Nghiên cứu dao động của kết cấu vỏ composite đối xứng trục bằng phương pháp phần tử liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
------------------------

Lê Thị Bích Nam

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU VỎ COMPOSITE ĐỐI
XỨNG TRỤC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ LIÊN TỤC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

HÀ NỘI – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
------------------------------------

Lê Thị Bích Nam

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU VỎ COMPOSITE
ĐỐI XỨNG TRỤC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ LIÊN TỤC

Ngành: Cơ học
Mã số: 9440109

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS.TS. NGUYỄN MẠNH CƯỜNG
2. GS.TS. TRẦN ÍCH THỊNH

HÀ NỘI - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận án là
trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS.TS. NGUYỄN MẠNH CƯỜNG

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2018

Người cam đoan

2. GS.TS. TRẦN ÍCH THỊNH
Lê Thị Bích Nam


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Mạnh Cường
và GS.TS. Trần Ích Thịnh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận án.
Tác giả chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô và lãnh đạo bộ môn Cơ học vật liệu và kết cấu,
Viện Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà nội đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và hướng dẫn

trong suốt thời gian tác giả nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các lãnh đạo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, lãnh đạo
Viện Cơ khí đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi về thời gian, vật chất, tinh thần để tác giả hoàn
thành nghiên cứu.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các giảng viên trong nhóm seminar “Cơ học vật rắn biến
dạng” – Đại học Bách khoa Hà nội, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Công nghệ, Đại học
Xây dựng, Đại học Kiến trúc, Học viện Hậu cần, Học viện Kỹ thuật Quân sự, Đại học thủy lợi,
Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái ngun, Đại học Cơng nghiệp Việt trì…đã đóng góp nhiều ý
kiến quý báu và có giá trị cho nội dung đề tài luận án.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình, bạn bè,
đồng nghiệp đã thơng cảm, tạo điều kiện và chia sẻ những khó khăn trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu luận án.

NCS. Lê Thị Bích Nam


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN .............................................................................................. 5
1.1

Tình hình nghiên cứu trên thế giới ........................................................................ 5

1.1.1

Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục...... 5

1.1.1.1 Sự phát triển của lý thuyết vỏ được sử dụng để nghiên cứu dao động của
kết cấu vỏ composite ............................................................................................. 5
1.1.1.2 Các nghiên cứu về vỏ composite đối xứng trục có gân gia cường dạng
vành

................................................................................................................ 6
1.1.1.3 Các nghiên cứu về dao động tự do của kết cấu vỏ composite liên hợp và
dạng bậc ................................................................................................................ 8
1.1.2
Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục được
bao quanh bởi nền đàn hồi ........................................................................................... 8
1.1.3
Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục chuyển
động quay ................................................................................................................... 10
1.2
1.3

Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam .................................................................... 11
Tổng quan về phương pháp Phần tử liên tục (PTLT) ......................................... 12

1.3.1

Lịch sử phương pháp PTLT ......................................................................... 12

1.3.2
Áp dụng phương pháp PTLT nghiên cứu dao động tự do của kết cấu vỏ
composite đối xứng trục. ............................................................................................ 14
1.3.3

Các phương pháp khác tính tần số dao động ............................................... 18

CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ COMPOSITE ĐỐI
XỨNG TRỤC PHỨC TẠP DẠNG BẬC, CÓ GÂN GIA CƯỜNG VÀ VỎ GHÉP NỐI TRỤVÀNH- NÓN ................................................................................................................... 19
2.1
trục

Cơ sở lý thuyết nghiên cứu dao động của các kết cấu vỏ composite đối xứng
............................................................................................................................. 19

2.1.1

Liên hệ giữa nội lực và chuyển vị ................................................................ 19

2.1.1.1 Liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị ................................................... 19
2.1.1.2 Mối liên hệ giữa nội lực và biến dạng. ................................................. 21
2.1.1.3 Mối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị .................................................. 22
2.1.2

Phương trình chuyển động của vỏ composite đối xứng trục tổng quát ....... 23

2.1.3

Điều kiện biên, điều kiện liên tục ................................................................ 25

2.2

Vỏ composite lớp dạng bậc ................................................................................. 26

2.2.1

Vành composite lớp dạng bậc ...................................................................... 26

2.2.1.1 Mơ hình vành composite lớp dạng bậc ................................................ 26
2.2.1.2 Ma trận độ cứng của một phần tử vành composite lớp có chiều dày không
đổi

.............................................................................................................. 26
i


2.2.1.3 Xây dựng ma trận độ cứng động lực và vẽ đường cong đáp ứng cho vành
composite dạng bậc ............................................................................................. 31
2.2.1.4 Kết quả số và nhận xét ......................................................................... 34
2.2.2

Vỏ nón composite lớp dạng bậc ................................................................... 37

2.2.2.1 Mơ hình của vỏ nón composite lớp dạng bậc....................................... 37
2.2.2.2 Xây dựng ma trận độ cứng động lực cho một phần tử vỏ nón
composite ............................................................................................................ 38
2.2.2.3 Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón composite dạng bậc . 39
2.2.2.4 Kết quả số và nhận xét ......................................................................... 40
2.3

Vỏ composite ghép nối trụ-vành-nón. ................................................................ 44

2.3.1

Mơ hình vỏ ghép nối trụ-vành-nón. ............................................................. 44

2.3.2

Ghép nối ma trận độ cứng động lực ............................................................. 45

2.3.3

Kết quả số và nhận xét ................................................................................. 47

2.3.3.1 Phân tích độ chính xác của mơ hình nghiên cứu .................................. 47
2.3.3.2 Phân tích tần số .................................................................................... 48
2.3.3.3 Đường cong đáp ứng ............................................................................ 49
2.4

Vỏ trụ composite có gân gia cường dạng vành ................................................... 50

2.4.1

Mơ hình vỏ trụ có gân gia cường dạng vành ............................................... 50

2.4.2
vành

Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ trụ có gân gia cường dạng
...................................................................................................................... 50

2.4.3

Kết quả số và nhận xét ................................................................................. 52

2.4.3.1 Tần số dao động của vỏ trụ composite có gân gia cường bằng nhơm . 52
2.4.3.2 Tần số dao động của vỏ trụ có gân gia cường dạng vành cùng bằng vật
liệu composite ..................................................................................................... 55
2.4.3.3 Đường cong đáp ứng tần số của vỏ trụ có gân gia cường dạng vành bằng
composite ............................................................................................................ 56
2.5

Kết luận chương 2 ............................................................................................... 57

CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ COMPOSITE
LIÊN HỢP VÀ DẠNG BẬC ĐƯỢC BAO QUANH BỞI NỀN ĐÀN HỒI THUẦN NHẤT
VÀ KHÔNG THUẦN NHẤT ............................................................................................. 59
3.1
Các phương trình tính cho vỏ composite đối xứng trục được bao quanh bởi nền
đàn hồi Winkler-Pasternak.............................................................................................. 59
3.1.1

Mơ hình nền đàn hồi Winkler-Pasternak ..................................................... 59

3.1.2
Phương trình chuyển động của vỏ composite đối xứng trục xét đến ảnh hưởng
của nền đàn hồi Pasternak. ......................................................................................... 60

ii


3.2
Vành dạng bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi thuần nhất và không thuần nhất
một hệ số Winkler ........................................................................................................... 62
3.2.1
Mơ hình vành dạng bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi không thuần nhất
một hệ số Winkler ...................................................................................................... 62
3.2.2
Ma trận độ cứng động lực cho phần tử vành được bao quanh bởi nền đàn hồi
một hệ số Winkler ...................................................................................................... 62
3.2.3
Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vành dạng bậc được bao quanh bởi

nền đàn hồi một hệ số thuần nhất và không thuần nhất ............................................. 63
3.2.4

Kết quả số và nhận xét ................................................................................. 64

3.2.4.1 Phân tích tần số dao động của vành bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi
thuần nhất một hệ số Winkler ............................................................................. 64
3.2.4.2 Phân tích tần số dao động của vành có ba bậc được bao quanh bởi nền
đàn hồi không thuần nhất một hệ số Winkler ..................................................... 65
3.3
nhất

Vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số không thuần
............................................................................................................................. 68

3.3.1

Mơ hình vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số ... 68

3.3.2
Ma trận độ cứng động lực cho các phần tử vỏ nón và phần tử vỏ trụ được bao
quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số Pasternak. ............................................................... 69
3.3.3
Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ kết hợp trụ-nón được bao quanh
bởi nền đàn hồi hai hệ số ............................................................................................ 71
3.3.4

Kết quả số và nhận xét ................................................................................. 72

3.3.4.1 Phân tích ảnh hưởng của các tham số lên tần số dao động tự do. ........ 72

3.3.4.2 Đường cong đáp ứng ............................................................................ 74
3.3.4.3 Khảo sát tần số dao động tự do của vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh
bởi nền đàn hồi khơng thuần nhất hai hệ số. ....................................................... 75
3.4
Vỏ trụ composite dạng bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số
Pasternak ......................................................................................................................... 76
3.4.1
Mơ hình vỏ trụ composite dạng bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ
số Pasternak ................................................................................................................ 76
3.4.2
Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ trụ composite lớp dạng bậc được
bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak ......................................................................... 76
3.4.3

Kết quả số và nhận xét ................................................................................. 77

3.4.3.1 Kiểm nghiệm tính chính xác của mơ hình phần tử liên tục cho vỏ trụ
composite lớp dạng bậc....................................................................................... 77
3.4.3.2 Đường cong đáp ứng tần số ................................................................. 79
3.4.3.3 Ảnh hưởng của các tham số ................................................................. 80
3.4.4

Kết luận chương 3 ........................................................................................ 85
iii


CHƯƠNG 4. NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA CÁC KẾT CẤU VỎ COMPOSITE ĐỐI
XỨNG TRỤC CHUYỂN ĐỘNG QUAY ........................................................................... 87
4.1
Xây dựng ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón cụt và vỏ trụ composite chuyển

động quay ........................................................................................................................ 87
4.1.1

Mơ hình vỏ nón cụt chuyển động quay........................................................ 87

4.1.2

Phương trình chuyển động của vỏ nón cụt composite chuyển động quay ... 88

4.1.3
Xây dựng ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón cụt và vỏ trụ composite
chuyển động quay ...................................................................................................... 88
4.1.3.1 Ma trận độ cứng động lực của vỏ nón cụt composite chuyển động quay
K(ω)nónq .............................................................................................................. 88
4.1.3.2 Ma trận độ cứng động lực cho vỏ trụ composite chuyển động quay
K(ω)mtrụq ............................................................................................................. 90
4.2

Kết quả số và nhận xét ........................................................................................ 90

4.2.1

Nghiên cứu dao động của vỏ trụ composite chuyển động quay .................. 90

4.2.1.1 Tần số dao động tự do của vỏ trụ composite chuyển động quay ......... 90
4.2.1.2 Ảnh hưởng của các tham số lên tần số dao động của vỏ...................... 93
4.2.2

Nghiên cứu dao động của vỏ nón composite chuyển động quay ................. 94

4.2.2.1 Phân tích dao động ............................................................................... 95
4.2.2.2 Ảnh hưởng của các tham số khác nhau lên tần số dao động của vỏ
nón
.............................................................................................................. 95
4.3

Kết luận chương 4 ............................................................................................. 101

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………………………102
TÀI LIỆU THAM KHẢO…… ……………………………………………………...104
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN………………..112

iv


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
A:

Ma trận độ cứng màng

B:

Ma trận độ cứng tương tác màng–uốn-xoắn

C:

Ma trận độ cứng trong quan hệ ứng suất–biến dạng của vật
liệu dị hướng

D:

Ma trận độ cứng uốn

ij:

Hệ số poisson của vật liệu theo phương ij

Qij:

Ma trận độ cứng thu gọn

Ei:

Mô đun đàn hồi kéo, nén theo phương i (N/m2)

Gij:

Mô đun đàn hồi trượt (N/m2)

(s,z,θ):

Hệ tọa độ trụ

(x,y,z):

Hệ tọa độ đề các

zk, zk-1:

Tọa độ biên của lớp thứ k (m)

u, v, w:

Các thành phần chuyển vị theo các phương s,y,z (m)

u0, v0, w0;

Các thành phần chuyển vị tại mặt trung bình của vỏ (m)

s, :

Các thành phần góc xoay quanh trục θ và trục s (rad)

s, , s:

Các thành phần biến dạng màng của vỏ trong hệ tọa độ trụ

ks, k, ks:

Các thành phần biến dạng uốn và xoắn của vỏ trong hệ tọa
độ trụ

sz, z:

Các thành phần biến dạng cắt của vỏ trong hệ tọa độ trụ

Ns, N, Ns:

Các thành phần lực màng của vỏ (N/m)

Ms, M, Ms:

Các thành phần mô men uốn và xoắn của vỏ (Nm/m)

Qs, Q:

Các thành phần lực cắt của vỏ (N/m)

(k):

Khối lượng riêng của lớp thứ k (kg/m3)

k:

Hệ số hiệu chỉnh cắt

h:

Chiều dày vỏ (m)

hk:

Chiều dày lớp vật liệu thứ k (m)

hi:

Chiều dày đoạn vỏ thứ i (m)

K():

Ma trận độ cứng động lực

T():

Ma trận truyền

U:

Véc tơ chuyển vị

F:

Véc tơ lực
v


C:

Biên ngàm

S:

Biên tựa

F:

Biên tự do

L:

Chiều dài đường sinh vỏ trụ, vỏ nón hoặc bề rộng vành (m)

R:

Bán kính vỏ trụ (m)

Ri:

Bán kính của vỏ nón (m)

α:

Góc nón (rad)

:

Tốc độ quay của vỏ (rad/s)

:

Tần số dao động tự do (rad/s)

kw:

Hệ số đàn hồi Winkler của nền đàn hồi (N/m3)

kp :

Hệ số trượt của nền đàn hồi Pasternak (N/m)

PTLT:

Phần tử liên tục

PTHH:

Phần tử hữu hạn

vi


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1.1 Vỏ tàu ngầm bằng composite ............................................................................. 7
Hình 1.2 Các bộ phận của vỏ máy bay được làm từ vật liệu composite ........................... 7
Hình 1.3 Vỏ tên lửa làm từ vật liệu composite .................................................................. 7
Hình 1.4 Đường ống composite dẫn nước được bao quanh bởi nền đàn hồi .................... 9
Hình 1.5 Bể chứa nước composite một phần nằm trong nền đàn hồi................................ 9
Hình 1.6 Bể chứa chất lỏng một phần nằm trong nền đàn hồi ........................................ 10
Hình 1.7 Khớp nối làm bằng vật liệu composite ............................................................. 11
Hình 1.8 Vỏ tên lửa làm từ vật liệu composite Thuỷ tinh/Epoxy.................................... 11
Hình 1.9 Ghép nối ma trận độ cứng của phần tử ............................................................. 17
Hình 1.10 Xác định các tần số dao động từ đường cong đáp ứng ..................................... 17
Hình 2.1 Mơ hình vỏ nón composite ............................................................................... 20
Hình 2.2 Cấu trúc lớp vật liệu của một vỏ composite lớp tổng quát[22] ........................ 21
Hình 2.3 Hệ tọa độ khi ghép nối hai vỏ nón có góc nón khác nhau ................................ 25
Hình 2.4 Các nội lực và mơ men tại vị trí ghép nối hai vỏ nón ....................................... 25
Hình 2.5 Mơ hình của một vành composite có ba bậc..................................................... 26
Hình 2.6 Mơ hình của vành composite lớp có bề dày khơng thay đổi ............................ 27
Hình 2.7 Mơ hình phân chia các phần tử của vành composite có ba bậc ........................ 31
Hình 2.8 Sơ đồ lắp ghép ma trận độ cứng động lực cho vành composite có ba bậc. ...... 32

Hình 2.9 Đường cong đáp ứng của vành composite có 3 bậc, điều biên Ngàm-Ngàm tính
bằng PTHH và PTLT ........................................................................................................... 36
Hình 2.10 Đường cong đáp ứng của vành composite có 3 bậc, điều biên Tự do-Ngàm tính
bằng PTHH và PTLT ........................................................................................................... 36
Hình 2.11 Mơ hình hình học của vỏ nón bậc . ................................................................... 37
Hình 2.12 Mơ hình phân chia các phần tử của vỏ nón bậc . ............................................. 39
Hình 2.13 Sơ đồ ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ nón bậc ............................... 39
Hình 2.14 Tần số dao động tại các mode khác nhau khi tỷ lệ độ dày vỏ là 1:2:3:4 ......... 42
Hình 2.15 Tần số dao động tại các mode khác nhau khi tỷ lệ độ dày vỏ là 4:3:2:1 ......... 43
Hình 2.16 Ảnh hưởng của cấu trúc bậc lên tần số dao động của vỏ nón composite tại n=1,
m=1,2,3,4,5,6. ...................................................................................................................... 43
Hình 2.17 Ảnh hưởng của điều kiên biên lên tần số dao động của vỏ nón bậc tại mode đầu
tiên theo chiều dài (n=1) ...................................................................................................... 44
Hình 2.18 Mơ hình hình học của vỏ ghép nối trụ-vành-nón ............................................. 45
Hình 2.19 Mơ hình chia phần tử cho vỏ ghép nối trụ-vành-nón ....................................... 45
Hình 2.20 Sơ đồ ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ kết hợp trụ-vành-nón ......... 46
Hình 2.21 So sánh đường cong đáp ứng tần số được tính bằng PTLT và PTHH cho vỏ ghép
nối trụ-vành-nón biên ngàm-ngàm (a) và biên tự do-ngàm (b) ........................................... 49
Hình 2.22 Mơ hình vỏ trụ có gân gia cường dạng vành bên ngồi ................................... 50
Hình 2.23 Mơ hình chia phần tử cho vỏ trụ có gân gia cường dạng vành bên ngồi ........ 51
Hình 2.24 Sơ đồ ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ trụ composite có gân gia cường
dạng vành 51
vii


Hình 2.25 Một số hình ảnh của dạng dao động của kết cấu trụ có gân gia cường [97] .... 54
Hình 2.26 So sánh đường cong đáp ứng của vỏ trụ có gân gia cường dạng vành cùng bằng
vật liệu composite biên Tự do-Tự do được tính bằng PTLT và PTHH ............................... 57
Hình 2.27 So sánh đường cong đáp ứng của vỏ trụ có gân gia cường dạng vành cùng bằng
vật liệu composite biên Ngàm-Tự do được tính bằng PTLT và PTHH .............................. 57

Hình 3.1 Mơ hình nền đàn hồi Winkler[89-1954] .......................................................... 60
Hình 3.2 Mơ hình nền đàn hồi Pasternak [89-1954] ....................................................... 60
Hình 3.3 Mơ hình vỏ nón được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak............................ 60
Hình 3.4 Mơ hình vành composite dạng bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi khơng thuần
nhất một hệ số ...................................................................................................................... 62
Hình 3.5 Mơ hình vành được bao quanh bởi nền đàn hồi một hệ số Winkler ................. 62
Hình 3.6 Sơ đồ lắp ghép ma trận độ cứng động lực cho vành composite ba bậc được bao
quanh bởi nền đàn hồi không thuần nhất. ............................................................................ 64
Hình 3.7 Đường cong đáp ứng tần số tính bằng PTLT và PTHH cho vành composite ba
bậc, biên Ngàm-Ngàm (Nền 1)............................................................................................ 67
Hình 3.8 Đường cong đáp ứng tần số tính bằng PTLT và PTHH cho vành composite ba
bậc, biên Tự do-Ngàm (Nền 2) ............................................................................................ 67
Hình 3.9 Mơ hình vỏ ghép nối trụ - nón được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak ..... 69
Hình 3.10 Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ composite trụ-nón được bao quanh
bởi nền đàn hồi hai hệ số. .................................................................................................... 71
Hình 3.11 So sánh đường cong đáp ứng của vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền
đàn hồi hai hệ số được tính bằng PTLT khi m=10 và m=3 ............................................... 74
Hình 3.12 So sánh đường cong đáp ứng của vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền
đàn hồi hai hệ số được tính bằng phương pháp PTLT khi m=10 và m=15 ......................... 74
Hình 3.13 Mơ hình trụ composite lớp dạng bậc bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak .... 76
Hình 3.14 Mơ hình một phần tử vỏ trụ composite được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak
bề dày h=hằng số. ................................................................................................................ 76
Hình 3.15 Ghép nối ma trận độ cứng động lực cho vỏ trụ bậc được bao quanh bởi nền đàn
hồi hai hệ số. ........................................................................................................................ 77
Hình 3.16 Đường cong đáp ứng tần số của vỏ trụ composite lớp trực hướng biên Tự do-Tự
do được bao quanh bởi nền đàn hồi một hệ số Winkler ...................................................... 79
Hình 3.17 Đường cong đáp ứng tần số của vỏ trụ composite lớp trực hướng biên Ngàm-Tự
do được bao quanh bởi nền đàn hồi một hệ số Winkler ...................................................... 79
Hình 3.18 Ảnh hưởng của cấu trúc bậc của vỏ lên tần số dao động tự do của vỏ tại n=1. 80
Hình 3.19 Ảnh hưởng của tỷ lệ h/R lên tần số dao động tự do của vỏ trụ composite bậc

biên Tự do-Ngàm................................................................................................................. 81
Hình 3.20 Ảnh hưởng của hệ số đàn hồi Winkler của nền lên tần số dao động của vỏ trụ
composite dạng bậc biên Tự do-Ngàm ................................................................................ 82
Hình 3.21 Ảnh hưởng của hệ số đàn hồi trượt của nền lên tần số dao động tự do của vỏ trụ
composite dạng bậc biên Tự do-Ngàm khi vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak 82
Hình 3.22 Ảnh hưởng đồng thời của hệ số đàn hồi Winkler và hệ số trượt của nền lên dao
động tự do của vỏ ................................................................................................................ 84
Hình 4.1 Mơ hình hình học của kết cấu vỏ nón quay ...................................................... 86
Hình 4.2 Mơ hình vỏ trụ composite chuyển động quay. ................................................. 89
viii


Hình 4.3

Tần số dao động khơng thứ ngun  '  R  / E 2 của vỏ trụ composite lớp
chuyển động quay (h/R=0.1, L/R=10, vật liệu 1) (m = n =1) ........................ 92

Ảnh hưởng của tỷ lệ h/R lên tần số dao động không thứ nguyên  '  R  / E 2
của vỏ trụ composite lớp biên Tựa-Tựa chuyển động quay (L/R = 10,  = 200
rad/s, Material 1) (m = 1) .................................................................................. 93
Hình 4.5 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau .. cho
vỏ nón composite quay ngàm-ngàm (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu . hình
o
o
o o
lớp [0 /90 /90 /0 ], Vật liệu 2) với =15o ........................................................................... 95
Hình 4.6 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau .. cho
vỏ nón composite quay, điều kiện biên Tựa-Tựa (h=0.0254m, R2=20h, L=10h,
cấu hình lớp [0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =15o.......................................... 96
Hình 4.7 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau cho

vỏ nón composite quay Ngàm-Ngàm (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình
lớp [0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =30o ........................................................ 96
Hình 4.8 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau cho
vỏ nón composite quay Tựa-Tựa (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình lớp
[0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =30o .............................................................. 97
Hình 4.9 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau cho
vỏ nón composite quay ngàm-ngàm (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình lớp
[0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =45o .............................................................. 97
Hình 4.10 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau cho
vỏ nón composite quay Tựa-Tựa (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình lớp
[0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =45o .............................................................. 98
Hình 4.11 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau cho
vỏ nón composite quay ngàm-ngàm (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình lớp
[0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =60o .............................................................. 98
Hình 4.12 Biến thiên của 6 tần số dao động đầu tiên với các vận tốc quay khác nhau cho
vỏ nón composite quay tựa-tựa (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình lớp
[0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =60o .............................................................. 99
Hình 4.13 Ảnh hưởng của vận tốc quay N đến dao động của vỏ nón composite quay
ngàm-ngàm (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, cấu hình lớp [0o/90o/90o/0o], Vật
liệu 2) với =30o............................................................................................... 99
Hình 4.14 Biến thiên của tần số dao động theo tỉ lệ h/R cho vỏ nón dày composite . ngàmngàm quay (R2=0.528m, L=0.254m, cấu hình lớp [0o/90o/90o/0o], =30o,Vật
liệu 2)(m=1) .................................................................................................... 100
Hình 4.15 Biến thiên của tần số dao động theo số lớp cho vỏ nón dày composite NgàmNgàm quay (h=0.0254m, R2=20h, L=10h, =30o,Vật liệu 2) (m = 1) ........... 100
Hình 4.4

ix


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1

Bảng 2.2
Bảng 2.3
Bảng 2.4
Bảng 2.5
Bảng 2.6

Bảng 2.7

Bảng 2.8

Bảng 2.9
Bảng 2.10
Bảng 2.11

Bảng 2.12

Bảng 2.13

Bảng 2.14
Bảng 2.15
Bảng 3.1

Bảng 3.2

Bảng 3.3

So sánh tần số dao động của vành composite có 3 bậc điều kiện biên Tự doNgàm tính bằng PTLT và PTHH ...................................................................... 34
So sánh tần số dao động của vành composite có 3 bậc điều kiện biên NgàmNgàm tính bằng PTLT và PTHH ...................................................................... 35
So sánh tần số dao động của vành composite có 3 bậc điều kiện biên Ngàm-.Tự
do tính bằng PTLT và PTHH ........................................................................... 35

So sánh thời gian xây dựng đường cong đáp ứng............................................. 37
So sánh tần số không thứ nguyên   R4  1   2  / E được tính bởi các
phương pháp khác nhau cho vỏ nón kim loại dạng bậc biên Tự do-Ngàm ...... 40
So sánh tần số dao động tự do được tính bởi PTHH và PTLT cho vỏ nón
composite bậc điều kiện biên khác nhau (R1 = 0.5 m, R4=1m, α = 180, .. L1:L2:
L3:L4 = 1:1:1:1, h1:h2:h3:h4 = 1:2:3:4, h4 = 0.04 m) ..................................... 41
So sánh tần số dao động tự do được tính bằng PTHH và PTLT của vỏ nón
composite dạng bậc với điều kiện biên khác nhau (R1 = 0.5 m, R4=1m, α = 18o,
L1:L2: L3:L4 = 1:1:1:1, h1:h2:h3:h4 = 4:3:2:1, h4 = 0.01 m) ............................... 42
So sánh tần số dao động không thứ nguyên   R h / D cho vỏ ghép nối
nón-vành với cấu trúc lớp [90o/0o]s , và R1 = 200mm, h1 = h2 = 2 mm, R2 =
180mm, α1 = -11.77o ......................................................................................... 47
Tần số dao động của vỏ composite kết hợp trụ-vành-nón với điều kiện biên khác
nhau (h = 0.002m, R1 = 0.1m, R2 = 0.18m, R3 = 0.2 m, L1 = L2 cos = 0.1 m) 48
Các thông số hình học và vật liệu của vỏ và gân .............................................. 52
Ảnh hưởng của chiều sâu gân br khi bề rộng gân (cr = 0.03m)lên tần số dao
động (rad/s) của vỏ trụ composite lớp có gân gia cường dạng vành( [90/0/90]s,
L1 = L2 = 2.5 m, R = 0.3m, h = 0.03m) ............................................................ 53
Ảnh hưởng của bề rộng gân, khi br=0.03m lên tần số dao động (rad/s) của vỏ trụ
composite lớp có gân gia cường ([90/0/90]s, L1 = L2 = 2.5 m, R = 0.3m, h =
0.03m) ............................................................................................................... 53
Ảnh hưởng của cấu trúc xếp lớp lên tần số dao động tự do của vỏ trụ composite
có gân gia cường dạng vành (L1 = L2 = 2.5 m, a = 0.3m, h = 0.03m) và (b =
0.03m, cr = 0.06m) ............................................................................................ 54
Thông số của vỏ trụ có gân gia cường dạng vành ............................................ 55
So sánh tần số dao động tự do của vỏ trụ composite có gân gia cường dạng vành
điều kiện biên Tự do-Tự do và Ngàm-Ngàm, cấu trúc lớp vật liệu [90/0]s. ..... 56
So sánh tần số dao động tự do của vành composite ba bậc được bao quanh bởi
nền đàn hồi thuần nhất tính bằng PTHH và PTLT (R1=0.1m, R2=0.3m,
R3=0.45m, R4=0.6m, h1=0.002m, h2=0.004m, h3=0.003m, Vật liệu 1, thứ tự

xếp lớp [90/0/90/0]) .......................................................................................... 64
So sánh tần số dao động tự do được tính bởi PTLT và PTHH cho vành composite
dạng bậc biên Ngàm-Ngàm được bao quanh bởi nền đàn hồi không thuần nhất
(kw1=0, kw2=2x106 N/m3, kw3= 0 ) .............................................................. 66
So sánh tần số dao động tự do được tính bởi PTLT và PTHH cho vành composite
dạng bậc biên Tự do-Ngàm được bao quanh bởi nền đàn hồi không thuần nhất
(kw1=0, kw2=15x104 N/m3, kw3= 2x106 N/m3) ........................................... 66
4

2

11

x


So sánh thời gian xây dựng đường cong đáp ứng của vành bậc trong các trường
hợp khác nhau. .................................................................................................. 68
Bảng 3.5 Thơng số vật liệu của vỏ trụ-nón trong các trường hợp được nghiên cứu........ 72
Bảng 3.6 Tần số dao động tự do của vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền đàn hồi
trong các điều kiện biên khác nhau (Trường hợp 1, kw=2.106N/m3, kp=106N/m)
.......................................................................................................................... 72
Bảng 3.7 Tần số dao động tự do của vỏ ghép nối trụ-nón trong các trường hợp khác nhau
của nền đàn hồi (Trường hợp 1, Ngàm-Tự do)................................................. 73
Bảng 3.8 So sánh tần số dao động tự do của vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền
đàn hồi thuần nhất và không thuần nhất (Tự do-Ngàm, Trường hợp 1) .......... 75
Bảng 3.9 Tần số dao động của vỏ trụ đẳng hướng được bao quanh bởi nền đàn hồi với ..
biên Tựa-Tựa và các thông số của vỏ như sau: h/R=0.002, R=1 m, m=1, L=6.27
m, E=200 GPa, =0.32, =7916 kg/m3 ........................................................... 78
Bảng 3.10 Tần số dao động của vỏ trụ đẳng hướng có hai bậc được tính bằng PTLT và bởi

Qu với biên Ngàm-Tự do (h1/R=0.01, R=1 m, h2/h1=0.5, L1/L=0.5, n=1, E=210
GPa, =7916 kg/m3, υ=0.3) ............................................................................. 78
Bảng 3.4

Bảng 4.1

Bảng 4.2

Bảng 4.3

Bảng 4.4
Bảng 4.5
Bảng 4.6

Bảng 4.7

 '  R  / E

2 của vỏ trụ composite
So sánh tần số dao động không thứ nguyên
biên Tựa-Tựa chuyển động quay với các tốc độ khác nhau (h/R=0.002, L/R=1,
Vật liệu 3)……………………………………………………………………. 91

So sánh tần số dao động không thứ nguyên  '  R  / E 2 của vỏ trụ composite
biên Tựa-Tựa chuyển động quay với các tốc độ khác nhau (h/R=0.002, L/R=5,
Vật liệu 3)…………………………………………………………………… 91
Kết quả so sánh các tần số không thứ nguyên tiến và lùi cho vỏ nón đẳng hướng
quay chịu điều kiện biên Tựa – Tựa (ν=0.3, α=30o, h/R1=0.01, L/R1=6,
m=1)……………………………………………………………………
94

Sáu tần số dao động đầu tiên của vỏ nón composite quay (h=0.0254m, R2=20h,
L=10h, cấu hình lớp [0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =15o…………………..95
Sáu tần số dao động đầu tiên của vỏ nón composite quay (h=0.0254, R2=20h,
L=10h, cấu hình lớp [0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2) với =30o………………… 96
Sáu tần số dao động đầu tiên của vỏ nón composite quay (h=0.0254, R2=20h,
L=10h,
cấu
hình
lớp
[0o/90o/90o/0o],
Vật
liệu
2)
với
o
=45 ……………………………………………………………………..
97
Sáu tần số dao động đầu tiên của vỏ nón composite quay (h=0.0254, R2=20h,
L=10h, cấu hình lớp [0o/90o/90o/0o], Vật liệu 2)
với
o
=60 ………………….................................................................................. 98

xi


MỞ ĐẦU
So với các loại vật liệu truyền thống thì vật liệu composite có nhiều ưu điểm nổi bật như:
tỷ trọng nhỏ, độ bền riêng cao, mô đun đàn hồi riêng cao, chống mài mịn tốt, chịu mỏi tốt,
ít bị ăn mịn do mơi trường, giảm tiếng ồn khi làm việc…Vì vậy, vật liệu composite ngày

càng được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau trên thế giới và trong nước,
dần thay thế các vật liệu truyền thống như thép, gỗ...
Các kết cấu vỏ composite đối xứng trục như kết cấu dạng bậc (vành dạng bậc, trụ bậc,
nón bậc), vỏ có gân gia cường, vỏ ghép nối trụ-vành-nón là các kết cấu được ứng dụng rộng
rãi trong các lĩnh vực kỹ thuật hiện đại như kỹ thuật hàng không, chế tạo tên lửa, kỹ thuật
dân dụng (bồn chứa, vách ngăn…), dầu khí và hóa dầu (bình chứa, đường ống…), hàng hải
(cơng nghiệp đóng tàu, giàn khoan, tàu ngầm…). Trong một số trường hợp các kết cấu này
được đặt được bao quanh bởi nền đàn hồi (đất, sỏi) và sự tương tác giữa nền và vỏ làm ảnh
hưởng đến tần số dao động tự do cũng như độ bền của kết cấu. Ngồi ra, cịn có các kết cấu
vỏ composite đối xứng trục chuyển động quay (trụ quay, nón quay) được sử dụng trong cơng
nghiệp (rotor của động cơ tốc độ cao, bánh đà, các đĩa quay…). Khi quay các ứng xử động
lực học của vỏ sẽ thay đổi. Vì vậy, việc nghiên cứu dao động tự do của kết cấu vỏ composite
đối xứng trục trong các trường hợp khác nhau (kết cấu vỏ phức tạp, vỏ được bao quanh bởi
nền đàn hồi, vỏ quay) để tránh cộng hưởng, giảm rung động, tiếng ồn và đảm bảo độ bền
của kết cấu trong quá trình làm việc là rất cần thiết và quan trọng, đó là hướng đề tài mà tác
giả nghiên cứu và lựa chọn.
Bài toán nghiên cứu dao động tự do của kết cấu vỏ đối xứng trục đối với vật liệu kim
loại đã được nghiên cứu đầy đủ với các lý thuyết vỏ khác nhau và phương pháp tính khác
nhau như phương pháp giải tích, phương pháp số, phương pháp thực nghiệm. Tuy nhiên, đối
với các kết cấu vỏ composite lớp đối xứng trục với các đặc trưng riêng của vật liệu composite
(tính dị hướng) thì việc sử dụng các lý thuyết vỏ cổ điển để nghiên cứu dao động của vỏ
khơng cịn đảm bảo độ chính xác. Đối với phương pháp số (như phần tử hữu hạn, phần tử
biên) việc chia lưới bắt buộc sẽ bị giới hạn bởi thời gian tính tốn, dung lượng bộ nhớ máy
tính khi nghiên cứu các kết cấu vỏ phức tạp (liên hợp, dạng bậc, có gân,…) làm việc trong
vùng tần số cao. Do đó việc nghiên cứu lựa chọn một lý thuyết phù hợp với phương pháp
tính có độ tin cậy cao hơn cho các kết cấu composite đối xứng trục là quan trọng và cần thiết.
Trong luận án này tác giả phát triển phương pháp Phần tử liên tục dựa trên lý thuyết vỏ
dày của Reissner-Mindlin để nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối
xứng trục lớp trực hướng có kết câu phức tạp (dạng bậc, có gân gia cường, vỏ ghép nối trụvành-nón, được bao quanh bởi nền đàn hồi, chuyển động quay). Đây cũng là các kết cấu vỏ
còn chưa được nghiên cứu đầy đủ hoặc có ít nghiên cứu được công bố. Phương pháp Phần

tử liên tục hay còn gọi là phương pháp Ma trận độ cứng động lực là một phương pháp bán
giải tích với nhiều ưu điểm (độ chính xác cao cả với kết cấu phức tạp với tất cả các miền tần
số, tiết kiệm thời gian tính tốn, khơng gian lưu trữ của máy tính, tính tốn linh hoạt). Và
với kết quả thu được tác giả mong muốn được ứng dụng nghiên cứu để khảo sát các kết cấu
vỏ composite đối xứng trục đã và sẽ được sử dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau ở
Việt Nam.
Xuất phát từ thực tế ứng dụng của kết cấu vỏ composite đối xứng trục và từ phân tích
các kết quả nghiên cứu hiện có về lĩnh vực dao động của vỏ đối xứng trục, luận án đã đặt vấn
đề:
“Nghiên cứu dao động của vỏ composite đối xứng trục bằng phương pháp Phần tử
liên tục”
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN
1


Những nghiên cứu hiện đại tập trung khảo sát các đối tượng mới hoặc phát triển các thế
mạnh của các phương pháp sẵn có ví dụ như phương pháp Phần tử hữu hạn tuy đã được biết
đến từ lâu nhưng vẫn đang được liên tục phát triển và làm mới từ các loại phần tử hữu hạn
truyền thống đến các loại phần tử mới như Phần tử hữu hạn trơn. Nghiên cứu này với mục
đích tương tự, phát triển các phần tử mới cho phương pháp Phần tử liên tục (PTLT) để giải
quyết các bài toán ngày càng phức tạp. Các PTLT được xây dựng trong luận án lần đầu tiên
được đưa ra, phát triển và đã ứng dụng thành công để khảo sát dao động của một số kết cấu
vỏ đối xứng trục phức tạp (vỏ dạng bậc, vỏ ghép nối) có tương tác với nền đàn hồi hay
chuyển động quay. Các PTLT mới này bổ sung và hoàn thiện cho thư viện các PTLT sẵn có
đã được nghiên cứu cho vật liệu kim loại và composite.
Đồng thời luận án cũng phát triển thuật toán ghép nối phần tử liên tục cho một số kết cấu
composite đối xứng trục chưa được nghiên cứu như: vành bậc, nón bậc, kết cấu trụ có gân
gia cường dạng vành, và kết cấu vỏ liên hợp trụ-vành-nón cụt.
Ngồi ra nghiên cứu này cũng nhằm phân tích và khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố
khác nhau đến tần số và dạng dao động tự do của một số kết cấu vỏ composite đối xứng

trục phức tạp.
ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu:
 Một số kết cấu vỏ composite đối xứng trục phức tạp bao gồm:


Dạng bậc: vành bậc, nón bậc.



Vỏ trụ có gân gia cường dạng vành.



Vỏ ghép nối trụ-vành-nón

 Một số kết cấu vỏ composite đối xứng trục được bao quanh bởi nền đàn hồi cụ thể
là:


Vành dạng bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi thuần nhất và khơng thuần nhất một
hệ số.



Vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh bởi nền đàn hồi thuần nhất và không thuần
nhất hai hệ số.



Vỏ trụ bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số.

 Một số kết cấu vỏ composite đối xứng trục chuyển động quay:


Vỏ trụ chuyển động quay.



Vỏ nón chuyển động quay.

Phạm vi nghiên cứu:
 Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu: vỏ composite đối xứng trục phức tạp
dạng bậc, vỏ ghép nối, vỏ có gân gia cường dạng vành; một số kết cấu nói trên được
bao quanh bởi nền đàn hồi và chuyển động quay.
 Các kết cấu trên làm việc trong giới hạn đàn hồi tuyến tính, trực hướng và biến dạng
bé.
 Sử dụng lý thuyết vỏ biến dạng trượt bậc nhất của Reissner-Mindlin có xét đến ảnh
hưởng của biến dạng trượt theo phương ngang và góc quay.
2


Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN
Về giá trị khoa học: Luận án đã xây dựng thành công ma trận độ cứng động lực cho các
phần tử vành, vành trên nền đàn hồi, vỏ trụ được bao quanh bởi nền đàn hồi, vỏ nón được
bao quanh bởi nền đàn hồi. Góp phần bổ sung và hồn thiện thư viện phần tử liên tục và
đóng góp vào sự phát triển của phương pháp này.
Về giá trị thực tiễn: Luận án đã khảo sát được ảnh hưởng của các thông số khác nhau tới
dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục khác nhau. Những kết quả nghiên
cứu thu được của luận án có thể sử dụng để tham khảo khi tính tốn thiết kế, tối ưu hóa các

kết cấu composite trong thực tế.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Áp dụng phương pháp PTLT (hay còn gọi là phương pháp Ma trận độ cứng động lực) dựa
trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của Reissner – Mindlin để nghiên cứu dao động
tự do của kết cấu.
CÁC KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã nghiên cứu ứng dụng phương pháp PTLT để xây dựng ma trận độ cứng động
lực cho các phần tử liên tục mới: phần tử vành , vành trên nền đàn hồi, vỏ nón cụt bao quanh
bởi nền đàn hồi, vỏ trụ bao quanh bởi nền đàn hồi, vỏ nón chuyển động quay và vỏ trụ
chuyển động quay. Trên cơ sở đó sử dụng các thuật toán ghép nối phần tử liên tục để khảo
sát dao động của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục phức tạp: kết cấu dạng bậc (vành
bậc, nón bậc), vỏ ghép nối (trụ-vành-nón, trụ-nón), các kết cấu này nằm trên nền đàn hồi
thuần nhất và không thuần nhất hoặc chuyển động quay. Các PTLT mới này đã bổ sung và
hoàn thiện tiếp cho thư viện các PTLT đã được nghiên cứu cho vật liệu kim loại và
composite.
Luận án đã xây dựng được thuật toán ghép nối nối tiếp và song song các PTLT để giải
quyết các bài toán kết cấu composite phức tạp: vỏ liên hợp trụ-vành-nón, vỏ trụ có gân gia
cường dạng vành (vành được coi là một phần tử riêng biệt)
CẤU TRÚC LUẬN ÁN
Chương 1: Tổng quan
Trong chương này, tác giả trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài
nước về dao động của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục (dạng bậc, có gân, vỏ ghép
nối), vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi (thuần nhất và không thuần nhất), vỏ chuyển động
quay. Sau đó tác giả giới thiệu phương pháp Phần tử liên tục, lịch sử phát triển của phương
pháp và trình bày tổng quan về nghiên cứu dao động của các kết cấu vỏ composite đối xứng
trục khi sử dụng phương pháp PTLT.
Chương 2: Nghiên cứu dao động của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục phức tạp
dạng bậc, có gân gia cường và vỏ ghép nối trụ-vành-nón.
Trong chương này, tác giả nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ Composite
đối xứng trục phức tạp: vành dạng bậc, nón dạng bậc, trụ có gân gia cường dạng vành và vỏ

ghép nối trụ-vành-nón bằng phương pháp PTLT. Chương trình Matlab được lập trình dựa
trên mơ hình PTLT để giải bài toán dao động của các kết cấu cụ thể.
Chương 3: Nghiên cứu dao động của các kết cấu vỏ composite liên hợp và dạng bậc
được bao quanh bởi nền đàn hồi thuần nhất và không thuần nhất.
Trong chương này, tác giả tiếp tục áp dụng các thuật toán của phương pháp PTLT để
nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục được bao quanh bởi
3


nền đàn hồi: vành bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi thuần nhất và không thuần nhất một
hệ số, trụ bậc được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số, vỏ ghép nối trụ-nón được bao quanh
bởi nền đàn hồi. Chương trình Matlab được xây dựng để giải bài toán dao động cho các kết
cấu cụ thể và nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số khác nhau lên tần số dao động.
Chương 4: Nghiên cứu dao động của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục chuyển
động quay.
Nội dung của chương này là nghiên cứu dao động của các kết cấu vỏ nón và vỏ trụ
composite chuyển động quay. Chương trình Matlab cũng được xây dựng để nghiên cứu dao
động của các kết cấu cụ thể và nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số khác nhau lên tần số
dao động của kết cấu.
Kết luận và kiến nghị: Trình bày những kết quả chính và những đóng góp mới của
luận án, hướng nghiên cứu phát triển của luận án.
Các cơng trình đã cơng bố của tác giả có liên quan đến đề tài luận án.
Tài liệu tham khảo.
Phụ lục

4


CHƯƠNG 1.

1.1

TỔNG QUAN

Tình hình nghiên cứu trên thế giới

1.1.1 Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục
1.1.1.1 Sự phát triển của lý thuyết vỏ được sử dụng để nghiên cứu dao động của kết cấu vỏ
composite
Những lý thuyết về vỏ được bắt đầu xây dựng từ nửa cuối thế kỷ 19 được Hua và cộng
sự tổng kết trong tài liệu [69-2005]. Love [24-1888], [23-1927] đưa ra lý thuyết tính tốn
cho tấm mỏng dựa trên các giả thiết của Kirchhoff và bây giờ được biết đến là lý thuyết
Kirchhoff-Love cho vỏ mỏng được sử dụng phổ biến ngày nay, dùng phương pháp xấp xỉ
bậc nhất của Love. Sau đó Donnell [71-1933], Flugge [118-1960] và Sanders [55-1959] cũng
tiếp tục phát triển lý thuyết Love-Kirchhoff hay còn gọi là lý thuyết vỏ cổ điển (Classical
Thin Shell Theory – CTST). Trong đó sử dụng các giả thuyết: bề dày nhỏ hơn rất nhiều so
với chiều dài (h/L<1/20), biến dạng nhỏ, ứng suất theo phương ngang được bỏ qua, pháp
tuyến của mặt tham chiếu trước và sau biến dạng vẫn vng góc. Tuy nhiên, các lý thuyết
vỏ cổ điển khi áp dụng cho vỏ dày dẫn đến sai số lớn khi phân tích dao động tự do của kết
cấu: biến dạng trượt theo phương ngang không được xét đến, trong một số trường hợp sự
phân bố ứng suất theo phương bán kính của vỏ dày là rất quan trọng, ứng suất trong mặt
phẳng phân bố phi tuyến theo chiều dày vỏ.
Timoshenko [106-1921] khẳng định biến dạng trượt có ảnh hưởng trong q trình tính
tốn và đưa ra lý thuyết vỏ biến dạng trượt (Shear Deformation Shell Theory – SDST). Sau
đó lý thuyết này được tiếp tục phát triển bởi Vlasov [117-1949], Reissner [38-1941], [391952], Naghdi và Cooper [90-1956]. Mindlin [94-1951], [95-1954], [96-1956] đã đưa ra lý
thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First- order shear deformation Theory –FSDT) bằng cách
thêm vào nhân tố ảnh hưởng của biến dạng trượt dọc theo chiều dày vỏ (εsz, εθz) .
Ambartrumian [107-1961] đã đưa ra lý thuyết về vỏ composite lớp bằng cách phát triển
các phương trình ứng suất đã có cho vỏ dị hướng. Dong [109-1968], Rath và Das [27-1973]
đã nghiên cứu vỏ trụ trực hướng có xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt và góc quay. Sau

đó các nghiên cứu với vỏ composite lớp tiếp tục được phát triển bởi Ambartrumian [1081962], Bert và các cộng sự [31-1969], Noor [26-1990], Liew và các cộng sự [61,62-1997],
Qatu [78-2004]. Các nghiên cứu này đã chỉ ra ảnh hưởng của biến dạng trượt đến dao động
của vỏ composite lớn hơn so với vỏ làm bằng vật liệu đẳng hướng.
Lý thuyết biến dạng trượt bao gồm cả lý thuyết xấp xỉ bậc cao do Lim và Liew [32-1995],
[60-1996] đưa ra đã gặp phải sai số khi sử dụng biểu thức (1+z/R) trong công thức ứng suất
khi tính tốn cho vỏ dày nhiều lớp. Chang và Lin [52-1992] đã xem xét biểu thức này và chỉ
ra rằng lý thuyết xấp xỉ bậc nhất (FSDT) có độ chính xác cao hơn lý thuyết xấp xỉ bậc cao.
Reddy [56-1984], [58-1985], Librescu và các cộng sự [70-1989] sử dụng lý thuyết biến dạng
trượt khai triển bậc cao cho biến dạng trượt, nhưng bỏ qua biểu thức (1+z/R) tính toán cho
vỏ thoải, đồng thời chỉ ra thành phần (1+z/R) là không quan trọng. Rất nhiều lý thuyết được
đưa ra cho vỏ nhiều lớp phát triển từ lý thuyết vỏ mỏng dựa trên lý thuyết Kirchhoff-Love
coi mặt trung bình trước và sau biến dạng là phẳng và vng góc. Tuy nhiên, theo lý thuyết
5


biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) trong nghiên cứu của Reddy [57-2004] thì biến dạng của
mặt trung bình trước và sau biến dạng khơng cịn vng góc.
Qatu [77-1999] đã đưa ra phương trình cho vỏ dày từ vật liệu composite lớp bao gồm các
phương trình chuyển động và điều kiện biên được biến đổi từ hàm năng lượng sử dụng
nguyên lý Hamilton. Phương trình momen và lực cho vỏ composite lớp được tích hợp chính
xác biểu thức (1+z/R) trong biểu thức ứng suất. Nghiên cứu này cũng chỉ ra rằng ảnh hưởng
của biến dạng trượt lên kết cấu là quan trọng. Các phương trình này có thể giải bằng phương
pháp giải trực tiếp cho điều kiện biên đơn giản hoặc bằng phương pháp xấp xỉ Ritz, hoặc sử
dụng phương pháp PTHH.
Một lý thuyết tính tốn cho vỏ dày nữa được phát triển đó là lý thuyết vỏ nhiều lớp liên
tiếp (Layerwise theory). Trong lý thuyết này, mỗi lớp của vật liệu được coi như là một phần
tử vỏ thỏa mãn điều kiện liên tục tại vùng tiếp xúc của các lớp. Huang and Dasgupta [591995] đã áp dụng khảo sát vỏ trụ composite lớp. Gautham và Ganesan [28-1992], [29-1994]
sử dụng lý thuyết nhiều lớp liên tiếp nghiên cứu cho vỏ nón và vỏ cầu composite lớp trực
hướng. Basar và Omurtag [123-2000] đã tính dao động của kết cấu vỏ nhiều lớp sử dụng mơ
hình vỏ liên tục.

Gần đây, Dogan và Arslan [18-2009] đã nghiên cứu dao động của vỏ dày từ vật liệu
composite lớp trực hướng bằng phương pháp PTHH sử dụng nguyên lý Hamilton. Sau đó so
sánh kết quả tính bằng PTHH sử dụng phần tử Shell99 và kết quả tính dựa trên lý thuyết vỏ
thoải có tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt và lý thuyết vỏ cổ điển. Trong trường hợp
vỏ đẳng hướng kết quả tính dựa trên hai lý thuyết là giống nhau nhưng trong trường hợp vỏ
dị hướng kết quả có sự sai khác.
Trong luận án này tác giả sẽ xây dựng các phương trình tổng quát của vỏ dựa trên lý
thuyết vỏ dày của Reissner-Mindlin, sau đó sử dụng phương pháp PTLT để nghiên cứu dao
động tự do của một số kết cấu vỏ composite đối xứng trục trong các trường hợp khác nhau:
vỏ bậc, vỏ ghép nối, vỏ tương tác với nền đàn hồi thuần nhất và không thuần nhất, vỏ quay.
1.1.1.2 Các nghiên cứu về vỏ composite đối xứng trục có gân gia cường dạng vành
Vỏ có gân gia cường có một vị trí rất quan trọng trong kỹ thuật đặc biệt là ngành hàng
khơng, cơ khí (ống dẫn, xe đua) và hàng hải (tàu ngầm). Đã có rất nhiều nghiên cứu về dao
động của vỏ có gân gia cường được thực hiện bắt đầu từ những năm 1950 chủ yếu là với vật
liệu kim loại. Phương pháp phổ biến được ứng dụng là phương pháp năng lượng của
Rayleigh- Ritz. Mikulas và Elman [76-1965] nghiên cứu dao động của vỏ trụ có gân sử dụng
lý thuyết của Donell và Flugge. Jafari và Bagheri [22-2006] đưa ra so sánh tần số dao động
riêng giữa phương pháp giải tích và kết quả thí nghiệm cho vỏ trụ có gân gia cường dạng
vành khơng đồng nhất. Kết quả giải tích ở đây sử dụng phương pháp Rayleigh với hàm
chuyển vị do tác giả giới thiệu. Qu và cộng sự [124-2013] đã trình bày nghiên cứu về dao
động của vỏ trụ tròn kết hợp với vỏ nón có gân bằng vật liệu đẳng hướng. Các nghiên cứu
nêu trên đều tập trung vào phương trình tốn dựa trên phương pháp Rayleigh-Ritz.
Những năm gần đây đã có thêm những nghiên cứu về vỏ có gân gia cường dạng vành cho
vật liệu composite nhiều lớp được phát triển. Kim và Lee [127-2002] đã kết hợp lý thuyết
vỏ mỏng của Love và lý thuyết san đều gân để khảo sát dao động tự do của vỏ trụ composite
có gân gia cường dạng vành cùng làm bằng vật liệu composite. Zhao và cộng sự [121-2002]
đã phân tích dao động tự do của vỏ trụ composite lớp trực hướng có gân gia cường trực giao
chuyển động quay sử dụng các phép biến đổi năng lượng. Ảnh hưởng của gân gia cường
được khảo sát bằng hai phương pháp: một là gân được coi như phần tử rời rạc gắn vào vỏ và
hai là độ cứng của gân sẽ được thêm vào độ cứng của vỏ thành một phần tử vỏ mới có độ

cứng tương đương bằng phương pháp thực nghiệm. Wang và Lin [97-2006] nghiên cứu dao
6


động tự do của vỏ trụ composite có gân gia cường bằng nhôm với điều kiện biên ngàmngàm, sử dụng nguyên lý Hamilton, gân gia cường dạng vành được xem như một vành tròn
Timoshenko (Timoshenko ring).
Tuy nhiên những nghiên cứu trên đều dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển, phương pháp thực
nghiệm, phương pháp PTHH hoặc phương pháp năng lượng của Rayleigh-Ritz. Các phương
pháp nói trên gặp nhiều khó khăn khi giải các hệ phương trình của kết cấu vỏ phức tạp.
Phương pháp PTHH có thể đưa ra lời giải số hữu hiệu cho nhiều lớp bài toán khác nhau
nhưng gặp khó khăn khi đánh giá sai số của phương pháp khi nghiên cứu các kết cấu phức
tạp hoặc trong miền tần số trung bình và cao. Vì vậy luận án này phát triển phương pháp
PTLT để khảo sát dao động tự do của vỏ composite đối xứng trục có gân gia cường dạng
vành, trong đó gân được coi là một phần tử riêng biệt.
Một số hình ảnh về vỏ composite có gân được ứng dụng trong cơng nghiệp:

Hình 1.1

Hình 1.2

Vỏ tàu ngầm bằng composite

Các bộ phận của vỏ máy bay được làm từ vật liệu composite

Hình 1.3

Vỏ tên lửa làm từ vật liệu composite

7

1.1.1.3 Các nghiên cứu về dao động tự do của kết cấu vỏ composite liên hợp và dạng bậc
Các cấu trúc vỏ phức tạp dạng liên hợp và dạng bậc là loại kết cấu vỏ được ghép nối bởi
các phần tử khác nhau như trụ-vành-nón, trụ-nón, trụ-vành, nón-vành hay là ghép nối của
các phần tử vỏ giống nhau nhưng có độ dày vỏ khác nhau (vành bậc, trụ bậc, nón bậc). Đây
cũng là các kết cấu vỏ được ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật như: cơ khí (trục), xây
dựng (đường ống), hàng không, hàng hải (tàu ngầm). Việc giải các phương trình tổng quát
để tìm ra dao động của các kết cấu vỏ này gặp khó khăn khi phải xét đến điều kiện liên tục
tại những vị trí ghép nối của kết cấu. Đã có rất nhiều nghiên cứu về dao động tự do của vỏ
ghép nối đối với vật liệu đẳng hướng, gần đây nhất Bagheri và các cộng sự [42-2017] đã đưa
ra các kết quả nghiên cứu về dao động tự do của vỏ ghép nối nón-trụ-nón sử dụng phương
pháp cầu phương vi phân tổng quát (GDQ) dựa trên lý thuyết vỏ biến dạng trượt bậc nhất
(FSDT) và các giả thuyết của Donnell. Các nghiên cứu về vỏ composite liên hợp chủ yếu là
các nghiên cứu về vỏ ghép nối trụ-nón. Patel và cộng sự [91-2000] đã khảo sát dao động tự
do của vỏ ghép nối nón-trụ sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và phương pháp
PTHH. Liang và cộng sự [102-2007] đã nghiên cứu ứng xử của vỏ ghép nối nón-vành bằng
vật liệu composite lớp trực hướng sử dụng phương pháp ma trận truyền. Kouchakzadeh và
Shakouri [67-2014] đã phân tích dao động tự do của vỏ composite liên hợp trụ-nón, đồng
thời đưa ra các điều kiện liên tục cho tất cả các trường hợp có thể xảy ra khi ghép nối (trụvành, nón-vành, trụ bậc, nón bậc,..) dựa trên lý thuyết vỏ mỏng của Donnell và nguyên lý
Hamilton. Qu và các cộng sự [125-2013] sử dụng phương pháp phân tách miền (the domain
decomposite method) sử dụng lý thuyết vỏ mỏng của Reissner-Naghdi bỏ qua ảnh hưởng
của góc xoay mặt cắt ngang để khảo sát dao động tự do của vỏ trụ composite dạng bậc. Ta
thấy các nghiên cứu đã được nhắc đến chủ yếu đều dùng lý thuyết vỏ mỏng hoặc là phương
pháp PTHH để giải quyết bài toán dao động của kết cấu vỏ composite liên hợp dạng trụ-nón,
nón-vành và trụ bậc. Trong luận án này tác giả sẽ sử dụng phương pháp PTLT dựa trên lý
thuyết vỏ dày của Reissner-Mindlin để nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ
composite phức tạp hiện vẫn chưa được nghiên cứu như: vỏ ghép nối trụ-vành-nón, vành
dạng bậc, vỏ nón bậc.
1.1.2 Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục
được bao quanh bởi nền đàn hồi

Kết cấu vỏ composite đối xứng trục được bao quanh bởi nền đàn hồi được ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực kỹ thuật như: ống dẫn, thùng chứa trên tàu thủy, tháp nước, trong hàng không
và tàu ngầm, kết cấu vành trong đường ray, đầu xi lanh, đầu piston động cơ hơi nước… Các
kết cấu composite thường được đặt được bao quanh bởi nền đàn hồi (nền đất, nền sỏi đá,
chất lỏng…) và nhiều khi ảnh hưởng của nền lên kết cấu cần phải tính đến. Vì vậy, việc
nghiên cứu các dao động tự do của các kết cấu vỏ composite được bao quanh bởi nền đàn
hồi là cần được nghiên cứu khảo sát. Mơ hình nền đàn hồi đầu tiên được đưa ra bởi Winkler
coi nền đàn hồi như những lò xo riêng biệt khơng có ảnh hưởng đến nhau, sau đó Pasternak
[90-1954] cải tiến mơ hình trên bằng cách thêm vào thành phần thứ hai là biến dạng cắt.
Những năm gần đây đã có các nghiên cứu ứng xử tĩnh và động của kết cấu vỏ và tấm
composite được bao quanh bởi nền đàn hồi. Akavci [112-2007] đã sử dụng mơ hình chuyển
vị theo đường hyperbolic và giải thuật Navier để nghiên cứu dao động tự do của tấm
composite lớp được bao quanh bởi nền đàn hồi. Sofiyev và các cộng sự [20-2012], [21-2011]
đã nghiên cứu dao động của vỏ nón composite được bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số sử
dụng phương pháp Galerkin.
Hashemi và cộng sự [110-2008] đã nghiên cứu dao động của vành composite dày được
bao quanh bởi nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau như tự do, tựa đơn, tựa cứng và
8


ngàm tại các cạnh trong và cạnh ngoài của vành bằng cách sử dụng phương pháp p-Ritz.
Malekzadeh và cộng sự [87-2010] sử dụng phương pháp PTHH dựa trên lý thuyết nhiều lớp
liên tiếp (Layerwise) để nghiên cứu dao động của vành composite trên mơ hình nền đàn hồi
hai hệ số của Pasternak. Abbasi đã nghiên cứu dao động tự do của vành làm bằng vật liệu
cơ tính thay đổi được bao quanh bởi nền đàn hồi Winkler [98-2013]. Ở đây, phương pháp
biến đổi vi phân(The differential transforms method) đã được đưa ra để giải các phương trình
chuyển động của vành mỏng với các điều kiện biên khác nhau.
Wu và các cộng sự [111-2015] đã nghiên cứu dao động của vỏ nón composite lớp được
bao quanh bởi nền đàn hồi hai hệ số Pasternak sử dụng phương pháp phân tách miền. Sofiyev
và cộng sự đã sử dụng phương pháp Galerkin để phân tích dao động của vỏ trụ composite

trực hướng vật liệu đồng nhất được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak với các điều kiện
biên khác nhau [20-2011] và vỏ trụ trực hướng vật liệu không đồng nhất được bao quanh
bởi nền đàn hồi Winkler-Pasternak dưới tác dụng của lực chuyển động. Bagheziradeh và
cộng sự [37-2011] nghiên cứu ứng xử động học của vỏ trụ cơ tính biến thiên bao quanh bởi
nền đàn hồi dựa trên lý thuyết trượt bậc cao. Kim [126-2015] cũng phân tích tần số dao động
của vỏ trụ làm bằng vật liệu cơ tính thay đổi được bao quanh bởi nền đàn hồi sử dụng phương
pháp Rayleigh- Ritz.
Trong luận án này, tác giả tiếp tục mở rộng nghiên cứu dao động tự do cho các kết cấu
vỏ composite kết cấu phức tạp hơn như vành dạng bậc, vỏ trụ dạng bậc, vỏ ghép nối trụ-nón
được bao quanh bởi nền đàn hồi một và hai hệ số, thuần nhất và không thuần nhất bằng
phương pháp PTLT.
Một số hình ảnh về vỏ composite liên hợp được bao quanh bởi nền đàn hồi được ứng
dụng trong cơng nghiệp:

Hình 1.4

Đường ống composite dẫn nước được bao quanh bởi nền đàn hồi

Hình 1.5

Bể chứa nước composite một phần nằm trong nền đàn hồi

9


Hình 1.6

Bể chứa chất lỏng một phần nằm trong nền đàn hồi

1.1.3 Nghiên cứu dao động tự do của các kết cấu vỏ composite đối xứng trục

chuyển động quay
Kết cấu vỏ quay ngày càng được nghiên cứu rộng rãi vì những ứng dụng quan trọng của
nó trong ngành cơng nghiệp hàng khơng, vũ trụ, giao thơng, máy cơng nghiệp. Ví dụ như
chúng ta cần nghiên cứu độ ổn định động lực học của kết cấu tên lửa khi nó quay với tốc độ
cao hoặc các kết cấu khác như vỏ turbin, thùng chứa động cơ, … Việc nghiên cứu độ bền và
sự ổn định của kết cấu vỏ quay dưới tốc độ cao là một mối quan tâm lớn của nhiều nhà khoa
học. Lời giải của bài toán này chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố như vật liệu, loại kết cấu,
điều kiện làm việc.
Sự phát triển vượt bậc ứng dụng vật liệu composite trong kết cấu quay đã mở ra các
nghiên cứu về kết cấu vỏ composite quay. Chen [30-2012] thiết lập phương trình dao động
cho vỏ quay được phát triển từ lý thuyết xấp xỉ bậc nhất và sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn nhằm giải quyết bài toán đặt ra. Lam và Loy [63-1995] đã đưa ra nghiên cứu về vỏ
composite trụ quay theo các lý thuyết vỏ mỏng khác nhau. Lam và Wu [66-1999] cũng khảo
sát dao động tự do của vỏ trụ composite quay nhưng sử dụng lý thuyết vỏ dày. Lam và Hua
[65-1999] đã xét ảnh hưởng của điều kiện biên tới dao động của vỏ trụ quay bằng phương
pháp GDQ. Lee and Kim [127-2002] nghiên cứu dao động của vỏ trụ composite quay có gân
gia cường đối xứng ở mặt ngồi của vỏ sử dụng lý thuyết Love. Trong đó ảnh hưởng của tỷ
lệ chiều cao và bề dày của gân gia cường, tỷ lệ giữa bán kính và độ dày của vỏ và tỷ lệ giữa
bán kính và chiều dày vỏ đã được nghiên cứu, kết quả của nghiên cứu này được so sánh với
các nghiên cứu khác sử dụng phương pháp giải tích cho vỏ khơng gia cường và vỏ có gân
gia cường đối xứng.
Kadivar và Samani [75-2000] đã nghiên cứu dao động của vỏ trụ dày chuyển động quay
bằng vật liệu composite sử dụng lý thuyết nhiều lớp liên tiếp. Với lý thuyết nhiều lớp liên
tiếp, mỗi lớp vật liệu được coi như là một phần tử vỏ và thỏa mãn điều kiện liên tục giữa các
lớp. Trong phương trình tổng quát, biến dạng 3 chiều được biểu diễn và lực Coriolis cũng
như lực ly tâm đều được tính đến. Dạng nghiệm Navier được sử dụng trong trường hợp điều
kiện biên đơn giản để giải quyết bài toán vỏ composite quay. Tần số dao động tiến và lùi
được đưa ra với nhiều giá trị vận tốc góc khác nhau. Lam và các cộng sự [69-2005] đã so
sánh kết quả tính cho vỏ trụ composite quay bằng lý thuyết FSDT với các lý thuyết khác như
lý thuyết vỏ cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt dạng parabol, hypecbol thì nhận thấy lý thuyết

FSDT cho kết quả có độ chính xác cao hơn. Talebitooti [74-2010] đã nghiên cứu về dao
động tự do của vỏ nón composite có gân chuyển động quay dựa trên phương pháp năng
10