Gián án phuong phap tich phan ham luong giac

Tài liệu luyện thi Đại học và cao đẳng
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Bài toán: Tính tích phân của hàm :
f(x) = R(sinx, cosx)
.
1. Bằng phép biến đổi lượng giác hoặc sử dụng phép đặt
2
2 2 2
2 1 2
tan sin ,cos ,
2 1 1 1
x t t dt
t x x dx
t t t
−
= ⇒ = = =
+ + +
, ta có thể đưa tích phân đã cho về tích phân của
hàm hữu tỉ đối với biến t, tuy nhiên trong nhiều trường hợp phép đặt trên dẫn đến một tích phân
phức tạp hơn. để giải quyết vấn đề cần phải đổi biến như thế nào, chúng ta chú ý đến biểu thức
dưới dấu tích phân, ta có thể chia ra các trường hợp sau
1/ Nếu
R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx)
tức là
R(sinx, cosx)
là hàm số lẻ đối với sinx, ta đặt t=
cosx.
Ví dụ 1: Tính
2
5 2
0

sin . osI x c xdx
π
=
∫
Nhận xét.
5 2
(sin ;cos ) sin . osR x x x c x=
là lẻ đối với sinx, ta đặt t = cosx và thực hiện đổi cận ta có
tích phân
0
2 2 2
5 2 4 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 1
sin . os sin . os .sin (1 cos ) . os .sin (1 ) .I x c xdx x c x xdx x c x xdx t t dt
π π π
= = = − = − −
∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây ta được tích phân có bản đối với t.
2/ Nếu
R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx)
tức là
R(sinx, cosx)
là hàm số lẻ đối với cosx, ta đặt t=
sinx.
Ví dụ 2:
3
4
2
6
os

sin
c x
I dx
x
π
π
=
∫
Nhận xét.
3
2
os
(sin ,cos )
sin
c x
R x x
x
=
là lẻ đối với cosx, nên ta đặt t= sinx và thực hiện đổi cận, ta có
2
3 2 2 2
4 4 4 2
2 2 2 2
1
6 6 6 2
os os .cos (1 sin ).cos (1 ).
sin sin sin
c x c x x x x t dt
I dx dx dx
x x x t

π π π
π π π
− −
= = = =
∫ ∫ ∫ ∫
.
Đến đây ta có tích phân đơn giản đối với biến t.
3/ Nếu
R(-sinx,-cosx) = R(sinx, cosx)
tức là
R(sinx, cosx)
là chẵn đối với sinx và cosx, ta
đặt t = tanx hoặc t = cotx.
Chú ý: Khi đặt t=tanx thì
2
1
1
dt dx
t
=
+
Phạm Tiến Hải – Giáo viên Toán trường THPT Nguyễn BỈnh Khiêm
Tài liệu luyện thi Đại học và cao đẳng
Ví dụ 3:
4
2 4
6
2
sin . os
I dx

x c x
π
π
=
∫

Nhận xét.
2 4
1
(sin ,cos )
sin os
R x x
xc x
=
là chẵn đối với sinx và cosx, nên ta đặt t = tanx và thực hiện
phép đổi cận ta có
( )
2
2
1 1
4
2
2
2 4 2
2
3 3
6
2 2
3 3
1

1
2
1
sin . os
1
1 1
t
t
I dx dt dt
x c x t
t
t t
π
π
+
+
= = =
 
 ÷
+ +
 
∫ ∫ ∫
4/ Nếu
m n
R(sin x, cosx) = sin x.cos x
, trong đó m và n là các số tự nhiên chẵn, ta có thể biến
đổi theo công thức hạ bậc:
2 2
1 os2 1 os2
cos , sin

2 2
c x c x
x x
+ −
= =
, nếu một trong hai số m hoặc n là
số lẻ, ta trở lại trường hợp 1 hoặc trường hợp 2.
Ví dụ4:
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 4
0 0 0
1 os2 1 os2 1
sin . os . 1 os2 1 os2
2 2 8
c x c x
I x c xdx dx c x c x dx
π π π
− −
 
= = = − −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
5/ Nếu






sinax.cosbx .
R(sinx, cosx) = sinax.sinbx.
cosax.cosbx.
ta dùng công thức biến tích thành tổng để đưa về các
tích phân đơn giản.
6) Một số dạng đặc biệt
Bài 1. Chứng minh rằng:
.sin .cos
ln | .sin .cos | ( , ,
.sin .cos
a x b x
dx Ax a x b x C A B C
a x b x
+
= + + +
+
∫
là các hằng số)
Ta phân tích:

( ) ( )
.sin .cos '.sin '.cos '. os '.sina x b x A a x b x B a c x b x+ = + + −
, tìm ra các hệ số A và B. Khi đó
.sin .cos '. os '.sin
'.sin '.cos '.sin '.cos
ln | '.sin '.cos |
a x b x a c x b x
dx Ax B dx

a x b x a x b x
Ax B a x b x C
+ −
= +
+ +
= + + +
∫ ∫
Ví dụ: Tính
2.sin 3.cos
sin 2cos
x x
I dx
x x
+
=
+
∫
Ta có
Phạm Tiến Hải – Giáo viên Toán trường THPT Nguyễn BỈnh Khiêm
Tài liệu luyện thi Đại học và cao đẳng
2.sin 3.cos (sin 2cos ) ( os 2sin )
8
8 1
5
2.sin 3.cos (sin 2cos ) ( os 2sin )
1
5 5
5
8 1
ln | os 2sin |

5 5
x x A x x B c x x
A
x x x x c x x
B
I x c x x C
+ = + + −

=


⇒ ⇒ + = + − −


= −


⇒ = − − +
Bài 2. Chứng minh rằng:
2
.sin .cos 1
( '.sin '.cos ) '.sin '.cos '.sin '.cos
a x b x B
dx A dx
a x b x a x b x a x b x
+
= −
+ + +
∫ ∫
, với A, B là các hằng số

Ta phân tích
( ) ( )
.sin .cos '.sin '.cos '. os '.sina x b x A a x b x B a c x b x+ = + + −
, tìm ra các hệ số
A và B. Khi đó
2
.sin .cos 1
( '.sin '.cos ) '.sin '.cos '.sin '.cos
a x b x B
dx A dx
a x b x a x b x a x b x
+
= −
+ + +
∫ ∫
.
Ví dụ. Tính
2
sin 2cos
( 3 sin cos )
x x
I dx
x x
+
=
+
∫

sin 2cos ( 3sin cos ) ( 3 os sin )
2 3

2 3 2 3
4
sin 2.cos ( 3sin cos ) ( 3 os sin )
4 4
2 3
4
2 3 1 2 3 1
4 4
3 sin cos 3sin cos
x x A x x B c x x
A
x x x x c x x
B
I dx C
x x x x
+ = + + −

+
=

+ −

⇒ ⇒ + = + − −

−

= −


+ −

⇒ = + +
+ +
∫
Tích phân
1
3 sin cos
dx
x x+
∫
là dạng tích phân mà chúng ta đã biết cách tính .
Chú ý Hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được tích phân dạng
3
.sin .cos
( '.sin '.cos )
a x b x
dx
a x b x
+
+
∫
Ví dụ: Tính
3
sin 2cos
( 3 sin cos )
x x
I dx
x x
+
=
+

∫
(Đọc giả tự giải bài tập này)
Bài 3. Tính
( ).sin , ( ).cosP x xdx P x xdx
∫ ∫
Nếu gạp dạng này chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt
( ) ( )
,
sin cos
u P x u P x
dv xdx dv xdx
= =
 
 
= =
 
Phạm Tiến Hải – Giáo viên Toán trường THPT Nguyễn BỈnh Khiêm
Ti liu luyn thi i hc v cao ng
Trờn õy l phng phỏp tớnh tớch phõn ca cỏc hm s lng giỏc. ng trc mt bi toỏn
chỳng ta cú th cú nhiu cỏch gii khỏc nhau. õy l cỏch gii m chỳng ta s chc chn cú kt
qu. Chỳc cỏc em 12 cú kt qu tt trong cỏc k thi sp ti.
Mi ý kin úng gúp v thc mc xin gi theo a ch
hoc
Chú ý : * Có thể tính một cách trực tiếp bằng các phép biến đổi cơ bản.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
Phm Tin Hi Giỏo viờn Toỏn trng THPT Nguyn Bnh Khiờm
Tài liệu luyện thi Đại học và cao đẳng
1/
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫
∫
p p
p
3 4
2
-p 0 0
p
p p
3
2
4
2 4
p
2
0 0
6
p
p
p
2
2
3
4
4
p p
2 2 2
0
6 4
5

1
*1/ (2sinx - cosx)dx * 2/ (sinx + )dx * 3/ cosx(1 + 2tgx)dx
cos x
1 - sin x cos2x x
*4/ dx * 5/ dx * 6/ cos dx
sinx + cosx 2
sin x
dx 3 - 2cotg x
*7/ tg xdx * 8/ * 9/ dx
cos xsin x cos x
*10/ sin xcosxdx * 11
*
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
sinx
2 2
p p
3
2 6
0 0
p
p p
3
3
2
2 2
p
2

0 0
6
/ cotgdx * 12/ e cosxdx
1
sin
1 2cosx
x
*13/ dx * 14/ (cos4x + cos2x)dx * 15/ dx
2
x (sinx + 1)
*16/ sin2xcos3xdx * 17/ (1 + sinx) cosxdx * 18/ 1 + 4sinxcosxdx
cosx cos x
*19/ dx 20/ sin xdx * 21/ dx
1 + sinx
sin x
*2
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
p
p
p
4
2
p
2
0 0
6
p
2
3

2
0
1
2/ sinx(1 + 2cosx)dx * 23/ cotgx(1 + )dx * 24/ cos2xcos4xdx
sin x
dx 2
*25/ * 26/ (3cosx - )dx * 27/ (1 + tg x)dx
1 + sinx
sin x

Phạm Tiến Hải – Giáo viên Toán trường THPT Nguyễn BỈnh Khiêm