BÀI 1 đại CƯƠNG về PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
MỤC TIÊU:
Kiến thức
- Nắm vững khái niệm phương trình và nghiệm của phương trình.
- Hiểu được định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương phương trình.
- Nắm vững khái niệm phương trình hệ quả.
Kĩ năng
- Biết cách tím điều kiện xác định (tập xác định) của phương trình,
- Nhận biết một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay khơng.
- Nhận biết hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ quả.
- Vận dụng các phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả để giải một số phương trình đơn giản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương trình một ẩn
Phương trình một ẩn số x là một mệnh đề chứa biến dạng f  x   g  x  (1) trong đó f(x); g(x) là các biểu
thức cùng biển số x.
Ta gọi f  x  là vế trái, g  x  là vế phải của phương trình.
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
Nếu số x0 thỏa mãn ĐKXĐ và f  x0   g  x0  là mệnh đề đúng thì ta nói x0 là nghiệm của phương trình
(1).
Một phương trình có thể có nghiệm hoặc vơ nghiệm.
Phương trình tương đương
Hai phương trình
f1 ( x)  g1 ( x)

f 2 ( x)  g 2 ( x)
được gọi là tương đương, kí hiệu f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g2 ( x) nếu (1) và (2) có cùng tập nghiệm.
Định lí
a) Nếu hai phương trình h  x  là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình f  x   g  x  thì
f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x)  f ( x)  g ( x).

b) Nếu họx) thỏa mãn ĐKXĐ và khác 0 với mọi x thì

f ( x).h( x)  g ( x).h( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x) g ( x)

 f ( x)  g ( x).
h( x ) h( x )
Chú ý: Nếu h(x) không xác định hoặc h  x   0 tại các giá trị khơng là nghiệm của phương trình thì các
biến đổi bên vẫn cho phương trình tương đương.
Phương trình hệ quả
Phương trình f 2  x   g2  x  là phương trình hệ quả của phương trình

f1 ( x)  g1 ( x), kí hiệu

f1 ( x)  g1 ( x)  f2 ( x)  g2 ( x).
Nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm phương trình thứ hai.
Hai phương trình tương đương là hai phương trình hệ quả của nhau nhưng ngưỌC lại không đúng.
II . CÁC DẠNG BÀI TẬP
Trang 1


Dạng 1. Tìm tập xác định của phương trình
Phương pháp giải
Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f  x  , g  x  cùng được xác
định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong để bài).
Điều kiện để biểu thức
+)

f ( x) xác định là f ( x)  0.

1
xác định là f ( x)  0.

f ( x)
1
+)
xác định là f  x   0.
f ( x)
+)

Ví dụ: Tìm tập xác định D của phương trình:
x
 x  2019
2 x
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của phương trình là 2  x  0  x  2
Vậy D  \{2}.
Vậy tập xác định của phương trình là D = IR \{12}.
Ví dụ mẫu
5
 1.
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của phương trình x  2
x 4
Hướng dẫn giải

x  2
Điều kiện xác định của phương trình là x 2  4  0  x 2  4  
 x  2
Vậy tập xác định của phương trình là D  \{2}.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1  3  x  x  2.
Hướng dẫn giải
3  x  0
x  3


 2  x  3.
Điều kiện xác định của phương trình là 
x

2

0
x

2


Ví dụ 3. Tìm tập xác định của phương trình

4  2x 

x 1
.
x  3x  2
3

Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của phương trình là

 4  2 x  0
x2

x2




 3

2
2
x  3x  2  0 ( x  1) x  x  2  0 ( x  1) ( x  2)  0






x  2
x  2

 x  1  
.
x

1
 x  2 

Vậy tập xác định của phương trình là D  (; 2] \{2;1}.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1. Tập xác định của phương trình là
A. tập tất cả các giá trị của ẩn để phương trình có nghĩa.
B. tập tất cả các giá trị của ẩn để phương trình có nghiệm.
Trang 2

C. điều kiện của ẩn để phương trình có nghĩa.
D. điều kiện của ẩn để phương trình có nghiệm.
5
5
 12 
Câu 2. Tập xác định của phương trình 3x 
là
x4
x4
A. R \{4}.
B. [4; ).
C. (4; ).
2x
3
5  2
là
x 1
x 1
C. D 
\{1}.

Câu 3. Tập xác định của phương trình
A. D 

\{1}.

B. D 

D.

.

2

\{1}.

1
3
4

 2
là
x2 x2 x 4
C. [2; ).
\{2; 2}.

D. D  .

Câu 4. Tập xác định của phương trình
A. (2; ).

B.

D.

2x
1
6  5x



là
3  x 2 x  1 3x  2
1 2
A. (3; ).
B. [3; ).
C. \  ;3;  .
D.
2 3
4x
3  5x
9x 1
 2
 2
Câu 6. Tập xác định của phương trình 2
là
x  5 x  6 x  6 x  8 x  7 x  12
A. (4; ).
B. \{2;3; 4}.
C. .
D.

.

Câu 5. Tập xác định của phương trình

Câu 7. Tập xác định của phương trình
A. (3; ).

1 3

\  ;3;  .
2 2

\{4}.

2x 1  4x 1 là

1

B.  ;   .
2


C. [1; ).

3x  2  4  3x  1 là
2 4
2 4
B.  ;  .
C. \  ;  .
3 3
3 3

D. [3; ).

Câu 8. Tập xác định của phương trình

4

A.  ;   .

3


Câu 9. Tập xác định của phương trình x 1  x  2  x  3 là
A. (3; ).
B. [2; ).
C. [1; ).
1
 x  3 là x  2.
x 1
B. (3; ) \{1}.
C. [1; ).

Câu 10. Tập xác định của phương trình
A. [3; ).

Câu 11. Tập xác định của phương trình
A. (2; ).

B. [7; ).

x2  5
x2 
 0 là
7x
C. [2 ; 7).

B. x  1 và x  2.

 7

A. D  2;  \{3}.
 2

B. D 

D. [3; ) \{1}.

D. [2;7].

1
5  2x

x2
x 1
5
C. 1  x  .
2

x2
7x

 5 x là
x  4x  3
7  2x
7

 7
C. D   2;  .
\ 1;3;  .
2


 2

Câu 13. Tập xác định của phương trình

D. [3; ).

2

Câu 12. Điều kiện xác định của phương trình
A. x  1 và x  2.

2 4
D.  ;  .
3 3

D. 1  x 

5
và x  2.
2

2

 7
D. D  2;  \{3}.
 2

Trang 3

Câu 14. Tập xác định của phương trình



15  2 x
 2 là
x 1 x  6
2



 15

B. 
;   \{1}.
 2


A. [6; ).

 15

D. 
;   \{6}.
 2


C. (6; ).

Câu 15. Cho phương trình 1 x  x  m  2  2x  3.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để tập xác định phương trình trên có dạng là [a;b]
A. m  1.
B. m  1.
C. m  1.
D. m  1.
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
1-A

2-A

3-D

4-B

5-C

11-C

12-D

13-D

14-C

15-A

6-B

7-B

8-D

9-D

10-D

Câu 6. Chọn B.

 x2  5x  6  0
x  2
 2

Điều kiện:  x  6 x  8  0   x  3 Vậy D 
 x 2  7 x  12  0  x  4



\{2;3; 4}.

Câu 9. Chọn D.

x 1  0
x  1


Điều kiện của phương trình là  x  2  0   x  2  x  3.
x  3  0
x  3



Câu 10. Chọn D.

 x2 1  0
 x  1

.
Điều kiện của phương trình là 
x


3
x

3

0


Câu 12. Chọn D.
x 1  1
5


1  x 
Điều kiện: 5  2 x  0  
2.
x  2  0

x  2


Câu 13. Chọn


x  2
x  2  0
7


 2
2  x 
Điều kiện:  x  4 x  3  0   x  3, x  1  
2.
7  2 x  0


7
x  3

x 

2
Câu 14. Chọn C.
15

x
15  2 x  0 
2

 2

Điều kiện:  x  1  0   x  1  x  6.
x  6  0
x  6



Câu 15. Chọn A.
Trang 4


1  x  0
x  1

.
Điều kiện: 
x  m  2
x  m  2  0
Để tập xác định là một đoạn thì m  2  1  m  1.

Dạng 2. Xác định hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ quả
Phương pháp giải
Để xác định được hai phương trình tương đương hay hai phương trình hệ quả ta làm như sau:
Bước 1. Tìm tập nghiệm của từng phương trình.
Bước 2. Tập nghiệm của phương trình nào chứa tập nghiệm phương trình cịn lại thì đó là phương trình
hệ quả. Các phương trình có cùng tập nghiệm thì tương đương.
Ví dụ: Cho hai phương trình:
x
2
và x 2  x  2  0 (2).


x 1
x 1
- Giải phương trình (1):
Điều kiện: x  1  0  x  1
(1)  x  2 (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của (1) là S1  2.
- Giải phương trình (2):
 x  1
(2)  
.
x  2
Vậy tập nghiệm của (2) là S2  1;2.
Do đó S2  S1.
Vậy phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).
Ví dụ mẫu
( x  3)( x  4)
Ví dụ 1. Khi giải phương trình
 0 (1), một học sinh tiến hành theo các bước sau:
x 2
( x  3)
Bước 1. (1) 
( x  4)  0. (2)
x 2

 ( x  3)
0
Bước 2.   x  2

 x  4  0
x  3

.
Bước 3.  
x  4
Bước 4. Vậy phương trình có tập nghiệm là T  {3;4}.
Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 2.
B. Sai ở bước 1.
C. Sai ở bước 4.
D. Sai ở bước 3.
Hướng dẫn giải
Sai ở bước 2.
Ta có phương trình (1) chỉ có nghiệm x = 3, tuy nhiên phương trình ở bước 2, có hai nghiệm x  3 hoặc
x  4 nên phép biến đổi tương đương này sai.
Chọn A.
Trang 5


Ví dụ 2. Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x 
A. 7  6x 1  18.

B. | 2x 1|  2x  1  0.
D. x2  x  1.

C. x x  5  0.
Hướng dẫn giải
Giải phương trình x 

1
 1?
x

1
 1.
x

Điều kiện: x  0.
1
x   1  x 2  1  x  x 2  x  1  0.
x
Vì x2  x 1  0, x  nên phương trình vơ nghiệm.
Dễ thấy đáp án C. Có hai nghiệm x  0; x  5.
Suy ra phương trình x x  5  0 khơng tương đương với phương trình x 
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1. Cách viết nào sau đây sai?
A. x( x  1)  0  x  0; x  1.

x  0
.
C. x( x  1)  0  
x  1

Câu 2. Cho phương trình  x 2  1 ( x  1)( x  1)  0.

1
 1.
x

B. x( x  1)  0 có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.

x  0

.
D. x( x  1)  0  
x  1

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho?
A. x  1  0.
B. x  1  0.
C. x 2  1  0.

D.  x 1 x  1  0.

Câu 3. Phương trình x 2  3x tương đương với phương trình
A. x2 x  3  3x x  3. B. x2  x2  1  3x  x2  1.
1
1
 3x 
.
x 3
x 3
x( x  2)
 3 (2).
Câu 4. Cho hai phương trình x( x  2)  3( x  2) (1) và
x2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương.
B. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1).
C. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2).
D. Cả A, B, C đều sai.

C. x2  x  2  3x  x  2.

D. x 2 

Câu 5. Khi giải phương trình x  2  2 x  3 (1), một học sinh tiến hành theo các bước sau
Bước 1. Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x 2  4 x  4  4 x 2  12 x  9 (2).
Bước 2. Khai triển và rút gọn (2) ta được 3x 2  8 x  5  0 (3)
x  1
.
Bước 3. (3)  
x  5
3

5
Bước 4. Vậy phương trình có nghiệm là x  1 và x  .
3
Cách giải trên sai từ bước nào?
Trang 6


A. Sai ở bước 1.

B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 3.
D. Sai ở bước 4.
( x  5)( x  4)
Câu 6. Khi giải phương trình
 0 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:
x 3
( x  5)
Bước 1. (1) 

( x  4)  0 (2)
x 3

 ( x  5)
0
Bước 2.   x  3

 x  4  0
x  5
Bước 3.  
x  4
Bước 4. Vậy phương trình có tập nghiệm là T  {5;4}.
Cách giải trên sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 3.
B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 1.
D. Sai ở bước 4.
2
Câu 7. Cho phương trình 2 x  x  0 (1). Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khơng phải
là hệ quả của phương trình (1)?
2
x
 0.
A. 2 x 
B. 4 x3  x  0.
C .  2 x 2  x   0.
D. x 2  2 x  1  0.
1 x
Câu 8. Phép biến đổi nào sau đây đúng?
A. 5x  x  3  x2  x2  5x  x  3.

x  2  x  x  2  x2 .
x3
3 2 x
D.
 
 x2  2 x  0.
x( x  1) x x  1
B.

C. 3x  x 1  x2  x 1  3x  x2 .

Câu 9. Giá trị của tham số m để cập phương trình x  2  0 và m  x 2  3x  2   m2 x  2  0 tương đương
là
A. m  2.

B. m  1.

D. m  1.

C. m  1; m  1.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình mx2  2(m 1) x  m  2  0 và

(m  2) x2  3x  m2 15  0 tương đương.
A. m  5.
B. m  5; m  4.
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
1-C

2-D

3-B

4-C

5-D

C. m  4.

6-B

D. m  5.

7-D

8-A

9-D

10-C

Câu 4. Chọn C.

x  2
.
+) 1  ( x  2)( x  3)  0  
x  3
x  2
.

+)  2 có điều kiện: x  2, khi đó  2   x( x  2)  3( x  2)  ( x  2)( x  3)  0  
x  3
Kết hợp với điều kiện: phương trình  2 có nghiệm là x  3.
Vậy (1) là phương trình hệ quả của  2 .
Câu 5. Chọn D.
Vì phương trình  2 là phương trình hệ quả của phương trình 1 nên sau bước 3, ta cần kiểm tra xem
Trang 7


nghiệm có thỏa mãn phương trình 1 hay khơng. Do đó lời giải sai ở bước 4.
Câu 6. Chọn B.
Sai ở bước 2 vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiện.
Câu 7. Chọn D.
x  0
.
Ta có (1)  
x  1

2
Lại có x  0 khơng là nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 nên x 2  2 x  1  0 khơng là phương trình
hệ quả của phương trình (1).
Câu 9. Chọn D.
Phương trình x  2  0 và m  x 2  3x  2   m2 x  2  0 tương đương khi phương trình
m  x 2  3x  2   m2 x  2  0 * có nghiệm x  2 .

Thay x  2 vào (*) ta tìm được: m  1 m  1.

Thay m  1 ta có   x 2  3x  2   x  2  0 có hai nghiệm x  0; x  2.
Câu 10. Chọn C.
Với m  0, hai phương trình khơng tương đương.

x  1
.
Với m  0 , ta có phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
x  m  2
m

Để hai phương trình tương đương thì (2) phải có hai nghiệm trên.
m  4
.
(2) có nghiệm là x  1 nên m  2  3  m2  15  0  
 m  5
Thay giá trị m  4 và m  5 vào (2) thì chỉ có m  4 , hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Dạng 3. Giải phương trình đơn giản
Phương pháp giải
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương
trình đã cho. Một số phép biến đổi thường sử dụng:
+) Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta
thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+) Nhân (chia) hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của
phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+) Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
+) Bình phương hai vế của phương trình (hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương
với phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình x( x  2)  x2  4
Hướng dẫn giải
x( x  2)  x 2  4
 x2  2x  x2  4
 2 x  4

x2
Trang 8


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  2.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình x  x  3  3  x  3?
A. x  1.
B. x  2.
C. x  3.
D. x  4.
Hướng dẫn giải
x  3  0
x  3

 x  3.
Điều kiện: 
x  3
3  x  0
Thử x = 3 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
Chọn C.
Ví dụ 2. Giải phương trình x  x  x 1.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  0.
Ta có x  x  x 1  x  1 (khơng thỏa mãn).
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình





x  2 x 2  3x  2  0.

Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  2.

x  2
x  1
x  2  0
Ta có x  2 x  3x  2  0   2
  x  1  
x  3x  2  0
x  2

 x  2
Kết hợp với điều kiện x  2, ta được x = 2 là nghiệm của phương trình.



2



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 2.
Ví dụ 4. Giải phương trình





x  1 x 2  x  2  0.

Hướng dẫn giải


x  0
 x0
Điều kiện xác định: 

 x  1.
x

1
x

1

0




x  1

x 1  0
Với điều kiện đó phương trình tương đương với 
  x  1.
2

 x  x  2  0
 x  2

Đối chiếu với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S  1; 2.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Phương trình x   x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 2. Phương trình x   x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 3. Phương trình x  2  2  x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

Câu 4. Giá trị nào sau đây của x là nghiệm của phương trình

D. Vơ số.
D. Vô số.
D. Vô số.

2x  5  2x  5 ?
Trang 9

A. x 

5
.
2

B. x  1.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình
A. T  0.

C. x  3.

D. x = 2.

x2  2x  2x  x2 là

B. T  Ø.

D. T  2.

C. T  {0; 2).

Câu 6. Cho phương trình  x2  10 x  25  0 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình vơ nghiệm.
B. Phương trình có vơ số nghiệm.
C. Mọi x đều là nghiệm.
D. Phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 7. Tập nghiệm của phương trình
A. T={0}

B.T=Ø.

Câu 8. Tập nghiệm của phương trình

x
  x là
x
C. T = {1}

D.T={-1}.

C. S={2}.

D. S = {1,2}

x  2  x  3x  2   0 là
2

A. S=0.
B. S= {1}.
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
1-B
2-D
3-D
4-A

5-C

6-D

7-B

8-C

Câu 4. Chọn A.


 x 
2
x

5

0


Điều kiện: 

2 x  5  0  x 

Ta có

5
2  x  5 .
5
2
2

2 x  5  2 x  5  2 x  5  0  x  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 

5
(thỏa mãn).
2

5
.
2

Câu 5. Chọn C.

 x2  2 x  0
x  0
2

x

2
x

0

Điều kiện xác định của phương trình là 
 x  2.
2

2 x  x  0
Thay x  0 và x  2 vào phương trình thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là T  0;2.
Câu 6. Chọn D.
Ta có

 x 2  10 x  25  0  ( x  5)2  0  x  5.

Phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 7. Chọn B.
x  0

Điều kiện:  x  0. Vậy hệ phương trình vơ nghiệm.
x  0

Vậy tập nghiệm là T  .
Câu 8. Chọn C.
Điều kiện: x  2.

x  2  0
x  2
x  2  x 2  3x  2   0   2

.
x  1
 x  3x  2  0
Trang 10


Kết hợp với điều kiện thì ta được S  2 .

Trang 11