Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2019 - 2020 tỉnh Bắc Ninh có đáp án | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (344.04 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO 
TẠO

BẮC NINH

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2019 - 2020

Mơn thi: Tốn – lớp 9 cấp THCS 
Ngày thi: 15/5/2020

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian
giao đề)

Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM đề và giải

Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho 2

2 2 1

P n n  với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá
trị n=1;n=2,..n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 ,...,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2

+...+P9 + P10

2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai
điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt
là hình chiếu của A,B trên trục hồnh.

Câu 2(4,0 điểm)

1.Giải phƣơng trình 2

2 4 2x 5x 1

x   x  

2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số a b c, ,  .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực
(khơng nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng

minh 1

c 

Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

1 1 1

a a c b b a b c c b c a

ab bc ca

     

  

  

2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa 2 2 2 2
1 2 3 4

nd d d d trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn

ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm
của MO và AB

a.Chứng minh 2
.

MN FN NA b.Chứng minh 0
90

HFN  và MN=MH
c.Chứng minh

2
2

E
1

HB F

HF FM 

2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H
là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng
minh IJ luôn qua trung điểm của MH

Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ơ có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực
hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và –
thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay khơng ?
Lời giải

Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho 2

2 2 1

P n n  với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá
trị n=1;n=2,..n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 ,...,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2

+...+P9 + P10

Lời giải

1.Ta có 2

2 2 1 1 1; 11 10 1

P n n   n  n S   

2.Ta có 2 2 2

x 2 x-2 0; 8 0

x m  x m   m   m.Vì phƣơng trình có 2 nghiệm trái

dấu ,giả sử xA = xD <0; xB = xC >0 .Vì

2 2 2

D 7,5 ( 2 1)( 2 1) 15 ( 2 1)( 1 2) 15 ( 2 1) ( 2 1) 2 2 1 15

ABC

S   x x y y   x x x x   x x  x x  x x 

với

2
2 1

2 1
2 1

x x m

x x

     

  



  



.Thay vào trên ta có

2 2 2 2 2 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 2(4,0 điểm)

1.Giải phƣơng trình 2

2 4 2x 5x 1

x   x  

2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số a b c, ,  .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực

(khơng nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng

minh 1

4
c 

Lời giải 
1.Ta có

2 1 1

2 4; 2 4 2x 5x 1 ( 3). (2x 1) 0

2 1 4 1

x x x x

x x
 
              
   
 
3
1 1

(2x 1) 0

2 1 4 1

x
x x



     
    

.Ta có

1 1 1 1

(2x 1) 0; (2x 1) 1

2 1 4 1 VT 2 1 4 1 VP

x    x     x    x     theo điều

kiện

2.Đặt t=f(x) thì f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (khơng nhất thiết phân biệt ) hay

x2+bx+c=0 có 2 nghiệm t1 , t2 và mỗi phƣơng trình x2+bx+c=t1 và x2+bx+c=t2 đều

có hai nghiệm với t1 + t2 =b.Khi đó ta có
2
2
2
1 2

2
2
4a 0
4a 0
4( ) 0

4 2 0
4( ) 0

b c

b c t

b c b

b c t

  
  
    
 
  

   


.Với x1 ,

x2 là nghiệm chung ta có x
2

+bx+c=t1 và x
2

+bx+c=t2 hay suy ra x1 + x2 =-b nên

b=1 lúc đó 1

c .
Với

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

x (x x )

( ) (x x ) 2

2
x

x b c t

x x b b c x x dpcm

x b c t

    

           

   


Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

1 1 1

a a c b b a b c c b c a

ab bc ca

     

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa 2 2 2 2
1 2 3 4

nd d d d trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn

ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n
Lời giải

1.Ta có

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (3 3 ) (3 3 ) (3 3 )

0 0

1 1 1 1 1 1

a a c b b a b c c b c a a b b c c a

ab bc ca ab bc ca

               

     

(1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1

0 3

1 1 1 1 1 1

a b b c c a a b c

ab bc ca ab bc ca

     

       

      .Ta có

2
3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 . . ; . . 1 3 ( ) 2a

1 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c a b c a b c

VT abc bc

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

        

       

        

(đúng vì a b c   3 abc1)

2.Gỉa sử d1 < d2 <d3 < d4 suy ra d1 =1.Nếu n lẻ thì n 1 d22d32d42 thì trong ba d2

,d3 , d4 số phải có 1 chẵn hoặc cả ba cùng chẵn.Gỉa sử đó là d2 .Mà d2 là ƣớc n

suy ra n chia hết cho 2 hay n chẵn nên mâu thuẫn . Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2
hay d2 =2.Lúc đó n 5 d32d42 hay suy ra d3 ;d4 phải có 1 chẵn hoặc 1 lẻ .Gọi p là

ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của n ta có d3 =p;d4 =2p.Lúc đó n chia hết cho 5 hay d3

=5;d4 =10.

Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O)
với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại
E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm
của MO và AB

a.Chứng minh 2
.

MN FN NA b.Chứng minh 0

HFN  và MN=MH

c.Chứng minh

2
2

E
1

HB F

HF FM 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

H
O
M

B
E

H
O

C
B

I D

N
K

Lời giải

1a.Ta cóNMFA F A FE ; E NAMNMFNAM NMFđồng dạng NAM dpcm

1b.Ta có 0

E 90

MA  nên BE là đƣờng kính.Ta
có 2

. . MF MH

MA MF ME MH MO MFH

MO ME

      đồng dạngMOE

0 0

EB; EB ; 90 90

NHFM M NABNHFNAB HNFNAB HFN .Ta có

2 2

MN NH FN NAMNNH.

1c.Ta có

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 E E

1 1

HB HB HB F HB F

HF  HN HA  MN HB  HF  MN  HF MF  MN MF

2 2 2 2 2

E .

1 1 1 1

HB F HB FA HB FA NA HB HA

HF MF MN NF MN NF NA MN MN

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2.Gọi E,F lần lƣợt là điểm đối xứng của M qua AB,AC.Ta chứng minh E,H,F
thẳng hàng.Ta có AMBAEB;AMBACBA BE  ACB.Tứ giác HNCD nội tiếp hay

D E D

ACBBH A BBH .Tứ giác AEBH nội tiếp
nênEHBE BA BAM EHBBAM .Tƣơng tự ta

có 0

180

CHFCAM BHE CHF BACBHE CHF BHCBACBHC

Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ơ ,mỗi ơ đều điền 1 dấu cộng.Thực

hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và –
thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay khơng ?
Lời giải

Gọi a,b là số lần chuyển đổi lẻ lần với a b,  , ,a b2020.Nếu có a cột thì số ơ mang
dấu – trong a cột là (2020-b)a. Nếu có b cột thì số ơ mang dấu – trong a cột là
(2020-a)b.Tổng số ô mang dấu – là

:(2020b a) (2020a b) 18(1010b a)  9 1010 (b b1010)
1020091 19.53.1013

1010 1010

a

b b

    

  . Phƣơng trình này khơng có nghiệm ngun

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ngày 15-11-2016 tạp chí tốn tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần

nữa mình khơng ra dƣợc vì khơng có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời

lại bất công với tôi nhƣ thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều

khó khăn

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn

,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trƣớc .Nho này hiếm mà có kg nào nhập

về là dân Việt Nam giới thƣợng lƣu mua hết trong một giời đồng hồ

.Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ nhƣ bèo mà “cho không lấy ,thấy

khơng xin nói gì tới việc mua bán nữa “

Tôi tên là :Trƣơng Quang An
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận đƣợc 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí
tốn tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tơi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh
dự nhƣng hồn cảnh gia đình q khó khăn .Tơi đi làm lƣơng q thấp ,dạy hợp
đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi
làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lƣơng ,khơng có sản phẩm làm thì tháng đó
khơng có lƣơng ,một tháng đƣợc 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang
trải cho cuộc sống hằng ngày .Tơi học tốn-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm
thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xƣa làm phụ
hồ ,làm thuê làm mƣớn cho ngƣời ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn
.Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tơi rất nghèo nhƣng niềm đam mê
tốn học trong tơi rất lớn dù tơi có hoạt đơng bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân
thành cảm ơn tạp chí đã có thƣ mời tơi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở
bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngối tơi khơng ra
Đà Nẵng dự hội thảo đƣợc ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TỐN TUỔI
THƠ ,tuy nhiên tơi xin chúc tạp chí ln phát triển mạnh mẽ và có nhiều ngƣời
đam mê tốn học nhé .Tơi xin hứa là sẽ thƣờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp
chí tốn tuổi thơ và tạp chí tốn học& tuổi trẻ

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tên : Trƣơng Quang An
Ngày sinh :20-5-1987

Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán quảng Ngãi năm 2009

Ra trƣờng đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng
làm việc giảng dạy toán cho 1 trƣờng cấp 2

Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi

Thành tích lúc đi học :

Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi tốn cấp thị xã Quảng Ngãi
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi
Lên cấp 3 học Trƣờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết

Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tơi phải xa giảng
đƣờng đại học vì mẹ tơi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tơi phai chia
tay đại học .Sau đó tơi về quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Quảng Ngãi

3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Tốn học .Các Thành
tích :

- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008

-Ba năm giải nhất mơn giải tích trong kỳ thi ƠLIMPIC TỐN SINH VIÊN
cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008

-Trong 3 lần đại diện cho trƣờng thi ƠLIMPIC TỐN SINH VIÊN Tồn
quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích .

-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải tốn trên máy tính casio
cấp trƣờng .

-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề
ra kỳ này của tạp chí tốn học tuổi trẻ

-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục
chuyên đề của đặc san tạp chí tốn học tuổi trẻ

-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí
tốn học và tuổi trẻ

-Hiện nay sáng dạy ở trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên đi dạy kém khắp
nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo
ở quê Quảng Ngãi

-Bản thân là ngƣời rất đam mê môn tốn từ khi tơi cịn là học sinh lớp 7 ,
hiện nay tơi thƣờng giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu
vào chuyên toán

-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó của tơi
khơng thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hồn cảnh

-Những giáo viên u tốn nếu có nhu cầu giải các bài tốn khó và giao lƣu
học hỏi

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

học tuổi trẻ khi tơi cịn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tơi đã coi tạp chí
nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu
tơi thích thú tị mị tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên
mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tơi đƣợc tiếp xúc với các bài
toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời
tôi .Tôi bƣớc vào sƣ phạm tốn với nền tảng kiến thức vơ cùng tốt .Ngay tơi đƣợc
tạp chí đăng 1 bài trên chun mục đề ra kỳ này tôi rất vui sƣớng ,không tả nỗi .Đó
là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trƣờng ,điều kiện
học tập khơng có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tơi viết bài cho 1 tạp chí tốn học là điều
viễn vơng ,đó là sƣ thật .Nhƣng tơi khơng nản lịng và cuối cùng tơi cũng đạt đƣợc
ƣớc mơ của tơi .Những ngày đó thật khó khăn ,tơi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi
đem thƣ ra bƣu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY
bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tơi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn

,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài tốn mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau khi
hoàn thiện tơi chạy ra qn PHƠ T Ơ COPPY để gởi vì nhà khơng có mạng

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

chức ,nhƣng tơi thích học chính quy hơn ,ƣớc mơ đó có thể với mọi ngƣời rất đơn
giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mƣu sinh vì cuộc sống
hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tơi thì liên hệ số
điện thoại 01208127776 .Khơng biết tạp chí tốn học có tuyển một cộng tác viên
trình độ cao đẳng nhƣ tơi khơng .Lƣơng hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không
sống đƣợc bằng nghề sƣ phạm ,

Một người đam mê Tốn và tạp chí tốn học và tuổi trẻ , 
 tạp chí tốn tuổi thơ

</div>