26 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán THPT chuyên hạ long quảng ninh lần 1 file word có lời giải

AQSỞ GD & ĐT QUẢNG NINH

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 1 KHỐI 12

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG

NĂM HỌC 2020 – 2021

------------------

MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút khơng kể thời gian phát đề

Câu 1: Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?

A. y = − x 3 + 3x 2 + 2.

B. y = x 3 − 3 x 2 + 2.

C. y = x 4 + 3 x 2 + 2.

D. y = x 4 − 3 x 2 + 2.

Câu 2: Cho khối lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng
trụ đó theo a.
A.

a3 3
.
4

B.

a3 6
.
4

C.

a3 3
.
12

D.

a3 6
.
12

Câu 3: Tính diện tích xung quanh S của hình nón có bán kính đáy r = 4 và chiều cao h = 3.
A. S = 40π .

B. S = 12π .

C. S = 20π .

D. S = 10π .

Câu 4: Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và cơng sai d = 2. Tính u9 .
A. u9 = 26.

B. u9 = 19.

C. u9 = 16.

D. u9 = 29.

Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 20.

B. 120.

C. 25.

D. 53.

3
C. V = 108π ( cm ) .

3
D. V = 36π ( cm ) .

Câu 6: Thể tích V của khối cầu có đường kính 6cm là
3
A. V = 18π ( cm ) .

3
B. V = 12π ( cm ) .

Câu 7: Diện tích xung quanh S xq của hình trụ xoay có bán kính đáy r và đường cao h là
A. S xq = 2π rh.

B. S xq = π rh.

2
C. S xq = 2π r h.

uuur
Câu 8: Tìm tọa độ véc tơ AB biết A ( 1; 2; −3) , B ( 3;5; 2 )
1

2
D. S xq = π r h.


uuur
A. AB = ( 2;3; −5 ) .

uuur
B. AB = ( 2;3;5 ) .

uuur
C. AB = ( −2; −3; −5 ) .

uuur
D. AB = ( 2; −3;5 ) .

2
Câu 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x .

A. ∫ f ( x ) dx = 6 x + C.

B. ∫ f ( x ) dx = x + C.

3
C. ∫ f ( x ) dx = x + C.

D.

1

∫ f ( x ) dx = 3 x

3

+ C.

1
2 x+1
= .
Câu 10: Tìm tập nghiệm S của phương trình 3
3
A. S = { 0; −1} .

B. S = { −1} .

C. S = { 0;1} .

D. S = { 1} .

Câu 11: Cho khối nón có bán kính hình trịn đáy, độ dài đường cao và độ dài đường sinh lần lượt là r , h, l. Thể

tích V của khối nón đó là:
A. V = π rl.

1
B. V = π rlh.
3

C. V = π r 2 h.

1 2
D. V = π r h.
3

Câu 12: Với a, b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1. Ta có log a2 b bằng
1
A. + log a b.
2

B. 2 + log a b.

C.

1
log a b.
2

D. 2 log a b.

4
2

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị hình dưới đây. Hỏi phương trình 2 f ( x ) = −1 có bao
nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 1.

C. 3.

D. 0.

C. x = −2.

D. x = 8.

Câu 14: Nghiệm của phương trình log 2 ( x + 1) = 3 là:
A. x = 7.

B. x = 2.

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

2


Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A. ( −2; 4 ) .

B. ( −1; +∞ ) .

C. ( −∞; −1) .

D. ( −1;3) .

x
Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( ln x + 1) ( e − 2019 ) ( x + 1) trên khoảng ( 0; +∞ ) . Hỏi hàm

số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

4
2
Câu 17: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị sau

Giá trị cực đại của hàm số là
A. −2.

B. −1.

C. 0.

D. 1.

Câu 18: Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

1 2
A. V = B h.
3

C. V = Bh.

B. V = B 2 h.

1
D. V = Bh.
3

Câu 19: Thể tích của khối hộp chữ nhật có kích thước 1, 2, 3 là:
A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 6.

Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số y = ln x 2 − 3 x + 2
A. D = ( 1; 2 ) .

B. D = ( 2; +∞ ) .

C. D = ( −∞;1) .

D. D = ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

Câu 21: Cho khối chóp S . ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = 3, BC = 3, SA ⊥ ( ABC ) và góc giữa SC
với đáy bằng 450. Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
3


A. 3.

B. 2 3.

C. 3.

D. 6.

Câu 22: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xe x tại điểm thuộc đồ thị tại điểm có hồnh đồ
x0 = 1.
A. y = e ( 2 x − 1) .

B. y = e ( 2 x + 1) .

C. y = 2 x − e.

D. y = 2 x + e.

Câu 23: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Khối trụ trịn xoay có hai đường
tròn đáy ngoại tiếp hai tam giác đều ABC và A ' B ' C ' có thể tích bằng
A.

π a3 3
.
3

Câu 24: Biết

B.

∫ f ( x ) dx = x
1

A.

∫ f ( 2 x ) dx = 2 x

C.

∫ f ( 2 x ) dx = 2 x

2

2

2

π a3
.
9

+ C . Tính

C. π a 3 .

D.

π a3
.
3

∫ f ( 2 x ) dx.
1

+ C.

B.

∫ f ( 2 x ) dx = 4 x

+C

D.

∫ f ( 2 x ) dx = 4 x

2

2

+C
+C

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = − x 3 − 3 x 2 + mx + 2 có cực đại và cực tiểu?
A. m ≥ 3.

B. m > −3.

C. m > 3.

D. m ≥ −3.

(

Câu 26: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 + 3
hai nghiệm phân biệt là khoảng ( a; b ) . Tính T = 3a + 8b.
A. T = 5.

B. T = 7.

C. T = 2.

)

x

(

+m 2− 3

)

x

= 1 có

D. T = 1.

Câu 27: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + cos 2 x.
A. x 2 − sin 2 x + C.

1
2
B. x + sin 2 x + C.
2

C. x 2 + sin 2 x + C.

1
2
D. x − sin 2 x + C.
2

Câu 28: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , tam giác ABC đều có cạnh 2a. Tính thể tích khối
chóp S . ABC.
A. a 3 3.

B.

a3 3
.
3

C.

a3 3
.
2

D.

a3 3
.
6

Câu 29: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tìm tọa độ đỉnh A ' biết tọa độ các điểm
A ( 0;0;0 ) ; B ( 1;0;0 ) ; C ( 1; 2;0 ) ; D ' ( −1;3;5 ) .
A. A ' ( 1; −1;5 ) .
Câu 30: Đồ thị hàm số y =

B. A ' ( 1;1;5 ) .
9x +1
2020 − x 2

C. A ' ( −1; −1;5 ) .

có bao nhiêu đường tiệm cận?
4

D. A ' ( −1;1;5 ) .


A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − 20 x 2 trên đoạn [ −1;10] là
A. −100.

B. 100.

D. −10 10.

C. 10 10.

Câu 32: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có tam giác ABC vng cân tại B và AA ' = AB = a. Gọi M , N
lần lượt là trung điểm hai cạnh AA ' và BB '. Tính thể tích khối đa diện ABCMNC ' theo a.
A.

a3 2
.
3

B.

a3 2
.
6

Câu 33: Biết tập nghiệm của bất phương trình 3x
A. T = −3.

C.
2

−x

a3
.
3

D.

a3
.
6

< 9 là ( a; b ) . Tính T = a + b.

B. T = 1.

C. T = 3.

D. T = −1.

Câu 34: Cho khối tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng

a3
. Tính góc giữa cạnh bên và
4 3

mặt đáy?
A. 600.

B. 300.

D. arctan ( 2 ) .

C. 450.

Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 và góc ở điỉnh bằng 900. Diện tích xung quanh của hình nón đã
cho bằng
B. 5π 10.

A. 25π 2.

C. 5π 5.

D. 10π 5.

Câu 36: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường trịn đáy là
đường trịn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD.
A. S xq = 8 3π .

B. S xq = 8 2π .

C. S xq =

Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1)

2

(x

2

16 3
π.
3

D. S xq =

16 2
π.
3

− 2 x ) , với mọi x ∈ ¡ . Có bao nhiêu giá trị

2
nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x − 8 x + m ) có 5 điểm cực trị?

A. 18.

B. 16.

C. 17.

D. 15.

3
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = x + mx −

( 0; +∞ ) ?
A. 0.

B. 4.

C. 2.

1
đồng biến trên khoảng
5x2
D. 3

Câu 39: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N , M là trung điểm của AB và AC. Tính khoảng cách d giữa
CN và DM .
A. d = a

3
.
2

B. d =

a 10
.
10

C. d =

5

a 3
.
2

D. d =

a 70
.
35


Câu 40: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =
A.

82
.
9

B.

80
.
9

C. 9.

2
bằng
3

D. 0.

Câu 41: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a. Trên các tia AA ', BB ', CC ' lần lượt lấy
a
3a
A1 , B1 , C1 cách mặt phẳng đáy ( ABC ) một khoảng lần lượt là , a, . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và
2
2
( A1 B1C1 ) .
A. 600.

B. 900.

C. 450.

D. 300.

3
2
Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y = x + ( a + 10 ) x − x + 1 cắt trục hoành tại
đúng một điểm?

A. 10.

B. 8.

C. 11.

D. 9.

1
2
Câu 43: Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn + Cn = 55, số hạng không chứa x trong khai triển của biểu
n

2

thức  x 3 + 2 ÷ bằng
x 

A. 80640.

B. 13440.

C. 322560.

D. 3360.

2
2
Câu 44: Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x − x + 2 + a ln ( x − x + 1) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi
x ∈ ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a ∈ ( 6;7 ] .

B. a ∈ ( 2;3] .

C. a ∈ ( −6; −5] .

D. a ∈ ( 8; +∞ ) .

Câu 45: Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x ≥ 9 x + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ . Mệnh đề
nào sau đây đúng?
2
A. a ∈ ( 0;10  .

2
3
B. a ∈ ( 10 ;10  .

4
C. a ∈ ( 10 ; +∞ ) .

3
4
D. a ∈ ( 10 ;10  .

3
3
3z
2z
Câu 46: Giả sử a, b là các số thực sao cho x + y = a.10 + b.10 đúng với mọi số thực dương x, y , z thỏa
2
2
mãn log( x + y ) = z và log( x + y ) = z + 1 . Giá trị của a + b bằng:

A.

31
.

2

B.

29
.
2

C. −

31
.
2

D. −

25
.
2

Câu 47: Cho một mơ hình tứ diện đều ABCD cạnh 1 và vịng trịn thép có bán kính R. Hỏi có thể cho mơ hình
tứ diện trên đi qua vịng trịn đó (bỏ qua bề dày của vịng trịn) thì bán kính R nhỏ nhất gần với số nào trong các
số sau?
A. 0,461.

B. 0,441.

C. 0,468.

D. 0,448.

Câu 48: Cho phương trình sin 2 x − cos 2 x + sin x + cos x − 2 cos 2 x + m − m = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m để phương trình có nghiệm thực?
A. 9.

B. 2.

C. 3.
6

D. 5.


Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ( −1;3) . Bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) được
 x
cho như hình vẽ sau. Hàm số y = f  1 − ÷+ x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
 2

A. ( −4; −2 ) .

B. ( −2;0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; 4 ) .

Câu 50: Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S . ABC có tất cả các cạnh
bằng nhau, các đỉnh A, B, C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l , các giao tuyến của
mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?

(

)

(

A. l ∈ 1; 2 .

)

B. l ∈ 2;3 2 .

C. l ∈

(

 3 
;1÷
D. l ∈ 
÷.
 2 

)

3; 2 .

----------------------- HẾT ---------------------

BẢNG ĐÁP ÁN
1-B

2-A

3-C

4-B

5-B

6-D

7-A

8-B

9-C

10-B

11-D

12-C

13-A

14-A

15-D

16-A

17-B

18-C

19-D

20-D

21-C

22-A

23-D

24-C

25-B

26-C

27-B

28-B

29-D

30-C

31-A

32-C

33-B

34-A

35-A

36-D

37-D

38-C

39-D

40-A

41-C

42-A

43-B

44-A

45-D

46-B

47-D

48-C

49-A

50-D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Chọn B.
Ta thấy đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d nên loại C, D.
y = +∞ nên a > 0 suy ra loại A.
Dựa vào đồ thị ta có xlim
→+∞
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 2: Chọn A.
Vì ABC. A ' B ' C ' là khối lăng trụ đều nên có đáy ABC là tam giác đều và chiều cao AA ' = a.
7


Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là V = AA '.S ABC = a.

a 2 3 a3 3
(đvtt).
=
4
4

Câu 3: Chọn C.

Độ dài đường sinh của hình nón l = r 2 + h 2 = 42 + 32 = 5.
Diện tích xung quanh của hình nón S = π rl = 4.5π = 20π .
Câu 4: Chọn B.
Ta có u9 = u1 + ( 9 − 1) d = 3 + 8.2 = 19.
Câu 5: Chọn B.
Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh là một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có 5! = 120 cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.
Câu 6: Chọn D.
Thể tích V của khối cầu có đường kính 6cm là

4
4
π R 3 = .π .33 = 36π ( cm3 ) .
3
3

Câu 7: Chọn A.
Theo cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ta có S xq = 2π rl = 2π rh (Do h = l ).
Câu 8: Chọn B.
uuur
Ta có AB = ( 3 − 1;5 − 2; 2 + 3 ) = ( 2;3;5 ) .
Câu 9: Chọn C.
Ta có

1

∫ f ( x ) dx = ∫ 3x dx = 3. 3 x
2

3

+ C = x3 + C.

Câu 10: Chọn B.
2 x +1
=
Ta có 3

1
⇔ 32 x +1 = 3−1 ⇔ 2 x + 1 = −1 ⇔ x = −1.
3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { −1} .
Câu 11: Chọn D.
Câu 12: Chọn C.
Ta có log a2 b =

1
log a b.
2

Câu 13: Chọn A.
Ta có: 2 f ( x ) = −1 ⇔ f ( x ) =

−1
.
2
8

Suy ra số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) = −1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng
−1
y= .
2

Dựa vào hình vẽ trên, suy ra phương trình 2 f ( x ) = −1 có 2 nghiệm.
Câu 14: Chọn A.
ĐKXĐ: x + 1 > 0 ⇔ x > −1.
3
Ta có: log 2 ( x + 1) = 3 ⇔ x + 1 = 2 = 8 ⇔ x = 7 (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy nghiệm của phương trình log 2 ( x + 1) = 3 là x = 7.
Câu 15: Chọn D.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) ; hàm số nghịch biến trên ( −1;3) .
Câu 16: Chọn A.
Tập xác định: D = ( 0; +∞ ) .
f ' ( x ) = 0 ⇔ ( ln x + 1) ( e x − 2019 ) ( x + 1) = 0
1

x = ∈ ( 0; +∞ )

ln
x
+
1
=
0
ln
x
=

−
1


e

 x
 x
⇔ e − 2019 = 0 ⇔  e = 2019 ⇔  x = ln 2019 ∈ ( 0; +∞ )

x +1 = 0
 x = −1


 x = −1 ∉ ( 0; +∞ )

Bảng biến thiên:

1
Hàm số đạt cực đại tại x = . Đạt cực tiểu tại x = ln 2019.
e
9


Vậy trên khoảng ( 0; +∞ ) thì hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị.
Câu 17: Chọn B.
Dựa vào đồ thị, nhận thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = −1.
Câu 18: Chọn C.
Khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h có thể tích là V = Bh.
Câu 19: Chọn D.

Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là:
V = 1.2.3 = 6.

Câu 20: Chọn D.
x > 2
2
.
Điều kiện: x − 3 x + 2 > 0 ⇔ 
x <1
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D = ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .
Câu 21: Chọn C.

·
Ta có góc giữa SC với đáy là SCA
= 450.
Tam giác ABC vuông tại B ⇒ AC = AB 2 + BC 2 = 2 3.
·
∆SAC vuông tại A suy ra SA = AC.tan SCA
= 2 3.
1 1
VS . ABC = . .BA.BC.SA = 3.
3 2
Câu 22: Chọn A.
Ta có x0 = 1 ⇒ y0 = e.
y ' = e x ( x + 1) ⇒ y ' ( 1) = 2e.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = 2e ( x − 1) + e ⇔ y = e ( 2 x − 1) .
Câu 23: Chọn D.
10

2 a 3 a 3
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đều ABC là: R = .
=
.
3 2
3
Bán kính đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác đều ABC và A ' B ' C ' chính là bán kính đáy khối trụ: R =

a 3
.
3

2

a 3
π a3
.
a
=
.
Thể tích khối trụ trịn xoay cần tìm: V = π R h = π . 
÷
÷
3
 3 
2

Câu 24: Chọn C.
Ta có:

Suy ra:

∫ f ( x ) dx = x

2

+ C ⇒ f ( x ) = 2 x.

∫ f ( 2 x ) dx = ∫ 2.2 xdx = 2 x

2

+ C.

Câu 25: Chọn B.
Ta có y ' = −3 x 2 − 6 x + m. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3.
Câu 26: Chọn C.

(

)

x
Đặt t = 2 + 3 , t > 0, khi đó x = log ( 2+ 3 ) t và mỗi t > 0 cho ta đúng một nghiệm x.

m
− 1 = 0 ⇔ t 2 − t + m = 0 ( *) . Bải tồn trở thành tìm m để phương trình
t
( *) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 .

Phương trình đã cho được viết lại t +

∆ > 0
1 − 4m > 0
1
1

⇔  P = t1t2 > 0 ⇔ 
⇔ 0 < m < . Suy ra: a = 0; b = .
4
4
m > 0
S = t + t > 0

1
2
Vậy T = 3a + 8b = 2.
Câu 27: Chọn B.
Ta có:

∫ ( 2 x + cos 2 x ) dx = ∫ 2 xdx + ∫ cos 2 xdx = x

2

1
+ sin 2 x + C.
2

Câu 28: Chọn B.

11


3
. ( 2a 2 ) = a 2 3
4

Ta có: S ∆ABC =

1
1
a3 3
VS . ABC = S ∆ABC .SA = a 2 3.a =
.
3
3
3
Câu 29: Chọn D.
uuur uuur
uuur uuuur
Hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' ⇒ AD = BC và AA ' = DD '
 xD − x A = xC − xB
 xD − 0 = 1 − 1
 xD = 0
uuur uuur



* AD = BC ⇔  yD − y A = yC − yB ⇔  yD − 0 = 2 − 0 ⇔  yD = 2

z − z = z − z
z − 0 = 0 − 0
z = 0
A
C
B
 D
 D
 D
 x A ' − x A = xD ' − xD
 x A ' − 0 = −1 − 0
 x A ' = −1
uuur uuuur



* AA ' = DD ' ⇔⇔  y A ' − y A = yD ' − yD ⇔  y A ' − 0 = 3 − 2 ⇔  y A ' = 1
z − z = z − z
z − 0 = 5 − 0
z = 5
D'
D
 A' A
 A'
 A'
Vậy A ' ( −1;1;5 ) .
Câu 30: Chọn C.
Hàm số y =

9x +1

2020 − x 2

(

TXĐ: D = − 2020; 2020
Ta có:

(

lim

x → − 2020

)

+

y = −∞;

x→

)

lim − y = +∞
( 2020 )

⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = − 2020 và x = 2020
Vậy đồ thị hàm số y =

9x +1

2020 − x 2

có 2 đường tiệm cận.

Câu 31: Chọn A.
Xét hàm số y = x 4 − 20 x 2 liên tục trên [ −1;10] và có
12


x = 0

y ' = 4 x 3 − 40 x = 4 x ( x 2 − 10 ) nên y ' = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − 10 ) = 0 ⇔  x = 10

 x = − 10 ( L )
Mà y ' ( −1) = −1, y ' ( 0 ) = 0, y '
−100.

(

)

10 = −100 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − 20 x 2 trên đoạn [ −1;10] là

Câu 32: Chọn C.

1
a2
= .a.a = .
2
2

Diện tích đáy là: S ABC

Thể tích khối lăng trụ là: VABC . A ' B 'C ' =

a2
a3
.a =
= V.
2
2

Gọi P là trung điểm cạnh CC ' ta có
VABCMNC ' = V − VA ' B 'C ' MN

2
2 1  2
2 a3 a3
= V − .VA ' B 'C ' MNP = V − .  V ÷ = V = . = .
3
3 2  3
3 2
3

Câu 33: Chọn B.
Ta có: 3x

2

−x

< 9 ⇔ 3x

2

−x

< 32 ⇔ x 2 − x < 2 ⇔ x 2 − x − 2 < 0 ⇔ x ∈ ( −1; 2 ) .

Vậy T = a + b = −1 + 2 = 1.
Câu 34: Chọn A.

13


Gọi M , G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm ∆ABC.
Do S . ABC là khối chóp tam giác đều nên hình chiếu của S lên ( ABC ) là trọng tâm ∆ABC.
Suy ra SG ⊥ ( ABC ) .
·
Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là SAG
.
Ta có: AM =

a 3
2
2 a 3 a 3
a2 3
; AG = AM = .
=
; S∆ABC =

.
2
3
3 2
3
4

Theo đề bài: VS . ABC

a3
1
a3
1
a2 3
a3
=
⇔ .SG.S ∆ABC =
⇔ .SG.
=
⇔ SG = a.
3
3
4
4 3
4 3
4 3

Trong ∆SAG vuông tại G ta có:

·

tan SAG
=

SG
a
·
=
= 3 ⇒ SAG
= 600.
AG a 3
3

Câu 35: Chọn A.

·
Hình nón có góc ở đỉnh bằng 900 nên OSA
= 450 , suy ra ∆SOA vuông cân tại O. Khi đó
h = r = 5, l = h 2 + r 2 = 52 + 52 = 5 2.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq = π .r.l = π .5.5 2 = 25 2π .
14


Câu 36: Chọn D.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD. Khi đó HI =

2 3
4 3
, BH =

.
3
3

Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD
Và HI là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác BCD. Suy ra bán kính đường trịn đáy của hình trụ là
2 3
r = HI =
.
3
Tứ diện ABCD đều nên AH ⊥ ( BCD ) , suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện.
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác AHB vng tại H ta có
2

 4 3  32
4 6
AB = AH + BH ⇔ AH = AB − BH = 4 − 
=
⇔ AH =
.
÷
÷
3
3
 3 
2

2

2

2

2

2

2

4 6
4 6
. Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là l =
. Diện tích
3
3
2 3 4 6 16 2
xung quanh của hình trụ là S xq = 2π rl = 2π .
.
=
π.
3
3
3
Vậy chiều cao của hình trụ là h = AH =

Câu 37: Chọn D.
2
2
Ta có y ' = ( 2 x − 8 ) f ' ( x − 8 x + m ) . Hàm số y = f ( x − 8 x + m ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình

f ' ( x 2 − 8 x + m ) = 0 có bốn nghiệm phân biệt khác 4. Mà f ' ( x ) = 0 có hai nghiệm đơn là x = 0 và x = 2 nên

15


 x2 − 8x + m = 0
 x2 − 8x + m = 0
f ' ( x2 − 8x + m ) = 0 ⇔  2
⇔ 2
có bốn nghiệm phân biệt khác 4 khi và chỉ khi
 x − 8x + m = 2
 x − 8x + m − 2 = 0
 ∆ ' = 16 − m > 0
 m < 16
16 − 32 + m ≠ 0
 m ≠ 16


⇔
⇔ m < 16.


∆
'
=
16
−
m
+
2

>
0
m
<
18


16 − 32 + m − 2 ≠ 0
 m ≠ 18
Kết hợp điều kiện m nguyên dương nên có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài ra.
Câu 38: Chọn C.
2
Ta có: y ' = 3x + m +

2
.
5 x3

3
Hàm số y = x + mx −

1
đồng biến trên ( 0; +∞ )
5x2

⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) .
⇔ 3x 2 + m +

2
≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )

5 x3

⇔ m ≥ −3 x 2 −

2
, ∀x ∈ ( 0; +∞ )
5 x3

⇔ m ≥ max g ( x ) với g ( x ) = −3x 2 − 2 .
( 0;+∞ )
5 x3
2
Xét g ( x ) = −3 x −

6
1
2
( 0; +∞ ) , ta có g ' ( x ) = −6 x + 4 ; g ' ( x ) = 0 ⇔ x = 5 .
3 trên
5x
5
5x

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra m ≥ −2, 6.
Vậy m = −2 và m = 1 thỏa mãn.
Câu 39: Chọn D.
16

Gọi P là trung điểm của AN ⇒ MP / /CN , MP ⊂ ( DMP ) ⇒ CN / / ( DMP )
⇒ d ( CN , DM ) = d ( CN , ( DMP ) ) = d ( N , ( DMP ) ) = d ( A, ( DMP ) ) .
Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh a ⇒ VABCD =
Ta có

a3 2
.
12

VA.DMP AP AM 1
1
a3 2
=
.
= ⇒ VA.DMP = VA.DBC =
.
VA.DBC AB AC 8
8
96

a 3
Tam giác ACD đều cạnh a, có M là trung điểm của AC ⇒ DM =
.
2
a 3
1
a 3
Tam giác ABC đều cạnh a, có N là trung điểm của AB ⇒ CN =
⇒ MP = CN =

.
2
2
4
Tam giác ADP, có AP =

a
·
, AD = a, PAD
= 600.
4

a 13
·
⇒ DP = AD 2 + AP 2 − 2. AD. AP.cos PAD
=
.
4
a
Đặt p = DM + DP + MP =
2
⇒ S ∆DMP =

(

13 + 3 3
8

).

p ( p − DM ) ( p − DP ) ( p − MP ) =

a 2 35
32

3V
1
Lại có VA.DMP = S∆DMP .d ( A, ( DMP ) ) ⇒ d ( A, ( DMP ) ) = A.DMP
3
V∆DMP

Vậy d ( CN , DM ) =

a 70
.
35

Câu 40: Chọn A.
17

a3 2
a 70
= 2 96 =
.
35
a 35
32
3.

Điều kiện: x > 0.
Ta có log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =
⇔ ( log 3 x )

4

2
1
2
4
⇔
( log3 x ) =
3
2.3.4
3

x = 9
log 3 x = 2
= 16 ⇔ 
⇔
(thỏa mãn điều kiện).
x = 1
log
x
=
−
2
 3
9


Vậy tổng các nghiệm bằng

82
.
9

Câu 41: Chọn C.

Từ B1 dựng mặt phẳng song song với ( ABC ) cắt AA ' và CC ' tại A2 , C2 .
a
a2 a 5
a 5
2
2
⇒ A1 B1 = A1 A2 + A2 B1 = a +
=
, tương tự B1C1 =
, A1C1 = a 2. Vậy
2
4
2
2
tam giác A1 B1C1 cân tại B1.
Ta có A1 A2 = BB1 − AA1 =

Khi đó đường cao ứng với đỉnh B1 của tam giác A1 B1C1 là
S ∆A1B1C1 =

( ABC ) .

B1C12 −

A1C12 a 3
=
4
2

a2 6
a2 3
; S ∆ABC =
, mặt khác tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A1 B1C1 trên mặt phẳng
4
4

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A1 B1C1 ) .
Ta có cos ϕ =

S ∆ABC
2
=
⇒ ϕ = 450.
S A1B1C1
2

Câu 42: Chọn A.
3
2
3
2

2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm x + ( a + 10 ) x − x + 1 = 0 ( 1) ⇔ x + 10 x − x + 1 = −ax .

18


Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên
x 3 + ( a + 10 ) x 2 − x + 1 = 0 ( 1) ⇔

x 3 + 10 x 2 − x + 1
= a.
− x2

3
2
3
− ( x 2 + x + 2 ) ( x − 1)
x
+
10
x
−
x
+
1
−
x
−
x
+

2
Xét hàm số f ( x ) =
⇒ f '( x) =
=
− x2
x3
x3

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có một nghiệm khi a > −11 suy ra a ∈ { −10; −9;...; −1} .
Câu 43: Chọn B.
1
2
*) Xét phương trình Cn + Cn = 55

n ∈ ¥
.
Điều kiện 
n ≥ 2
Cn1 + Cn2 = 55 ⇔
⇔ n+

n!
n!
+
= 55
( n − 1) ! ( n − 2 ) !2!

n ( n − 1)
= 55
2

⇔ n 2 + n − 110 = 0
 n = −11
⇔
 n = 10
n

10

2 
2

Với điều kiện n ≥ 2 ta chỉ chọn n = 10, khi đó  x 3 + 2 ÷ =  x 3 + 2 ÷
x  
x 

10

2
2k

*) Số hạng tổng quát trong khai triền  x3 + 2 ÷ là: C10k x 3( 10− k ) . 2 k = C10k .2k .x 30−5 k .
x 
x

Số hạng không chứa x ứng với 30 − 5k = 0 ⇔ k = 6.
6 6
Số hạng cần tìm là C10 2 = 13440.

Câu 44: Chọn A.

19


2
2
2
Với a = 0 có x − x + 2 + a ln ( x − x + 1) ≥ 0 ⇔ x − x + 2 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ suy ra a = 0 thỏa mãn.

Vậy ta chỉ cần tìm các giá trị a > 0.
3
Đặt t = x 2 − x + 1, có t ≥ .
4
3
Bất phương trình đưa về tìm a > 0 để t + 1 + a ln t ≥ 0, ∀t ≥ .
4
Đặt f ( t ) = t + 1 + a ln t có f ' ( t ) = 1 +

a
3
> 0, ∀a > 0, t ≥ .
t
4

Bảng biến thiên

Có f ( t ) ≥ 0, ∀t ≥

7
3
−7

3
+ a ln ≥ 0 ⇔ a ≤
≈ 6, 08 ⇒ a ∈ ( 6;7 ] .
3
khi và chỉ khi 4
4
4 ln
4
4

Câu 45: Chọn D.
x
Xét hàm số f ( x) = a − 9 x − 1( x ∈ ¡ )
x
Ta có: f (0) = 0; f '( x ) = a ln a − 9

f ( x) = 0 = f (0) => f ( x ) là hàm số đồng biến trên [0;+∞) và nghịch biến trên
Để f ( x ) ≥ 0(∀x ∈ ¡ ) thì Min
¡
(−∞;0] suy ra f '(0) = 0 <=> a 0 ln a = 9 <=> a = e9 ≈ 8103.
3
4
Vậy a ∈ (10 ;10 ] .

Câu 46: Chọn B.
 x + y = 10 z
log( x + y ) = z
<=>  2
=> x 2 + y 2 = 10( x + y )
Ta có: 

2
2
2
z +1
z
log(
x
+
y
)
=
z
+
1
x
+
y
=
10
=
10.10


3
3
3z
2z
2
2
z 3

z 2
Khi đó: x + y = a.10 + b.10 <=> ( x + y )( x − xy + y ) = a.(10 ) + b.(10 )

<=> ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) = a.( x + y )3 + b.( x + y ) 2 <=> x 2 − xy + y 2 = a.( x + y ) 2 + b.( x + y )
b
b
<=> x 2 − xy + y 2 = a.( x 2 + 2 xy + y 2 ) + .( x 2 + y 2 ) <=> x 2 + y 2 − xy = (a + )( x 2 + y 2 ) + 2axy
10
10
20


b
1


a + = 1 a = −
=> 
2
Đồng nhất hệ số, ta được:  10
 2a = −1
b = 15
Vậy a + b =

29
.
2

Câu 47: Chọn D.

Gọi tứ diện đều là ABCD, rõ ràng nếu bán kính R của vịng thép bằng bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABD ta có thể cho mơ hình tứ diện đi qua được vịng trịn, do đó ta chỉ cần xét các vịng trịn có bán kính
khơng lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh A lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh BC và CD lần
lượt tại M và N , có thể thấy trong trường hợp này ta ln đưa được mơ hình tứ diện qua vòng thép bằng cách
cho đỉnh A đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh B hoặc D.
Do vậy để tìm vịng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CD sao
cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất.
Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác AMN cân tại A.
Đặt CM = x, ( 0 < x < 1) , ta có MN = CM = CN = x.
1
AM 2 = CM 2 + CA2 − 2CM .CA.cos 600 = x 2 + 1 − 2 x. = x 2 − x + 1 ⇒ AM = x 2 − x + 1
2
AN = AM = x 2 − x + 1.
2
2
AM 2 + AN 2 − MN 2 2 ( x − x + 1) − x
x2 − 2x + 2
·
=
=
Ta có cos MAN =
2. AM . AN
2 ( x 2 − x + 1)
2 ( x 2 − x + 1)

 x2 − 2x + 2
·
sin MAN
= 1− 

 2 ( x 2 − x + 1)


2


÷ =
÷


x 2 ( 3x 2 − 4 x + 4 )
2 ( x 2 − x + 1)

21


Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN là
RAMN =

MN
x2 − x + 1
=
·
2sin MAN
3x 2 − 4 x + 4

R chính là giá trị nhỏ nhất của RAMN trên khoảng ( 0;1) .
Xét f ( x ) =

x2 − x + 1

3x 2 − 4 x + 4

, x ∈ ( 0;1) , sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của f ( x ) là 0.4478.

Vậy giá trị nhỏ nhất mà R có thể nhận được gần với 0.448.
Câu 48: Chọn C.
Điều kiện: 2 cos 2 x + m ≥ 0
Ta có:
sin 2 x − cos 2 x + sin x + cos x − 2 cos 2 x + m − m = 0
2sin x.cos x − 2 cos 2 x + 1 + sin x + cos x − 2 cos 2 x + m − m = 0
⇔ ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 2 cos 2 x + m + 2 cos 2 x + m ( *) .
2

2
Đặt f ( t ) = t + t ; với t ≥ 0. Ta có f ' ( t ) = 2t + 1 > 0; ∀t ≥ 0

Phương trình (*) có dạng:
f ( sin x + cos x ) = f

(

2 cos 2 x + m

)

⇔ sin x + cos x = 2 cos 2 x + m
⇔ 1 + sin 2 x = 2 cos 2 x + m
⇔ sin 2 x − cos 2 x = m.
Điều kiện có nghiệm thực của phương trình này là: m 2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2.
Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực là { −1;0;1} .

Câu 49: Chọn A.
x
−1
x
Ta có: g ( x) = f (1 − ) + x => g '( x ) = . f '(1 − ) + 1; ∀x ∈ ¡
2
2
2
Xét phương trình:
1
x
x
g '( x) < 0 <=> − . f '(1 − ) + 1 < 0 <=> f '(1 − ) > 2(*)
2
2
2
Thử lần lượt từng đáp án, ta được:
22


x
x
Đáp án A: x ∈ (−4; −2) <=> 1 − ∈ (2;3) => f '(1 − ) > 2 => Đáp án A đúng
2
2
x
x
Đáp án B: x ∈ (−2;0) <=> 1 − ∈ (1; 2) => f '(1 − ) > −1 => Đáp án B sai
2
2

x
x
Đáp án C: x ∈ (0; 2) <=> 1 − ∈ (0;1) => f '(1 − ) > −1 => Đáp án C sai
2
2
x
x
Đáp án D: x ∈ (2; 4) <=> 1 − ∈ (−1;0) => f '(1 − ) > 1 => Đáp án D sai
2
2
Câu 50: Chọn D.

Gọi D là trung điểm của đoạn AB, kẻ OI ⊥ SD, dễ dàng chứng minh được OI ⊥ ( SAB ) .
Suy ra I là tâm đường tròn ( C ) giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng ( SAB ) . Gọi M , N lần lượt là
giao điểm của đường tròn ( C ) với SB, SA; K là trung điểm của MB.

a 3
Giả sử AB = a, theo giả thiết ta suy ra OC = 1 ⇔
= 1 ⇔ a = 3.
2
OD 2 1
4
3
1
SO.OD
2
Ta có SD = CD = , OD = , SO = SC 2 − OC 2 = 2, OI =
= , SI = .
=
, ID =

SD 6
3
2
2
SD
3
7
Gọi r là bán kính đường trịn ( C ) , khi đó r = 1 − OI 2 =
.
3
Ta có tam giác SIK vng tại K và góc ∠ISK = 300 suy ra IK =
Xét tam giác MIK có cos I =

IK
2
=
⇒ I ≈ 280 ⇒ ∠MIN ≈ 640
IM
7

23

1
2
IS =
2
3


Khi đó chiều dài cung MN bằng

bên của hình chóp là l =

64 7 16 7
.
=
. Vậy tổng độ dài l , các giao tuyến của mặt cầu với các mặt
180 3
135

16 7
≈ 0,94.
45

24