm).

 ABC vuông tại C, có đường cao CH.
 AC2 = AH.AB.
Do đó AH =

AC2 452
 38,2 (cm)

AB
53

Mà AH + BH = AB.
Neân BH = AB – AH  53 – 38,2 = 14,8 (cm)
ABC vuông tại C, CH là đường cao.
 AC.BC = AB.CH.
Do đó CH =

AC.BC 45.28
 23,8 (cm)

AB
53

Ta có OH + BH = OB
Do đó OH = OB – BH = 26,5 – 14,8 = 11,7 (cm)
8.

a) Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại K.

D

N

C

Tứ giác AKCD có AK // CD, CK // AD.
 Tứ giác AKCD là hình bình hành.
 AK = CD = 5cm.
Do đó BK = AB – AK = AB – CD.
= 15 – 5 = 10 (cm)
110

A

K M

H

B


  BAD
  600 (đồng vị và CK // AD)
Ta có CKB
  BCK
  600
Xét BKC có BKC

Do đó: BKC đều.
Suy ra: BC = BK = 10 (cm).
b) Vẽ CH  BK tại H.
BHC vuông tại H.
 CH = BCsinB = 10sin600 = 5 3 (cm)
Xét hình thang cân ABCD (AB // CD) ta có:
M là trung điểm của AB (gt) và N là trung điểm của CD (gt)
Do đó MN trục đối xứng của hình thang cân ABCD.
 MN  AB vaø MN  CD.
  NMH
  MHC
  900
Xét tứ giác NCHM có CNM
Do đó tứ giác NCHM là hình chữ nhật.
Suy ra MN = CH = 5 3 (cm).
9.
a) Xét ABD vuông tại A ta có BD2 + AD2 + AB2 (định lí Pythagore)
BD2 = 202 + 202 = 800
Mà BD > 0 nên BD =

800 = 20 2 (cm)

A

20

b) Xét ABC ta có: AB = AC (= 20cm)
Do đó ABC cân tại A.
  600 (giả thiết)

Mà ABC

20
20

H
K

  600 .
Nên ABC đều. Do đó BAC

ABH vuông tại H
 = 20sin600 = 10 3 (cm)
 BH = ABsin BAC
  BAC
  BAD

Ta coù: DAK

B

D

E

C

  600  900
DAK
 = 300

DAK

 = 20sin300 = 10 (cm)
KAD vuông tại K. Suy ra DK = ADsin DAK

c) ADK vuông tại K.
 = 20cos300 = 10 3 (cm)
 AK = ADcos DAK
ABC đều, BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
 AH =

AC
 10 (cm)
2

Ta coù: AH + HK = AK.
 HK = AK – AH = 10 3 – 10  7,3 (cm)
111


d) ADC có AD = AC  ADC cân tại A.
  ACD
 = (1800 – DAC)
 : 2  750
Do đó ADC
  450
ABD vuông cân tại A  ADB
  ADC
  ADB
  750  450  300

Nên BDE

BED vuông tại E.

 = 20 2.
Suy ra BE = BDsin BDE

1

 10 2 (cm) vaø DE = BDcos BDE
2

3
 10 6 (cm)
2
  1800  BCA
  ACD
 = 1800 – 600 – 750 = 450
Mặt khác BCE

= 20 2.

 = 20.
EBC vuông tại E  CE = BCcos BCE

2
 10 2 (cm)
2

Do đó DC = DE – CE = 10 6  10 2  10( 6  2) (cm)

10.
a) Ta có: O là trung điểm của AB (gt)
Do đó: AO = BO =

x

AB 2a

a
2
2

Xét OAD vuông tại O ta có:
AD2 = AO2 + DO2 (định lí Pythagore)

C
D

H
A

P

O

2

a
5a 2
Do đó AD2 = a2 +   

4
2

F

E
5a 2
a 5

4
2
 (chung), AOD
  ACB
 (= 900)
Xét AOD và ACB có: OAD

mà AD > 0 nên AD =

Do đó AOD  ACB (g.g)


AO AD OD


AC AB BC

AO.AB a.2a 4 5a


AD

5
a 5
2
a
2a.
AB.OD
2  2 5a

Và BC =
AD
5
2 5
2

Nên AC =

b) Ta có: ABE có EO là đường trung tuuyến và EO = AO = BO =
Nên ABE vuông tại E.
112

AB
(= a)
2

B
K


Ta coù: AO = EO = BO = CO = a.
Vậy bốn điểm A, E, B, O cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính a.

c) ABE có EO là đường cao, đường trung tuyến  ABE cân tại E.
Vẽ EH  AC taïi H, EK  BC taïi K.
  900 ) và KBE ( KBE
 = 900) có AE = BE (ABE cân tại E).
Xét HAE ( AHE
  KBE
 (cùng bù với góc CBE)
HAE

Do đó HAE = KBE (cạnh huyền – góc nhọn)
 EH = EK.
.
 CE là tia phân giác ACB

  BCA  450
 BCF
2
2 5a
.
5

Do đó BCF vuông cân tại B. Vậy BF = BC =
d) PAC có BF // AC 
Nên

BP BF
.

AP AC

BP 1
BP AP BP  AP 2a



 . Do đó
1
2
12
3
AP 2

Vậy AP =

4a
2a
, BP =
.
3
3

11.

A

ABC cân tại A, AH là đường cao (gt)
 AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.
 BH = CH =

BC 16

= 8 (cm)

2
2

Ta coù BD + DH = BC

B

D

H

C

Neân 3,5 + DH = 8  DH = 4,5 (cm)
Xét HAD và HCA có
  CHA
 (= 900), AH  DH  vì 6  4.5 
AHD


8
6 
CH AH 

Do đó HAD ∽ HCA (c.g.c)
  HCA

 HAD

  HAD
  HAC
  HCA
  HAC
  900 (HAC vuông tại H)
Ta có DAC

Vậy tam giác DAC vuông tại A.

113


LUYỆN TẬP
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 9cm HC = 16cm. Tính
các độ dài AB, AC.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 6cm, HC – HB = 9cm.
Tính các độ dài HB, HC.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A có

AB 3
 , đường cao AH = 18cm. Tính chu vi tam
AC 4

giác ABC.
4. Cho hình thang ABCD có chiều dài hai đáy AB và CD lần lượt là 9cm và 30cm,
chiều dài hai cạnh bên AD và BC lần lượt là 13cm và 20cm. Tính diện tích hình
thang.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 37,5cm2, AB < AC, đường cao AH có độ
dài 6cm. Tính các độ dài AB, AC.
6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC và AM = m. Tính tổng

MB2 + MC2 theo m.
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Gọi E và D lần lượt là hình chiếu
của H trên AB và AC. Cho biết HDd = 18cm, HE = 12cm. Tìm các độ dài AB, AC.
8. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 6,15cm và đường cao tương ứng là 3cm. Tìm
các cạnh góc vuông của tam giác.
9. Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông của tam giác là
9cm, còn tổng hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 6cm. Tính chu vi và diện
tích tam giác vuông đó.
10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D di động trên cạnh AC. Đường thẳng d
vuông góc với AC tại C cắt đường BD tại E. Chứng minh rằng khi D di chuyển trên
1
1
cạnh AC thì tổng
không đổi.

2
BD
BE2
LỜI GIẢI
1.
Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25.

A

ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)
 AB2 = BC.BH và AC2 = BC.CH.
Do đó AB2 = 25.9 = 225 và AC2 = 25.16 = 400
Mà AB > 0 nên AB =
Vì AC > 0 neân AC =

114

225  15 (cm)
400 = 20 (cm)

B

9

H

16

C


2.

A

Ta coù: HC – HB = 9 (gt)
 HC = 9 + HB
Xét ABC vuông tại A có đường cao AH (gt)

6

 AH2 = HB.HC.
B

Do đó 36 = HB.(9 + HB)

C

H

 36 = 9HB + HB2  HB2 + 9HB – 36 = 0
 (HB – 3)(HB + 12) = 0
 HB = 3 hoặc HB = –12
Mà HB > 0 nên HB = 3 (cm)
Vậy HC = 9 + 3 = 12 (cm).
3.

A

AB 3
3
Ta coù:
(gt)  AB = AC

AC 4
4

 ABC vuông tại A có đường cao AH (gt)


1
1
1



2
2
AH
AC
AB2

Do đó

B

C

H

1
1
1
1
1
16





2
2
2
2
324

18
AC
AC
9AC2
3

 AC 
4


 AC2 = 324 + 36.16 = 900
Mà AC > 0 nên AC =
Vậy AB =

900 = 30 (cm)

3
.30  22, 5 (cm)
4

ABC vuông tại A, AH là đường cao (gt)
 BC.AH = AB.AC.
Do đó BC =

AB.AC 22, 5.30

 37, 5 (cm)
AH
18

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 22,5 + 30 + 37,5 = 90 (cm)
4.
Vẽ AH  CD tại H, BK  CD tại K.
Ta có AH // BK.

A

B

H

K

Mà AB // HK (AB // CD).
Do đó tứ giác ABKH là hình bình haønh.
 AH = BK, HK = AB = 9 (cm)
Do vaäy DH + CK = CD – HK = 21 (cm)

D

C

 CK = 21 – DH
DAH vuông tại H (gt)  AH2 + DH2 = AD2 (định lí Pythagore)
115


 AH2 = AD2 – DH2
BCK vuông tại K (gt)  BK2 + CK2 = BC2
 BK2 = BC2 – CK2

Neán AD2 – DH2 = 202 – (21 – DH)2.
 169 – DH2 = 400 – 441 + 42DH – DH2
 42DH = 210  DH = 5 (cm)
Neân AH2 + 52 = 132  AH2 = 144.
Maø AH > 0. Do đó AH =

144 = 12 (cm)

Vậy diện tích hình thang ABCD là:

1
1
AH(AB  CD)  .12(9  30)  234 (cm2)
2
2

5.
Theo đề bài ta có: S =

A

1
.AB.AC  37,5
2

 AB.AC = 37,5.2 = 75
Mặt khác S =

1
AH.BC

2

1
Nên .6.BC  37, 5  BC = 12,5 (cm)
2

6

B

C

H

ABC vuông tại A  AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pythagore)
AB2 + AC2 = 12,52 = 156,25
Ta coù (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 156,25 + 2.75
(AB + AC)2 = 231,25. Nên AB + AC = 17m5.
Mặt khaùc (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 156,25 – 2.75 = 6,25
Neân AC – AB = 2,5 (vì AC > AB).
Ta có AB + AC + AC – AB = 17,5 + 2,5  2AC = 20.
 AC = 10 (cm)
Khi đó 10 – AB = 2,5
Vậy AB = 10 – 2,5 = 7,5 (cm).
6.
Vẽ AH  BC tại H. Không mất tính tổng quát giả
sử M nằm giữa B và H.

B
M

ABC vuông tại A, AH là đường cao nên cũng là
đường trung tuyến.
BC
2

 AH = BH = CH =
HAM vuông tại H.
2

2

2

 AH + MH = AM (định lí Pythagore)
Nên
116

H

BC2
 MH2  m2
4

A

C


Ta coù MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (CH + MH)2

2

2

 BC
  BC

BC2
= 
– BC.MH + MH2 +
 MH   
 MH  
4
 2
  2


+

 BC2

BC2
BC2
 MH2   2m2
 BC.MH  MH2 
 2MH2 = 2 
4
2
 4


7.
Tứ giác ADHE ta có:
 = 900 (vì ABC vuông tại A),
EAD
 = 900 (vì E là hình chiếu của H lên AB)
AEH
  900 (vì D là hình chiếu của H lên AC)
và ADH
Do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

A
D
E
B

18
12

C

H

Suy ra: AH = DE.AD = HE = 12cm, AD = DH = 18cm.
HAB vuông tại H, HE là đường cao.
 AE.BE = HE2.
Do đó 18.BE = 122  BE =

122
 8 (cm)

18

Nên AB = AE + BE = 18 + 8 = 26 (cm)
HAC vuông tại H, HD là đường cao.
 AD.CD = HD2.
Do đó 12.CD = 182  CD =

182
 27 (cm)
12

Nên AC = AD + CD = 12 + 27 = 39 (cm).
8.
Theo đầu bài, ta có tam giác ABC vuông tại A có BC = 6,15cm, đường cao AH = 3m.
Giả sử AB ≤ AC. Cần tính AB, AC.

A

ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 AB.AC = BC.AH.
Do đó AB.AC = 6,15.3 = 18,45.
ABC vuông tại A
 AB2 + AC2 = BC2 (định lí Pythagore)
2

2

2

Do đó AB + AC = 6,5 = 37,8225

B

H

C

Ta coù (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 37,8225 + 2.18,45 = 74,7225
 AB + AC  8,64
Vaø (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 37,8225 – 2.18,45 = 0,9225
 AC – AB  0,96 (AC ≥ AB)
Do đó AB = (8,64 – 0,96) : 2  3,84 (cm)
vaø AC = (8,64 + 0,96) : 2  4,8 (cm)
117


9.
Giả sử tam giác ABC vuông tại A có BC = a (cm), AC = b (cm), AB = c (cm) (a, b, c > 0).
Theo đề bài ta có:
a – c = 9 vaø b + c – a = 6

A

Do đó a – c + b + c – a = 9 + 6
 b = 15
Xeùt ABC vuông tại A ta có:
a2 = b2 + c2 (định lí Pythagore).
Mà a = 9 + c và b = 15.

b

c
B

C

a

Do đó (9 + c)2 = 152 + c2.
 81 + 18c + c2 = 225 + c2
 18c = 225 – 81  18c = 144  c = 8
Ta coù a = 9 + c = 9 + 8 = 17 (cm)
Chu vi tam giác ABC là: a + b + c = 15 + 8 + 17 = 40 (cm)
Diện tích tam giác ABC vuông tại A là:

1
1
.b.c  .15.8  60 (cm2)
2
2

10.
Vẽ BF  d tại F.

Do đó tứ giác ABFC là hình chữ nhật.

B

C

Nên tứ giác ABFC là hình vuông.
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt

F
G

Xét ABD và FBG ta có:
  BFG
 (= 900), AB = BF (vì ABFC là hình vuông)
BAD
  FBG
 (vì cùng phụ với DBF
)
và ABD
Do đó ABD = FBG (g.c.g).
Suy ra: BD = BG.
Xét BGE vuông tại B có đường cao BF, ta có:
Mà BD = BG, BF = AC không đổi.
Vậy

118

1
1
1
không đổi.


2
2

BD
BE
AC2

E

D

Mà AB = AC (ABC vuông tại A)

đường thẳng d tại G.

x

A

Xét tứ giác ABFC coù
  900 , ACF
  900 , BAC
  900
BFC

1
1
1


2
2
BF

BG
BE2


BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Vẽ HD vuông góc với AB tại D,
HE vuông góc với AC tại E. Chứng minh raèng.
a)

AD AH2

BD BH2

b) BD.CE.BC = AH3.
  1200 . Tia Ax tạo với tia AB góc Bax bằng 150, tia Ax
2. Cho hình thoi ABCD có A

cắt cạnh BC tại M và cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng

1
1
4
.


2
2
AM
AN
3AB2

3. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác ABC. M, N lần lượt trên các
  ANB
  900 . Chứng minh rằng tam giác AMN cân.
đoạn thẳng HB, HC sao cho AMC
LỜI GIẢI
1.

A

a) ABH vuông tại H, HD là đường cao (HD
 AB)  AD.AB = BH2 (hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác vuông).
Do đó

D

AH2 AD.AB AD
.


BH2 BD.AB BD

B

C

H

b) ABC vuông tại A, AH là đường cao  AH2 = BH.HC, AB.AC = AH.BC.

AHC vuông tại H, HE là đường cao (HE  AC)
 CE.AC = HC2
Do đó AH4 = (BH.HC)2 = BH2.HC2 = BD.AB.CE.AC = (BD.CE).(AB.AC) = (BD.CE)(AH.BC)
Neân AH4 = BD.CE.BC.AH
Vậy AH3 = BD.CE.BC.
2.
Qua A vẽ đường thẳng vuông góc
với AN, cắt CD tại E. Vẽ AH  CD
tại H.
Tam giác AEN vuông tại A, AH là
đường cao.


1
1
1


2
2
AE
AN
AH2

Chứng minh được: AE = AM,
Dó đó

A

B

150

M

D

E

H

C

N
x

1
4
.

2
AH
3AB2

1
1
1
1
1
4






2
2
2
2
2
AM
AN
AE
AN
AH
3AB2

119


3.
Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là giao điểm của CH và AB.
H là trực tâm của tam giác ABC (gt).
A

Nên MD  AC, NE  AB.
AMC vuông tại M, MD là đường cao.
 AM2 = AD.AC (1)

D

ANB vuông tại N, NE là đường cao.
 AN2 = AE.AB (2)
Xét ADB à AEC có:
  AEC
 (= 900)
 (chung), ADB
DAB

M

Do đó ADB ∽ AEC (g.g).


H

E

N
C

B

AD AB
 AD.AC = AE.AB (3)

AE AC

Từ (1), (2) và (3) ta có AM2 = AN2  AM = AN.
Vậy tam giác AMN cân tại A.

Chủ đề 2: TỈ SỐ LƯNG GIÁC CỦA GOC NHOẽN
Đ1. KHAI NIEM Tặ SO LệễẽNG GIAC CUA
MOT GOC NHỌN
Hoạt động 1
So sánh tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc 370 trong các tam giác vuông đồng
dạng ở hình 1.

5

3

370
4

15
9

6

10

370

370
8

12

Hình 1

120


Hoạt động 2
 = x. Lấy hai điểm B và B trên Om. Gọi A và A là hình chiếu
Vẽ góc nhọn mOn
m

vuông góc của B và B trên On.
– Hãy chứng minh hai tam giác sau luông đồng
B

dạng: OAB và OAB.
B

– So sánh các cặp tỉ số:


AB AB
;
OA OA



AB AB
;
OB OB



OA OA
;
OB OB

Cạnh huyền
đối
x
O
Cạnh kề

Cạnh
đối
A

n

A
Hình 2

Hoạt động 3.
Cho trước tỉ số

C

b
(b < a) . Hùng vẽ nửa đường
a

b

tròn đường kính AB = a cm rồi vẽ đường tròn
tâm B bán kính b cm cắt nửa đường tròn đường
kính AB tại C (h.5).

A

x

B

a

  x , hãy tính sinx.
Đặt CAB

Hình 5

 THỬ TÀI BẠN
Vẽ góc nhọn , biết sin =

3
.
10

 BẠN NÀO ĐÚNG?

B

Trong ví dụ ở hình 6, nếu lấy trên AB điểm B

  x (h.7)
với AB > AB và đặt AOB

B

Bạn Việt có nhận xét tanx > tanx.

3cm

Bạn Nam có nhận xét cotx < cotx.
Theo em, bạn nào đúng?

O

x x
5cm

A

Hình 7

121


LỜI GIẢI
Hoạt động 1
3
6
9



5 10 15

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc 370 trong các tam giác vuông đồng dạng ở
hình 1 bằng nhau.
Hoạt động 2

  900 ) và OAB ( O
 (chung).
Xét OAB ( OAB
AB  900 ) có AOB

Do đó OAB ∽ OAB.


AB
OA
OB


AB OA OB

Vaäy

AB AB AB AB OA OA

,

,


OA OA OB OB OB OB

Hoạt động 3
Gọi O là trung điiểm của AB.
Vì C thuộc đường tròn tâm O, đường kính AB. Do đó OC = OA = OB.
ABC có OC là đường trung tuyến và OC =

AB
.
2

 ABC vuông tại C.
 =
 sinx = sin CAB

BC b
 .
AB a

 THỬ TÀI BẠN
– Dựng góc vuông xOy.
– Trên tia Ox đặt OA = 3.

y
B


– Dựng đường tròn tâm A, bán kính 10 cắt

10

tia Oy tại B.
  .
Khi đó ABO

 BẠN NÀO ĐÚNG?
Cả hai bạn Việt và Nam đều đúng.

122

O

3

A

x


§2. LIÊN HỆ GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯNG GIÁC
CỦA MỘT GÓC
Hoạt động 4

A

Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài
ba cạnh lần lượt là a, b, c như hình 8.
  x.
Đặt ABC

x

Tính sinx, cosx, tanx, cotx theo a, b, c rồi
dùng kết quả đó để điền vào bảng so
sánh sau:

B

2

sin x + cos x

Ví dụ: 0 < sinx < 1

1

tanx

sin x
cos x

cotx

cos x
sin x

tanx.cotx

C

GHI KẾT QUẢ
0; 1

2

a
Hình 8

SO SÁNH
sinx; cosx

b

c

1

 THỬ TÀI BẠN
Cho biết cos600 =

1
. Tính sin600, tan600, cot600.
2

LỜI GIẢI
Hoạt động 4
AC b
 , cosx =
BC a
AC b

tanx =
 , cotx =
AB c

sinx =

AB c

BC a
AB c

AC b

SO SÁNH
sinx; cosx

GHI KẾT QUẢ
0; 1

0 < sinx < 1
0 < cosx < 1

2

2

sin x + cos x

1

sin2x + cos2x = 1

tanx

sin x
cos x

tanx =

sin x
cos x

cotx

cos x
sin x

cotx =

cos x
sin x

tanx.cotx

1

tanx.cotx = 1
123

 THỬ TÀI BẠN
sin600 =

1  cos2 600  1

1
3

4
2

3
sin 60
tan600 =
2 3
0
1
cos 60
2
0

cot600 =

1
1
3


0
3

tan 60
3

Đ3. Tặ SỐ LƯNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU
Hoạt động 5

A

Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài
ba cạnh lần lượt là a, b, c như hình 9.
  x; ACB
  y.
Đặt ABC
B

Tính tỉ số lượng giác của góc x và y theo a,
b, c rồi so sánh.
SO SÁNH
x

y = 900 – x

sinx

cosy

cosx

siny

tanx

coty

cotx

tany

b

c
x

a
Hình 9

GHI KẾT QUẢ

LỜI GIẢI
Hoạt động 5
 =
 sinx = sin ABC

AC b

BC a

 =
 cosx = cos ABC

AB c

BC a

 =
 tanx = tan ABC

AC b

AB c

 =
 cotx = cot ABC

AB c

AC b

 =
 siny = sin ACB

AB c

BC a

 =
 cosy = cos ACB

AC b


BC a

 =
 tany = tan ACB

AB c

AC b

 =
 coty = cot ACB

AC b

AB c

124

C