Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. XUẤT PHÁT ĐIỂM VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một phần kiến thức
trọng tâm và then chốt trong chương trình đại số lớp 10 ở bậc THPT . Ở đây,
các em học sinh được trang bị một cách đầy đủ, hoàn chỉnh và chi tiết về khái
niệm phương trình , bất phương trình và hình thành các kỹ năng giải các
phương trình, bất phương trình đại số,vơ tỷ.
Việc giải phương trình và bất phương trình vô tỷ giúp phát triển tư duy của
học sinh đặc biệt là tư duy lý luận và tư duy giải quyết vấn đề của học sinh.
Đây là một lớp các bài tốn hay, khó và đem lai nhiều hứng thú cho học
sinh nhưng cũng đồng thời đem lại nhiều khó khăn bỡ ngỡ như: phức tạp và
khơng có các bước giải mẫu mực sẵn có; tìm được nghiệm mà khơng biết các
trình bầy, giải sai, giải thiếu nghiệm hoặc khơng tìm được lời giải.
II.
THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Thực tế cho thấy, trong nhiều năm qua để đánh giá khả năng tư duy và
phẩm chất trí tuệ của học sinh thơng qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển
sinh đại học, cao đẳng người ra đề đã chọn phương trình, hệ phương trình và
bất phương trình vơ tỷ như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh.
Đây là một trong những đề tài mà nhiều người quan tâm xong chưa có một
hệ thống đầy đủ và đa dạng bài tập cũng như các phương pháp giải khiến cho
học sinh khơng khỏi khó khăn vướng mắc khi đứng trước dạng bài tập này.
Kiến thức này được giảng dạy cho các em học sinh ở khối lớp 10 lần đầu
tiên được tiếp cận với phương pháp học mới với những yêu cầu và đòi hỏi cao
hơn học sinh THCS về khả năng tự học, tự nghiên cứu mà hệ thống bài tập
này trong sách giáo khoa lại không nhiều.
III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó
những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh
chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa …

các bài tốn với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em phân loại, nhận dạng và
giải được các phương trình bất phương trình vơ tỷ và hệ phương trình vơ tỷ
đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh THPT.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN 1:MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
I. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu
Trước những thực tế đặt ra trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh lớp
10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vơ
tỷ nhằm vào các mục đích sau:
1.1 Thứ nhất: giúp các em giải quyết tốt bài tốn giải phương trình, bất
phương trình vơ tỷ, hệ phương trình vơ tỷ và các bài tốn có liên quan. Hình
thành được một hệ thống kiến thức tổng hợp và vững chắc về lĩnh vực này.
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 1


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------1.2 Thứ hai: củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số có liên quan như
phương trình và bất phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình và bất
phương trình quy về bậc hai. Rèn luyện kỹ năng biến đổi, tính tốn.
1.3 Thứ ba: rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo; tư duy giải quyết vấn đề
tư duy biện chứng; xây dựng và phát triển lòng say mê và u thích tốn học
nói riêng và khoa học nói chung .
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được các mục đích đặt ra như trên, đề tài xác định giải quyết các
nhiệm vụ sau:
2.1 Nhiệm vụ 1: Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc giải bài
tốn giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình vơ tỷ
2.2 Nhiệm vụ 2: Xây dựng hệ thống bài tập và phân dạng bài tập giải

phương trình hệ và bất phương trình vơ tỷ.
II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Với mục đích nhiệm vụ đặt ra như trên, sau nhiều năm nghiên cứu và thực
nghiệm tơi đã hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “ Phân loại bài
tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ” bằng việc phối hợp các
phương pháp nghiên cứu sau:
1. Nghiên cứu lí luận: Hình thức chủ yếu tơi dùng là nghiên cứu tài liệu lí
luận và phân tích tiên nghiệm. Sử dụng các kiến thức có trong sách giáo khoa
theo chương trình mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các kết quả đã có trong
một số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, phê phán những
cái dở, bổ sung và hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được. Đồng thời dựa vào
những yếu tố lịch sử, những cách tiếp cận khác nhau của lí thuyết về nghiệm
của phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai và các phương trình bất
phương trình quy về bậc hai để dự kiến những quan niệm có thể có của học
sinh về bài tốn giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ cũng như hệ
phương trình và các bài tốn có liên quan.
2. Quan sát điều tra: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và lĩnh hội
kiến thức để giải quyết các bài tốn có liên quan đến việc giải các phương
trình và bất phương trình vơ tỷ theo trình tự thời gian trên một lớp các đối
tượng là các em học sinh lớp 10 lớp 11 và lớp 12 của trường THPT Vĩnh Lộc.
3. Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong q
trình thực hiện. Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn
đề đặt ra.
4. Thực nghiệm giáo dục: Từ việc tạo nên một loạt những tác động sư
phạm lên một lớp đối tượng gồm các em học sinh lớp10 THPT nhằm xác định
và đánh giá kết quả của những tác động đó. Lấy học sinh lớp 11 và 12 để so
sánh hiệu quả của tác động giáo dục này lên tư phẩm chất trí tuệ và năng lực
tư duy của các em khi giải quyết các vấn đề khác và các vấn đề có liên quan.
III. tỉ chøc nghiªn cøu
1. Thời gian nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2011

đến tháng 5 năm 2013 theo các giai đoạn sau:
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 2


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------* Giai đoạn 1: Từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 10 năm 2011. Đây là giai
đoạn thu thập tài liệu, xác định phương pháp, các nhiệm vụ và các vấn đề cần
thiết trong quá trình nghiên cứu của đề tài. Lập đề cương nghiên cứu.
* Giai đoạn 2: Từ tháng 10 năm 2011 đến tháng 02 năm 2012 tơi thu thập
các tài liệu chun mơn, tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài. Tiến
hành phân dạng các bài tập cơ bản. Sau khi giải quyết các nhiệm vụ mang tính
chất lí luận tơi xây dựng hệ thống các bài tập mẫu có tính chất khái quát của
vấn đề đặt ra. Và ứng dụng trong thực tiễn giảng dạy, kết hợp đồng thời với
việc quan sát và theo dõi quá trình phát hiện, lĩnh hội kiến thức của học sinh.
* Giai đoạn 3: Từ tháng 3 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012. Tiến hành thu
thập các kết quả của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1.
* Giai đoạn 4: Từ tháng 5 năm 2012 đến tháng 5 năm 2013. Dựa trên các
kết quả thu thập được của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1, tôi điều
chỉnh và tiến hành thực nghiệm lần 2, kiểm nghiệm và so sánh kết quả trên
lớp các đối tượng học sinh được thực nghiệm và không được thực nghiêm.
Sau đó tổng kết đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện
nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề. Cuối cùng là bổ sung và
hoàn thiện các tri thức đã đạt được và tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Đối tượng nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu trên được thực nghiệm
đồng thời trên hai nhóm các đối tượng học sinh.
Nhóm 1: Các em học sinh lớp 10A3,10A7 trường THPT Vĩnh Lộc với
nhiệm vụ là xây dựng cho các em cơ sở lí luận và thực tiễn của việc phân loại
và giải các phương trình và bất phương trình vơ tỷ
Nhóm 2: Các em học sinh lớp 12A1, 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc với

nhiệm vụ là ứng dụng việc giải phân loại và giải các phương trình và bất
phương trình vơ tỷ vào việc giải quyết các bài tốn đại số và giải tích có liên
quan như: giải phương trình lượng giác có chứa căn, giải phương trình hệ
phương trình và bất phương trình mũ, logarit có chứa căn.
PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Khái niệm phương trình một ẩn
a.
Các định nghĩa
Cho hai hàm số y= f  x  và y= g  x  có tập xác định lần lượt là D f , D g . Đặt
D  D f  D g . Mệnh đề chứa biến “ f  x   g  x  ’’ được gọi là phương trình một
ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D là tập xác định. Số x0  D gọi là nghiệm của
phương trình nếu “ f  x0   g  x0  ’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm
được gọi là tập nghiệm. Giải phương trình là tìm tập nghiệm.
Hai phương trình cùng ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm.
b.
Các phép biến đổi tương đương phương trình
Định lí: Phương trình f  x   g  x  có tập xác định D ; h x  là hàm số xác định
trên D ( h x  có thể là hằng số). Khi đó trên D , f  x   g  x  tương đương với
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 3


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------f  x   h  x   g  x   h x 
1)
f  x  h x   g  x  h x  nếu h x  0 với mọi x  D
2)
Hệ quả: Cho phương trình f  x   g  x  có tập xác định D .

1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f  x   g  x    f  x   2 n1  g  x   2 n1 ; n  N *
2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f  x  và g  x  cùng dấu x  D thì
f  x   g  x    f  x 

2n

 g  x   ; n  N *
2n

2. Khái niệm bất phương trình một ẩn
2.1 Các định nghĩa
Cho hai hàm số y= f  x  và y= g  x  có tập xác định lần lượt là D f , D g . Đặt
D  D f  D g . Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f  x   g  x  ,
f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x   g  x  được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi
là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định. Số x0  D gọi là một nghiệm
nếu “ f  x0   g  x0  ’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm gọi là tập
nghiệm. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Hai bất phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương
trình thành bất phương trình mới tương đương với nó.
2.2 Các phép biến đổi tương đương bất phương trình
Định lí: Cho f  x   g  x  có tập xác định D ; h x  là một hàm số xác đinh trên
D ( h x  có thể là một hằng số). Khi đó trên D , f  x   g  x  tương đương với
f  x   h x   g  x   h  x 
1)
f  x  h x   g  x  h x  nếu h x   0 với mọi x  D
2)
f  x  h x   g  x  h x  nếu h x   0 với mọi x  D
3)
Hệ quả: Cho bất phương trình f  x   g  x  có tập xác định D .

1. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f  x   g  x    f  x   2 n1   g  x   2 n 1 ; n  N *
2.
Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc chẵn: Nếu f  x  và g  x  khơng âm
x  D thì
f  x   g  x    f  x 

2n

  g  x ; n  N *
2n

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax  b 0(a 0) nghiệm là: x 

b
a

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và cơng thức nghiệm
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2  bx  c 0 ( a 0 ) (1)
b
Biệt thức Denta:  b 2  4ac
Biệt thức: ' b' 2  ac ; b' 
2

Nếu   0 thì (1) vơ nghiệm.
Nếu ' 0 thì (1) vơ nghiệm.
b
b'
Nếu  0 thì (1) có nghiệm kép: x  2a Nếu '0 thì (1) có ghiệm kép: x  a

Nếu   0 thì phương trình (1) có 2 Nếu '  0 thì phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt:

x1, 2 

 b 
2a

.

nghiệm phân biệt:

x1, 2 

 b' 
a

.

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 4


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh tính duy nhất
nghiệm của phương trình
a. Định nghĩa:
Hàm số y  f  x  là hàm đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
x1 , x 2   a; b  : x1  x 2  f  x1   f  x 2 
Hàm số y  f  x  là hàm nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi

x1 , x 2   a; b  : x1  x 2  f  x1   f  x 2 

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b) thì được gọi là hàm
đơn điệu trên khoảng (a;b).
b. Ứng dụng:
Ứng dụng 1: Cho hàm số y  f  x  đơn điệu trên khoảng (a;b). Khi đó
x1 , x 2   a; b  : f  x1   f  x 2   x1  x 2

Ứng dụng 2:Đồ thị của hàm đồng biến là một đường đi lên từ trái sang phải.
Đồ thị của hàm nghịch biến là một đường đi xuống từ trái sang phải. Do đó
hai đồ thị hàm số y  f  x  đồng biến và y  g  x  nghịch biến trên khoảng (a;b)
nếu cắt nhau trên (a;b) thì chỉ cắt tại duy nhất một điểm. Khi đó phương trình
f  x   g  x  nếu có nghiệm trên khoảng (a;b) thì nghiệm này là duy nhất. Điều
này vẫn đúng nếu một trong hai hàm là đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng.
Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu y  f  x  và y  g  x  là những hàm
cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến.
III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất là: f  x  ax  b; a, b  R, a 0 . Nghiệm của nhị thức là x 

b
a

Định lí: Nhị thức bậc nhất f  x  ax  b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn
nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
2. Định lí thuận về dấu tam thức bậc hai
Định lí: Cho tam thức bậc hai f  x  ax 2  bx  c ( a 0 ).
Nếu   0 thì tam thức f  x  cùng dấu với a với mọi x  R
b


 2a 


Nếu  0 thì tam thức f  x  cùng dấu với a với mọi x  R \  

Nếu   0 thì tam thức f  x  có hai nghiệm x1 ; x 2 và:
Tam thức f  x  cùng dấu với a với x    ; x1    x 2 ;
Tam thức f  x  trái dấu với a với x   x1 ; x 2 
3.
Cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc hai
Xét bất phương trình bậc hai: ax 2  bx  c 0; a 0 . Dựa vào định lí thuận về
dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau:
  0
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx  R
a  0
  0
 b
Th2: Nếu 
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx   
 2a 
a  0

Th1: Nếu 

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 5


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ

---------------------------------------------------------------------------------------------  0
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx 
a

0

  0
Th3:Nếu 
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
a  0
Tx   ; x1    x 2 ; , trong đó x1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình

Th2: Nếu 

ax 2  bx  c 0; a 0
  0
Th4: Nếu 
thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx  x1 ; x 2  ,
a

0


trong đó x1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2  bx  c 0; a 0
Với phương pháp tư duy tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm
của các bất phương trình dạng cịn lại: ax 2  bx  c  0; a 0 ;
ax 2  bx  c 0; a 0 ; ax 2  bx  c  0; a 0 .
4. Cách giải bất phương trình tích và thương các nhị thức và tam thức
Cho bất phương trình: f  x  0 ( hoặc f  x  0; f  x   0; f  x   0 ) trong đó
f  x  là tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức ta có hai cách giải sau:

Cách 1: Lập bảng xét dấu của các nhị thức, tam thức có trong f  x  và dấu
f  x  sau đó chọn miền nghiệm của bất phương trình là là miền giá trị của biến
số làm dấu của f  x  phù hợp với dấu bất phương trình.
Cách 2: Sử dụng phương pháp khoảng
Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong f  x  và
biểu diễn các nghiệm bội lẻ của f  x  trên trục số theo chiều tăng dần (nghiệm
bội lẻ là nghiệm được lặp lại số lẻ lần ). Khi đó các nghiệm này sẽ chia trục số
thành nhiều khoảng khác nhau.
Bước 2: Lấy một giá trị x0 trên trục số thuộc tập xác định và không trùng với
f  x  trên khoảng chứa x0 . Dấu của f  x  sẽ bị đổi dấu khi đi qua các nghiệm
bội lẻ đã xếp trên trục số
Bước 3: Chọn miền nghiệm của bất phương trình là miền giá trị của biến x
làm dấu của f  x  cùng dấu với bất phương trình.
PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Phương trình vơ tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Khi
giải các phương trình này ta phải khử căn thức để đưa về phương trình đã biết
cách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình
tích… Tùy vào đặc điểm cụ thể của mỗi phương trình mà ta sử dụng phương
pháp thích hợp để biến đổi thì mới khử được căn thức. Để học sinh dễ tiếp cận
và rèn luyện kỹ năng biến đổi, nhận dạng từng phương trình, tơi đã thiết lập
một hệ thống bài tập từ dễ đến khó và phân dạng theo từng phương pháp biến
đổi xử lý căn thức như sau:
1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương
Đây là dạng phương trình vơ tỷ cơ bản và đơn giản nhất.
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 6


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ

---------------------------------------------------------------------------------------------Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông
thường như đã nói ở Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình đã cho về phương
trình tích hoặc phương trình hữu tỷ đã biết cách giải.
Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép
cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức.
Thơng thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn
bậc hai :
Dạng 1:
Dạng 3:

Dạng 4:

 f  x  0
f  x  g  x  
; Dạng 2:
 f  x g  x
f  x 

g x 

 f  x  0


h x    g  x  0

f  x 





f  x 

 f  x  0
 g  x  0

g  x   h x   
h  x  0


f  x 




 g  x  0
f  x g  x  
2
 f  x g  x

g  x

g  x



2



2

 h x 

h 2  x 

Tương tự ta cũng sẽ có các dạng phương trình vơ tỷ như trên nhưng ứng với
các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của nhiều
căn thức cùng bậc hơn.
Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai
vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Và có thể ban đầu các
phương trình đã cho chưa ở dạng trên nhưng sau một vài phép biến đổi tương
đương đơn giản học sinh có thể biến đổi về các dạng này hoặc phương trình
tích của một trong các biểu thức dạng này mà có một vế bằng 0.
Hệ thống bài tập:
Bài 1 Giải các phương trình sau
1) 3 x 2  3x  8 2
2) x 2  3x  1 2 x  7
3) 16 x  17 8 x  23
2
4) x  6 x  6 2 x  1
5) x  3  2 2  x 5
6) x  3  x  1 4
7) x  3  2 x  8  7  x
8) x  1  x  x  1
9) x 2  x  1  x 2  x  1 
3

1
2

10) 3 x  7  3 x  2 3
12) x  6  x  7 5

x  1  3 x  2 3 2 x  3

13) 2 x 2  8 x  6  x 2  1 2 x  2
15)

x2
3x  2

3 x  2 1  x



11)

17) 2 x 2  8 x  6  x 2  1 2 x  2
19) x x  1  x x  2 2 x 2

x 3
2
7
7
x  12
x  12 64 7
16)



x
2
12
3

14) x  2 x  1  x  2 x  1 

18) x  1  x  3  2 x  3 2  2 x  1
20) x  2 x  1   x  1 x  x 2  x 0

Ví dụ: Giải phương trình sau 20) x  2 x  1   x  1 x  x 2  x 0
Giải: 20)   x  1  2 x  1  1   x  1 x  x x  1 0





---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 7


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------





2

x 1 1 

x x  1





x  1  1 0

 x  1  1 0 *


 x  1  1  x x  1 x  1  1 0
 x  1  1   x  1 x 0 * *
Giải (*)  x  1 1  x  1 1  x 2
 x  1 0

Giải (**)  x  1 1   x  1 x   x x  1 0

2
 x  1 1  2 x x  1  x  x





2





 x 1
 x 1
(vô nghiệm).



 2 x 2  x  x 2  2 x  2
 2 x 2  x   x  1 2  1





Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx  2 .
2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Sau đây là dạng phương trình vơ tỷ không cơ bản. Để giải chúng ta không
thể chỉ sử dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở
trên vì nếu chỉ biến đổi như vậy sẽ có thể nhận được phương trình mới phức
tạp hơn và khơng giải được. Vì vậy địi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tế
các biểu thức có trong phương trình và biến đổi chúng thành những biểu thức
chung, giống nhau rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đã
cho về phương trình mới hoặc hệ phương trình đã biết cách giải. Như vậy tơi
có thể chia lớp bài tốn này thành ba dạng đặt ẩn phụ khác nhau tùy vào đặc
điểm nhận dạng và cách giải cụ thể của chúng như sau:
a. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mới dễ giải hơn
Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy có thể biến đổi các biểu
thức chứa ẩn trong phương trình về một biểu thức giống nhau. Khi đó ta thực

hiện các bước giải như sau:
Các bước giải:
Bước 1: Quan sát phương trình và biến đổi để tìm ra biểu thức giống nhau
k  x  rồi đặt biểu thức đó lầm ẩn mới: t k  x  .
Bước 2: Tìm điều kiện của ẩn mới trên cơ sở điều kiện của ẩn cũ (nếu có).
Đây chính là bài tốn tìm miền giá trị của hàm số t k  x  ( cũng là bài tốn
tìm max, min của hàm số )
Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới (chỉ chứa ẩn
mới, khơng cịn chứa ẩn cũ).
Bước 4: Biến đổi yêu cầu bài toán cũ thành bài toán mới cho phù hợp với
yêu cầu phương trình mới. Giải bài tốn mới, tìm nghiệm ẩn mới.
Bước 5: Thay nghiệm của ẩn mới vừa giải được vào cách đặt ở bước 1 để
tìm nghiệm là biến cũ.
Hệ thống bài tập:
Bài 2 Giải các phương trình sau

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 8


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------1) x  1 3 x  1
2) 3 x 2  1  1  x 2
3) 3 x  1  x  3
4)
5) x 2  x 2  x  x  12
6) x 2  1  7 x 2  1  10 0
x 5 x  5 x x 56
7) x 2  x  5 5
8) x x  1  3 2 x 2  6 x  5 25  2 x

9)

 x  5 x  1  4 x  3

x 1
 3 0
x 3

10) x  2  4  x  x 2  6 x  11

11)

12) x  2  x 2  x 2  x 2 3
x  x  7  2 x 2  7 x 35  2 x
x2
13) 1  x  1  x 2 
14) x  1  4  x 5   x  1 4  x 
4
 2 x  1 2 16)
15) 2 x  1  3  2 x 
17)
x  4  x 2 2  3 x 4  x 2
2
3 x
x2
3
4
x2
3 x

1
2

18) x  x   x 

20) 3 2 x  1  x3 16  3 2 x  1

1
a
4

19) x  4  x 2 2  3x 4  x 2

21) 3 4  10  2 x 

22) x  2  x  2 2 x 2  4  2 x  2

23) 1 

3

10  2 x  3 1

2
x  x2  x  1 x
3

24)

2 x  1  x 2  3 x  1 0

25)  x  5 2  x  3 x 2  3x
26) 3 2  x 1  x  1
x
35
3
1
x
 ;
2 x 
 7
27) 3 x 
28)
29)
2
2x
2 x
x  1 12
4x
1
4 x 4  1 4 x 2 x 4 
30) 2 x  1  1  2 x 
1  4x 2
2

Ví dụ 1: Giải phương trình sau 15/ 2 x  1  3  2 x 

 2 x  1 2
2

 1 3

; .
 2 2 
Đặt t  2 x  1  3  2 x  t  0   2 x  1  3  3x   4 x 2  4 x  3 t 2
t2
t4
2
2
   2 x  1  4   2 (đk: t 2 )   2 x  1 2t 2 
.
2
4

Giải: Đk: x  

Thay vào phương trình 16) ta được:
t4
2t 2t 
 t 4  8t 2  8t 0 
4
2

 t 0

 3
t  8t  8 0

2
Với t=2 thay vào cách đặt được:  2 x  1

t 0 l 

t  2

t

2



t   1  5  l 
2
t  2t  4 0


 2 x  1 2
4  

 2 x  1  2

3

x 2

 x  1

2

 3 1
Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là: Tx  ; 
2

2

Ví dụ 2: Giải phương trình sau 26) 3 2  x 1  x  1
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 9


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------Giải: Đk: x 1 .
Đặt 3 2  x a  a 3 2  x  x 2  a 3 . Thay vào phương trình 27) ta được:
 a 1
 a 1
a 1  1  a  1  a 1  a  



2
2
3
 1  a   2a  a 0
 1  a  1  a
3

3





 a 0

 a 1

 a  2

Với a=0 thay vào cách đặt được: x=2 (thỏa mãn)
Với a=1 thay vào cách đặt được x=1 (thỏa mãn)
Với a=-2 thay vào cách đặt được x=10 (thỏa mãn)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 1;2;10
Ví dụ 3: Giải phương trình sau 28) x 

x
x2  1



35
12

Giải: Nhận thấy điều kiện xác định và có nghiệm của phương trình là:
x2  1  0
 x  1;

x  0

Khi đó ta có : x 




x

x2  1





35
x2
2x 2
1225
 x2  2


12
x 1
x 2  1 144

x2 x2  1  x2
x2
1225
x4

2


2
x2  1
x2  1
x 2  1 144

x2

1225

.
2
144
x 1

Đặt

x2
x2  1

t  t  0  .

 25
t  12  tm 
1225
2
 
Khi đó phương trình đã cho trở thành: t  2t 
144
t  49  l 

12
2
x
25
25

  12 x 2 25 x 2  1
Với t  thay vào cách đặt được:
2
12
x  1 12
5
 2 25

x  9
 x 3
 
 144 x 4 625 x 2  1  144 x 2  625 x 2  625 0  
 x 2  25
 x 5


16
4





 5 5
Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là: Tx  ;  .
 3 4

b. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình chứa hai ẩn
Phương pháp giải: Ngồi những dạng phương trình vơ tỷ như đã nói ở trên,
ta cịn gặp những phương trình mà khơng thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn

về một biểu thức giống nhau. Ta có thể đặt căn thức làm ẩn mới rồi biến đổi
phương trình đã cho về phương trình mà có chứa cả hai ẩn cũ và mới. Lúc này
ta coi một trong hai ẩn làm tham số, giải phương trình với ẩn cịn lại rồi thay
kết quả vừa tìm được vào cách đặt để tìm ẩn ban đầu. Về thực chất thì đây
cũng là phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ xong ta không chỉ rõ hệ mà thơi
Đặc điểm nhận dạng: trong những phương trình này thường xuất hiện biểu
thức tích của một căn thức với một đa thức chứa ẩn, đồng thời xuất hiện một
đa thức bậc hai hoặc đa thức có cùng bậc với bậc của đa thức trong căn.
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 10


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------Hệ thống bài tập:
Bài 3 Giải các phương trình sau
1)  4 x  1 x 2  1 2 x 2  2 x  1
2) 21  x  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1
3) x 2  3x  1  x  3 x 2  1
4)  4 x  1 x 3  1 2 x 3  2 x  1
5)  x  3 10  x 2  x 2  x  12
6) x 2  x x  1  2 x  1 0
Ví dụ: Giải phương trình: 1)  4 x  1 x 2  1 2 x 2  2 x  1
Giải: Đặt t  x 2  1 t 1  t 2  x 2  1  x 2 t 2  1 . Thay vào phương trình 1)
ta được:  4 x  1t 2t 2  1  2 x  1  2t 2   4 x  1t  2 x  1 0* . Nhận thấy
phương trình (*) có:  t  4 x  3

2

t  2 x  1
nên ln có hai nghiệm là:  1

.
t  l 

2

Với t 2 x  1 thay vào cách đặt ta được:
1

x

1
2


 2 x  1 0
4
x 
x 2  1 2 x  1   2
 
   x 0  x 
2
2
3
x

1

2
x


4
x

1

 3 x 2  4 x 0

4

 x 
3


 4
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx  
 3

c. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Có nhiều phương trình vơ tỷ khơng thể xử lí bằng phương pháp đặt ẩn phụ
được thì ta có thể đặt thêm một hoặc hai ẩn mới nữa rồi biến đổi thành một hệ
phương trình hai ẩn để giải. Sau khi tìm được nghiệm của hệ thay vào cách
đặt ta được một phương trình. Giải phương trình này là tìm được ghiệm của
phương trình đã cho.Hệ thống bài tập:
Bài 4 Giải các phương trình sau
1) x 3  1 23 2 x  1

2) x 3  3 43 4 x  3

5) 3 2  x 1  x  1

3) 3 x  3 1  x 

3
2

1

4) x 

1
10  x 2



4
3

6) 1  x 2  23 1  x 2 3

7) x 2  x  3 3
8) 3 8  x  2  3  8  x  x  27   3  x  27  2 7
Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) x 3  1 23 2 x  1
Giải: Đặt y 3 2 x  1  y 3 2 x  1 (*) Thay vào 1) ta được: x 3  1 2a (**)
 y 3 2 x  1
 y 3  x 3 2 x  y 
  3
Từ (*) và (**) ta có hệ:  3
 x 2 y  1
 x 2 y  1
 x y

 x y

   x 2  xy  y 2  2 0 vn   3

x

2
x

1

0

 3
 x 2 y  1

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

 x 1

x  1  5
2


  1 5 
Tx  1;

2



.

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 11


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
Giải:

Đặt

8) 3 8  x  2  3  8  x  x  27   3  x  27  2 7

 a 3 8  x
 a 3 8  x

 a 3  b 3 35 .

 3
3

b

x

27
 b  x  27


Thay a, b vào phương

trình 11) ta được: a 2  ab  b 2 7 . Do đó ta có hệ phương trình:





 a 3  b 3 35
  a  b  a 2  ab  b 2 35
 a  b 5
 a  b 5

 
 
 2
 2
2
2
2
 a  ab  b 7
 a  ab  b 7
 ab 6
  a  b   3ab 7

 a 2
 a 3

hoặc  . Thay vào cách đặt ta được:

 b 3
 b 2

 3 8  x 2
3
 x  27 3

hoặc

 3 8  x 3
3
 x  27 2

 x 0 hoặc x  19

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: Tx  0; 19
3.

Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp
Ngoài hai phương pháp khử căn thức trong phương trình vơ tỷ như trên tùy
vào đặc điểm cụ thể của các biểu thức trong phương trình mà ta có thể sử
dụng các hằng đẳ thức sau để tạm thời phá căn biến đổi tương đương phương
trình đã cho về một phương trình tích:

 a  b  a  b  a 2  b 2 ;  a  b a 2  ab  b 2  a 3  b 3 ;  a  b a 2  ab  b 2  a 3b 3
Khi đó ta gọi  a  b  và  a  b  ;  a  b  và  a 2  ab  b 2  ;  a  b  và  a 2  ab  b 2 

là những biểu thức liên hợp của nhau. Và gọi phương pháp biến đổi này là
phương pháp nhân liên hợp
Chú ý: 1> Khi sử dụng phương pháp này nên tìm điều kiện xác định của

phương trình trước
2> Khi nhân hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp phải chú
ý điều kiện khác 0 của biểu thức đó.
3> Chỉ sử dụng phương pháp này được sau khi nhân liên hợp làm
xuất hiện biểu thức giống nhau trong phương trình để có thể đưa phương
trình đã cho về phương trình tích.
Hệ thống bài tập
Bài 5 Giải các phương trình sau
1)

4x 1 

4)

21  x 

21  x

21  x 

21  x

6) 1 

1
1 x

Ví dụ 1:



3x  2 

1
1 1 x

x 3
5

2) 32  x  2  2 x  x  6



21
x

5) 3  8  x  2  3  8  x  x  27   3  x  27  2 7



3
x

7) x 2  13x  6  6 x  1 0

Giải phương trình sau: 1)

Giải: Điều kiện

3) 1  x  1  x  x

x

4x 1 

3x  2 

x 3
5

2
.
3

Khi đó nhân cả hai vế của 1) với 4 x  1  3x  2  0 ta được:
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 12


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------1) 



 
2

4x 1 

 x 3 

x 3
5



3x  2



2



x 3
5



4 x  1  3x  2





4 x  1  3 x  2   x  3 5 



4x 1 



3 x  2 0

 x 3 l 

 4 x  1  3 x  2  2  4 x  1 3x  2 25  2 12 x 2  5 x  2 26  7 x
4
x

1

3
x

2

5

26
2
26
2
 3 x  7

x




 3
 
 x 2
7
x 2
 x 2  344 x  684 0




  x 324

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx  2 .
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5) 3  8  x  2  3  8  x  x  27   3  x  27  2 7
Giải: Nhận thấy 3 8  x  3 x  27  0x  R
Nhân cả hai về của 5) với 3 8  x  3 x  27  Ta được:
2
2
5)  3 8  x  3 x  27  3  8  x   3  8  x  x  27   3  x  27  73 8  x  3 x  27  




3





3



3

3

 8  x  x  27 7 8  x  x  27  5  8  x  x  27





 125 8  x  x  27  33  8  x  x  27  3 8  x  3 x  27 


3

8  x  x  27  6

 x 0
  x 2  19 x 0  
 x  19

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx  0; 19 .
4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá
Khi gặp một phương trình vơ tỷ mà khơng sử dụng được ba phương pháp
trên ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá để giải phương trình. Và đây đôi
khi lại là phương pháp giải ngắn gọn độc đáo nhất. Tuy nhiên không phải bài
nào cũng giải được bằng phương pháp này mà phải dựa vào đặc điểm riêng

biệt của loại phương trình này nữa. Thơng thường loại phương trình này hay
vơ nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất. Do vậy ta thường nhẩm lấy một nghiệm
rồi dùng hàm số hoặc bất đẳng thức để đánh giá chứng minh tính duy nhất
nghiệm. Do đó ta có hai kiểu đánh giá như sau:
Kiểu 1: Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế của phương trình vế trái
(VT) và vế phải (VP) như sau:
VT a

 VT a


Nếu VP a  thì VT VP   VP a


Kiểu 2: Dùng hàm số để đánh giá. Cụ thể là dùng bài toán tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất để đánh giá hai vế hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số đế
chứng minh tính duy nhất nghiệm như đã trình bầy ở Phần 2 mục III.3.
Hệ thống bài tập
Bài 6 Giải các phương trình sau
1) x 2  x  12 x  1 36
2) x  2  4  x  x 2  6 x  11
3)
2
2
2
4) 4 x  1  4 x  1 1
x  15 3 x  2  x  8
5) x  2 x  7  x  3 2 1  8 x  1  1  8 x 6) 2 7 x 3  11x 2  25 x  12  x 2  6 x  1
2

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 13


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------  4 x 2  1 x   y  3 5  2 y 0
1
1

2
7) 2  x  2  2 4   x  
8)  2 2
x

x



 4 x  y  2 3  4 x 7

9) 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2
Ví dụ 1:Giải phương trình 1) x 2  x  12 x  1 36
Giải: Đk: x  1
Cách 1: Nhận thấy phương trình 1) có nghiệm x=3. Ta sẽ chứng minh nghiệm
này là duy nhất. Thật vậy:
x2  9

Với x>3

 x 3

x  1  4  12



2
  VT  x  x  12

x  1  24

x  1  36 VP

nên phương trình 1) khơng có nghiệm x>3
x2  9

Với  1  x  3



2
 x 3
  VT  x  x  12 x  1  36 VP

x  1  4  12 x  1  24

nên phương trình 1) khơng có nghiệm x<3
Kết ln: Tập nghiệm của phương trình là: Tx  3
Cách 2: Ta có : x 2  x  12 x  1 36





2

 x 2  x  x  1  x  1  2.6 x  1  36   x  1  x  1  6
x 1  x 1  6
 x  1 
 x  1 2
x  1  6 0VN 
 
 
 

x

1


x

1

6

x

1


x


1

6

0
 x  1  3VN 


Kết luân: Tập nghiệm của phương trình là: Tx  3
2

x 3

Ví dụ 2:Giải phương trình 4) 4 x  1  4 x 2  1 1
Giải: Tập xác định:

1

x   ; .
2


Nhận thấy phương trình có nghiệm

Cách 1: Xét hàm số y  4 x  1  4 x 2  1 trên miền
Ta có

y' 

1

x   ; 
2


2
4x  1



4x
x2  1

0

x

1
2

1

x   ;  .
2



nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng

nên phương trình 4) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất.

Kết luận: Tập nghiệm là

 1
Tx   
 2

.

Ví dụ 3: Giải phương trình 5) x 2  2 x  7  x  3 2 1  8 x  1  1  8 x
Giải: Ta có : 5) x 2  2 x  7  x  3 2 1  8 x  1  1  8 x



  x  3  x  3  1  1  8 x
2



2

 1  1  8x
1
 0 x  0 nên hàm số đồng
Xét hàm f  x   x 2  x với x  0  y ' 2 x 
x

biến trên miền x>0. ( Chú ý: Học sinh lớp 10 có thể xét tính đơn điệu như
sách giáo khoa 10 đã hướng dẫn). Do đó ta có:

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 14


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------5)  f  x  3  f 1  1  8 x   x  3 1  1  8 x
 x  2
 x  2
 x  2
 x 3

 
  2
   x 1  
2
 x 1
 x  4 x  3 0
 1  8 x  x  2 
  x 3


Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 1;3
II. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Bất phương trình vơ tỷ là bất phương trình có chứa căn thức ở một trong hai
vế. Vì vậy đối với bất phương trình vơ tỷ ta cũng có thể áp dụng cách phân
loại bài tập và phương pháp giải như trên.
Tuy nhiên trong phương pháp biến đổi tương đương để cho việc biến đổi bất
phương trình đỡ phức tạp ta có thể chia bài giải thành các trường hợp nhỏ.
Hơn thế nữa, trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình thì

phương pháp đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình chứa hai ẩn và đặt ẩn phụ
đưa về hệ bất phương trình lại tỏ ra khơng được hiệu quả vì việc đánh giá và
xét dấu với hai ẩn là rất khó khăn nên hạn chế dùng.
1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương
Đây là dạng bất phương trình vơ tỷ cơ bản và đơn giản nhất. Để giải
chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thơng thường
như đã nói ở Phần 2, mục I.2.2 để đưa bất phương trình đã cho về bất phương
trình tích hoặc bất phương trình hữu tỷ đã biết cách giải. Các phép biến đổi
tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi
nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng
có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai :
 g  x  0
 f  x  0

Dạng 1: f  x   g  x       
Dạng 2: f  x   g  x    f  x  0
 f  x  g 2  x
f x g x

 g  x  0

 g x  0

Dạng 3: f  x   g  x      hoặc 
2
 f x 0
 f  x  g  x
Dạng 4:

f  x 

 h x   0
 f  x  0

g  x   h x   
g  x  0


f  x 




Dạng 5:

f  x 

 h  x  0
 f  x  0

g  x   h x   
g  x  0

 f  x 




g x

g x



2



2

 h 2  x

h 2  x 

 h x   0

hoặc  f  x  0
 g  x  0


Đối với các bất phương trình có đấu ;  phương pháp biến đổi cũng tương
tự như trên chỉ khác là các điều kiện xác định không ngặt nghèo như trên mà
các hàm số dưới dấu căn và các điều kiện chỉ cần là không âm.
Tương tự ta cũng sẽ có các dạng bất phương trình vơ tỷ như trên nhưng ứng
với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của
nhiều căn thức cùng bậc hơn.
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 15

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai
vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Hệ thống bài tập:
Bài 1: phương pháp biến đổi tương đương
a. Phương pháp luỹ thừa hai vế
1) 2 x  1  3
2) 3  2 x  x
3) x 2  3  x 2  2 x  1
4) 3x  2  2  x
5) 2 x 2  6 x  1  x  2
6)  x 2  6 x  5  8  x
7)  x  5 3x  4  4 x  1 8)  x  1 4  x   x  2
9) x  x  3  5
10) x  2  x  1  x
11) x  1  1  x  x
12) x 4  2 x 2  1 1  x
13) x  5  x  4  x  3
14) 7 x  13  3x  9  5 x  27
3
15) x  3  2 x  8  7  x 16) 5 x  1  4 x  1 3 x 17) x  2 x  1  x  2 x  1  2
b. Phương pháp chia khoảng
Để quá trình biến đổi đỡ phức tạp hoặc khi đã biến đổi bất phương trình đã
cho về dạng tích hoặc khi cần quy đồng hai vế của một bất phương trình vơ tỷ
ta có thể chia thành các trường hợp để giảm bớt sự phức tạp cho việc giải bất
phương trình.
1)  x  5  x 2  4 x 2  2 x  15
2) x 2  3x  2  x 2  4 x  3 2 x 2  5 x  4
3) 1 
7)

1 4x2
3
x
1

4) 1 

1

x2

3x
1 x2

5)

 1

24  2 x  x 2
1
x

12  x  x 2

x  11

6)

12  x  x 2
2x  9

1
2x  1

8) x 2  4 x  3  2 x 2  3x  1  x  1
2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 2: ( Phương pháp đặt ẩn phụ )
2

2 x  3x  5



1) 5 x 2  10 x  1 7  x 2  2 x
5

1
4
2x

4) 5

x

7)

x  x  2  2 x 2  2 x  44  2 x

2 x

 2x 

x 1
x 1
 2
3
x
x

2)

5) 3

x

3
2 x

8)

 2x 

1
7
2x

1  x  1  x 2 

3)

6) x 2 
x2
4

x

x 1

x 1
3

x
2

 4  x  2  x   12  0

2x  4

9) 2 x 2  x 2  5 x  6  10 x 15

10) 2 x 2  4 x  3 3  2 x  x 2  1
11) 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181  14 x
12)
3
2
2
2
x x  4   x  4 x   x  2   2
13)  x 1   x  1  3x x  1  0 14)
2

x  1  x  3  2 x  3  2 x  1
15) x  1  x 2  4 x  1 3 x (KB-2012)
16) Với giá trị nào của m thì bất phương trình: 1  2 x  3  x   m   2 x 2  5 x  3
1

thỏa mãn x  [ 2 ;3]
3. Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp
Bài 3: ( Phương pháp nhân liên hợp)
1) 1 

1 4x 2
3
x

2) 1  x  1  x  x 2



4) 4 x  1 2   2 x  10 1 
6)



x 5 



3  2x





2

x  3 1  x 2  2 x  15 8

4x2

3) 

1

5) 2 x  1 
7) 3 

2x

1 2x



2

 2x  9

x2  x 2

2

9  2x



2

 x  21

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 16


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá
Bài 4: ( Phương pháp đánh giá)
 6 x x  6 x  5  x  4 x  2 x  6 

2
2
3
2
2
1) 1  x  1  x 3 , 2) x  x  1  x  x  1 2 ,3)  x  2 1  2
2




3

3

2

x2

x

Một số bài toán bài tốn chứa tham số
Bài 1 Tìm m để các phương trình,hệ phương trình sau có nghiệm thực.
x 1
m ;
x 3

a) 3  x  6  x   3  x  6  x  m ;

b)  x  3 x  1  4 x  3

 x 1 y 1

2

 x 1 y 1
c) 
(HSG-2010)
 1  1 m
 x  1 y  1

 2 y 3  y  2 x 1  x 3 1  x
d) 

 2 y 2  1  y m  x  4

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau
a/ x  a  a  x m
e/ x  1  a  x 2

b/ x 2  x a  x

c/ x  2ax  a 2  x  2ax  a 2  2a c/ a 2  x x 2  b 2  a 2  x  a
III. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CỦA HỆ THỐNG BÀI TẬP
1. Hướng dẫn và đáp án bài tập phương trình và hệ phương trình vơ tỷ
 21
Bài 1: 1) Tx  0,3 , 2) Tx  5 ,3) Tx  4 ,4) Tx 1 ,5) Tx  ,6) T  4  7) Tx  5;6
x

8)

 2 
Tx 

 3

, 9)

 5
Tx 
,
 4 

10) Tx   6;1 , 11)

14) Tx 1;5 ,15) Tx 1 ,16)

 7 7.12 
Tx  7
7 
 7  256 

3

Tx  1;2; 
2


12) Tx  , 13) Tx   1;1 ,

, 17) Tx  1 ,18)

Bài 2: 1) Tx  0, 1 , 2) Tx  1 , 3) Tx  7 , 4) Tx 1024 ,5)
 1  21  1  17 
;
,
2 
 2

7) Tx 

 17 
Tx   ,
 2

1  37
Tx 
2

 1 3
;  ,16) Tx   2;0;2
 2 2

1

1





18) a    ; 4   Tx ; a   4 ;  Tx  a  a  , 19)






t  1  4x 2

Bài 4:

 9  5 3 
  1  13 

2) Tx 1; 2  ,3) Tx  27  ,4)





 841 


 137 

,17) T

x

 3 1
  ; 
 2 2

 3 2 2 
Tx 

2



,29) HD:

1
x2

 3 
Tx   3 ;2 ,5) Tx   3 ,
 4 

  10  55 
Tx 

2



 3

 1  5 
 Tx 
;
2




2 3  3
 Tx  

2



Bình phương hai vế, chia cả hai vế cho x 4 , đặt t 4 x 2 

Bài 3: 2) Tx   1 6 , 3) Tx   8 , 4)

x

 1
3 3  2 
  3 1
T x  ;  ,20) Tx  0; ;
 ,21) Tx
8 
 4 2
 2


22) Tx  2 , 23) Tx  0;1 , 24) Tx 1;2  2 25) Tx   4;1 , 27)

30) HD:Bình phương hai vế, đặt

 9
Tx  0, 
 8

, 6) Tx   3;24

8) Tx   2;5 , 9) Tx 1  5;1  13 , 10) Tx  3 ,11) T


12) Tx 1 ,13) Tx  0 ,14) Tx  0;3 ,15) Tx 



19)

6)

 2  29

Tx  
;2  8 
 25


,5) Tx 1;2;10 ,6) Tx  0 ,7) T

x

 1  13 
1;2;

2 


---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 17


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------Bài 5: 2)

 11 3 5 
T x  3;
,
2



 1
3) Tx  0 , 4) Tx  21 , 6) Tx   ,7) T

x

 23  6 17 
 0;

4



 4
Bài 6: 2) HD:dùng Bunhiaccôpxki đánh giá vế trái, VP  x  3 2  2  Tx  3
3) Tx 1 , 6)HD sử dụng Côsi cho vế trái  Tx 1;7 , 7) dùng Bunhiaccôpxki

Tx 1 , 8)





  2 x  3  2 x  5  2 y 3  5  2 y


 4 x 2  y 2  2 3  4 x 7

 1 
  2 

 
Dùng hàm số được T x;y    ;2  , 9) Tx   1

2. Hướng dẫn, đáp án bài tập bất phương trình,hệ bất phương trình vơ tỷ
Bài 1a: 1) T


5) Tx   ;


x

3
2

 1 
 3

;4  ,2) Tx 1; 
2


 2

7
   3; ,6) Tx



,3) T

x



 7  57 
 1  65    1  65
 
  ;
; ,4) Tx 
;2  ,
 
2
2
 2


 


 4 
7

;4  \ 1 ,8) Tx   1;2   ; ,

 3 
2


 ,7) Tx   ; 5  

9)

  3  12 
 16 
; 11) Tx  ,12) Tx   ; 2   0; ,13) Tx   ; 4    3;2 ,
Tx 3;  ,10) Tx 
 5
 3


14)

 458  10521

Tx  
;23 ,
118



15)

Tx  4;5   6;7 ,

1

Tx   ; ,
4



16)

  13 
11

 1 1
; 2   2; ,2) Tx   ; ,3) Tx   ;  \  0
 2 2
2

 6


Bài 1b:1) Tx 

,4 T

x

17) Tx  R

 2  1  1 2 


;
;


 5 2  2 5

1

5) Tx   6;4 \  0;3 ,6) Tx  ,7) Tx  2; ,8) Tx   ; 
2



 3 2
 1
Bài 2:1) Tx   ; 3  1; ,2) Tx  0;  ,3) Tx   1;0  1;2 ,4) Tx   ; 2

8



5) T

x

 16  252   16  252

 
 0;
;

 
4
4

 




,6) Tx   2;4 \ 1  5;1  5 ,7) Tx  ,8) Tx   1;1 ,9 T

10) Tx   3;1 ,12) Tx  ;2  2  ,13) Tx   1; ,14)
Bài 3:1) T

x

 1 1
 ;  \  0 ,2) Tx
 2 2

Bài 4:1) T x  ,2) T

x

x

2  32 2 
 

  2 '

 




5  55   5  55
  ;
;

2
2

 


 7  17 
Tx 

2



1
 4

 
,15) Tx 0;    4;

 1 45
17

 3 
  1;0 ,3) Tx  ;  \  0 ,4) Tx  ;3  5) Tx  ,6) Tx  4; ,7) Tx  ;
2 8
18
2

 1
 0;  ,2)HD:
 8













dùng Côsi Tx 1 ,3) HD: dùng Cơsi Tx  2

VI. Thùc nghiƯm vµ kÕt qu¶ thùc nghiƯm
1. Kết quả đạt được của q trình nghiên cứu
Trên đây tơi vừa trình bầy nội dung sang kiến kinh nghiệm về phân loại
bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ. Tồn bộ kiến thức đã sử
dụng trong bài viết này đều được trang bị rất đầy đủ và chi tiết trong chương
trình học tập của học sinh lớp 10 và lớp 12 theo chương trình sách giáo khoa

mới biên soạn của Bộ Giáo Dục và đào Tạo. Kết quả đạt được là:
1.1 Kết quả thứ nhất: Tìm ra bốn cách giải các bài tốn giải phương trình và
bất phương trình bậc hai
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 18


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------1.2 Kết quả thứ hai: Ứng dụng bài toán trên để giải quyết một số vấn đề của
đại số và giải tích có liên quan đến phương trình và bất phương trình vơ tỷ.
1.3 Kết quả thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt sáng tạo, tư duy giải quyết
vấn đề, tư duy biện chứng, xây dựng và phát triển sự say mê và u thích tốn
học. Kết quả thực nghiệm cho thấy sự tiến bộ của các em học sinh thể hiện rõ
rệt. Các em giải quyết tốt các bài toán đặt ra một cách linh hoạt và sáng tạo.
Đứng trước các bài toán này các em tỏ ra tự tin, chủ động và linh hoạt hơn để
phân tích và nhận định bài tốn nhằm lựa chọn cách giải thích hợp và ngắn
gọn. Giờ học tốn và các tiết kiểm tra được các em hào hứng chờ đợi, đặc biệt
là trong các giờ luyện tập các em thi đua nhau tìm ra những lời giải hay, cách
giải đẹp làm khơng khí học tập trong lớp rất sơi nổi.
2. Phương pháp đánh giá
Để đánh giá hiệu quả sau 24 tuần giảng dạy và học tập tôi tiến hành kiểm
tra đánh giá ở hai thời điểm là sau 12 tuần và sau 24 tuần bằng các bài kiểm
tra đánh giá chuyên môn
2.1. Bài số 1- Lớp 10: Bài kiểm viết tra giữa chương 3, Phương trình và một
số phương trình quy về bậc hai
- Lớp 12: Bài kiểm tra chương 1:Ứng dụng đạo hàm của hàm số.
2.2. Bài số 2
Lớp 10: Bài kiểm tra viết chương 4, Một số phương trình và bất phương trình
quy về bậc hai
Lớp 12: Bài kiểm tra chương 2, phương trình, bất phương trình mũ và logarit.

3. Kết quả thực nghiệm
Kết quả bài kiểm tra ở các lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
Lớp
10A7
Sĩ số
42
Lớp
12A1
Sĩ số
44

Số
lượng

Phần
trăm(%)

Số
lượng

Phần
trăm(%)

Kết quả
ban đầu

2

5%

17

Bài kiểm
tra số 1
Bài kiểm
tra số 2
Kết quả
ban đầu
Bài kiểm
tra số 1
Bài kiểm
tra số 2

2
3
2
3
3

5%
7%
5%
7%
7%

18

19
17
18
19

Số
lượng

Phần
trăm(%)

Số
lượng

Phần
trăm(%)

Số
lượng

Phần
trăm(%)

41% 20

48%

2

4%

1

2%

43%
45%
38%
41%
43%

45%
43%
50%
48%
48%

2
1
2
1
1

5%
2%
5%
2%
2%

1

1
1
1
0

2%
2%
2%
2%
0%

19
18
22
21
21

Kết quả bài kiểm tra ở lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Lớp
10A3
Sĩ số
45

Kết quả
ban đầu
Bài kiểm
tra số 1

Bài kiểm
tra số 2
Kết quả
ban đầu

Kém

Số
lượ
ng

Phần
trăm(%)

Số
lượng

Phần
trăm(%)

Số
lượng

Phần
trăm(%)

Số
lượng

Phần

trăm(%)

Số
lượng

Phần
trăm(%)

2
5
9
3

4%
11%
20%
7%

18
19
20
16

40%
42%
44%
36%

20
20

16
22

45%
45%
36%
50%

3
1
0
2

7%
2%
0%
5%

2
0
0
1

4%
0%
0%
2%

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 19

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ
---------------------------------------------------------------------------------------------Bài kiểm
Lớp
6 14% 19
43% 18
41% 1
2% 0
0%
tra số 1
12A4 Bài kiểm
11 25% 19
43% 14
32% 0
0% 0
0%
Sĩ số tra số 2
44

Thông qua hai bản kết quả trên ta thấy thành tích học tập của các em học
sinh của cả hai khối lớp có thực nghiệm và khơng thực nghiệm có sự tăng
trưởng đáng kể. Tuy nhiên mức độ tăng trưởng ở mỗi nhóm là khác nhau. Đối
với khối lớp khơng có thực nghiệm giáo dục, sự tăng trưởng chậm, chủ yếu
diễn ra ở số học sinh khá, số học sinh yếu và kém có giảm nhưng khơng đáng
kể. Cịn ở khối lớp có thực nghiệm thì q trình tăng trưởng có nhiều bước
đột phá, đặc biệt là số học sinh khá và giỏi, số yếu kém khơng cịn nữa.
C. KÕt luËn
I. GIÁ TRỊ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Do hệ thống bài tập được phân loại từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức

tạp nên dễ dàng được sử dụng như một bài giảng để giảng dạy cho tất cả các
em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học sinh khá giỏi và luyện thi đại
học. Giúp các em nhận thức đầy đủ về kiến thức, phương pháp cũng như có
nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và bất
phương trình.
Mặt khác cùng với hệ thống bài tập là những ví dụ minh họa và các hướng
dẫn, đáp án kèm theo nên có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này để làm
tài liệu tham khảo cho các em học sinh t hc, t rốn luyn
II. Đề xuất và kiến nghị
tài này vẫn cịn có thể được khai thác và mở rộng thêm trên lớp các bài
toán giải và biện luận phương trình, hệ phương trình hoặc bất phương trình vơ
tỷ. Đây là lớp bài tốn lớn có cùng phương pháp giải quyết vấn đề như vậy.
Thông qua bản sáng kiến kinh nghiệm, tôi thực sự muốn chia sẻ kinh nghiệm
nhỏ của bản thân mình với các đồng nghiệp. Rất mong có được sự quan tâm
và góp ý.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa ngày 10 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình khơng sao chép nội
dung của người khác.
Người viết

PHẠM THỊ NGA
---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 20


Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ

----------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------Ths. Phạm Thị Nga
Trang 21