bai toan ve so phan tu cua tap hop

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (74.71 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đỗ Thanh Hân _ dành cho học sinh yêu Toán.

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP

ĐỂ GIẢI TOÁN

Người viết: ĐỖ THANH HÂN 
(Trường THPT Chuyên BẠC LIÊU)
Trong kì thi chọn HSG Quốc gia THPT (bảng B) năm 2005, có một bài tốn liên
quan đến tính chất cơ bản của số phần tử của tập hợp mà khơng ít học sinh đã khơng
giải dược bài tốn đó.

Bài viết này xin trình bày một vài tính chất cơ bản liên quan đến số phần tử của
tập hợp (việc chứng minh xin nhường cho bạn đọc),và đưa ra lời giải một số bài tốn
có áp dụng các tính chất đó.

I/ Các tính chất cơ bản của số phần tử của tập hợp hữu hạn:
( Kí hiệu A là số phần tử của tập hợp hữu hạn A )

1/ Tính chất 1) Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn.
Nếu A B  thì A B A  B .

2/ Tính chất 2) Với hai tập hữu hạn bất kỳ A và B, ta ln có:
A B A B  A B .

Hệ quả 2.1: Với hai tập hữu hạn bất kỳ A và B, ta ln có:

A B A B . Dấu đẳng thức xảy ra khi A B  .
Hệ quả 2.2: Với ba tập hữu hạn bất kỳ A,B và C, ta ln có:

A B C  A B C  A B  B C  CA  A B C  .

3/ Tính chất 3) Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn.

Nếu BA thì A B\ A B .
Hệ quả 3.1: Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn.

Nếu BA thì B A .
II/ Một số bài tốn minh họa:

Bài toán 1 Trong một đề thi có ba câu: 1 câu về Số học, 1 câu về Giải tích,
1 câu về Hình học. Trong 60 thí sinh dự thi, có 48 thí sinh giải được câu Số học, 40 thí
sinh giải được câu Giải tích, 32 thí sinh giải được câu Hình học,có 57 thí sinh giải được
câu Số học hoặc Giải tích, 50 thí sinh giải được câu Giải tích hoặc Hình học,25 thí sinh
giải được 2 câu Số học và Hình học, 15 thí sinh giải được cả 3 câu.

Hỏi có bao nhiêu thí sinh khơng giải được câu nào?
Giải:

Kí hiệu: T là tập hợp tất cả các thí sinh.

A,B,C lần lượt là tập hợp các thí sinh giải được câu Số học, Giải tích,
Hình học. Theo tính chất 2 ta có:

A B A B  A B 48 40 57 31  
B C B  C  B C 40 32 50 22

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đỗ Thanh Hân _ dành cho học sinh yêu Toán.

5748 40 32 31 22 25 15     


Vì A B C  T nên T \ (A B C  ) T  A B C  60 57 3 
Vậy có 3 thí sinh không giải được câu nào.

Bài toán 2 Khi điều tra kết quả học tập các mơn Tốn, Lý, Hóa của một
lớp 45 học sinh, người ta nhận thấy: có 19 học sinh không giỏi môn nào, 18 học sinh
giỏi Toán, 17 học sinh giỏi Lý, 13 học sinh giỏi Hóa, 10 học sinh giỏi 2 mơn Tốn và
Lý, 9 học sinh giỏi 2 mơn Lý và Hóa, 10 học sinh giỏi 2 mơn Tốn và Hóa. Hỏi có bao
nhiêu học sinh giỏi cả 3 mơn?

Giải:

Kí hiệu: T là tập hợp các học sinh của lớp.

A,B,C lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Tốn, Lý, Hóa.
Vì A B C T   \T\



A B C 



 nên số học sinh giỏi ít nhất 1 môn là:
 A B C  T  T\



A B C 



45 19 26 

Tứ hệ quả 2.2 suy ra số học sinh giỏi cả 3 môn là:
 A B C  A B C   A  B  C  A B B C CA

26 18 17 13 10 9 10 7       .

Bài toán 3 Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học, người ta thấy:

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở mơn Tốn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở
môn Vật lý;

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Vật lý cũng đồng thời đạt điểm giỏi
ở môn Văn;

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở
môn Lịch sử;

- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử cũng đồng thời đạt điểm giỏi
ở mơn Tốn;

Chứng minh rằng trong lớp học nói trên có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở
cả 4 mơn Tốn, Vật lý, Văn và Lịch sử.

( Đề thi HSG bảng B-2005)

Giaûi:

Ký hiệu T, L, V, S lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, Vật lý, Văn, Lịch
sử.

Theo đề bài, ta có:TL 23 T , 2

L V  L , 2

VS  V , 2

S T  S (*)

Ta giải bài toán bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử khơng có học sinh nàođạt điểm giỏi ở cả 4 mơn Tốn, Vật lý, Văn
và Lịch sử, khi đó chỉ cũn: TV hoc L S .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đỗ Thanh Hân _ dành cho học sinh yêu Toán.

Neõn TL  L V L vaø TS  S V S (theo hệ quả 3.1)
Suy ra TL  L V TS S V L S (1)

Mặt khác, từ (*) ta có:

2( )

TL L V TS S V  T  L V S

Maø 2( ) 1



 



3 T L V S 3 T  L  T S  L V  S V 

31TL TL TS TS L V L V S V  S V 

Neân 2



TL  L V V S S T



TL TS  L V  S V L S  L  S

Suy ra TL  L V TS S V  L S (2)

Từ (1) và (2) ta gặp mâu thuẩn nên điều giả sử ban đầu là sai.
*Nếu LS  lập luận tương tự cũng dẫn đến điều mâu thuẫn.

Tóm lại bài tốn được chứng minh.

Các bạn hãy áp dụng tính chất trên để giải các bài tập tương tự sau:

Bài 1) Một lớp học có 42 học sinh. Biết rằng trong lớp có 26 học sinh giỏi Tốn,
24 học sinh giỏi Hóa, 21 học sinh giỏi Sinh; 32 học sinh giỏi Tốn hoặc Sinh, 35 học
sinh giỏi Tốn hoặc Hóa, 32 học sinh giỏi Hoá hoặc Sinh, 11 học sinh giỏi cả 3 mơn.
Hỏi:

a) Có bao nhiêu học sinh chỉ giỏi 1 môn?
b) Có bao nhiêu học sinh không giỏi môn nào?

Bài 2) Trong kì thi tuyển sinh vào 1 trường Đại học, người ta nhận thấy: có 58
thí sinh được 10 điểm Tốn, 47 thí sinh được 10 điểm Lý, 42 thí sinh được 10
điểm Hố, 87 thí sinh được 10 điểm Tốn hoặc Lý, 76 thí sinh được 10 điểm Lý
hoặc Hố, 82 thí sinh được 10 điểm Tốn hoặc Hố, có 5 thí sinh được 10 điểm
cả 3 mơn. Hỏi:

a) Có bao nhiêu thí sinh được ít nhất một điểm 10?
b) Có bao nhiêu thí sinh chỉ được đúng một điểm 10?

</div>