Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Tây Ninh

Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH.

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015
Ngày thi: 21 tháng 06 năm 2014
Môn thi: TỐN (chun)
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang, thí sinh khơng phải chép đề vào giấy thi)
1
1
2 x
với x  0 và x  4 .


2 x 2 x 4 x
1
Rút gọn A và tìm x để A =
3
Câu 2: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Câu 1: (1 điểm) Cho biểu thức A =

x 2  2 3.x  3 = 0
2 x  3 y  2  a
Câu 3: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình 
 x  2 y  3a  1
y

Có nghiệm (x; y) sao cho T =
là số nguyên.
x
Câu 4: (1 điểm) Định m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0
có hai nghiệm x1 , x2 sao cho T = x1(x1 – x2) + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
42 3 –





Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình: 2 1  x 2  x  1  x  x  1
Câu 6: (1 điểm) Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048.
Câu 7: (1 điểm) Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ AB bằng đường cao AH
(H thuộc CD), đường chéo vng góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang đó.
Câu 8: (1 điểm) Cho đường trịn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vng góc với AB tại I (I
nằm trong đoạn AB). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM cắt d lần lượt tại hai điểm C
và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp.
Câu 9: (1 điểm) Từ điểm C nằm ngoài đường tròn tâm (0), vẽ hai tiếp tuyến CA, CB của (0) trong
đó A, B là các tiếp điểm. Đường tròn (I) tâm I đi qua C, tiếp xúc với AB tại B và cắt (0) tại M khác B.
Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm BC.
Câu 10: (1 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:
2

Chứng minh rằng

2

xy  yz  zx  1 .

2

x
y
z
1


 .
x y y z z x 2
…………. HẾT ………….

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GỢI Ý
Ta có: A =

Câu 1

2 x

2 x



2 x
4 x



1
3





1



2 2 x





2 2 x
4
2 x
=


4 x 4 x
4x

A=
Với A =

1

4 x
2

2 x

= 1
3

=

1
3

 x4
 x = 16 (nhận)
1
Vậy A =
khi x = 16
3
x 2  2 3.x  3 = 0

Ta có: 4  2 3 –

Phương trình đã cho tương đương:


Câu 2

 x  3

2



1  3 

1  3 

2



 x  3

2

=0

2

 x  3  1 3
 x  3  3 1  x  2 3  1



x  1
 x  3  1  3
Vậy phương trình có nghiệm ngun dương là: x = 1

2 x  3 y  2  a
x  a 1
hệ đã cho có nghiệm (x, y) với 
 x  2 y  3a  1
y  a
y
a
1
Mà T = =
=1 
x a 1
a 1
a  1  1
a  0
Vì a nguyên, để T nguyên thì điều kiện là 
hay 
 a  1  1
 a  2

Ta có: 
Câu 3

Câu 4

Phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 2


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2

 '   m  1   m2  1
 '  2m  0  m  0

 x  x  2  m  1
Theo hệ thức Vi-et thì:  1 2 2
 x1 .x2  m  1

T = x  x  x1.x2
T = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = m2 + 8m + 1
Do m  0 nên T  1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1, khi m = 0.
2
1

2
2





Phương trình: 2 1  x2  x  1  x  x  1 (1)

Câu 5

Đặt t = x 2  x  1 với t > 0
Từ (1)  t2 – 2t – 3 = 0
Giải phương trình ta được: t = 3 (nhận) , t = – 1 (loại)
Với t = 3 thì ta có phương trình: x 2  x  1 = 3
 x2 + x – 8 = 0
1  33
2
1  33
x2 =
2

Giải phương trình ta được: x1 =

Câu 6

Ta có: T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048
T = (x + 2)2 + 2(y - 3)2 - 2(x + 2)(y - 3) + 2014
2
2
T =  x  2    y  3    y  3  + 2014
 x  2
y  3

Suy ra: T  2014 , T = 2014 khi và chỉ khi 
Giá trị nhỏ nhất của T là: 2014.

Câu 7

C/m:
Kẻ BK  CD (K  CD). Đặt AB = AH = BK = HK = a > 0
Do ABCD là hình thang cân nên DH = CK =

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

10  a
2

Trang | 3


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Suy ra: CH = HK + CK = a +

10  a
a  10
=
2
2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADC vuông tại A
Ta có: AH2 = DH.CH
 a2 =

10  a 10  a
.
2
2

Giải ta tìm được: a = 2 5 (do a > 0)
Vậy độ dài đường cao hình thang là: 2 5 .
Cho đường trịn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vng góc với AB tại
I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM
cắt d lần lượt tại hai điểm C và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng
minh tứ giác ACDE nội tiếp

Câu 8

C/m:
Ta có tam giác DEB cân tại D (vì DI  EB và I là trung điểm EB)
  DBE
 (1)
Nên: DEA
  DCM
 (cùng phụ CDM
 ) (2)
mà: DBE
  DCM

Từ (1) và (2)  DEA

  DCA
  1800
Mà: DCM
  DCA
  1800
nên: DEA
vậy: Tứ giác ACDE có tổng hai góc đối bằng 1800
Do đó: Tứ giác ACDE nội tiếp được trong đường tròn.
Câu 9

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

C/m:
Đường thẳng AM cắt đường tròn tâm (I) tại D

 (cùng chắn 
AM của (0))
ABM  MAC


 của (I))
ABM  BDM (cùng chắn BM
  BDM

  AC // BD (1)
Suy ra: MAC
  BAM
 (cùng chắn BM
 của (0))
MBC
  MDC
 (cùng chắn MC
 của (I))
MBC
  MDC
  AB // CD (2)
Suy ra: BAM
Từ (1) và (2)  ABDC là hình bình hành
Do đó: AM đi qua trung điểm của BC.

xy
x2
xy
xy
 x
 x
 x
Ta có:
x y
x y
2
2 xy

yz

y2
 y
Tương tự:
yz
2

và
Câu 10

z2
zx
 z
zx
2

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế thì được:
1
x2
y2
z2


 x+y+z2
x y y z z x

vì x + y + z 
2

nên

xy +
2

yz +

zx = 1

2

1
x
y
z



x y y z z  x
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = …

Hết rồi ! .. ! .. ?

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em u thích tốn và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em cịn hỗ trợ học tập thơng qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 6