Đề thi HSG cấp huyện môn Toán lớp 8 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Nam Trực

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM TRỰC
ĐỀ CHÍNH THỨC .

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn: TỐN – Lớp: 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm: 01 trang

Bài 1. (4,0 điểm)
1. Phân tích thành nhân tử: x2 – 2x – 4y2 - 4y
2. Rút gọn biểu thức:
Bài 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình:
a)

x + 3 2x - 1 x - 3
x + 1 x -1 x 2 -1

x+2
3
3
+
= 2
+1
x +1 x - 2 x - x - 2

b) (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72
2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24
Bài 3. (3,0 điểm)
1

1

4

a) Với x > 0, y > 0. Chứng minh rằng: x + y ≥ x + y
1

1

1

b) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn: x + y + z = 0 . Tính
yz

xz

xy

giá trị của biểu thức: A = x 2 + 2 yz + y 2 + 2 xz + z 2 + 2 xy
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M
là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM; a cắt AB, AC lần lượt tại
I và K.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EFC
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK; b cắt đường thẳng AH,
AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: NC = ND và HI = HK.
AH BH CH
+
+

>6
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:
HE HF HG

Bài 5. (2,0 điểm)
Trên một mặt phẳng cho trước, giả sử rằng mỗi điểm đều được tô màu đỏ hoặc
màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vng cân có ba đỉnh cùng màu.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM TRỰC

Bài

Nội dung
1 x – 2x – 4y - 4y = x – 2x + 1 – 4y2 - 4y – 1
= (x – 1)2 – (2y + 1)2
= (x – 1 + 2y + 1)(x – 1 – 2y – 1)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
2 x + 3 - 2x - 1 - x - 3 = ( x + 3)( x − 1) − (2 x − 1)( x + 1) − ( x − 3)
2

1

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn: TỐN – Lớp: 8

x +1

2

x -1

2

( x + 1)( x − 1)

x 2 -1

x + 2 x − 3 − (2 x 2 + x − 1) − x + 3
=
( x + 1)( x − 1)
2

- x2 +1
= 2
x −1
= -1

1 Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ 2

2

Điểm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

x+2
3
3
+
= 2
+1
x +1 x - 2 x - x - 2
x+2
3
3
<= >
+
=
+1
x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)
<= >( x + 2)( x − 2) + 3( x + 1) = 3 + ( x + 1)( x − 2)

<= > x 2 − 4 + 3x + 3 = 3 + x 2 − x − 2
<= >4 x = 2
1
<= >x = (t/m đk)
2
1
Vậy PT có nghiệm x =
2

2 (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72
Đặt x + 7 = t. Ta có: (t+1)(t-1)t2 = 72
< => (t2 -1)t2 = 72 < => t4 – t2 – 72 = 0

< => (t2+8)(t2-9) = 0
< => t2 – 9 = 0 (vì t2+8 > 0)
< = > t = 3 hoặc t = -3
= > x = - 4; x = -10
kết luận nghiệm
3 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24 < => (2x +1)2 + (y – 3)2 = 34
Ta có: 34 = 12 + 33 = 32 + 25 = 52 + 9=(-1)2 + 33 = (-3)2 + 25 = (5)2 + 9
Chỉ có 8 trường hợp:

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ


2x+1
y-3
x

y

5
3
2
6

-5
-3
-3
0

3
5
1
8

-3
-5
-2
-2

5
-3
2
0

-5
3
-3

0

3
-5
1
-2

-3
5
-2
8

Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là
(2;6), (-3;0),(1;8), (-2;-2), (2;0), (-3;0), (1;-2), (-2;8)
3

1,0 đ

0,25đ

1 Với x > 0, y > 0.
1 1
4
+ ≥
⇔ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy
x y x+y

0,5 đ

⇔ ( x − y) 2 ≥ 0

0,5 đ

Luôn đúng với mọi x, y
2

1 1 1
yz + xz + xy
+ + = 0. =>
= 0 ⇒ yz + xz + xy = 0 ( vì x, y, z
x y z
xyz
khác 0)
=>yz = -xy – xz ⇒ x 2 + 2 yz = x 2 + yz − xy − xz = ( x − z ).( x − y )
z 2 + 2 xy = ( z − x ).( z − y )
Cmtt ta có: 2
y + 2 xz = ( y − z ).( y − x )
Khi đó ta có:
yz
xz
xy
A=
+
+
( x − z ).( x − y ) ( y − z ).( y − x) ( z − x).( z − y )
yz.( y − z ) + xz ( z − x) + xy ( x − y )
=
( x − z )( x − y )( y − z )
Từ gt

yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy [ ( x − z ) − ( y − z ) ]
( x − z )( x − y )( y − z )
x( x − z )( y − z ) − y ( y − z )( x − z )
=
( x − z )( x − y )( y − z )
( x − z )( x − y )( y − z )
=
=1
( x − z )( x − y )( y − z )
=

4

0,25 đ

0,25 đ
0,5 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ


1

Cminh: ∆AEC : ∆BFC ( g .g ) ⇒

CE CA
=

CF CB

Xét ∆ABC và ∆EFC có:
CE CA
µ chung => ĐCCM
=
và C
CF CB

2 Vì CN // IK nên HM ⊥ CN

Từ đó suy ra M là trực tâm của ∆HNC
=> MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD
nên MN// AD
Do M là trung điểm BC => NC = ND
Từ đó chứng minh: HI = HK ( Talet)

3

5

HA S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH
=
=
=
=
HE SCHE S BHE SCHE + S BHE
S BHC
HB S BHC + S BHA HC S BHC + S AHC
=

;
=
Cmtt ta có:
HF
S AHC
HG
S BHA
S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC
HA HB HC
+
+
≥6
=>
= =
+
+
S BHC
S AHC
S BHA
HE HF HG
Dấu “=” xảy ra <=> Tam giác ABC đều, mà theo gt AB < AC nên dấu
bằng không xảy ra
HA HB HC
+
+
>6
Vậy
HE HF HG
Ta có:

- Nếu mỗi điểm chỉ được tơ màu đỏ hoặc màu xanh khi đó ln
tìm được 3 đỉnh cịn lại của hình vng cùng màu. Suy ra bài
tốn ln xảy ra.
- Nếu có hai điểm phân biệt cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh:
+ Giả sử A, B là hai điểm phân biệt cùng màu đỏ. Ta vẽ hình
vng ABCD tâm O.
+ Nếu C màu đỏ thì tam giác ABC vng cân có ba đỉnh cùng
màu. Tương tự với điểm D
+ Nếu C, D cùng màu xanh. Khi đó, nếu O màu đỏ thì tam giác
ABC vng cân có ba đỉnh cùng màu đỏ. Cịn nếu O màu xanh
thì tam giác OCD vng cân có 3 đỉnh cùng màu xanh
Tóm lại trong tất cả các trường hợp ta đều tìm được tam giác
vng cân có 3 đỉnh cùng màu.

1,0 đ

1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,75 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ