Sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông - Phần 2

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng
« Đây là sáng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin
gửi tặng tailieu.vn”

Phần 2: Nội dung SKKN.
1. Nội dung lí luận (bổ túc kiến thức về tích phân):
1) Cơng thức tính đạo hàm
1) c '  0 (C là hằng số).
2) x  '   . x  1

1) u '  .u 1.u /

1
1
3)   '   2 ( x  0)
 x

7)
8)

x
1

u

x  0
2 x
sin x  '  cos x
cos x  '   sin x
tan x  '  1 2
cos x

cot x  '   1 2
sin x
x
x
e 'e

4) ( x )' 
5)
6)

1
u'
2)   '   2 ( x  0)

x  0
2 u
4) sin u  '  u '. cos u
3) ( u )' 

5) cos u  '   sin u . u '
u'
cos 2 u
u'
7) cot u '   2
sin u
u
u
8) e '  e .u '

6) tan u ' 

9)  
10) a x  '  a x . ln a
11) ln x  ' 

 
9) a '  a . ln a . u '
u

1
x

12) log a x  ' 

u
u'

u

10) log a u ' 
1
x ln a

u'
u ln a

u'
11) ln u ' 
u

2)Quy tắc tính đạo hàm
1. (u  v  w)'  u 'v' w'
u
u '.v  u.v'
4.   ' 
2
v

6. y '

x

v

2. (k.u)’ =k.u’ 3. (u.v)’ =u’.v + u.v’
(v  0 )

 y ' u .u ' x

1
 v'
5.   '  2
v

 ax  b 

7. 
 cx  d 

(v  0 )

v

/
'



a.d  b.c
(cx  d ) 2

3) Cơng thức tính vi phân
Cho hàm số y =f(x) xác định trên (a,b) và có đạo hàm trên (a,b)
Kí hiệu d(f(x)) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x
Và d ( f ( x))  f ' ( x)d ( x)
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

1


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

4) Cơng thức tính nguyên hàm :
1.

 dx  x  C

3.

x

5.

x
x
 e dx  e  C

1

x  1
2.  x dx 
+C (   -1)
 1
1
1
4.   dx=
+C (   1)
(  1) x  1
x


dx=ln x +C

7.  sin xdx   cos x  C
9.

1

 cos

2

x

dx = tanx+C

6.

x
 a dx 

8.
10.

ax
C
ln a

 cos xdx  sin x  C
1

 sin

2

x

dx= - cotx+C

5)Định nghĩa tích phân

Cho hàm số y =f(x) liên tục trên a, b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên a, b . Hiệu số F(b)- F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác
định trên a, b của hàm số f (x), kí hiệu là



b

a

f ( x)dx .

Ta cị n dùng kí hiệu F ( x) ba  F (b)  F (a) .
Ta cò n gọi



b

a

là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới

dấu tích phân và f(x) là hàm dưới dấu tích phân.
6). Phương pháp đổi biến số
Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên  a; b 
Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  ,   sao cho
 (a)  a, (  )  b và a   (t )  b với mọi t thuộc  ,  

thì



b

a



f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt


7) Phương pháp vi phân:
Khi gặp tích phân có dạng I =



 f (u )u dx
'

Vì du = u’dx
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

2


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng




 f (u)u dx   f (u )du  F (u )   F ( )  F ( )
'



8)Phương pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì :
b



b

b



u ( x)v ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x)dx
a a
a
'

b

hay

b

b

 udv  uv a   vdu .
a

a

Áp dụng cơng thức trên ta có qui tắc cơng thức tích phân từng phần sau:
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv  uv dx bằng cách chọn một phần thích
'

hợp của f(x) làm u(x) và phần cịn lại dv  v ( x )dx.
'

 Bước 2: Tính du  u dx và v 
'

b

 Bước 3: Tính





dv  v ' ( x)dx .

b

b
vdu  vu ' dx và uv .

a
a
a





 Bước 5: Áp dụng công thức trên.
2. Thực trạng thực tế khi chưa thực hiện SKKN và giải pháp mới
Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm một đề gồm 3
câu hỏi trong thời gian 45 phút
Đề 1
Bài tốn 1: Tính tích phân sau

4
0



d (sin x)
sin x

Bài tốn 2: Tính tích phân sau

4
0



sin 2 xdx
4  cos 2 x

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

3


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Bài tốn 3 : Tính tích phân sau

2
0



x cos xdx

Kết quả học sinh khi chưa được triển khai SKKN
Điểm

2

3

4

5

6

7

8

9

Số
lượng

5

3

5

10

5

7

5

0

Phần
trăm

12,5

7,5

12,5

25

12,5

17,5

12,5

0

- Các em hầu hết làm được câu 1. Tuy nhiên câu 2,3 chỉ có một số học sinh giải
được nhưng chưa thực sự trọn vẹn. Một số học sinh thực hiện việc đổi biến ở câu 2
nhưng quên không đổi cận. Một số học sinh cịn chưa nắm vững cơng thức tích
phân từng phần. Các em rất muốn có những lời khuyên để tiếp cận được các các bài
tập trên.
* Giải pháp mới: Tôi đưa ra 6 bài tốn trong đó
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh.
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

4


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

4. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập tổng qt, hoặc cụ thể hóa bài tốn đó
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Bài tốn 1:
Tính tích phân sau:
d (1  2e x )
0 1  2e x
1
ex
b) 0
dx
1  2e x

1.1 a)

1

Giải
a)

1  2e
d (1  2e x )
x 1
0 1  2e x  ln 1  2e 0  ln 3
1

b)
Cách 1:

Nhận xét: Ta có 1  2e x   2e x  2e x dx  d (1  2e x )  e x dx  d (1  2e x )
1
2

'

Từ đó:
1 1 d (1  2e x ) 1
1 1  2e
ex
x 1
dx
=

0 1  2e x 2 0 1  2e x  2 ln 1  2e 0  2 ln 3
du
Cách 2: Đặt (1+2e x ) = u, du =2e x dx  e x dx 
2
x  0  u  3

 x  1  u  1  2e
1

ex
1 1 2e du 1
0 1  2e x dx = 2 3 u  2 ln u
1

1 2 e
3



1 1  2e
ln
2
3

Bì nh luận:
- Cách 1 thực chất là phép đổi biến giống cách 2 . Đây là phương pháp dựa vào
vi phân để tính tích phân
- Tuy nhiên sử dụng cách 1 ở một số bài tập có nhiều ưu điểm
+ Khơng cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết.
+ Cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mất nhiều thời gian.

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

5


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

- Ở cách 2 biến đổi dài hơn nhưng một số bài tập tích phân phức tạp và cồng
kềnh thì phương pháp đổi biến là sự lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn.
- Trong khi giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm bài tập bằng
nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, củng cố kiến thức, qua đó các em có thể
chọn cho mình cách giải thích hợp, tối ưu nhất cho mỗi dạng bài tập đồng thời
phát triển tư duy sáng tạo cho các em.
- Trong quá trì nh học, một phương án được gọi là phát triển tư duy nếu các bài
tập giải xong để tạo nên các bài tập khác. Giáo viên làm mẫu trước sau đó
hướng dẫn các em làm theo.
Cách tạo ra các bài tập mới từ 1.1
1
1
ex
ex
2
=
+
)
dx
x
dx
0
0 1  2e x dx

1  2e x
x3
1 1  2e 1 1 1  2e
= 10  ln
= + ln
3
2
3
3 2
3
1

*)Từ 0 ( x 2 

Vậy ta có bài tốn mới:
x 2  e x  2 x 2e x
1)Tính tích phân: 0
dx (A-2010)
1  2e x
1

Khi giải bài tập này ta làm như sau:
x 2  e x  2 x 2e x
0 1  2e x dx =
1

1
x 2 (1  2e x )  e x
ex
2

dx
=
(
x
)dx

0 1  2e x
0
1  2e x
1

Sau đó tiếp tục làm như trên.
x 2  e x  2 x 2e x
1 1 1  2e
0 1  2e x dx = 3 + 2 ln 3




ex
ex
2
2
2
2
*) 0 (sin x  cos x 
)dx =  sin xdx +  cos xdx + 
dx
0
0 1  2e x

0
1  2e x
1





1
2

=  cos x 02  sin x 02  ln 1  2e x

2


2


2
0


1
2

=  (cos  cos 0)  sin  sin 0  (ln 1  2e 2  ln 3
1
2



= 2  (ln 1  2e 2  ln 3
Hay


2
0




ex
(sin x  cos x)(1  2e x )  e x
2
(sin x  cos x 
)
dx
=
dx
0
1  2e x
1  2e x

sin x  cos x  2e x sin x  2e x cos x  e x
= 02
dx
1  2e x

sin x  cos x  e x (2 sin x  2 cos x  1)

= 02
dx
1  2e x

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

6


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Vậy ta có bài tập mới
2)Tính tích phân

2
0





sin x  cos x  e x (2 sin x  2 cos x  1)
1
dx ( Đáp số: 2  (ln 1  2e 2  ln 3)
x
1  2e
2
1

*) 0 (1 

ex
)dx 
1  2e x

1



0

ex
1 1  2e
1 1  2e
ln
dx  x 10  ln
=1x
01  2e
2
3
2
3
1

dx - 

Hay
1  ex
1 1  2e
dx ( Đáp số 1- ln

)
x
1  2e
2
3

1

3)Tính tích phân: 0

Tương tự ta có thể sáng tạo một loạt các bài tập sau:
1.2) Tính tích phân

4
0

d (1  sin 2 x)
1  sin 2 x

2 cos 2 xdx
b) 04
1  sin 2 x

1  2 sin 2 x
c ) 04
dx ( B-2003)
1  sin 2 x

sin x  cos 2 x  sin x. sin 2 x
dx

d) 04
1  sin 2 x

a)



Giải:


d (1  sin 2 x)
 ln 1  sin 2 x
1  sin 2 x

a) 04
b)
c)


2 cos 2 xdx
d (1  sin 2 x)
= 04
 ln 1  sin 2 x
1  sin 2 x
1  sin 2 x


4
0

1  2 sin 2 x
dx
1  sin 2 x



= 04


4
0

 ln 2

cos 2 x
1  d (1  sin 2 x) 1
dx =  4
 ln 1  sin 2 x
1  sin 2 x
2 0 1  sin 2 x
2


4
0

d) 

 ln 2


4
0





4
0

sin x  cos 2 x  sin x.sin 2 x
dx 
1  sin 2 x

=


4
0



cos 2 x
(sin x 
)dx 
1  sin 2 x

  cos x
1


4
0


4
0




4
0




4
0



1
ln 2
2

sin x  sin x.sin 2 x  cos 2 x
dx
1  sin 2 x

sin xdx 


4
0





cos 2 x
1
dx   cos x 04  ln 2
1  sin 2 x
2


1
2
1
1
 1)  ln 2
 ln 2 =  (cos  cos 0)  ln 2  (
4
2
2
2
2

2 1
 ln 2
2 2

1.3) Tính tích phân
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

7


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

4
0

d ( x sin x  cos x)
x sin x  cos x

x cos xdx
b) 04
x sin x  cos x

x sin x  cos x  x cos x
c) 04
dx( A  2011)
x sin x  cos x

x sin 2 x  sin x cos x  x cos x
4
d) 0

dx
x sin x  cos x

a)



Giải
a)
b)


4
0


4
0

d ( x sin x  cos x)
 ln x sin x  cos x
x sin x  cos x


4
0


x cos xdx
d ( x sin x  cos x)

= 04
 ln x sin x  cos x
x sin x  cos x
x sin x  cos x





 ln

2  
1  
2 
4

4
0

 ln

2  
1  
2 
4

Theo khảo sát ở phần trước, theo phương pháp truyền thống thơng thường
nếu học sinh làm xong bài tốn



4
0



x cos xdx
x sin x  cos x

giáo viên dừng lại ngay. Sẽ khơng có định hướng để các em tiếp tục phát triển
tư duy, chính vì vậy khơng có nhiều em giải chính xác bài tốn thi đại học A2011, nhưng nếu người thầy sử dụng theo phương pháp mới đưa ra các bài
toán tương tự và liên hệ chúng với nhau nhờ đó học sinh có thể dễ dàng giải
được các bài tốn tưởng chừng khá phức tạp.Từ đó giúp tư duy của các em
linh hoạt hơn.Các em giải khá nhanh bài tập này.
c)


4
0



x sin x  cos x  x cos x
dx 
x sin x  cos x




= 04 dx  04


4
0



(1 

x cos x
)dx
x sin x  cos x



x cos xdx
2   
2 
 x 04  ln
1   =  ln
1  
x sin x  cos x
2 
4 4
2 
4


4
0


x sin 2 x  sin x cos x  x cos x
sin x( x sin x  cos x)  x cos x
d) 
dx =  4
dx
0
x sin x  cos x
x sin x  cos x



x cos x
x cos x
= 04 (sin x 
)dx =  4 sin xdx +  4
dx
0
0 x sin x  cos x
x sin x  cos x

4
0

=  cos x + ln
= (


2 
2  

1    (cos  cos 0) + ln
1  
2 
4
4
2 
4

2
2

2  
2
 1) + ln
+ ln 1  
1   = 1 
2
2
2 
4
2 
4

1.4)Tính tích phân
a)


4
0



esin x d sin x

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

8


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

4
0

4
0

4
0

4
0

b)



esin x cos xdx

c)



(esin x  cos x) cos xdx ( ĐH- D-2005)

d)



(esin x  2) cos xdx

e)



(esin x  sin x) cos xdx

Giải
a)

c)

e


4
0

esin x cos xdx =  4 esin x d sin x  esin x 04  e


4
0

(esin x  cos x) cos xdx =  4 esin x cos xdx +  4 cos 2 x dx





b)


sin x 4
0


4
0



sin x

d sin x  e






4
0



1 



3
4



 1  2 sin x


4
0

1
1 4
cos
2
x
dx
+
dx
2

2 0

1 
2
2

1 

1 

4 8


8

d) 04 (esin x  2) cos xdx =



2
2

1
1
1  sin 2 x 04  x 04 = e
4
2

=e - 


4
0

0

cos 2 x  1
dx = e
2


2
2

1



0

2
2

2
2

e)

2
2

0

=e

e

1



=e

2
2

e

2
2


4
0

e

2
2


4
0





esin x cos xdx + 2 4 cos xdx
0

 1  2 sin


=e
4

2
2

1 2





(esin x  sin x) cos xdx =  4 esin x cos xdx +  4 sin x cos xdx
0

=e

0

2
2

1 

1
2


4
0



2

sin 2 xdx


2

2

= e 2  1  cos 2 x 04 = e 2  1  1 = e 2
1.5) Tính tích phân

2

0

2
0

a)

 1  3sin x  d 1  3sin x 

b)



c)


2
0



2

1
2

sin 2 x
1  3 sin 2 x
sin 2 x

2

dx

cos 2 x  4 sin 2 x

dx (ĐH-A-2006)

Giải
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

9


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

2
0

 1  3sin x  d 1  3sin x  = 2(1  3sin

a)


2
0



b)

1
2

2



sin 2 x
1  3 sin x
2



dx =  2 1  3 sin 2 x
0

1 
2
0

2
3

2

= (1  3 sin 2 x) 2



1
2

2

1 
2
0

x) 2

sin 2 xdx =



1
3

1 2
1  3 sin 2 x
3 0



 d 1  3sin x 
1
2

2

2
3



c)
Cách 1:

2
0



sin 2 x



cos x  4 sin x
2

2

1 
2
0

2
(1  3 sin 2 x) 2
3

=

dx =  2
0





sin 2 x
1  sin x  4 sin x
2

2

dx =  2
0

sin 2 x
1  3 sin 2 x

dx

2
3

Cách 2:

2
0





sin 2 x
cos 2 x  4 sin 2 x

dx =  2

Đặt t = 1+3sin2x 

0

sin 2 x
1  3 sin 2 x

dx

dt
 sin 2 xdx
3

Đổi cận


 t  4, x  0  t  1
2

sin 2 x

1
Khi đó 02
dx =
2
2
3
cos x  4 sin x
x



4

1

dt 2

t
t 3

4
1



2
3

Tổng quát:


2
0

Để tính I = 

sin x. cos xdx
a cos 2 x  b 2 sin 2 x
2

dx(a, b  0)

Ta đặt t = a2cos2x+ b2sin2x

Bài toán 2: Xét bài toán đơn giản
Tính tích phân:


2

 3sin x  4 cos x dx
0

Bài làm:

2



 3sin x  4 cos x dx =  3 cos x  4 sin x  02

 437

0

Nhận xét:
1) Muốn đưa tích phân trên trở thành bài toán phức tạp hơn ta làm như sau:
Bước 1: Phân tích
3 sinx+4cosx = A( sinx- cosx) + B( sinx+cosx)
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

10


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

= sinx(A+B) +cosx( B –A)
Bước 2: Đồng nhất hệ số ta được
1

A
 A  B  3 
2


B  A  4 B  7

2

Bước 3: Đưa:
1

7
( sinx+cosx)
2
2
1
7
2
 sin x  cos x   sin x  cos x sin x  cos x 
2
= 2
sin x  cos x
1
7
7
 sin 2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x
2
2
= 2
sin x  cos x

3 sinx+4cosx = - ( sinx- cosx) +





1
3 sin 2 x  4 cos 2 x  sin 2 x
2
=

sin x  cos x

Vậy ta có bài tốn tích phân phức tạp hơn sau:
Tính tích phân
1
3 sin 2 x  4 cos 2 x  sin 2 x
2
dx
0
sin x  cos x


2

2) Bằng cách làm tương tự ta có các bài tập sau:
Tính tích phân:
a)


2

10 cos 2 x  3 sin 2 x  2
0 sin x  cos x dx

2

14 cos 2 x  5 sin 2 x  2
b) 
dx
sin x  cos x

0

Bài tốn 3:
Tính tích phân:
3.1) I =


2

3 sin x  (sin x  1) cos x
dx
sin
x
0



Ta có nhận xét:
cosx =(sinx)’
sin x + 1 là hàm số đối với sinx
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

11


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Vậy ta có cách làm như sau:

2


2


2


2

I =  3dx +



(sin x  1) cos x
dx
sin x

= I1 +I2



I1 = 3x 2 =3 


2

Tính I2




 x   2  t  1
Đặt sinx = t , dt =cosx dx 
x    t  1

2

I2 =


2





1

1

(sin x  1) cos x
(t  1)
dx = 
dt =  dt 
t
sin x
1
1

1

dt
= t 11  ln t
t
1



1
1

2

2

Vậy I =3  +2
2) Bài toán trên được biến đổi thành .
Tính tích phân
a)


2

cos x  sin x(3  cos x)
dx
sin x
0



2

x
x

3 sin x   sin  cos  cos x
2
 2
b) 
dx
sin x
0

2

3.2) Tương tự
Tính tích phân sau:

2

10  sin x(5  cos x)
dx .
sin x
0



Giải
Bài toán được biến đổi thành


2


2

10  sin x(5  cos x)
5(sin x  2)  sin x. cos x
’
dx = 
dx . Với cosx = (sinx+2)
sin x  2
sin x  2
0
0



Đặt sinx + 2 = t thì dt = cos x dx
Đổi cận: x  0  t  2, x 

2


t 3
2

5(sin x  2)  sin x. cos x
dx 
sin x  2
0




2

 5dt 
0

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A


2

t  2dt
sin x cos x

dx = 5 + 
sin x  2
2 0
t
12


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng


2



2


2

2
t


2


2

2
t
0

=5 +  (1  )dt =5 +  dt -  dt = 6
0

0


- 2ln t
2

3
2


2

=6 - 2ln3+2ln2

3.3) Xét tích phân:

4

(sin 2 x  1) cos 2 x
dx
sin 2 x  1
0



Nhận xét:
Ta có (sin2x+1)’ = 2cos2x
Đặt sin2x+1 = t thì dt = 2cos2x dx
Đổi cận x  0  t  1, x 

4


t 2
4

2

2

(sin 2 x  1) cos 2 x
1 (t  2)
1
2
0 sin 2 x  1 dx = 2 1 t dt = 2 1 (1  t )dt
2

2

dt
1
dt -  dt

t
21
1
1
1
= t 12 - ln t 12 =  ln 2
2
2

=

Bằng phương pháp như trên ta có thể làm bài tập sau:

4

cos 2 x

 sin 2 x  1 dx
0

Áp dụng cơng thức nhân đơi ta có thể biến đổi thành

4



4
cos 2 x
1  2 sin 2 x

dx
0 sin 2 x  1 0 sin 2 x  1 dx

Đây chính là đề B-2003
3.4 Tính tích phân


2

2 sin x. cos 2 x
0 cos x  1 dx

*) Xét hàm số
2 sin x. cos 2 x
1  cos x

*) Với ( 1+cosx)’ =sinx
Đặt 1+ cosx = t  dt   sin xdx
Đổi cận x  0  t  2, x 


 t 1
2


2

1
1
2
 t2

1
2 sin x. cos 2 x

t  1
  2t  ln t  12  1  2 ln 2



dx
=2
(

dt
)


2
(
t
2
)
dt
2
0 cos x  1
2 t
2
t
2


*) Biến đổi
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

13


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng
2 sin x. cos 2 x sin 2 x. cos x

1  cos x
1  cos x

Ta có bài tốn

2

sin 2 x. cos x
dx ( B-2005)
cos x  1
0



1

ex
0 1  2e x dx

3.5) Tính tích phân:
Ta có nhận xét:
'
1) 1  2e x   2e x

Đặt 1  2e x   t  dt  2e x dx  e x dx 

dt
2

Đổi cận: x  0  t  3, x  1  t  1  2e
1

ex
0 1  2e x dx =
1

1
2

1 2 e


3

dt 1
 ln t
2
t
1

1 2 e
3

1 2e  1
 ln
2
3

1

e
ex
1 3
1 2e  1 1 1 2e  1
2
2)  ( x 

)
dx

x
dx

dx  x 10  ln
= + ln
x
x


1  2e
1  2e
3
2
3
3 2
3
0
0
0
2

1

Hay 
0

x

x 2 (1  2e x )  e x
dx 
1  2e x

1

x 2  e x  2 x 2e x
1 1 2e  1
0 1  2e x dx = 3 + 2 ln 3

Vậy ta có bài tốn
Tính tích phân:

1

x 2 (1  2e x )  e x
0 1  2e x dx

( ĐH – A_2010)

4

x. cos x

 x.sin x  cos x dx

3.6) Tính tích phân:

0

Nhận xét:
(xsinx+cosx)’ = x.cosx
Đặt xsinx+cosx = t  dt  x. cos xdx
Đổi cận: x  0  t  1, x 

4

x. cos x
0 x.sin x  cos x dx =


2 
t 
(  1)
4
2 4

2 
 1 
2 4 


1

=ln

dt
 ln t
t

1

2 
( 1)
2 4

2 

  1
2 4 

*) Xét bài toán
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

14


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

4

Tính tích phân:  (1 
0


4


4

x. cos x
x. cos x
)dx =  dx + 
dx
x. sin x  cos x
.
sin

cos
x
x
x
0
0

=
Hay


4


0


2 
+ ln   1
4
2 4



x.sin x  cos x  x. cos x

2 

dx  + ln
  1
2 4
x.sin x  cos x
4


4



Ta có bài tốn: Tính tích phân

0

x.sin x  (1  x). cos x
dx
x.sin x  cos x

( Đại học A-2011 )
3

3.7) Tính tích phân: 

ln x  1
dx
x. ln x

Nhận xét:
Ta có (xlnx)’ =1+ lnx
Đặt x.lnx = t  dt = ( 1+ lnx)dx
Đổi cận: x  e  t  e, x e 2  t  2e 2
2e 2




e

ln x  1
dx =
x. ln x

2e 2


e

dt
 ln t
t

2e 2
e

 ln 2e 2  1  ln 2  2  1  ln 2  1

Mở rộng ta có:
2e 2




e

Hay

ln x  1
(x 
)dx =
x. ln x
3

2e 2


e

2e 2

 x dx +
3

e

2e 2


e

ln x  1
x4
dx =
x. ln x
4

2e 2
e

 ln 2  1  4e8 

e4
 ln 2  1
4

x ln x  ln x  1
e4
8
dx  4e   ln 2  1
x. ln x
4
4

Vậy trong trường hợp tổng qt ta có

Dạng tốn
Tính tích phân của biểu thức f(x) trong đó:
f(x) =

k .g ( x)  f ( g ( x)).g ' ( x)
d ( x)
g ( x)

Ta làm như sau:
f ( g ( x)).g ' ( x)
+ Tách f(x) = k 
d ( x)
g ( x)

+ Đặt t= g(x)
+ Đổi cận và tính tích phân theo t
Biểu thức f(x) có thể có hoặc khơng có thành phần k.f(x) ở trường hợp này
k =0

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

15


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Bài tốn 4:Tính tích phân:

2

4.1)  sin 6 x cos3 xdx
0

Giải:
Đặt t = sinx  dt  cos dx
Đổi cận: x  0  t  0, x 
1


 t 1
2

1

1

1

0

0

0

  sin 6 x cos3 xdx =  t 3 (1  t 2 )dt   t 3dt   t 5dt  (
0

t4 t6 1 1 1 1
 )0   
4 6

4 6 6


2

4.2)  sin 4 x cos5 xdx
0

Giải:
Đặt t = sinx  dt  cos dx
Đổi cận: x  0  t  0, x 
1


 t 1
2

1

1

  sin x cos xdx =  sin x cos x. cos xdx =  t 4 (1  t 2 ) 2 dt
4

5

0

4

4

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

=  t 4 (1  2t 2  t 4 )dt   t 4 dt  2 t 6 dt   t 8 dt
=
t5
t7 t9
1 2 1
8
 2  ) 10    
5

7 9
5 7 9 315

(

Nhận xét:
Vậy trong trường hợp tổng qt. Tính tích phân có dạng
b

 sin

2n

x cos 2 k 1 xdx ( trong đó k, n là các số nguyên dương)

a

Ta làm như sau:
- Đặt t = sinx ( ưu tiên mũ chẵn)
- Đổi cận và tính tích phân theo t

2

4.3)  sin 3 x cos8 xdx
0

Giải:
Đặt t = cosx  dt   sin xdx
Đổi cận: x  0  t  0, x 


 t 1
2

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

16


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng
1

1

1

0

0

  sin 3 x cos8 xdx =  sin 2 x cos8 x.sin xdx =-  t 8 (1  t 2 )dt
0

1

1

=   t 8 dt   t10 dt
0

=(

0

t
t
1 1  2
 ) 10 
 
9
11
9 11 99
9

11

Nhận xét:
Vậy trong trường hợp tổng qt. Tính tích phân có dạng
b

 sin

2 n 1

x cos 2 k xdx ( trong đó k, n là các số nguyên dương)

a

Ta làm như sau:
- Đặt t = cosx ( ưu tiên mũ chẵn)

- Đổi cận và tính tích phân theo t

2

4.4)  sin 3 x cos5 xdx
0

Giải:
Đặt t = cosx  dt   sin xdx
Đổi cận: x  0  t  0, x 
1


 t 1
2

1

1

0

0

  sin 3 x cos5 xdx =  sin 2 x cos5 x.sin xdx =-  t 5 (1  t 2 )dt
0

1

1

=   t 5dt   t 7 dt
0

=(

0

t
t
1 1 1
 ) 10 
 
6
8
6 8 24
6

8

Nhận xét:
Vậy trong trường hợp tổng quát. Tính tích phân có dạng
b

 sin

2 n 1

x cos 2 k 1 xdx ( trong đó k, n là các số nguyên dương)

a

Ta làm như sau:
- Đặt t = cosx(nếu k>n), t = sinx (k < n) ( ưu tiên mũ lớn hơn)
- Đổi cận và tính tích phân theo t
4.5.

2

Tính tích phân:  sin 2 x cos 4 xdx
0

Giải:
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

17


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

2

 sin

x cos 4 xdx =

2

0


2


2

1
1 1
sin 2 x cos 2 x(cos 2 x  1)dx   sin 2 2 x(cos 2 x  1)dx 

20
204


2





1
12
12
=  (sin 2 2 x . cos 2 x  sin 2 2 x)dx   sin 2 2 x . cos 2 xdx +  sin 2 2 xdx 
80
80
80

=
=

=


2


2

1
1
(1  cos 4 x). cos 2 xdx +  (1  cos 4 x)dx 

16 0
16 0

2


2


2


2

1
1
1
1

cos 2 xdx -  cos 4 x. cos 2 xdx +  dx -  cos 4 xdx 

16 0
16 0
16 0
16 0
1
sin 2 x
32


2
0




2





1
1
1
(cos 6 x  cos 2 x)dx + x 02 - sin 4 x 02

64
32 0

16


2


2





=

1
1
1
1
cos 6 xdx   cos 2 xdx + x 02 - sin 4 x 02

32 0
32 0
64
16

=

1
1
1

1
sin 6 x 02  sin 2 x 02 + x 02 - sin 4 x 02
192
64
64
16

=









1  

16 2 32

Nhận xét:
Vậy trong trường hợp tổng qt. Tính tích phân có dạng
b

 sin

2n

x cos 2 k xdx ( trong đó k ,n là các số nguyên dương)

a

Ta làm như sau:
- Nhóm lũy thừa chung của sin2x,cos2x để sử dụng công thức sinx.cosx =
1
sin 2 x
2

- Phần cịn lại dùng cơng thức hạ bậc giảm dần số mũ của sinx, cosx

3

sin 2 x
4.6)  6 dx
 cos x
6

Giải:

3

2


3

6

6

sin x
1
1
1
dx =  tan 2 x
dx =  tan 2 x(1  tan 2 x)
dx
6
2
2
cos x cos x
cos 2 x
x




 cos
6


3

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

18


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

1
dx
cos 2 x

Đặt t =tanx  dt 
Đổi cận
Đổi cận: x 

3



6



1
 t  3, x   t 
3
6
3

sin 2 x
dx 
cos6 x

3

2
2

 t (1 t )dx 
1
3

3

2
 t dt 
1

 t3 t5 
4
  
=
t
dt
1
3 5

3

3

3
1
3



42 3  8

15

3

Nhận xét:
Vậy trong trường hợp tổng qt. Tính tích phân có dạng
b

 sin

2n

a

1
dx ( trong đó k, n là các số nguyên dương)
x. cos 2 k x

Ta làm như sau:
- Đặt t = tanx
- Đổi cận và tính tích phân theo t
*) ÁP DỤNG
Một số bài toán trong đề thi đại học sử dụng các quy tắc trên:
1) A-2009
Tính tích phân sau:

2

 (cos

3

x  1) cos 2 xdx

0

Giải:

2

 (cos

3

0


2


2


2


2

0

0

0

0

x  1) cos 2 xdx =  cos5 dx -  cos 2 xdx ( Đặt  cos5 dx =I1,

 cos

2

xdx = I2)

Nhận xét:
-tích phân I1 có dạng
b

 sin

2n

x cos 2 k 1 xdx ( trong đó k =2, n=0). Đặt t =sinx  dt  cos dx

a

Đổi cận: x  0  t  0, x 

2


2

0

0


 t 1
2
1

  cos5 dx =  sin 4 x cos 4 x. cos xdx =  (1  t 2 ) 2 dt
0

1

1

1

1

0

0

0

0

=  (1  2t 2  t 4 )dt   t 4 dt  2 t 2 dt   dt

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

19


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng
t5
5

t3
3

1
5

2
3

= (  2  t ) 10    1 

8
15

-Tích phân I2 có dạng
b

 sin

2n

x cos 2 k xdx ( trong đó k =1, n=0)

a


2


2


2



1
1
12
2
cos
xdx
=
(cos
2
x

1

)
dx
=
cos
2
xdx
+
dx
0
2 0
2 0
2 0


1
4

1
2



= sin 2 x 02  x 02 


4


2

  (cos3 x  1) cos 2 xdx =
0

8 
15 4

2) Tính tích phân( ĐHQGHCM-2000)

4

 sin

4

xdx

0

Giải:
Nhận xét:

4

Tích phân  sin 4 xdx
0

b

 sin

2n

x cos 2 k xdx ( trong đó k =0, n=2)

a

Hạ bậc

4

 sin

4

0

=


4


4

2

1
 1  cos 2 x 
2
xdx =  

 dx =  1  2 cos 2 x  cos 2 x dx
2
40

0


4


4


4









1
1
1
dx -  cos 2 xdx +  cos 2 2 x dx

20
40

40






14
14
14
=  dx -  cos 2 xdx +  cos 4 x  1dx
20
80
40
1
4



1
4



= x 04 - sin 2 x 04 +
=





1
1
sin 4 x 04  x 04
32
8

  1  8

 
16 32 4
32

3) Tính tích phân( ĐHSPHCM-2000)

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

20


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng


 cos

4

xdx

0

Giải
Nhận xét


Tích phân  cos 4 xdx
0

b

 sin

2n

x cos 2 k xdx ( trong đó k =2, n=0)

a

Hạ bậc






2

1
 1  cos 2 x 
2

0 cos xdx = 0  2  dx = 4 0 1  2 cos 2 x  cos 2 x dx
4















1
1
1
=  dx +  cos 2 xdx +  cos 2 2 x dx
20
40
40

=







1
1
1
dx +  cos 2 xdx +  cos 4 x  1dx

20
80
40

1
1
4
4
  3
=  
4 8
8

= x 0 + sin 2 x 0 +

1
1
sin 4 x 0  x 0
32
8

4) Tính tích phân( ĐHQGHCM-1998)


2

 sin

2

x cos3 xdx

0

Giải:
Nhận xét

2

Tích phân  sin 2 x cos3 xdx là tích phân có dạng
0

b

 sin

2n

x cos 2 k 1 xdx ( Trong đó n=1, k =1)

a

Đặt t = sinx  dt  cos dx

Đổi cận: x  0  t  0, x 
1


 t 1
2

1

1

  sin 2 x cos3 xdx =  sin 2 x cos 2 x. cos xdx =  t 2 (1  t 2 ) dt
0

0

1

0

1

1

0

0

=  (t 2  t 4 )dt   t 2 dt   t 4 dt
0

3

t
3

5

t
5

1
3

1
5

= (  ) 10   

2
15

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

21


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Bì nh luận: Thơng qua bài toán 4 thấy rằng sau khi giải xong bài tập , việc hệ thống

lại các dạng tổng quát của bài tập đó là việc vơ cùng cần thiết điều đó làm học sinh
khắc sâu kiến thức và giải được một loạt các bài tập tương tự, giúp các em hứng thú
và say mê hơn trong việc sáng tạo các bài tập mới, góp phần phát triển tư duy cho
các em .
Bài tốn 5:
Tính tích phân
5.1


2
0



dx
sin x  2 cos x  2

Nhận xét:
Đây là tích phân của biểu thức có đồng thời sự xuất hiện của hàm sinx và cosx,
ta cần biểu diễn sinx và cosx theo một ẩn phụ nào đó, chỉ có thể là tan

x
2

x
2dt
2
1 t2
2t
1 t2

Sinx=
,
cosx
=
1 t2
1 t2

Đổi cận: x  0  t  0, x   t  1
2
2dt

1 dt
1
dx
3
1 t2
 2


 ln t  2 10  ln 3  ln 2  ln
2
0t 2
0
0 sin x  2 cos x  2
2t
1 t
2
2
2
2

2
1 t
1 t

dx
5.2) 02
sin x  3 cos x  2
x
2dt
Đặt t = tan  dx 
2
1 t2
2t
1 t2
Sinx=
,
cosx
=
1 t2
1 t2

Đổi cận: x  0  t  0, x   t  1
2
2dt

1
1
dx
2dt
2 1

dt
1 t2
 2

 2
 
2
0 6t
0 3 sin x  2 cos x  3
0 5t  6t  1
1 t
5 0 (t  1)(t  1 )
2
3
2
2
5
1 t
1 t


2 5 1 1
1 
1 1 1
1 1 1
dt = 

= . 0 
dt - 
dt

5 4  t  1 t  1
2 0 t 1
2 0t  1


5
5


1
1
1
1
1
1
1 6
1 1
ln t  10  ln t  1 10   ln  ln   ln 2  = ln 6  ln 2 = ln 3
2
2
2
2
5
2
2 5
5 2

Đặt t = tan  dx 

Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

22


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Tổng qt:
dx
a sin x  b cos x  c
x
2dt
- Đặt t = tan  dx 
2
1 t2
2t
1 t2
Sinx=
,
cosx
=
1 t2
1 t2



d

c

- Đổi cận và tính tích phân theo t.

Các bài tập tương tự.
Tính tích phân sau:

2
0

dx
sin x  2

dx
b) 02
3 cos x  2

dx
c) 02
sin x  3 cos x  5

a)



5.3)

4
0

Tính tích phân: 

2 sin x  16 cos x
dx

2 sin x  3 cos x

Giải:

4
0


2 sin x  16 cos x
2 sin x  16 cos x
 2 sin x  3 cos x dx = 04 2 sin x  3 cos x dx

2(2 cos x  3 sin x)  4(2 sin x  3 cos x)
= 04
dx
2 sin x  3 cos x


2 cos x  3 sin x
= 204
dx + 4  4 dx
0
2 sin x  3 cos x

4
0

= 2



d (2 sin x  3 cos x)
+ 404 dx
2 sin x  3 cos x


= 2ln 2 sin x  3 cos x 04 +4 
=2 ln

5
3 2


4
0

+

Nhận xét: Trong bài tập trên ta tách

2 sin x  16 cos x 2(2 cos x  3 sin x)  4(2 sin x  3 cos x)

2 sin x  3 cos x
2 sin x  3 cos x

Vậy làm thế nào để có thể tách ra như vậy, hệ số 2 và 4 tìm như thế nào?
Ta có (2cosx-3sinx)= (2sinx+3cosx)’
Phương pháp:
Tách 2sinx+16cosx =A(2cosx – 3sinx) + B(2sinx + 3cosx)
Hay 2sinx + 16 cosx =(2B – 3A)sinx + (2A + 3B)cosx
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

23


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng

Đồng nhất hệ số ta được
2 B  3 A  2
A  2


2 A  3B  16  B  4

Vậy

2 sin x  16 cos x 2(2 cos x  3 sin x)  4(2 sin x  3 cos x)

2 sin x  3 cos x
2 sin x  3 cos x

Tổng quát:Tính tích phân
b



a

m sin x  n cos x
dx
a sin x  b cos x

Bước 1: Đưa msinx + ncosx = A(asinx + bcosx)’ +B(asinx + bcosx)
Bước 2: Đồng nhất hệ số để tìm A và B
Bước 3: Tách

b



a

m sin x  n cos x
dx thành tổng 2 tích phân mới.
a sin x  b cos x

Các bước sáng tạo ra bài tập mới để có hệ số A, B đẹp:
-Lấy mẫu số bất kì
Ví dụ: 5sinx + 3cosx
-Tính đạo hàm của mẫu số
( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx
- Lấy A, B là 2 số bất kì , ví dụ A=1, B =5
Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx )
= 22 sinx+20cosx
Vậy ta có bài tập tích phân mới

4
0



22 sin x  20 cos x
dx
5 sin x  3 cos x

Với cách làm như trên ta có thể tạo ra vơ số các bài tập tích phân mới với kết
quả ra số đẹp. Giáo viên có thể định hướng cho các em học sinh thực hiện các
em sẽ rất hứng thú và say mê tìm tịi hơn, giúp các em phát triển tư duy, kết quả
học tập sẽ tốt hơn rất nhiều.
Ta có các bài tốn tương tự sau:Tính tích phân
1)
2)
3)
4)
5)


4
0

11sin x  10 cos x
dx
4 sin x  cos x

 sin x  8 cos x
04 3sin x  2 cos x dx

19 sin x  9 cos x
04 3 sin x  5 cos x dx

 sin x  7 cos x

04 2 sin x  cos x dx

13 sin x  14 cos x
02 8 sin x  3 cos x dx



Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

24


Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thơng


5.4) Tính tích phân: 02

3 sin x  5 cos x  2
dx
sin x  cos x  1


2
0


3 sin x  5 cos x  2
cos x  sin x  4(sin x  cos x  1)  2
dx
=

dx
 sin x  cos x  1
02
sin x  cos x  1



cos x  sin x
1
= 02
dx +4  2 dx -2  2
dx
0
0
sin x  cos x  1
sin x  cos x  1



d (sin x  cos x  1)
1
2
2
= 0
+4 0 dx - 2 02
dx
sin x  cos x  1
sin x  cos x  1






=ln sin x  cos x  1 02 +4x 02 - 2 02

1
dx
sin x  cos x  1


2
0

1
dx = ln2 ( Áp dụng phương pháp giải bài tập 5.1 và 5.2)
sin x  cos x  1

3 sin x  5 cos x  2
 2
dx  2  -2ln2
0
sin x  cos x  1

Với



Tương tự cách làm của bài tập 5.3 ta có phương pháp tổng quát để làm dạng tốn
trên như sau:

Tổng qt:Tính tích phân
m sin x  n cos x  k
dx
a a sin x  b cos x  c



b

Bước 1: Đưa msinx + ncosx + k =
A(asinx + bcosx + c )’ +B(asinx + bcosx +c) + C
Bước 2: Đồng nhất hệ số để tìm A và B, C
Bước 3: Tách



b

a

m sin x  n cos x  k
dx thành tổng 3 tích phân mới.
a sin x  b cos x  c

Các bước sáng tạo ra bài tập mới để có hệ số A, B đẹp:
-Lấy mẫu số bất kì
Ví dụ: 5sinx + 3cosx+2
-Tính đạo hàm của mẫu số
( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx
- Lấy A, B, C là 2 số bất kì, ví dụ A=1, B =5, C=5

Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx+2 )+5
= 22 sinx+20cosx+5
Vậy ta có bài tập tích phân mới

4
0



22 sin x  20 cos x  5
dx
5 sin x  3 cos x  2

Ta có bài tốn tương tự sau:Tính tích phân
1)


4
0



sin x  2 cos x  3
dx
sin x  2 cos x  3

Bài tốn 6
Tính tích phân:
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A

25