Cuc tri cua ham so

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài toán:</b>

1. Dựa vào đồ thị của các hàm số sau, hãy chỉ ra các điểm
tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các
khoảng đã cho.

a) y=-x2+1 trong khoảng (-;+)
b) trong các khoảng

2. Lập bảng biến thiên của các hàm số trên tương ứng với các
khoảng đã cho.

2

x

y

.(x 3)

3





1 3; & 3;4

2 2 2

   

   

   

−2 2 4 6 8 10

−2
2
4

x
y

−6 −4 −2 2 4 6 8

−4
−2
2

x
y

x - 0+

y’

y 1

x 1/2 1 3/2 3 4
y’

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>1. Khái niệm cực trị của hàm số:</b>
<b>Định nghĩa:</b>

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x₀  D

a) x₀ là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a;b) chứa x₀ sao cho (a;b)  D và

<i><b> f(x) < f(x</b><b>₀</b><b>) với mọi x </b></i><i><b> (a;b) \{x</b><b>₀</b><b>}.</b></i>

• Ta nói hàm số đạt cực đại tại x₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>1. Khái niệm cực trị của hàm số:</b>
<b>Định nghĩa:</b>

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x₀  D



Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_o, ta gọi là hàm số đạt
cực trị tại x_o. f(x_o) gọi là giá trị cực trị của hàm số.

b) x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a;b) chứa x₀ sao cho (a;b)  D và

<i><b> f(x) > f(x</b><b>₀</b><b>) với mọi x </b></i><i><b> (a;b) \{x</b><b>₀</b><b>}.</b></i>

• Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>2. Điều kiện cần để có cực trị:</b>
<b>Định lý 1:</b>

Nếu f có đạo hàm tại x_o và đạt cực trị tại x_o thì f’(x_o) =0

<i>Chứng minh: (xem SGK)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Hàm số y=x3

<i>Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x=0 nhưng khơng có</i> <i>cực </i>

<i>trị tại x=0.</i>

−6 −4 −2 2 4 6 8

−2
2
4

x
y

có đồ thị:
<i><b>Ví dụ 1:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Ví dụ 2:</b></i> b) Hàm số

3 _{x (5 x)}2



3 2

y



x .(5 x)



−6 −4 −2 2 4 6 8

2
4
6

x
y

<i>Hàm số đạt cực đại tại x=2 ,cực tiểu tại x=0.</i>

<i>Chú ý: là hàm khơng có đạo hàm tại x=0</i>

có đồ thị:

<i>Như vậy: Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>3)Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:</b>

a) Nếu f’(x) >0; x(a; x₀) và f’(x) <0; x(x₀;b) thì hàm
số đạt cực đại tại x₀.

<b>Định lý 2:</b> <i>(điều kiện đủ 1)</i>

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀
và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và ( x₀;b). Khi đó:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

x a x₀b
y’ +

-y CĐ

x a x₀b
y’ - +

y

CT

<i>Chú ý: Tại x₀chỉ cần hàm số liên tục, khơng nhất thiết có </i>

<i>đạo hàm</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Quy tắc 1: </b>Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

<i>1) Tìm y’</i>

<i>2) Tìm các điểm x_i (i=1, 2,...) tại đó đạo hàm của hàm số </i>

<i>bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.</i>
<i>3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.</i>

<i>4) Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị</i>

 

\ 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bảng biến thiên

x - -1 0 1 +

y’ + 0 - - 0 +
y -1 11

• Hàm số đạt cực đại tại x=-1,y_CĐ=-1 và đạt cực tiểu tại

x=1,y_CT=11

<i><b>Ví dụ 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số:</b></i>
<b>TXĐ: </b>D=R\{0}

Đạo hàm:

3

y 3x 5
x
  
2
3
y 3
x
 
2
2
3(x 1)
0
x



  x 0

x 1


 



</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chứa
điểm x₀, f’(x_o)=0 và f’’(x_o)≠0 tại điểm x_o.

a) Nếu f’’(x₀) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_o.
b) Nếu f’’(x₀) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_o.

<i>Chú ý:</i> <i>Nếu f’’(x₀)=0 thì trở lại dấu hiệu đủ thứ 1 </i>

<i>Ví dụ 5:</i> Hàm số y =x4 có y’’(0)=y’(0)=0 ,dấu hiệu đủ thứ

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Quy tắc 2: </b>Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

<i>1) Tìm f’(x)</i>

<i>2) Tìm các nghiệm x_i (i=1, 2,...) của phương trình f’(x)=0.</i>

<i>3) Tìm f”(x) và tính f”(x_i).</i>

<i>* </i>Nếu f’’(x_i) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_i.

* Nếu f’’(x_i) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_i.

 

\ 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<i>Ví dụ 6:</i> Dùng dấu hiệu đủ 2 tìm cực trị hàm số:
1) y= x4-2x2-1

2) y= sin2x+x.

<b>Bài tập :</b>

1) BTSGK

2) Tìm m để hàm số y= x3-6x2+3(m+2)x-m-6.

a) Hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị .

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Quy tắc 1: </b>Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

<i>1) Tìm y’</i>

<i>2) Tìm các điểm x_i (i=1, 2,...) tại đó đạo hàm của hàm số </i>

<i>bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.</i>
<i>3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Quy tắc 2: </b>Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

<i>1) Tìm f’(x)</i>

<i>2) Tìm các nghiệm x_i (i=1, 2,...) của phương trình f’(x)=0.</i>

<i>3) Tìm f”(x) và tính f”(x_i).</i>

<i>* </i>Nếu f’’(x_i) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_i.

* Nếu f’’(x_i) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_i.

 

\ 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.</b>

<i>PP:</i> Dùng dấu hiệu 1 hoặc dấu hiệu 2.

<b>Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt CĐ, CT hay </b>
đạt cực trị tại một điểm.

<i>PP:</i> B1: Dùng dấu hiệu 1 lập phương trình hoặc dấu hiệu 2
lập hệ gồm phương trình và bất phương trình ẩn là tham số.

B2: Giải để tìm giá trị của tham số.
B3: Thử lại <i>(khi sử dụng dấu hiệu 1)</i>.
<b>Dạng 3: CMR hàm số ln có 1 CĐ và 1 CT.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Bài 1: Tìm cực trị của hàm số.</b>

<b>Bài 2: Tìm cực trị của hàm số.</b>

3 2

1

1)y x 2x 3x 1

3

    2)y x 4 3

x

  

4 2

3)y x 2x  3

2

x 2x 3

4)y

x 1

 





</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Bài 3: Cho hàm số: . Tìm m để </b>
1) Hàm số đạt CT tại x=2.

2) Hàm số đạt CĐ tại x=2.

<b>Bài 4: Cho hàm số: . Tìm m để </b>
1) Hàm số có 1 CĐ và 1 CT.

2) Hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các cực trị của đồ thị hàm số
cách đều gốc tọa độ.

2

x mx 1

y

x m

 





3 2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Bài 5: Cho hàm số: . </b>CMR hàm số đã cho
ln có 1 CĐ, 1CT và bình phương khoảng cách giữa 2 cực
trị của hàm số bằng 20.

<b>Bài 6: Cho hàm số: . Tìm m để </b>
hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O.

2

x (m 1)x m 1

y
x 1
   


2 2

x 2(m 1)x m 4m

y

x 2

   



</div>

<!--links-->