the fucking

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế <b>kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh</b>
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
<i><b> Mơn : </b></i><b>Tốn </b> (Vòng 1)

<b>Đề chính thức</b>_{Thời gian:}<i>_{120 phút (không kể thời gian giao đề)}</i>
<b>Bài 1</b>: (8 điểm)

Cho parabol ( ) : 1 2
3

<i>P y</i> <i>x</i> .

1. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
(2;1)

<i>A</i> .

2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm <i>A</i>(2;1)và có hệ số góc m. Với giá trị nào
của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.

3. Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P)
và hai tip tuyn ny vuụng gúc vi nhau.

<b>Bài 2</b>: (4điểm)

Giải hệ phơng trình:

2 2 ₁₉

7

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x y</i> <i>xy</i>

<b>Bài 3</b>: (8 điểm)

Cho na ng trũn đờng kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa
đ-ờng trịn. ở phía ngồi tam giác ABC, vẽ các hình vng BCDE và ACFG. Gọi Ax,
By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn.

1. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng
ED ln đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố
định khác.

2. Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng trịn đã
cho.

3. Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã
cho.

HÕt

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế <b>kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh</b>
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
<i><b> Môn : </b></i><b>tốn (Vịng 1) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1</b> <b>ý</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>1.</b> <b>8,0</b>

<b>1.1</b> <i><b>(2,0 ®iĨm)</b></i>

Phơng trình đờng thẳng d1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b,

suy ra b = 1 - 2a, do đó d1: y = ax - 2a+1.

0,50

Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d1 và (P) là:

2 2

1

2 1 3 6 3 0

3<i>x</i> <i>ax</i> <i>a</i>  <i>x</i>  <i>ax</i> <i>a</i>  0.50

Để d1 là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:

'

  2

2

9 24 12 0 ₂

3

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>





     

 

 2,0

Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:

1 2

2 1
: 2 3; :

3 3

<i>d y</i> <i>x</i> <i>d</i> <i>y</i> <i>x</i>

0,50

<b>1.2</b> <i><b>(4,0 ®iĨm)</b></i>

Phơng trình đờng thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là:

1 2

<i>y mx</i>   <i>m</i> _0,50

Phơng trình cho hồnh độ giao điểm của d và (P) là:

2 2

1

2 1 3 6 3 0 (2)

3<i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i>  <i>x</i>  <i>mx</i> <i>m</i>  0,50

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là:

2 2 8 4

9 24 12 0 9 0

3 3

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> 

      _   _

 

2

4 4 4 2

0

3 9 3 3

<i>m</i> <i>m</i>

 

 _  _     

 

4
3
4 2

2

3 3 _(*)

3

4 ₂

3

4 2

3 3

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>

 

 _
 

    

  _ 

  




 _ _




 





 _ _


 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hồnh độ là x1 và x2 là 2

nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:

1 2

2

2 2 2 2

; 2 1; 3

3

3 3 3 3

2 2

2 4

1 2 ₁

3 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x</i>
<i>I</i>

<i>y mx</i> <i>m</i> <i>_y</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

  
     


 _ _ _
 
 _   
 
 _ _{ }  _ _ _


 1,0

Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol 2 2 4 1

3 3

<i>y</i> <i>x</i>  <i>x</i> ,

giíi h¹n bëi <i>x</i>1;<i>x</i>3. _0,50

<b>1.3</b> <i><b>(2,0 ®iĨm)</b></i>

Gọi <i>M x y</i>₀( ; )₀ ₀ là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vng góc đến (P). Phơng
trình đờng thẳng d' qua M0 và có hệ số góc k là: <i>y kx b</i>  , đờng thẳng này đi

qua M0 nªn <i>y</i>0 <i>kx</i>0 <i>b</i> <i>b</i><i>y</i>0 <i>kx</i>0, suy ra pt cña d': <i>y kx kx</i>  0<i>y</i>0. 0,50

Phơng trình cho hồnh độ giao điểm của d và (P) là:

2 2

0 0 0 0

1

3 3 3 0

3<i>x</i> <i>kx kx</i> <i>y</i>  <i>x</i>  <i>kx</i> <i>kx</i>  <i>y</i>  (**) 0,50
§Ĩ tõ M0 có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì phơng trình:

2

0 0

9<i>k</i> 12<i>kx</i> 12<i>y</i> 0

 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt <i>k k</i>₁, ₂ vµ <i>k k</i>_{1 2}1

0
0
12 3
1
9 4
<i>y</i>
<i>y</i>
   
0,50
Vậy quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến vng góc của (P) là

đờng thẳng 3

4

<i>y</i>

0,50

<b>2.</b> <i><b>(4,0 ®iĨm)</b></i>





2

2 2 ₁₉ 2 ₃ ₁₉

3 19

7 7 7

<i>S</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x y</i> <i>xy</i> <i>S</i> <i>P</i>

<i>P xy</i>

<i>x y</i> <i>xy</i> <i>x y</i> <i>xy</i> <i>S P</i>

  
            
 
    

          
  
(1)

1,0

Giải hệ (1) ta đợc: (<i>S</i>1; <i>P</i>6), (<i>S</i> 2;<i>P</i>5) _1,0

Gi¶i các hệ phơng tr×nh tÝch, tỉng: 1

6
<i>x y</i>
<i>xy</i>
 





vµ 2

5
<i>x y</i>
<i>xy</i>
 





ta cã c¸c

nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:

3 2 1 6 1 6

; ; ;

2 3 ₁ ₆ ₁ ₆

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>y</i> <i>_y</i> <i>_y</i>

 

     

   

   

  _{ } _{ }

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>3.</b> <b>8,0 </b>

3.1

Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By
và ED. Ta cã:

  ₉₀0

<i>BEI</i><i>BCA</i>

 

<i>EBI CBA</i> (gãc cã c¸c cạnh tơng ứng vuông góc)
<i>BE</i><i>BC</i>,

Do ú:

<i>BEI</i> <i>BCA</i> <i>BI</i> <i>BA</i>

  mà By cố định, suy ra điểm I

cố định.

+ Tơng tự, K ccố định.

+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng trịn (O) thì dờng
thẳng ED đi qua điểm I cố định và đờng thẳng GF đi qua

điểm K cố định. 3,0

3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng trịn đờng kính BI (bên phải By,

,

<i>C</i>  <i>A</i> <i>E</i><i>I C B</i>  <i>E B</i> ); quĩ tích của K là nửa đờng trịn đờng kính

AK(bªn tr¸i Ax, <i>C</i>  <i>A</i> <i>G</i><i>A C</i>,  <i>B</i> <i>G K</i> ). _2,0

3.3 Xét 2 tam giác BEI và BDK, ta

cã:

1
2

<i>BE</i> <i>BI</i>
<i>BD</i><i>BK</i> 

   

 

0

45

<i>EBI IBD KBD IBD</i>
<i>EBI</i> <i>KBD</i>

   

 

Do đó:

  0

90

<i>BEI</i> <i>BDK</i>
<i>BDK</i> <i>BEI</i>

 

  



+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng trịn đờng kính BK.

+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng trịn đờng kính AI. 3,0

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế <b>kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh</b>
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
<i><b> Môn : </b></i><b>Tốn </b> (Vịng 2)

<b>Đề chính thức</b>_{Thời gian:}<i>_{120 phút (khơng kể thời gian giao đề)}</i>
<b>Bài 1</b>: (7 điểm)

1. Gi¶i phơng trình: <i>_x</i> _{1 2}4 <i>_x</i> <i>_x</i> _{9 6}4 <i>_x</i> ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:

1 1 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i>
<b>Bµi 2</b>: (6 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2

2

3 5
1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

.

2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

2 ₂ 2 ₃ ₂ ₄ _{3 0}
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
<b>Bài 3</b>: (7 điểm)

Cho đờng trịn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vng góc với
nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N.

1. Chøng minh r»ng tÝch <i>OM ON</i>

<i>AM DN</i> lµ mét h»ng sè. Suy ra giá trị nhỏ nhất của
tổng <i>OM</i> <i>ON</i>

<i>AM</i> <i>DN</i> , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?

2. Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH
khơng phải là đờng kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác
định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.

HÕt

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế <b>kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh</b>
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
<i><b> Mơn : </b></i><b>tốn (Vòng 2) </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài </b> <b>ý</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>1.</b> <b>7,0</b>

<b>1.1</b> <i><b>(2,0 điểm)</b></i>

4 4

1 2 9 6 2

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> 









2 2

4 <i>_x</i> ₁ 4 <i>_x</i> ₃ ₂

    





4 <i>_x</i> ₁ 4 <i>_x</i> ₃ _{2 (1)} <i>_y</i> ₁ <i>_y</i> ₃ ₂ <i>_y</i> 4 <i>_x</i> _0;<i>_x</i> _{0 (2)}

             (1)

1,0

 0 <i>y</i> 1: <i>y</i> 1 0, <i>y</i> 3 0 <b>, </b>nên (2) 1 <i>y</i> 3 <i>y</i> 2 <i>y</i>1 (thoả
ĐK)

1
<i>x</i>

là một nghiệm của phơng trình (1)

1<i>y</i>3: <i>y</i>1 0, <i>y</i> 3 0 , nªn pt (2) <i>y</i>  1 3 <i>y</i> 2 0<i>y</i>0

do đó pt (2) có vô số nghiệm y (1 <i>y</i>3), suy ra pt (1) có vơ số nghiệm x (

1<i>x</i>81 ). _1,0

 <i>y</i>3: <i>y</i>1 0, <i>y</i> 3 0 , nªn pt (2) <i>y</i>  1 <i>y</i> 3 2  <i>y</i>3, pt v«
nghiƯm.

 VËy tËp nghiƯm cđa pt (1) lµ: <i>S</i> 



1; 81



_1,0

<b>1.2</b> <i><b>(3,0 ®iÓm)</b></i>

1 1 2

1 1 1 1

(*)

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

 

  

   

    0,50

Ta cã:



 





 

 



1 1 <i>c</i> <i>b</i>

<i>A</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>c b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>



  

   




  

0,50

Theo gi¶ thiÕt: 2

2

<i>a c</i>

<i>b</i>   <i>a c</i>  <i>b</i><i>b a c b</i>   , nªn:



 

 





 





 

 



<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>

<i>b a</i>
<i>A</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>

 



 

     

1,0







 





 





 



1 1

<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>

<i>A</i>

<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>

   

   

 

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>2.</b> <b>6,0</b>
<b>2.1</b> <i><b>(3,0 ®iĨm)</b></i>

2

2

3 5
1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

 



 (xác định với mọi <i>x</i><b>R</b>)





2

1 3 5 0 (**)

<i>y</i> <i>x</i> <i>x y</i>

     

0,5

 <i>y</i>1: pt (**) cã nghiÖm 4

3

<i>x</i>
 <i>y</i>1: để pt (**) có nghiệm thì:

2

9 4(<i>y</i> 1)(<i>y</i> 5) 4<i>y</i> 24<i>y</i> 11 0

         _1,0





2





25 5 5 5 1 11

3 0 3 3 1

4 <i>y</i> <i>y</i> 2 2 <i>y</i> 2 2 <i>y</i> 2 <i>y</i>

              

1,0

Vậy tập giá trị của y là 1 11;

2 2

 

 

 

, do đó 11; 1

2 2

<i>Max y</i> <i>Min y</i>

0,5

<b>2.2</b> <i><b>(3,0 ®iĨm)</b></i>





2 ₂ 2 ₃ ₂ ₄ _{3 0} 2 ₃ ₂ ₂ 2 ₄ _{3 0}

<i>x</i>  <i>y</i>  <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>   <i>x</i>  <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>  <i>y</i>  (***) _0,5

§Ĩ pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:

₃<i>_y</i> ₂

2 _{4 2}

_

<i>_y</i>2 ₄<i>_y</i> ₃

_

<i>_y</i>2 ₄<i>_y</i> ₈

         lµ sè chÝnh ph¬ng.









2

2 ₄ ₈ 2 ₂ 2 ₁₂

<i>y</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i>

    <b>Z</b>    

(<i>y</i> 2 <i>k y</i>)( 2 <i>k</i>) 12 ( )<i>a</i>

      _1,0

Ta cã: Tæng

_

<i>y</i> 2 <i>k</i>



(<i>y</i> 2 <i>k</i>) 2( <i>k</i>2) là số chẵn, nên

<i>y</i> 2 <i>k</i>

; (<i>y</i> 2 <i>k</i>) cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích
1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng tr×nh sau:

2 2 2 6 2 6 2 2

; ; ; ;

2 6 2 2 2 2 2 6

<i>y</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i>

<i>y</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i>

           

   

   

          

0,5

Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a):

<i>y</i>2;<i>k</i>2 ,

<i>y</i>2;<i>k</i>2 ,

<i>y</i>6;<i>k</i> 2 ,

<i>y</i>6;<i>k</i>2

_0,5

Thay các giá trị <i>y</i>2;<i>y</i>6 vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm
nguyên (x; y) là:

(<i>x</i>1;<i>y</i>2), (<i>x</i>3;<i>y</i>2);(<i>x</i>11;<i>y</i>6),(<i>x</i>9;<i>y</i>6) _0,5

<b>3.</b> <b>7,0</b>

<i><b>(4 </b><b>đ)</b></i> 3.1 Ta có: <i>COM</i> <i>CED</i>vì:

₉₀0

<i>O E</i> ; <i>C</i> chung. Suy ra:
.

(1)

<i>OM</i> <i>CO</i> <i>ED CO</i>

<i>OM</i>

<i>ED</i> <i>CE</i>   <i>CE</i>

Ta cã: <i>AMC</i><i>EAC</i> v×:



<i>C chung</i>,   0

45

<i>A E</i>  . Suy ra:

.

(2)

<i>AM</i> <i>AC</i> <i>EA AC</i>

<i>AM</i>

<i>EA</i> <i>EC</i>   <i>CE</i>

Tõ (1) vµ (2): . (3)

. 2

<i>OM</i> <i>OC ED</i> <i>ED</i>

<i>AM</i> <i>AC EA</i>  <i>EA</i> 1,0

<i>ONB EAB</i>

 



<i>O E</i>   90 ;0 <i>B chung</i>



<i>ON</i> <i>OB</i> <i>ON</i> <i>OB EA</i>. (4)

<i>EA</i> <i>EB</i> <i>EB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

   0 .

( , 45 ) <i>DN</i> <i>DB</i> <i>DB ED</i>(5)

<i>DNB</i> <i>EDB B chung D E</i> <i>DN</i>

<i>ED</i> <i>EB</i> <i>EB</i>

       

Tõ (4) vµ (5): . (6)

. 2

<i>ON</i> <i>OB EA</i> <i>EA</i>

<i>DN</i> <i>DB ED</i>  <i>ED</i> . Tõ (3) vµ (6):

1
2

<i>OM ON</i>
<i>AM DN</i>

Đặt <i>x</i> <i>OM</i> , <i>y</i> <i>ON</i>

<i>AM</i> <i>DN</i>

. Ta có: x, y không âm và:

2 2 0 2 2 1 2

2

<i>x</i> <i>y</i>   <i>x y</i> <i>xy</i>   <i>x y</i>  <i>xy</i>  

DÊu "=" xÈy ra khi: ₁ 1

2

2

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>
<i>xy</i>





  





 1,0

VËy: Tæng

min

1
2

2 2

<i>OM</i> <i>ON</i> <i>OM</i> <i>ED</i>

<i>khi</i> <i>EA ED</i>

<i>AM</i> <i>DN</i> <i>AM</i> <i>EA</i>

 

     

 

 

E lµ trung điểm của dây cung <i>_AD</i>. _1,0

<b>3.2</b> <i><b>(3,0 điểm)</b></i>
<i>GKH</i>

có cạnh GH cố định, nên chu vi của nó lớn nhất khi tổng <i>_{KG KH}</i>

lín nhÊt.

Trên tia đối của tia KG lấy
điểm N sao cho KN = KH.
Khi đó, <i>_HKN</i> cân tại K. Suy

ra  1

2

<i>GNH</i>  <i>GKH</i> vµ

<i>KG KH</i> <i>KG KN GN</i> 

mµ  1

2

<i>GKH</i>  <i>GH</i> (gãc néi

tiếp chắn cung nhỏ <i>_GH</i> cố
định), do đó <i>_GNH</i> khơng đổi.
Vậy N chạy trên cung tròn
(O') tập hợp cỏc im nhỡn

đoạn GH díi gãc 1

4<i>GOH</i>

 

khơng đổi. 1,5

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính của
cung trịn, suy ra <i>GHK</i> vng tại H, do đó <i>_KGH</i> _<i>_KHG</i> (vì lần lợt phụ với
hai góc bằng nhau). Khi đó, K là trung điểm của cung lớn <i>_GH</i> .

</div>

<!--links-->