Giao an phu dao mon Toan K11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.71 KB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN I: HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC .

1>HAØM SỐ SIN

sin :

sin

R R

x y x






2>HÀM SỐ COS
cos :

cos

R R

x y x





3>HÀM SỐ TAN
tan :

tan

D R

x y x





4>HÀM SỐ COT
t :

t
co D R

x y co x




Một số tính chất của

hàm số y=sinx
a>Tập xác định D=R
b>Tập giá trò :



1;1



c>Là hàm số lẻ .
d>Hàm số tuần hồn

vớichu kỳ 2

Một số tính chất của
hàm số y=cos

a>Tập xác định D=R
b>Tập giá trị :



1;1



c>Là hàm số chẵn
d>Hàm số tuần hồn
vớichu kỳ 2

Một số tính chất của
hàm số y=tanx
a >Tập xác định

/
2
D R  k

 

b>Tập giá trị hàm số
R

c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hồn
với chu kỳ 

Một số tính chất của

hàm số y=cotx

a>Tập xác định





D R k 

b>Tập giá trị hàm số
R

c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ 

BÀI TẬP

Bài 1 :

Tìm tập xác định hàm số sau :

2 2

2 cot

1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/

4 3 cos 1

sin 2 1

4 / 5 / tan 6 / sin

cos 1 3 1

3 2

7 / 1 cos 8 / 9 / cot( ) tan(2 )

sin cos 3 3

1 1 sin

10 / 11/ 12 /

4 5cos 2sin

2sin 3 cot 3

x

y x y x y

x

x x

y y y

x x

y x y y x x

x x

x

y y y

x x
x x
 
 
    


  
 
      

  
 
 

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
2

2 2

1 4cos

1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3 /

4 / 2sin cos 2 5 / 3 2 | sin | 6 / 3 1 sin 1

x

y x y x x y

y x x y x y x



    

      

PHẦN I I

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .
1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1)
+Với |a|>1 thì phương trình (1) vơ nghiệm .

+Với | | 1a 

i/Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt nào đó thì
đặt : a=sin khi đó ta có :

A
sin=a=OK

sin

cos

O H

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

sin sin 2
2

x k

x k Z

x k

 



  

 


   

  


Chú ý : sin sin 2
2

u v k

u v k Z

u v k



 

 


   

  


ii/Nếu a là giá trị không có góc đặc biệt thì
sin arcsin 2

arcsin 2

x a k

x a

x a k



 

 



     



*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1 sin 7 sin 2 sin 0

2 2sin 3 0 8 sin 3 0

3 2sin( ) 2 0 9 sin 3 cos 0

4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0

5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0

4 3 4

6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0

3 6 3

13 s

x x x

x sinx x

x x x




  

    

     

      

      

        

        

 in(2 ) cos( 2 ) 0

3 3

x  x  

2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2)
+Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm .

+Với | | 1a 

i/ Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt thì
đặt a=cos khi đó ta có :

cos cos 2
2

x k

x k Z

x k

 



 

 


   

 


Chú ý : cos cos 2
2

u v k

u v k Z

u v k



 


   

 


ii/ Neáu a không phải là giá trị của góc bặc biệt thì

A
cos=a=OH

sin

cos

O H

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

cos arccos 2

arccos 2

x a k

x a

x sa k




 



    



*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1 cos 7 cos 2 cos 0

2 2 cos 3 0 8 cos cos 3 0

3 2 cos( ) 2 0 9 cos 3 sin 0

4 2 cos(2 ) 1 0 10 cos 2 sin 3 0

5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0

4 3 4

6 2 cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0

3 6 3

13 c

x x x




  

    

     

      

      

        

        

 os(2 ) sin( 2 ) 0

3 3

x  x  

3>Phương trình lương giác cơ bảntanx=a (3)
+Điều kiện :

2
x k

+Nếu a là gía trị của góc đặc biệt thì

Đặt a=tan khi đó ta có: tanx=tan  x  k
Chú ý : tanutanv u v k  

+Nếu a không là giá trị của góc đặc biệt thì
tanx a  xarctana k 

4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4)
+Điều kiện : x k 

+Nếu a là giá trị của góc đặc biệt thì

Đặt atan khi đó ta có : co x cot  t  x  k
Chú ý : co u co vt  t u v k  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1 tan 3 5 cot 3 0
2

2 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0

3
3

3 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0

4 2

4 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0

3 5

9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2

x x

x x x



 
 

    
      
       
       
                                                      

      ) cot( ) 0

4 4

2 3

10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0

3 3 2 4

5 5

11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0

3 3 3 3

4 5

12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0

3 3 6 6

x

x x x x

 
   
   
   
  
         
         
         

5>TÓM LẠI :

CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN :

*
2
sin sin
2
arcsin 2
sin
arcsin 2
x k

x k Z

x k

x a k
x a

x a k

 

  

 
 

   
  

 

  
  


sin sin 2

u v k

u v k Z

u v k


 
 

   
  


*
2
cos cos
2
cos 2
cos
cos 2
x k

x k Z

x k
x arc a k
x a

x arc a k

 

 


 

   
 

 

  
 


cos cos 2

u v k

u v k Z

u v k



 


   
 


*tanx=tan x= +k
tanx a x arctana k

  




    tanutanvu v k  

t

cot

co x co

x

k

x a

x arc

a k









 

 





co u co vt  t u v k  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2

1 2sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0

4 2

2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0

3 3

3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1

3 3 6 3

3 2

4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0

2 2 3 3

5 sin (5 ) cos (

x x x x

x

x x x

x
x

 

   

  




      

        

         

          

  

2 2

) 0 12 tan 5 .tan 1

4
2

6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0

3 3 6

7 tan 2 .tan 3 1

x x

x x x x

x x



  

   

       

 

II>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 
1)Phương trình bậc nhất .

* asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 .
BAØI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau :

1>3sinx+2=0
2>-2sinx-3=0
3> 2 cosx 1 0
4>3cosx+5=0
5> 3 tanx 3 0
6>3cotx 3 0

2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác .
A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin

* asin2x+bsinx+c=0

Đặt sinx=t đk | | 1t  khi đó ta có : at2+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :

1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 3/ 2sin2x (2 3)sinx 3 0

   

4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/ 4sin2x 2( 3 1)sinx 3 0

    6/ sin23x-2sin3x-3=0
7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 9/ cos2x+sinx+1=0

10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12>sin cos 2 4 0

6 x 3 x

 

   

    

   

   

B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos .
* acos2x+bcosx+c=0

Đặt cosx=t đk | | 1t  khi đó ta có : at2+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin2x-8cosx=0 6/4sin22x+8cos2x-8=0
7/5 4sin2 8cos2 4

2
x
x

   8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin2x-2cos2x+cos2x=0
10

>

sin2x+cos2x+cosx=0 11>cos( ) cos(2 2 ) 2 0

3 3

x  x   
12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x

C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot
* atan2x+btanx+c=0

Ñk
2
x k

Đặt tanx=t khi đó ta có : at2+bt +c=0
* acot2x+bcotx+c=0

Ñk : x k 

Đặt cotx=t khi đó ta có : at2+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1>tan2x-tanx-2=0

2>cot2x (1 3) cotx 3 0

   

3> 2

3 cot x 4 cotx 3 0
4> 2

4 tan 2 0
cos x x 

3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
Phương trình có dạng : Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=D
+B1: xét cosx=0

+B2 : với cos 0

x  x k chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được :
(A-D)tan2x+Btanx+C-D=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình :

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 2sin (1 3)sin cos (1 3) cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0

3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3 cos 6sin cos 3 3

5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3 sin 2 2cos 4

7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

         

        

        

    





2 2 2 2

2 2

8sin cos 7 cos 0
1

9 sin 2sin cos 2cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0

11 3sin 5cos 2cos 2 4sin 2 0

12 2sin 6sin cos 2(1 3) cos 5 30

x x x

x x x x x x x x

x x x x

 

        

    

     

4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là :

a +b -c 0

2 2 2



Khi đó ta chia hai vế của phương trình với a2 b2

 khi đó ta được :

2 2 sin 2 2 cos 2 2

a b c

x x

a b  a b  a b

2 2

2 2 2 2 1

a b

a b a b

   

 

   

 

   

nên đặt : 2a 2 sin , 2b 2 cos
a b   a b  
Khi đó ta được : sinnxsin cos cosx 2c 2 cos(x ) 2c 2

a b a b

       

 

Bài tập : Giải các phương trình :

1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3 sin 2

3 / sin 7 3 cos 7 2 4 / 3 cos sin 2

5 / 5cos 2 12sin 2 13 6 / 2sin 5cos 4
7 / 3sin 5cos 4 2

x x x x

x x

   

   

   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

PH

ẦN II

:

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

I>QUI TẮC ĐẾM .
 a>Qui tắc cộng .

Một cơng việc được hồn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có
m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành
động một thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện .

b>Qui tắc nhân .

Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành
cộng việc .

BÀI TẬP

II>HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

a>Hốn vị :

Có tập hợp A gồm n phần tử



n1



. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của b phần tử .

Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị .

Ta viết số hoán vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)…..3.2.1 .

b>Chỉnh hợp :

Cho tập A gồm n phàn tử



n1



. Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo
một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho

Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : ! ( 1)...( 1)
!

k
n

n

A n n n k

k

     .

c>Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử



n1



. Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử của tập đã cho .

Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : !
!( )!

k
n

n
C

k n k




Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi :
a/ Có tất cả bao nhiêu cách .

b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .

III>NHỊ THỨC NIU TƠN

Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn





n 0 n 0 1 n 1 1 ... k n k k ... n 1 1 n 1 n 0 n

n n n n n

a b C a b C a b C a b C a b  C a b

       

Số hạng thứ k+1 là : 1

k n k k
k n
T C a b

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT .

Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp

Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6
đến 15 . có bao nhiêu cách chọn một viên bi ?

Bài 2 : Có 7 cuốn sách tốn khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau . Hỏi
có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ?

Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn
sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá ,
của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật .

Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách .

CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ

Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} . Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :
a> Có hai chữ số đơi một khác nhau ?

b> Có 3 chữ số đơi một khác nhau ?
c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :
a> Có hai chữ số đơi một khác nhau .

b> 3 chữ số đôi một khác nhau và ln có mặt chữ số 5 ?
c> Có 4 chữ số đơi một khác nhau và ln có mặt chữ số 2 ?

Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a> Có hai chữ số đơi một khác nhau ?

b> Có 3 chữ số đơi một khác nhau ?

c> Là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
d> Là số lẻ có 5 chữ số đơi một khác nhau ?

Bài 6 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên
a> Có 4 chữ số đơi một khác nhau ?

b> Có 8 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 . Có biêu cách lập một số tự nhiên
a> Là số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau ?

b> Là số chẵn có 6 chữ số đơi một khác nhau ?

Bài 8 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :
a> Có 2 chữ số khác nhau và ln có mặt chữ số 2 .

b> Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3
c> Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550

Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :
a> Có 3 chữ số khác nhau .

b> Có 4 chữ .

c> Là số lẻ và có 4 chữ số và đơi một khác nhau .
d> Là số chẵn và có 5 chữ số đơi một khác nhau ?

Bài 10 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên :
a> Số có 4 chữ số đơi một khác nhau .

b> Số có 5 chữ số .

c> Số có 3 chữ số chia hết cho 5 .

d> Số có 4 chữ số trong đó ln có chữ số 1 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a> Có 4 chữ số đơi một khác nhau .
b> Có 3 chữ số và ln có mặt chữ số 9 .
c> Có 3 chữ số và lớn hơn 400 .

Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a> là số chẵn có 3 chữ số .

b> số có 4 chữ số và ln có mặt chữ số 5 .
c> Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 .

Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a> Có 3 chữ số và đơi một khác nhau .

b> Có 4 chữ số đơi một khác nhau là ln có mặt số 5 .

CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT

Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau .
a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau .

b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt .

Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học
sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :

a> Các học sinh ngồi tuỳ ý .

b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn .

Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :
a> Bạn C ngồi chính giữa .

b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút .

Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc
a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau .

b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau .

Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các
thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau .

Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh
thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau .

Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại
diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ .

Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học . Chọn từ đó ra 4 người
để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a> Phải có đủ 3 mơn .

b> Có nhiều nhất 1 nhà tốn học và có đủ 3 môn .

Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1
trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu
như thế .

Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra
khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng .

Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp
đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu .

Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3
tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra .

Bài 26A : Có bảy bơng hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa

vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông )

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam
và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :

a> Mọi người đều vui vẽ tham gia .

b> Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia .

Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca .
Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a> Nếu ít nhất hai nữ .
b> Nếu chọn tuỳ ý .

Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho :

a> Có đúng 2 nam .

b> Có ít nhất 2 nam và 1 nữ .

Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao
nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu .

Sử DụNG KHAI TRIểN NHị THứC NIU TƠN

Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :

















15
6

5 1 20 17

2 2 3 4 2 3

a a b b a c x d x e x

x

 

          

 

Bài 31 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau :

6
3
2
1
x
x
 

 
  ,

9
2 1
x
x
 

 
  ,
9
2
3
1
x
x
 

 
 

Bài 32 : Tìm hệ số của x5 trong nhị thức sau :

15
4 1
x
x
 

 
  ,
10

3
2
1
x
x
 

 
  ,
20
2
1
x
x
 

 
 

Bài 33 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau :

15
2 2
x
x
 

 
  ,
8

3 2
x
x
 

 
 

Bài 34: Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x)n là 90 . Tìm n ?
Bài 35 : Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển

20
3
2
2
x
x
 

 
  .

Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x trong khai triển :

12
3
3
x
x
 


 
  .

Bài 37 : Tìm số hạng khơng chưa x trong khai triển sau :

15
2
3
3
x
x
 

 
 
.
Bài 38 : Tìm hệ số của x31 trong khai triển nhị thức

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

IV>PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 
1

/ PHÉP THỬ .

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nó mặc dù đã biết tập hợp
tất cả các kết quả có thể có của phép thử .

Ví dụ : Gieo một đồng tiến , gieo một con súc sắc , rút một con bài từ bộ bài ,….
2/KHÔNG GIAN MẪU

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký
hiệu là  đọc là ô mê ga .

Ví dụ : tìm khơng gian mẫu của các phép thử sau :
1/Gieo một đồng tiến hai lần .

2/Gieo một con súc sắc hai lần .

3/Từ các số 1,2,3 tìm các số có 3 chữ số .
3/BIẾN CỐ

Biến cố là một tập con của không gian mẫu .

Tập  gọi là biến cố không thể , tập  gọi là biến cố chắc chắn .

Chú ý : biến cố có thể cho dưới dạng là một mệnh đề mô tả tập hợp , hoặc cho dưới dạng là một tập
con của không gian mẫu .

Ví dụ :

1/gieo một đồng tiền hai lần , Hãy xác định biến cố :
A”Mặt sấp xuất hiện lần đầu tiên “

B”có ít nhất là một mặt sấp “

2/Giéo một con súc sắc hai lần , Hãy xác định biến cố :
A”Hai lần gieo có số chấm bằng nhau “

B”Hai lần gieo có tổng số chấm bằng 6 “

3/Từ các số 1,2,3 , lập số có ba chữ số . Hãy xác định biến cố :
A”Số có ba chữ số bằng nhau “

B”là số chẵn có ba chữ số đơi một khác nhau “

BÀI TậP :

Bài 1 : Gieo một con súc sắc cân đối , đồng chất và quan sát sự cố xuất hiện .
a>Mô tả không gian mẫu .

b>xác định các biến cố sau .
A:”Xuất hiện mặt chẵn chấm “
B:”Xuất hiện mặt lẻ chấm “

C:”Xuất hiện mặt có chấm khơng nhỏ hơn 3 “

c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc .

Bài 2 : Một hộp đựng 3 bi trắng được đánh số tử 1 đến 3 , 2 bi đỏ được đánh số từ 4 đến 5 , lấy ngẫu
nhiên đồng thời 2 bi :

a>Xây dựng không gian mãu .
b>Xác định các biến cố :
A:”Hai bi cùng màu trắng “
B:”Hai bi cùng màu đỏ “
C:”Hai bi cùng màu “
D:”Hai bi khác màu “

c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc ..

Bài 3 : Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát hiện tượng mặt sấp và mặt ngữa .
a> Xây dựng không gian mẫu .

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp “

B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau “
C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp “

Bài 4 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc quan sát mặt sấp ,mặt ngữa , số chấm suất hiện của
con súc sắc .

a> xây dựng không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :

A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “
B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “
C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “

Bài 5 : Gieo một đồng tiền 3 lần :
a> Xây dựng không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :
A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp “
B:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần “
C:”Mặt ngữa xẫy ra đúng một lần “
Bài 6 : Gieo một con súc sắc 2 lần :

a> Mô tả không gian mẫu .

b> Phát biều biến cố sau dưới dạng mệnh đề :
A:”{(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}

B:”{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)}
C:”{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)}.

Bài 7 : Trong một hộp đựng 4 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 4 , lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không
gian mẫu .

a> Xác định các biến cố sau :

A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn “
B:”Tích các số trên hai thẻ là chẵn “ .

Bài 8 : Từ một hộp đựng 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 , lấy liên tiếp hai lần một lần một quả và
xếp thứ tự từ trái sang phải .

a> Mô tả không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :

A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau “
B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “
C:”Hai chữ số bằng nhau “.

V>XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1>ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

Giả sử A là biến cố có liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất
hiện .Tỷ số ( )

( )
n A

n  gọi là xác suất của biến cố A ký hiệu là : P(A)

( )
( )

( )
n A
P A

n


</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

BÀI TẬP :

1>Gieo một con súc sắc hài lần , tính xác suất các biến cố sau :
a/ Tổng của hai lần gieo bằng 6 chấm

b/ Lần gieo đầu bằng 6

c/ Tích của hai lần gieo là một số chẳn .
d/ Hai lần gieo có số chấm bằng nhau .

2> Một tổ có 7 nam và 3 nữ , chọn ngẫu nhiêu hai học sinh . Tính xác suất sao cho :
a/ Cả hai học sinh là nữ .

b/ khơng có nữ nào .
c/ có ít nhất là một nam .
d/ có đúng một hs là nữ .

3> Một hộp đựng 5 viên bi trắng , 7 viên bi đỏ , chọn ngẫu nhiên 3 viên bi . Tính xác suất để :
a/ 3 viên bi cùng màu .

b/ có đúng 3 bi đỏ .

c/ có ít nhất là hai bi trắng .
d/ có đủ hai màu .

4> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một cái bàn trịn , tìm xác suất
để nam nữ ngồi xen kẻ nhau .

5> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một cái bàn dài , tìm xác suất
để nam nữ ngồi xen kẻ nhau .

6>Một hộp đựng 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu được đánh số tử 1 đến 20 lấy
ngẫu nhiên một quả cầu . Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn :

a/Ghi số chẵn .
b/Mầu đỏ .

c/Mầu đỏ và ghi số chẵn .
d/Mầu xanh hoặc ghi số lẻ .

7>có 7 học sinh học môn anh văn và 8 học sinh học pháp văn và 9 học sinh học tiếng nhất . chọn ngẫu
nhiên 3 học sinh . Tính xác suất để :

a/ chọn đúng có hai thứ tiếng trong đó có hai học sinh học tiếng anh .
b/ Chọn có đúng ba thứ tiếng .

8>Một lớp có 60 học sinh trong đó 40 học sinh học tiếng ành , 30 học sinh học tiếng pháp , 20 học sinh

học cả tiếng ành và tiếng pháp . Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh . Tính xác suất của các biến cố sau :
a/Sinh viên được chọn học tiếng ành .

b/sinh viên được chọn chỉ học tiếng pháp .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

PHẦN III.

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

I>PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC .

Khi chứng minh một mệnh đề phù thuộc vào số tự nhiên n thì ta dùng phương pháp qui nạp tốn học.
Thực hiện phương pháp qui nạp toán học theo các bước sau : \

B1 : Kiểm tra mệnh đề với n=1 (2,3,…) (Nếu mệnh đề đúng thì vào bước 2 ) .
B2 : Giả sử mệnh đề đúng với n=1 ( gọi là giả thiết qui nạp )

B3 : Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 .

BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC .
Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc vào N* . 
1/ 2+5+8+…+(3n-1)= (3 1)

2
n n

. 2/ 3+9+27+…+3n = 
1

3 3

n


3/ 12+22+32+…+(2n-1)2=

2
(4 1)

3
n n 

4/ 13+23+33+…+m3=

2 2

( 1)
4
n n
5/ 1+2+3+…+n= ( 1)

2
n n

6/ 22+42+…+(2n)2=2 ( 1)(2 1)
3

n n n
7/ 12+22+32+…+n2= ( 1)(2 1)

6
n n n

8/1 1 1 ... 1 2 1

2 4 8 2 2

n
n n



    

Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi n N*

 ta có :

1/ n3-n chia hết cho 3 . 2/ n3+3n2+5n chia hết cho 3 .
3/ 11n+1+122n -1 chia hết cho 133 . 4/ 2n3 -3n2+n chia hết cho 6 .
5/ 4n+15n-1 chia hết cho 9 . 6/ 13n -1 chia hết cho 6 .
7/ 32n+1+2n+2 chia hết cho 7 8/ 32n+2+26n+1chia hết cho 11 .
Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi n N*

 ta có :

1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5

II> DÃY SỐ .

1>Định nghĩa dãy số :

* Hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N* gọi là dãy số vô hạn ký hiệu (u

n) , ta viết
*
:

( )

u N R

n u n




Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,un,…

Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , un gọi là số hạng tổng quát .

* Hàm số u xác định trên tập số M={1,2,3,4,…,m) với m thuộc tập số tự nhiên N* gọi là dãy số hữu 
hạn ký hiệu (un) ,ta viết

( )

u M R

n u n



Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,…,um .

Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , um gọi là số hạng cuối .

2>cách cho một dãy số .

a/Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát un .
Ví dụ :Cho dãy số (un) : un=2n+1

b/Cho dãy số bởi biểu thức truy hồi .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

+Cho biểu thức truy hồi ( Biểu thức truy hồi là biểu thức biểu diễn số hạng thứ un qua số hạng
đứng trước nó hoặc một vài số hạng đứng trước nó ) .

Ví dụ : Cho dãy số : 1

1
2

2 1

n n

u

u u 





 



3>Dãy số tăng và dãy số giảm .

+Một dãy số (un) gọi là số tăng nếu un+1>un với mọi n thuộc vào N* .
+ Một dãy số (un) gọi là số giảm nếu un+1<un với mọi n thuộc vào N* .

Chú ý Để chứng minh một dãy số là tăng hay giảm thì ta thực hiện theo một trong hai cách :

C1 : Lập tỷ số An= un+1-un

Nếu An >0 thì đó là dãy tăng , cịn An<0 thì đó là dãy giảm .

C2 : Lập tỷ số : An = n 1( n 0)
n

u
u
u

 

Nếu An >1 thì dãy số là dãy tăng , cịn nhỏ hơn 1 thì dãy số là dãy giảm .

4>Dãy số bị chặn

+Một dãy số (un) gọi là bichặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un M với mọi n thuộc vào N* .
+ Một dãy số (un) gọi là chặn dưới tồn tại số thực m sao cho un m với mọi n thuộc vào N* .

BÀI TẬP

Bài 1 : Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau .

1 1

2 2

1 2 1

2 1

1/ 2 / 3/

2 1 2 1 1

1 1

4 / 5 / 2 6 / 2

2 1

2 2 1

n

n n n n n

n n

n n n n

n
n

n n

u u u

n

u u

u

u u

u u u u

u
u



  



  

  




 






  

 

  

 

     

  



Bài 2 : Xét tính tăng , giảm của các dãy số sau :

2
2

1 1 2 1

1/ 2 2 / 3/ 4 / 2 5

1 5 2

2 2 1 2 1

5 / 6 / 7 / 8 / ( )

1 ! 4

n n n n

n

n n n n

n n

u u u u n

n n n

n n

u u u u

n n n

 

     

 

 

   

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

III>CẤP SỐ CỘNG 
 1>Định nghĩa :

Một dãy số hữu hạn hoặc vơ hạn trong đó kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bắng số hạng đứng ngay
trước nó cộng thêm một số khơng đổi d .(d gọi là công sai của câp số cộng ) .

un+1=un+d

2>Số hạng tổng qúat :

Cấp số cộng có cơng sai d và số hạng đầu là u1 thì số hạng tổng quá là : un=u1+(n-1)d
3>Tính tổng của n số hạng đầu tiên : ( 1 )

n
n

n u u
S  

BÀI TậP

Bài 1 : Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng ? khi đó tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số
cộng đó ?

7 3 5 2

1/ 5 2 2 / 3/ 4 / 3 5 / ( 1)

2 3

n

n n n n n

n n

u   n u   u   u  u  n

Bài 2 : Cho dãy số : un=9-5n
a/Viết 5 số hạng đầu của dãy số .

b/Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng ? Xác định số hạng đầu và công sai
c/Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .

Bài 3 : Tìm cơng sai và tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau :
a/ (un) : 4,7,10,13,16,…

b/ (un) : 1,6,11,16,…

Bài 4 : tính u1 và công sai d của cấp số cộng sau biết :

a/ 1 5
4

2 0

u u

s

 






 b/
4
7

10
19
u
u








 c/

1 5 3
1 6

10
7
u u u
u u

  




 

 d/

7 3
2 7

. 75

u u
u u

 







e/ 2 5 3
4 6

10
26

u u u

u u

  




 

 i/

3 5
12

14
129
u u
s

 







Bài 5 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21và tổng bình phương
của chúng bằng 155 .

Bài 6 : Xác định cấp số cộng biết : cấp số cộng có 13 số hạng , tổng các số hạng đó là 143 ,hiệu của số
hạng cuối và số hạng đầu là 36 .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

PHẦN IV

GIỚI HẠN

I > GIỚI HẠN DÃY

1/Định nghĩa 1 : dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một
số dương bé tuỳ ý kể từ một số dương nào đó trở đi . ký hiệu : xlimun 0

   hay un  0khi n 

2/Định nghĩa 2 : dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a khi n dần tới  nếu lim(x vn a) 0

    .

Ký hiệu : xlim vn a

   hay vn  a khi n .

3/Một vài giới hạn đắc biệt :

1 1

. lim 0 . lim 0 . lim 0(| | 1)

. lim lim

n
k

x x x

n x n x

a b c q q

n n

d u c u c c

     

   

   

   

4/Một số tính chất

a)Nếu limx un a, limx vn b

      thì

lim ( ) , lim ( )

lim ( . ) . , lim ( )

n n n n

x x

n
n n

x x

n

u v a b u v a b

u a

u v a b

v b

   

       

   

b)Nếu un 0 với mọi n và limx un a

   thì a0, limx  un  a

Chú ý :

x

lim

 

u

n



a

thì ta có thể viết limu

n

=a

5/Giới hạn vô cực

a/Định nghĩa ;

.Ta nói dãy số un có giới hạn  khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số

hạng nào đó trở đi ký hiệu : xlim un .

.Ta nói dãy số un có giới hạn   khi n nếu xlim ( un)

   .

b/Các tính chất :

a. Nếu Limun=a và Limvn= thì n 0

n

u
Lim

v 

b. Nếu limun=a>0 và Limvn=0 và vn>0 với mọi n thì lim n

n

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

BÀI TẬP

Bài 1 : Tính giới hạn sau :

2 2 3 2

) (2 3 1) ) ( 3) ) (3 5)

a Lim n  n b Lim n  n c Lim n  n  n

2 2 2

2 2

2 3

2 2

3 2 3 2 5 7

1. 3. 4.

2 3 2 3 3 6

4 1 1 5 3 1

5. 6. 7.

2 2 7 4 3

(2 1)( 2) 5 5 1 ( )(2 1)

8. 9. 10.

2 3 1 (5 2)( 4) 3 1

2 1 2 3 5

11. 12.

3 7 6

n n n

Lim Lim Lim

n n n

n n n n n

Lim Lim Lim

n n n n n n

n n n n n n n

Lim Lim Lim

n n n n n n

n n n n

Lim Lim

n n n

  
  
    
   
     
     
  
  

3 3 2

2 2 2 2 3

2 3 3 2

1 1

13.

9 2 3

3 2 3 4 1 2 3 1

14. 15. 16.

1 27 3 3 3 2

n n
Lim

n n

n n n n n n n n

Lim Lim Lim

n n n n n n

  

 

       

     

Bài 2 : Tính giới hạn :

1 2

1 1 1 1 1

1 2

2 3 3.5 2.3 7.5 2.7 7.3 2.6

1) 2) 3) 4)

2.3 5.2 5 5.3 5 5.7 5.3 5.6

( 2) 5 4.3 7 ( 3) 5 2 3 4

5) 6) 7) 8)

3 5 2.5 7 ( 3) 5 1 2 3 4

( 3) 5
9)

3 5

n n n n n n n n

n n n n n n n n n

n n
n

Lim Lim Lim Lim

Lim


    
 

   
   
      
      
 

1 2

1 1 1

5 7 1

10)

3 7 3.2

n n
n Lim n n n

 

  

 

Bài 3 Tính giới hạn sau :

2 2 2 2

3 3 2 3 3 2

3 3 3 3

1) ( 2 1) 2) ( 3 5 1) 3) ( 2 1 1)

2 1 3 2 3 2 1

4) 5) 6) 7)

1 1 2 2

7) ( 8 3 1 1 2 ) 8) ( 27 1 2 )

2 2 3

9) 10)

Lim n n Lim n n Lim n n n

n n n n n n n n n n n n

Lim Lim Lim Lim

n n n n n n n n n

Lim n n n Lim n n n

n n n n

Lim Lim
n n
         
           
       
      
  

  2

1
1
n
n n
 
 
Bài 4 : Tính giới hạn :

2 2 2

1 1 1 1 1 1

) ( ... ) ) ( ... )

1.3 2.4 ( 2) 1.3 3.5 (2 1)(2 1)

1 1 1

) (1 )(1 )...(1 ) . (1/ 2)

2 3

a Lim b Lim

n n n n

c Lim

n

     

  

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

II>GIỚN HẠN HÀM SỐ

1>

Định nghĩa

1 : Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu vớidãy số (xn) bất kỳ ,xnK\{x0} và

n

x  x ta có : f x( )n  L. Ta ký hiệu :

lim ( )

xx f x L .

2>

Các tính chât

( về giới hạn hữu hạn )

a/Giả sử

lim ( )

xx f x L và 0

lim ( )

xx g x M khi đó ta có :













0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

( )

lim ( ). ( ) . lim ( 0)

( )

x x x x

f x g x L M f x g x L M

f x L

f x g x L M M

g x M

 

       

    

b/Nếu f x( ) 0 và

lim ( )

xx f x L thì L0, limxx0 f x( )  L

(Chú ý dấu của F(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn với x khác x0 ) .

NHẬN XÉT

: xlimx0x x0

  từ đó ta có lim0 0

k k
xx x x , 0

lim

xx c c với c là hằng số .

BÀI TẬP

Bài 1 : Tính giới hạn :

1)limx1x2 2) lim(x2 x21) 3) 2

lim( 2 1)

x  x  x 4) lim(x1 x2 x1) 5) 1
1
lim
2 1
x
x
x




Bài 2 : Tính các gới hạn sau :
1)
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
 
 

 2)
2

2
3 2
lim
2
x
x x
x
 
 

 3)

2
2

3 3 6

lim
2
x
x x
x
 
  

 4)
2
2
6
lim

4 4
x
x x
x

 

5) 1 2

1
lim
3 2
x
x
x x



  6)
Bài 3 : Tính giới hạn :

3>

Giới hạn một bên

Định nghĩa 2 :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b)

Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với
x0<xnxn  x0 thì f x( )n  L khi đó ta ký hiệu :

lim ( )

xx f x L

Cho hàm số y=f(x) xác định trrn khoảng (a;x0)

Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với
a<xn<x0 và xn  x0 thì f x( )n  L khi đó ta ký hiệu :

lim ( )

xx f x L

Chú ý : 0

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x f x L x x f x x x f x L

 

   

4

>Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực .

Định nghĩa 3 :

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x  nếu với mọi dãy (xn) bất kỳ , xn >a và xn   ta 
có f x( )n  L khi đó ta ký hiệu : xlim ( )  f x L.

b/ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng



 ;b



Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x   nếu với mọi dãy (xn) bất kỳ , xn xn    ta 
có f x( )n  L khi đó ta ký hiệu : xlim ( )   f x L.

Chú ý :

Với c và k là hằng số và k là ngun dương ta ln có

lim

; lim

k

x x

c

c c

c

x

 



 



b/Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x x0vẫn còn đúng với khi x (x  ).
5

>Giới hạn vô cực của hàm số .

a/Định nghĩa 4 :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng



a;



Ta nói hàm số y=f(x) có gới hạn là  khi x  nếu với dãy số (xn) bất kỳ xn>a và xn   ta có

 

n

f x   khi đó ta ký hiệu là : xlim ( )  f x  

NHẬN XÉT : lim ( )x  f x   xlim (   f x( )) 
b/Một vài giới hạn đặc biệt

(1)xlim xk  với k là nguyên dương .
(2) xlim xk  nếu k là lẻ

(3) xlim  xk  nếu k là chẵn 
c/ một vài qui tắc về giới hạn vô cực .
*Giới hạn của tích f(x).g(x)

Nếu xlim ( )x0 f x  L 0 , lim ( )xx0g x   ( ) thì 0

lim ( ). ( )

xx f x g x theo các qui tắc sau :

lim ( )

xx f x xlim ( )x0g x lim ( ). ( )xx0 f x g x

L>0  

   

L<0   

  

*Giới hạn của thương

( )
lim

( )

x x

f x
g x



lim ( )

xx f x 0

lim ( )

xx g x

Dấu g(x)

( )
lim

( )

x x

f x
g x



L  Tuỳ ý 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

-  

L<0 +  

</div>

Giao an phu dao mon Toan K11

<b>PHẦN I: HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC .</b>













<b>BÀI TẬP </b>

Bài 1 :

<b>PHẦN I I</b>

<b> </b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

t

t

cot

cot

<i>co x co</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x a</i>

<i>x arc</i>

<i>a k</i>













 

 





>





a +b -c 0



<b> </b>

<b>ẦN II</b>

<b>TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT</b>

















<b>BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT .</b>

<b>Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp </b>

<b>CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ </b>

<b>CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT </b>

<b>Sử DụNG KHAI TRIểN NHị THứC NIU TƠN </b>

















<b>BÀI TậP : </b>

<b>BÀI TẬP : </b>

<b>DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN </b>

<b>BÀI TẬP </b>

BÀI TậP

<b>PHẦN IV</b>

<b>GIỚI HẠN</b>

<b>Chú ý : </b>

lim

<i>u</i>



<i>a</i>

<b> thì ta có thể viết limu</b>

<b>=a </b>

<b> BÀI TẬP </b>

<b>Định nghĩa</b>

<b>Các tính chât</b>

