chuyen de luong giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (217.04 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

cos
sin
tan
' cot

OP a

OQ a

AT a

BT a





Nhaän xeùt:

 a, 1 cos  a1; 1 sin   1
 tana xác định khi ,

a k k Z  ,
 cota xác định khi a k k Z , 
2. Dấu của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư
Giá trị lượng giác

I II II IV

sina + + – –

cosa + – – +

tana + – + –

cota + – + –

3. Hệ thức cơ bản:

sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1

2 2

1 1

1 tan ; 1 cot

cos sin

a a

   

4. Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos( ) cosa  a sin( a) sin a sin cos

2 a a

 

 

 

 



sin( )a  sina cos(  a)  cosa cos sin

2 a a

 

 

 

 



tan( )a  tana tan( a)  tana tan cot

2 a a

 

 

 

 



cot( )a  cota cot( a) cota cot tan

2 a a

 

 

 

 



CHƯƠNG I

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG I

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cosin
O

cotang

ta

ng

p A

M
Q B T'



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II. CƠNG THỨC CỘNG
Cơng thức cộng:

Trang 2

Cung hơn kém  Cung hơn kém 2
sin(a) sina sin cos

2 a a

 

 

 

 



cos(a)  cosa cos sin

2 a a

 

 

 

 



tan( a) tan a tan cot

2 a a

 

 

 

 



cot(a) cot a cot tan

2 a a

 

 

 

 



6


4




 2

 3

  3

 2

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 1

2 22

2 1

3
2

2 0 –1 0

cos 1 3

2
2

2 0

1
2

 2

 –1 0 1

tan 0 3

3 1 3  3 –1 0 0

cotg 3 1 3

3 0

3
3

 –1 0

sin(a b ) sin .cos a b  sin .cosb a
sin(a b ) sin .cos a b sin .cosb a
cos(a b ) cos .cos a b  sin .sina b
cos(a b ) cos .cos a b sin .sina b

tan tan
tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b



 



tan tan
tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b



 



Hệ quả: tan 1 tan , tan 1 tan

4 1 tan 4 1 tan

x x

     

   

   

 

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

2 2 2 2

cos2a cos a sin a 2 cos a1 1 2sin  a
tan 2 2tan2 ; cot 2 cot2 1

2cot
1 tan
a a
a a
a
a

 


2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:

4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan2a:

Đặt: tan ( 2 )

2
a

t  a  k thì: sin 2 2

1
t
a
t

 ;
2
2
1
cos
1
t
a
t



 ; 2

2
tan
1
t
a
t



IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a b   

sin sin 2 cos .sin

2 2

a b a b

a b   

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a b   

cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a b   

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b

 
sin( )
cot cot
sin .

b a
a b
a sinb

 

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

a a a  a 

   

 

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

a a a  a 

   



2. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1

cos .cos cos( ) cos( )

2
1

sin .sin cos( ) cos( )

2
1

sin .cos sin( ) sin( )

a b a b a b

 
     
 
     
 
     
3
3
3
2

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

3tan tan
tan3

1 3tan

a a a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Phơng trình - Hệ phơng trình lợng giác

Vn 1: TP XC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
sin

y  x : Tập xác định D = R; tập giá trị T   1, 1 ; hàm lẻ, chu kyø T0 2 .

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 2a

* y = sin(f(x)) xác định  f x( ) xác định.

cos

y  x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T   1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 2.

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 2a

* y = cos(f(x)) xác định  f x( ) xác định.

tan

y  x : Tập xác định \ ,
2

D R  k k Z 

 



 ; taäp giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0  .

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 a

* y = tan(f(x)) xác định  f x( ) ( )

2 k k Z

   

cot

y  x : Tập xác địnhD R k k Z\



, 



; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0  .

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 a

* y = cot(f(x)) xác ñònh  f x( ) k (k Z ).

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y f x1( ) f x2( ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

Bài 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a/ y sinx2x1



  b/ y  sinx c/ y  2 sin x

Trang 4



ỢNG GIÁC

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

d/ y  1 cos 2x e/ 1

sin 1
y

x


 f/ y tan x 6

 

   

 



g/ y cotx3

 



h/ y cos(sinx )
x


  i/ y =

1
tanx1
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a/ y = 2sin 1
4
x

 

 

 

 



b/ y 2 cosx 1 3 c/ y sinx

d/ y 4sin2x 4sinx3 e/ y cos2x2sinx2 f/ y sin4x 2 cos2x1
g/ y = sinx + cosx h/ y = 3 sin 2x cos2x i/ y = sinx 3 cosx3

Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx
d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx
g/ y = sin tan

sin cot

x x



 h/ y =

3
3

cos 1

sin
x

x


i/ y = tan x

Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:

a/ y sin 2x b/ cos
3
x

y  c/ y sin2x

d/ sin2 cos
2
x

y x e/ y tanxcot 3x f/ cos3 sin2

5 7

x x

y  

g/ y 2sin . cos3x x h/ y cos 42 x i/ y = tan(3x + 1)
ÑS: a/ . b/ 6. c/ . d/ 4. e/ . f/ 70. g/ . h/ .

 i/ 
3


Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC
1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

– Tìm tập xác định D.

– Tìm chu kỳ T0 của hàm số.

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:

x  T  hoặc 0, 0
2 2
T T
x  

  .

– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.

– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v k T i . .0

 

về bên trái
và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y
= f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a
đơn vị nếu a < 0.

b/ Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua
trục hoành.

c/ Đồ thị y  f x( ) -f(x), nếu f(x) < 0f x( ), nếu f(x) 0

 được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác định: D = R.

– Tập giá trị: 1, 1 .
– Chu kyø: T = 2.

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2

– Tịnh tiến theo véctơ v 2 .k i

 

 ta được đồ thị y = sinx.
Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2 

 



và nghịch biến trên  2, .

 



Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.

– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị: 1, 1 .
– Chu kyø: T = 2.

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :

– Tịnh tiến theo véctơ v 2 .k i

 

 ta được đồ thị y = cosx.
Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
Trang 6

1

 



 0

 3

2


  5












3
2



   2 

 3

2


  5


y = cosx

–1
y

x








 

x0y
0
–1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2 

 



và nghịch biến trên khoảng  , 32 .

 



Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.

– Tập xác định: D = R \2k k Z,  

 



– Tập giá trị: R.

– Giới hạn:

lim

x

y

 





:
2

x

  là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = .

– Bảng biến thiên trên  2 2, 

 

 
:

– Tịnh tiến theo véctơ v k i .

 

 ta được đồ thị y = tanx.
Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D.

Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác định: D = R\



k k Z, 



– Tập giá trị: R.
– Giới hạn:

lim , lim

x y   x x y  

tiệm cận đứng: x = 0, x = .
– Chu kỳ: T = .

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, :

– Tịnh tiến theo véctơ v k i .

 

 ta được đồ thị y = cotx.
Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D.











x0y

0
+

–

x
y

3
2







2


 

2



3

2



2

5

2







2

 

3

2


 2 




2



3

2




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
– Vẽ đồ thị y = sinx.

– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx

sin , neáu sin x 0
sin -sin x, nếu sin x < 0.x

y  x  



Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thị y = cosx.

– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y  1 cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị y cosx lên
trục hoành 1 đơn vị.

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :

Trang 8

y

x

–2 3

2


 3

2

 2

2

 

O


2



y = –sinx
1

–1


2


 3

2

 2

2

 

O

y = /sinx/
y

1

x

x0y = cosx1
0
–1

01y = 1 + cosx2
1

0
12

2


 O

y = 1 + cosx
y

x


2

  3

2


y = cosx
2

1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :
2



 O

y

x


4



4

1

3
2


2

 5

4


y = sin2x

–1

x2xy = sin2x
0

–1
01
0

x2xy = cos2x
–1
01
0
–1

O
y

x

4



1

2



4







3
4

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y sinx4

 



có chu kỳ T = 2.

Ví dụ 11: Vẽ đồ thị y cosx 4

 



coù chu kỳ T = 2.

Ví dụ 12: Vẽ đồ thị y sinxcosx  2 sinx4

 



có chu kỳ T = 2.

Trang 10













































3
2








 

3
4




2



4



4


2

 3

4



5

4

 7

4





2 / 2



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ 13: Vẽ đồ thị y cosx sinx  2 cosx4

 



có chu kỳ T = 2.





3
4


 2 4

  
4

2
 3
4

  5

4

 
2
1


3
4


 2 4

  
4

2
 3
4

  5

4


2
1




















3
2






 

3
4


2


4


4

2
 3
4



5

4
 7
4



2
2



4

2




3
4

 2

 

5

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.
– Tập xác định: D R k \ . , 2 k Z 

 


– Chu kyø T = .

Trang 12

   




















4 3
3



4 3
3



2





3




4




6




6



4



3



2







</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sin

a/ sinx sin  xx  k2 k2 (k Z )

  



 



  

sin . : 1 1.

arcsin 2

sin arcsin 2 ( )

x a Điều kiện a

x a k

x a x a k k Z

   

  

   

  





 

c/ sinu  sinv  sinusin( )v

d/ sin cos sin sin

2
u  v  u    v

 



e/ sin cos sin sin

2
u  v  u  v 

 


Các trường hợp đặc biệt:

sinx 0  x k  (k Z )

sin 1 2 ( )

x   x  k  k Z sin 1 2 ( )

x   x   k  k Z

2 2

sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )

x   x  x   x   x k k Z

2. Phương trình cosx = cos

a/ cosx cos  x  k2 ( k Z )
b/ coscosx ax  a Điều kiện. x arccos: 1 a k a 2 (1. k Z)

     

c/ cosu  cosv  cosu cos( v)

d/ cos sin cos cos

2
u  v  u    v

 



e/ cos sin cos cos

2
u v  u   v

 


Các trường hợp đặc biệt:

cos 0 ( )

x   x  k k Z

cosx 1  x k 2 ( k Z ) cosx 1  x   k2 ( k Z )

2 2

cosx  1 cos x 1 sin x 0  sinx 0  x k  (k Z )

3. Phương trình tanx = tan

a/ tanx tan  xk (k Z )
b/ tanx a  x arctana k k Z (  )
c/ tanu  tanv  tanu tan( )v

d/ tan cot tan tan

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

e/ tan cot tan tan
2
u v  u   v

 


Các trường hợp đặc biệt:

tanx 0  x k  (k Z ) tan 1 ( )

x   x   k k Z
4. Phương trình cotx = cot

cotx cot  xk (k Z )
cotx a  x arccota k  (k Z )
Các trường hợp đặc biệt:

cot 0 ( )

x   x k k Z cot 1 ( )

x   x  k k Z

5. Một số điều cần chú ý:

a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ).
2

x k k Z
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )
2

x k  k Z
* Phương trình có mẫu soá:

 sinx 0  x k  (k Z )

 cos 0 ( )

x   x k k Z

 tan 0 ( )

x   x k  k Z

 cot 0 ( )

x   x k  k Z

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường trịn lượng giác.

3. Giải các phương trình vô định.

Bài 1. Giải các phương trình:
1) cos 2 x60

 



2) cos 4 x 31

 



3) cos 5 x1

 



4) sin 3 x30

 



5) sin2 4x 1

 



6) sin6 2x1

 



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

7) sin 3





1
2

x  8) cos



150



2
2

x  9) sin 3

2 3 2

x

 

 

 

 



10) cos 6  2x  12

 



11) tan 2



x1



 3 12) cot 3



100



3
3

x 

13) tan 3 x61

 



14) cot 2 x 31

 



15) cos(2x + 250) = 2
2


Baøi 2. Giải các phương trình:

1) sin 3



x1 sin







x 2



2) cos cos 2

3 6

x x

   

  

   

   

 

3) cos3xsin 2x 4) sin



x1200



cos2x0
5) cos 2 x3cosx 30

   

 

6) sin3xsin 4 2 x0

 



7) tan 3 x 4tanx6

   

 

8) cot 2 x 4cotx3

   

 

9) tan 2



x1 cot



 x0 10) cos



x2x



0

11) sin



x2 2x



0 12) tan



x22x3



tan 2
13) cot2x 1

 14) sin2x12

15) cos 1
2

x  16) sin2 cos2

x x

 

 

 

 



II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Nếu đặt: tsin2x hoặc tsinx thì điều kiện: 0 t 1.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 
3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan2x



1 3 tan



x 3 0

   

5) 4sin2x 2 3 1 sin





x 3 0

    6) 4 cos3x3 2 sin 2x8cosx
7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

Daïng Đặt Điều kiện

2 sin 0

asin x b x c  t = sinx   1 t 1

cos cos 0

a x b x c  t = cosx   1 t 1

tan tan 0

a x b x c  t = tanx ( )

x k k Z

cot cot 0

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin23x + 2 3 1 cos3





x 3

  = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4)





1 3 3 tan 3 3 0

cos x  x  

5) 3

cosx + tan

2x = 9 6) 9 – 13cosx +

1 tan x = 0
7) 12

sin x = cotx + 3 8) 2

cos x + 3cot
2x = 5
9) cos2x – 3cosx = 4 cos2

x 10) 2cos2x + tanx = 4

Baøi 3. Cho phương trình sin sin3 cos3 3 cos2

1 2sin2 5

x x x

x

   

 

 



  . Tìm các nghiệm của

phương trình thuộc



0 ; 2



Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của

phương trình thuộc



 ;



Bài 5. Giải phương trình : sin4 sin4 sin4 5

4 4 4

x x  x 

   

 

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

Caùch 1:

 Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

(1)  2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
a b  a b  a b
 Đặt: sin 2a 2 , cos 2b 2



0, 2



a b a b  

    

 

   

phương trình trở thành: sin .sinx cos .cosx 2c 2
a b

 



 

2 2

cos(x ) c cos (2)

a b

   



 

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2 2 2

2 2 1 .

c a b c

a b    

 (2)  x     k2 (k Z )
Cách 2:

a/ Xét 2

2 2
x

x   k    k có là nghiệm hay không?

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b/ Xét 2 cos 0.
2
x
x  k   

Đặt: tan , sin 2 2, cos 1 22,

2 1 1

x t t

t thay x x

t t



  

 

ta được phương trình bậc hai theo t:

(b c t )  2at c b  0 (3)
Vì x  k2  b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2

' a  (c  b ) 0  a b c .


Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0.
2
x t



Ghi chuù:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2.
3/ Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2

.sin .cos . sin cos

y a x b x  a b x x  a b

2 2 2 2 sin cos

miny a b vaø maxy a b x x tanx a

a b b

        

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) cosx 3 sinx 2 2) sin cos 6
2

x x 3) 3 cos3xsin3x 2
4) sinxcosx 2 sin 5x 5)



3 1 sin



x



3 1 cos



x 3 1 0 

6) 3 sin 2 sin 2 1
2

x   x

 



Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x 3 sin 2x 3

  2) sin8x cos6x 3 sin6



xcos8x



3) 8cos 3 1

sin cos
x

x x

  4) cosx – 3 sinx2 cos 3  x

 



5) sin5x + cos5x = 2cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3cosx + 4sinx – 3 = 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 2sinx4

 



+ sinx 4

 



= 3 2

2 2) 3 cos2x sin2x 2sin 2x 6 2 2

 

    

 



Bài 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .

Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay khơng?

Lưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1.
2

x k x x

       

 Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x 0 ta được:

2 2

.tan .tan (1 tan )
a x b x c d   x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

(a d t ) b t c d.   0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin 2 1 cos2

(1) . . .

2 2 2

x x x

a  b c  d

   

.sin2 ( ).cos2 2

b x c a x d a c

      (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x

và cos2x)

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x



1 3 sin .cos



x x



1 3 cos



2x 1

    

2) 3sin2x 8sin .cosx x



8 3 9 cos



2x 0

   

3) 4sin2x 3 3 sin .cosx x 2 cos2x 4

  

4) sin2 sin 2 2 cos2 1
2

x x x

5) 2sin2x



3 3 sin .cos



x x



3 1 cos



2x 1

   

6) 5sin2x 2 3 sin .cosx x 3cos2x 2

  

7) 3sin2x8sin .cosx x4 cos2x0



2 1 sin



2x sin 2x



2 1 cos



2x 2

    



3 1 sin



2x 2 3 sin .cosx x



3 1 cos



2x 0

    

10) 3cos4x 4sin2xcos2x sin4x 0

  

11) cos2x + 3sin2x + 2 3sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin .cos sin2 2 1
2

x x x 

Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm.

Bài 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô 
nghiệm .

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

 Ñaët: cos sin 2.cos ; 2.

t  x  x  x  t 
  



2 1 2sin .cos sin .cos 1( 2 1).

t x x x x t

     

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa t  2. Suy ra x.

Lưu ý dấu:

 cos sin 2 cos 2 sin

4 4

x x  x   x 

   

 

 cos sin 2 cos 2 sin

4 4

x x  x   x 

   

 

Daïng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt: cos sin 2. cos ; : 0 2.

t  x  x  x  Ñk  t
  



sin .cos ( 1).

x x t

  

 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài 1. Giải các phương trình:

1) 2sin 2x 3 3 sin



xcosx



 8 0 2) 2 sin



xcosx



3sin 2x2
3) 3 sin



xcosx



2sin 2x3 4)



1 2 1 sin





 xcosx



sin 2x
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)



1 2 sin





xcosx



 sin 2x 1 2
Baøi 2. Giải các phương trình:

1) sin 2x 4 cos



x sinx



4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
3)



1 2 1 sin





 x cosx



sin 2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
5) sin2x + 2 sin 1

4
x

 

 

 

 





sinx cosx



2



2 1 (sin



x cos )x  2 0

Bài 3. Giải các phương trình:
1) sin3x + cos3x = 1 +



2 2



 sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sinxcosx  8 0

VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHAÙC

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3
2

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3
2
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sin6x + cos6x = 1

4 2) sin8x + cos8x =
1
8
3) cos4x + 2sin6x = cos2x 4) sin4x + cos4x – cos2x +

4sin 2x – 1 = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 +

2cosx + cos2x

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x

8) sinx + sin2x + sin3x = 2(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4. Giải các phương trình sau:

1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x

4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1

Bài 5. Giải các phương trình sau:

1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

Bài 6. Giải các phương trình sau:

1) sin3x + cos3x + 1 sin2 .sin

2 x x

 



 

 



= cosx + sin3x
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

</div>

chuyen de luong giac

<b>CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC</b>

<b>CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC</b>





<b>Phơng trình - Hệ phơng trình lợng giác</b>







<b>ỢNG GIÁC </b>









<b>2</b>

<b>2</b>

 



 



 



 



<sub></sub>

<sub></sub>









































<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>























































