chuyen

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (671.83 KB, 92 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề: BIỂU THỨC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trong chương trình sách giáo khoa:

Tốn 7- tập 2

:

1. Biểu thức đại số:

- Khái niệm biểu thức đại số.- Khái niệm biểu thức đại số.

- Giá trị của một biểu thức đại số- Giá trị của một biểu thức đại số
2. Đơn thức:

2. Đơn thức:

- Định nghĩa đơn thức- Định nghĩa đơn thức

- Đơn thức đồng dạng - Đơn thức đồng dạng
3. Đa thức :

3. Đa thức :

- Định nghĩa đa thức- Định nghĩa đa thức

- Cộng trừ đa thức- Cộng trừ đa thức

- Đa thức một biến- Đa thức một biến

- Cộng trừ đa thức một biến- Cộng trừ đa thức một biến

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Toán 8 - tập 1

1. Phép nhân và phép chia các đa thức:

- Nhân đơn thức với đa thức

- Nhân đa thức với đa thức

- Chia đơn thức cho đơn thức

- Chia đa thức cho đơn thức

2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

A.

KIẾN THỨC CƠ BẢN

KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Khái niệm biểu thức đại số

:

1. Khái niệm biểu thức đại số

Những biểu thức mà trong đó ngồi các số, các kí

hiệu phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ

hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ

thừa, cịn có các chữ( đại diện cho các số). Người ta

gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.

Ví dụ

: Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x+ y) ; ; ;

; ; là các biểu thức đại số.

x

4 2

x y

0.5

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2.

Giá trị của một biểu thức đại số:

Giá trị của một biểu thức đại số:



Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá

trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho

trước vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.



Ví dụ

: Tính giá trị của biểu thức tại x= -1

và tại x=

Thay x=1 vào biểu thức trên ta có:

Vậy giá trị của biểu thức tại x= -1 là

9. Thay x= vào biểu thức trên ta có:

Vậy giá trị của biểu thức tại x= là

3 x



5 x



1 3.( 1) 5.( 1) 1 9



  

3 x



5 1

x



1
2
1
2
1
2
2

1 1 1 1 3 5 3

3.( ) 5.( ) 1 3.( ) 5.( ) 1 1

2  2   4  2     4 2 4

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

II Đơn thức

1.

1. Định nghĩaĐịnh nghĩa đơn thứcđơn thức: :

 Khái niệmKhái niệm::

Đơn thức là những biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một Đơn thức là những biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một
biến, hoặc tích giữa các số và các biến.

biến, hoặc tích giữa các số và các biến.

Ví dụVí dụ: Các biểu thức 9; ;x ; y ; là những đơn thức.: Các biểu thức 9; ;x ; y ; là những đơn thức.

- Chú ý: Số 0 được gọi là đơn thức không.- Chú ý: Số 0 được gọi là đơn thức không.

 Đơn thức thu gọnĐơn thức thu gọn

 Định nghĩaĐịnh nghĩa: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của : Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của

một số với các biến,mà mỗi biến đã được nâng lên luỹ thừa với

số mũ nguyên dương.

 Ví dụ: Ví dụ: - Các đơn thức: x ; -y ; là những đơn thức thu gọn. - Các đơn thức: x ; -y ; là những đơn thức thu gọn.

- Các đơn thức : xyx ; không phải là đơn thức thu - Các đơn thức : xyx ; không phải là đơn thức thu
gọn.

gọn.

3
5

2 x y



10xy

2 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



Bậc của một đơn thức

 Định nghĩaĐịnh nghĩa: Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số : Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số

mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

Số 0 được coi là đơn thức khơng có bậc.Số 0 được coi là đơn thức khơng có bậc.

 Ví dụVí dụ: Trong đơn thức, biến x có số mũ là 5; biến y có số : Trong đơn thức, biến x có số mũ là 5; biến y có số

mũ là 3; biến z có số mũ là 1.

Vậy bậc của đa thức đã cho là:5+ 3+ 1 = 9.Vậy bậc của đa thức đã cho là:5+ 3+ 1 = 9.

 Nhân hai đơn thứcNhân hai đơn thức

 Quy tắcQuy tắc: Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với : Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với

nhau và nhân các phần biến với nhau.

 Ví dụVí dụ: Để nhân hai đơn thức và , ta làm như : Để nhân hai đơn thức và , ta làm như

x y

9 xy

2 4 2 4) 3 5

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2. Đơn thức đồng dạng

 Định nghĩaĐịnh nghĩa::

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và
có cùng phần biến.

có cùng phần biến.

 Ví dụVí dụ: ; ; là những đơn thức đồng dạng.: ; ; là những đơn thức đồng dạng.

 Chú ýChú ý: Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng: Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng
 Cộng, trừ các đơn thức đồng dạngCộng, trừ các đơn thức đồng dạng

 Quy tắcQuy tắc: Để cộng( hay trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng : Để cộng( hay trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng
(hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

(hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

 Ví dụVí dụ: - Để cộng hai đơn thức và , ta làm như sau:: - Để cộng hai đơn thức và , ta làm như sau:

- Để trừ hai đơn thức và ta làm như sau:- Để trừ hai đơn thức và ta làm như sau:

3 2

2 x y



5 x y

3 2 14 x y3 2

2 x y

5

x y

2 2 2 2

2x y 5x y  (2 5)x y 7x y

3 xyz

7 xyz

2 2 2 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

III. Đa thức:

1.Định nghĩa đa thức
1.Định nghĩa đa thức::

 Khái niệm:Khái niệm:

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng
gọi một hạng tử của đa thức đó.

gọi một hạng tử của đa thức đó.

 Ví dụVí dụ: : Đa thức có các hạng tử là:Đa thức có các hạng tử là:

 Thu gọn đa thứcThu gọn đa thức::

Là công việc cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng trong một đa

thức.

 Ví dụVí dụ: Thu gọn đa thức N= : Thu gọn đa thức N=

Ta có: N= = Ta có: N= =

2 3 5

3 7

x  y  xz  x

2 3

5

3 ;

; 7

8 x



y

xz



x

3

1 5

2 x y



xy



x y





xy



x



3

1 5

2 x y xy x y





  

xy

x



4

2

1

2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bậc của đa thứcBậc của đa thức



Định nghĩa

:

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao

nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.



Chú ý

:

- Số 0 cũng được coi là đa thức không và nó khơng có - Số 0 cũng được coi là đa thức khơng và nó khơng có
bậc.

bậc.

-Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn -Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn
đa thức đó.

đa thức đó.



Ví dụ

: Trong đa thức . Hạng tử có : Trong đa thức . Hạng tử có

bậc 7, hạng tử có bậc 5, có bậc 6, 1 có bậc
bậc 7, hạng tử có bậc 5, có bậc 6, 1 có bậc

khơng. Bậc cao nhất trong các bậc đó là 7. Vậy bậc của đa
không. Bậc cao nhất trong các bậc đó là 7. Vậy bậc của đa

thức đã cho là bậc 7
thức đã cho là bậc 7

2 5 4 6

1

x y



xy



y



x y

2 5

xy

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2.Cộng, trừ đa thức



Cộng hai đa thức

:



Quy tắc

:

Để cộng hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện Để cộng hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện

các bước sau:
các bước sau:

- Bước 1 : Viết liên tiếp các số hạng của hai đa thức - Bước 1 : Viết liên tiếp các số hạng của hai đa thức
đó cùng với dấu của chúng.

đó cùng với dấu của chúng.

- Bước 2: Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có)- Bước 2: Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có)
 Ví dụVí dụ: Cho M=: Cho M=

N
N
Tính M + N.

Tính M + N.

5 x y



5 x



3

1

4

5

2 xyz

x y

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

LG: M + N

LG: M + N 2 2

2 2 2

2 2

1 (5

5 3) (

4

5 )

2

1

5

4

3

4

5

2

1 (5

4 ) (5

5 )

( 3

)

2

1

10

3

2 x y

x

xyz

x y

x

x y

x

x y

xyz

x y

x

x y

x

xyz

x y

x xyz



































  

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>



Trừ hai đa thức:



Quy tắc

::

- Bước 1: Viết các số hạng của đa thức thứ nhất - Bước 1: Viết các số hạng của đa thức thứ nhất
cùng với dấu của chúng

cùng với dấu của chúng

- Bước 2: Viết tiếp các số hạng của đa thức thứ hai
- Bước 2: Viết tiếp các số hạng của đa thức thứ hai

với dấu ngược lại
với dấu ngược lại

- Bước 3: Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có)
- Bước 3: Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có)



Ví dụ

:

Cho hai đa thức:
Cho hai đa thức:

P
P
Và Q
Và Q

2 2

5 x y

4 xy

5 3

x









2 2

1

4

5

2 xyz

x y xy

x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2 2

2 2 2 2

2 2

(5

4 5 3)

1 (

4

5 )

2

1 (5

4 5 3)

4

5

2

1

9

5

2 x y

xy

x

xyz

x y xy

x

x y

xy

x

xyz

x y xy

x

x y

xy xyz































LG: P - Q

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

3.

Đa thức một biến

Đa thức một biến

:

:



Định nghĩa

: Đa thức một biến là tổng của những đơn thức : Đa thức một biến là tổng của những đơn thức

của cùng một biến.
của cùng một biến.



Ví dụ

: A= là đa thức của biến y: A= là đa thức của biến y

B= là đa thức của biến y.B= là đa thức của biến y.



Nghiệm của đa thức một biến



Định nghĩa

: Nêú tại x=a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì : Nêú tại x=a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì

ta nói a (hoặc x=a) là một nghiệm của đa thức
ta nói a (hoặc x=a) là một nghiệm của đa thức



Ví dụ

:: là nghiệm của đa thức P(x) = 2x +1 vì là nghiệm của đa thức P(x) = 2x +1 vì

P( ) = =0P( ) = =0
2

7 y



3 y



2

5 3 5

1

3 8 5

7

2 x



x



x



x



1

2 x



1
2

 2( 1) 1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

IV. Phép nhân và phép chia các đa thức

1)

Nhân đơn thức với đa thức



Quy tắc

: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta : Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta

nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các
nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các
tích lại với nhau:

tích lại với nhau:

A(B + C) = AB + AC
A(B + C) = AB + AC



Ví dụ

: Làm tính nhân: : Làm tính nhân:

Ta có:Ta có:

3 2

1 ( 2 ).(

5 )

2 x







3 2

3 2 3 3

5 4 3

1 ( 2 ).(

5 )

2

1 ( 2 ).

( 2 ).5

( 2 ).(

)

2

10 x

x x

x







</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2) Nhân đa thức với đa thức



Quy tắc

: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân : Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân

mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức
mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức

kia rồi cộng các tích lại với nhau:
kia rồi cộng các tích lại với nhau:

(A + B)(C + D) = AC + AD +BC +BD
(A + B)(C + D) = AC + AD +BC +BD



Ví dụ:

2 2

(

2)(6

5 1)

.(6

5 1) 2.(6

5 1)

x

x x

x









 





2 2

.6

.( 5 ) .1 ( 2).6

( 2).( 5 ) ( 2).1

x x x

x x

x









 



 

3 2 2

6 x

5 x x

12 x

10 2

x





 





3 2

6 x

17 x

11 2

x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

3) Những hằng đẳng thức đáng nhớ

2 2 2

2 2 2

2 2

3 3 2 2 3

3 2 2 3

3 3 2 2

(

)

2 (

)

2 (

)(

)

(

)

3 (

)

3 (

)(

)

(

)(

)

A B

A

AB

B

A B

A

AB

B

A

B

A B A B

A B

A

A B

AB

B

A B

A

A B

AB

B

A

B

A B A

AB

B

A

B

A B A

AB

B















































</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2 2 2 2

1 2 3 2 2 1

(

)

2 (

)(

.

...

.

)

n n n n n n n

A B C

AB

AC

BC

A B

A B A



A B A B

 

A B



B



 

















3 3 3

(

)(

2 2 2

) 3

A B C



  

A B C A B C





AB BC AC





ABC

Một số hằng đẳng thức mở rộng



(với n N, n lẻ)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

4)Phân tích đa thức thành nhân tử

 Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa
thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức.

thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức.

 Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta dùng các phương Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta dùng các phương
pháp :

pháp :

- Đặt nhân tử chung- Đặt nhân tử chung

- Dùng các hằng đẳng thức đang nhớ- Dùng các hằng đẳng thức đang nhớ

- Nhóm các hạng tử - Nhóm các hạng tử

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

5) Chia đơn thức cho đơn thức



Quy tắc

: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B( trường : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B( trường

hợp A chia hết B) ta làm như sau:
hợp A chia hết B) ta làm như sau:

- Bước 1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn - Bước 1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn
thức B.

thức B.

- Bước 2: Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ - Bước 2: Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ
thừacủa cùng biến đó trong B.

thừacủa cùng biến đó trong B.

- Bước 3: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.- Bước 3: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.



Ví dụ

: Làm tính chia : Làm tính chia

Ta có: Ta có:

15 : 5 = 3.15 : 5 = 3.

Vậy thương của phép chia đã cho là: 3xVậy thương của phép chia đã cho là: 3x

2 2 2

15 x y

:5

xy

:

2 1

x x x



x



:

1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

6) Chia đa thức cho đơn thc



Quy tắc

: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( trường hợp : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( trường hợp

các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta
các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta

chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.



Ví dụ

:

Thực hiện phép chia sau Thực hiện phép chia sau

2 5 3 2 3 2

2 5 2 3 2 2 3 2

3 2

(15

12

10 ) : 3

(15

: 3

) (12

: 3

) ( 10

: 3

)

10

5

4

3 x y

xy

x y

xy

x y

xy

x

y









 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

7) Chia đa thức một biến đã sắp xếp

 Đa thức A(x) theo biến x gọi là đã sắp xếp khi ta viết A(x) Đa thức A(x) theo biến x gọi là đã sắp xếp khi ta viết A(x)
theo số mũ giảm dần của x.

theo số mũ giảm dần của x.

 Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khi tìm được Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khi tìm được
một đa thức Q(x) sao cho: A(x) = B(x) . Q(x)

một đa thức Q(x) sao cho: A(x) = B(x) . Q(x)

A(x) : Đa thức bị chiaA(x) : Đa thức bị chia

B(x) : Đa thức chiaB(x) : Đa thức chia

Q(x) : Đa thức thươngQ(x) : Đa thức thương

 Có thể có trường hợp A(x) khơng chia hết cho B(x), ta nói Có thể có trường hợp A(x) khơng chia hết cho B(x), ta nói
A(x) chia cho B(x) có dư: A(x) = B(x). Q(x) + R(x).( R(x):
A(x) chia cho B(x) có dư: A(x) = B(x). Q(x) + R(x).( R(x):

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - ĐA THỨC

TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TỐN THCS

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

I. Biểu thức đại số:



Loại 1

:

Viết các biểu thức đại số theo yêu cầu

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định phần biến và hệ số của các biểu thức 1) Xác định phần biến và hệ số của các biểu thức

2) Viết biểu thức theo yêu cầu2) Viết biểu thức theo yêu cầu

 Ví dụ: (BT 147 - T129 - Sách 400 bài tập toán 7)

Viết các biểu thức đại số sau:

a) Tổng các bình phương của ba số hữu tỉ a, b, c
b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a) Bước 1: Xác định phần biến và hệ số của biểu thức
+ Phần biến của biểu thức này là: a, b, c

+ Phần hệ số của cả ba biến này là: 1
Bước 2: Viết biểu thức theo yêu cầu

Tương tự các bước xác định trên ta được kết quả là các
biểu thức:

b) (x, y, z 0)

2 2 2

a b c

1 1 1

x  y  z

2 xy
x y z

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>



Loại 2:

Phân loại các biểu thức đại số



Phương pháp

:

1) Nắm chắc kiến thức về các dạng biểu thức Nắm chắc kiến thức về các dạng biểu thức
đại số

đại số

2) Xác định các thành phần trong biểu thức
2) Xác định các thành phần trong biểu thức

xem các biến số xuất hiện ở đâu.
xem các biến số xuất hiện ở đâu.

 Ví dụ: Trong các biểu thức đại số sau đâu là biểu thức 
nguyên, đâu là biểu thức phân (với x, y là biến; a,b là hằng):

2 2 2

2 (x y  2) x  y

4( 2)( 1)
2
x y
x

 

2
3. .
( 1)
2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

LG: a) Biểu thức nguyên
b) Biểu thức phân
c) Biểu thức phân

II. Tính giá trị của biểu thức:



Loại 1: Tính giá trị biểu thức tại một giá trị cụ

Loại 1: Tính giá trị biểu thức tại một giá trị cụ

thể của biến

 Phương phápPhương pháp::

1) Xác định các biến và hệ số của biểu thức.1) Xác định các biến và hệ số của biểu thức.

2) Thu gọn các biểu thức hoặc biến đổi để biểu thức đơn 2) Thu gọn các biểu thức hoặc biến đổi để biểu thức đơn
giản hơn.

giản hơn.

3) Thay trực tiếp giá trị cho trước của biến vào biểu thức 3) Thay trực tiếp giá trị cho trước của biến vào biểu thức
rồi tính.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

 Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau tại m = - 1 và n = 2:

a) 3m - 2n; b) 7m + 2n - 6;

LG:

a) Thay m = -1 ; n = 2 vào biểu thức ta được:
3.(-1) - 2.2 = -3 -4 = -7.

Vậy giá trị của biểu thức 3m - 2n tại m = - 1 và n =
2 là -7;

b) Thay m = -1 v à n = 2 vào biểu thức ta được:
7.(-1) + 2.2 -6 = -7 + 4 -6 = -9.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>



Loại 2

:

Tìm điều kiện của biến để biểu thức

đại số có nghĩa

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thu gọn biểu thức (nếu biểu thức chưa thu gọn)1) Thu gọn biểu thức (nếu biểu thức chưa thu gọn)

2) Xác định điều kiện của biến sao cho chúng thỏa mãn
2) Xác định điều kiện của biến sao cho chúng thỏa mãn

tính chất các phép tốn có mặt trong biểu thức.
tính chất các phép tốn có mặt trong biểu thức.

 Ví dụ: Với giá trị nào của biến số thì mỗi biểu thức sau

khơng có nghiã:

4 2 7

( 1)( 2)
xy x
x y

 

 

( 2 1)( 4)
( 2)

x x x

x

  



(x  1)(x  2)(x  3)...(x  2009)

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

a) Biểu thức khơng có nghĩa khi: . Do đó:
Hoặc

Hoặc

Vậy biểu thức khơng có nghĩa khi x=-1, y tùy ý và tại
các giá trị x tùy ý, y=2

b) Vì với mọi , nên .

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức khơng xác
định. Nói cách khác biểu thức xác định với mọi .
c) Biểu thức khơng có nghĩa khi:

Vậy biểu thức có nghĩa khi x = 1; 2; 3; 4;...; 1999

LG:

x  1 y  2 0

1   

 x

x

2
0

2   

 y

y



x x Q 2 2 0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>



Loại 3: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

chủa biểu thức đại số



Phương pháp:

1) Đưa các biến về dạng bình phương hoặc có số mũ chẵn1) Đưa các biến về dạng bình phương hoặc có số mũ chẵn

2) Vận dụng các tính chất của số mũ chẵn vào phép tốn.2) Vận dụng các tính chất của số mũ chẵn vào phép tốn.
 Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(x  3)  2

2 2

(

x



1)



(

y



3)



1

a)
b)

LG:



x  3



2 0 x Q



x  3



2  2 2 x Q

a) Ta có: với

với

nên

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi
x  32 0 hay x 3

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

b) Ta có:

x  12 0 với x  Q và



y  3



2 0 với y Q
nên

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi và chỉ khi

x  12  y 32 11

x  12 0 và y 32 0 hay x 1và y  3



x y  3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1 khi
và



Loại 4: Một số bài toán thực tế

Trong thực tế có nhiều bài tốn khơng cho ta ngay
biểu thức đại số mà ta phải tìm biểu thức đó rồi mới tính
giá trị của biểu thức.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>



Phương pháp

:

1) Chọn các biến thích hợp và xác định điều kiện cho biến
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2) Biểu thị các số liệu chưa biết qua biến đã chọn.

3) Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập thành biểu thức.
4) Tính giá trị của biểu thức tìm được

 Ví dụ: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x(m),

chiều rộng y(m) (x,y>4).

Người ta mở nối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn)
rộng 2m.

a) Hỏi chiều dài, chiều rộng của khu đất còn lại để trồng trọt
là bao nhiêu (m) ?

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

LG:
LG:

a) Lối đi rộng 2m nên: chiều dài còn lại để trồng a) Lối đi rộng 2m nên: chiều dài còn lại để trồng
trọt là: x - 2 (m).

trọt là: x - 2 (m).

chiều rộng còn lại là: y - 2 (m).chiều rộng còn lại là: y - 2 (m).

b) Khi đó diện tích của khu đất trồng là: b) Khi đó diện tích của khu đất trồng là:

(x - 2).( y - 2) ( ).(x - 2).( y - 2) ( ).

Thay x = 15m; y = 12m ta có: Thay x = 15m; y = 12m ta có:

Diện tích đất trồng trọt là: 13.10 = 130 ( ).Diện tích đất trồng trọt là: 13.10 = 130 ( ).

m

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

III. Biểu thức đại số bằng nhau



Loại 1: Chứng minh các biểu thức đại số

bằng nhau



Phương pháp

:

1) Cho biến nhận giá trị là các số thực bất kì.

2) Tính giá trị của mỗi biểu thức.

3) So sánh giá trị tìm được của hai biểu thức.

Kết luận.

 Ví dụ: Hãy chứng tỏ rằng hai biểu thức sau không bằng 
nhau:

(x 2) 2x2 4

a) và

(x y ) x2  2xy y 2

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

LG:
LG:
Q
x

1

x
   
6
4
1
.
2
4
2
9
2
1
2
2
2
2
2









x
x

a) Hai biểu thức được xác định với
Do vậy, lấy , ta được:

Vậy hai biểu thức không bằng nhau.

Q
y
x 
 ,
1
,
0 
 y
x
3
0
.
2
1
.
3
2

3
2
1
.
2
0
.
3
2
3









x
y
y
x

b) Hai biểu thức được xác định với
Do vậy, lấy được:, ta

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Biến đổi các biểu thức1) Biến đổi các biểu thức

2) Tìm điều kiện của biến thỏa mãn biểu thức đã cho.2) Tìm điều kiện của biến thỏa mãn biểu thức đã cho.



Loại 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức đại

số nhận giá trị bằng nhau

Q
b

a, 

2 2 2 2

(a b ) (a b ) 2(a b )

2 2

( ) ( )

a a b  b b a a  b

 Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi ta đều có:

a)
LG:

a) Ta có:



a b



2 



a  b



2 



a b

 

. a b

 

 a  b

 

. a  b





a b



</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Vậy với mọi ta có (a b )2 (a b )2 2(a2 b2)



a b



b



b a



a ab



b ab



a.   .   2   2 

2
2

b
a

ab
b

ab

a










Q
b

a,  a a b(  )  b b a(  ) a2  b2
b) Ta có:

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

IV. Đơn thức:



Loại 1:

Nhận dạng đơn thức

 Phương pháp: Phương pháp:

1) Xác định tính chất phép tốn trong biểu

1) Xác định tính chất phép tốn trong biểu

thức đã cho

2) Nếu biểu thức chỉ có hai phép tốn nhân và

lũy thừa, ta kết luận đó là đơn thức. Các

trường hợp cịn lại khơng phải là đơn thức.

 Ví dụ: Trong các biểu thức sau đây:

4
3
2
3

2a x y z ; 3a  1x3y5z6

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

a) a, b là hằng, x, y, z là biến ()?

b) x là hằng, a, b, y, z là biến?

Trong mỗi trường hợp hãy cho biết hệ số, phần

biến của mỗi đơn thức.

LG:

a) Các biểu thức đã cho đều là đơn thức.

4
3
2
3

2a x y z 2a3

4
3
2 y z

x

 1 3 5 6

3 a  x y z 3a  1

6
5
3 y z

x

+ Đơn thức có phần hệ số là:

phần biến là:

+ Đơn thức có phần hệ số là:
phần biến là:

4
3
2
3

2a x y z 2x2

4
3
3 y z

a

b) Biểu thức là đơn thức, với phần hệ số là:
và phần biến là:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>



Loại 2:

Loại 2:

Thu gọn đơn thức

Thu gọn đơn thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định phần hệ số và phần biến của các

đơn thức trong biểu thức.

2) Cộng, trừ, nhân, chia các đơn thức đó theo

quy tắc.

 Ví dụ: Cho các đơn thức với x, y, z là các biến; 
a, b là hằng số

2 3 2 3 1 3 2

15 ( 3 )(2 );(2 )( )

ax

x  xy xy z y  abx y

a) Thu gọn các đơn thức trên.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

LG:

a) Ta có:

2 3

15 ( 3x  xy )(2xy z) 



15.



 3







x.x.x





y2.y3



.z

z
y
x3 5




2 3 1 3 2

(2 )( )

y  abx y

ax . . . .



2. 3



. 3. 2



1
.

2  a a b x x y y















5
5
2
3
2
y
bx
a



</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>



Loại 3: Tính giá trị của đơn thức



Phương pháp:

1) Thay trực tiếp các giá trị của biến vào biểu

thức đã cho.

2) Thực hiện các phép tính đại số.

3 2 2008

0,07a b c

3 2 2008

0,07a b c



    

. 3 1 0,07.

 

8 .9.1 5,04
.

07
,

0  3  2  2008   


 Ví dụ: Tính giá trị của đơn thức: 
LG:

Với a = -2; b = -3, c = -1, ta có:

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>



Loại 4: Bậc của đơn thức



Phương pháp:

1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa được

thu gọn)

2) Xác định phần hệ số và phần biến của đơn

thức.

3) Xác định bậc theo biến là xác định số mũ

cao nhất của biến đó.



Ví dụ:

Quan sát dãy các đơn thức:

2, 2 , 3 , 4 ,...3 4 5

x x x x

 

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

LG:

Ta có nhận xét:

+ Đơn thức có hệ số là số lẻ thì có dấu "-"

+ Đơn thức có hệ số là số chẵn thì có dấu

"+" + Số mũ của biến x

hơn số thhứ tự của đơn thức là 1 đơn vị

2001

2000x

 1 . . 1

 n n xn

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>



Loại 5:

Đơn thức đồng dạng

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa được thu gọn)1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa được thu gọn)

2) Xác định phần hệ số và phần biến của các đơn thức2) Xác định phần hệ số và phần biến của các đơn thức

3) So sánh phần biến của chúng với nhau.3) So sánh phần biến của chúng với nhau.

4) Khi cộng, trừ các đơn thức đồng dạng ta chỉ cần cộng 4) Khi cộng, trừ các đơn thức đồng dạng ta chỉ cần cộng
hoặc trừ phần hệ số, giữ nguyên phần biến.

hoặc trừ phần hệ số, giữ nguyên phần biến.

 Ví dụ: Cho các biểu thức:

2 3 2 3 2 3 3 2

1 3 2

; 2 ;( 1) ; a ; a .

x y y a x y y x

a ax  x y

a) Gọi a là hằng số; x, y là biến số thì trong các biểu thức
trên biểu thức nào là đơn thức và các đơn thức đó có đồng
dạng khơng?

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

LG:

a) Các biểu thức: 1 x y2 3;2 2 3y ;(a 1)x y2 3;

a ax 

là các đơn thức và chúng là các đơn thức đồng dạng.

2 3 2 3 2 3 3

1 3

; 2 ;( 1) ; a

x y y a x y y

a ax  x

  3 2 3 2
2

3
2

3 ;2 ; 1 ;3 ; 2

1
x
y
a
x
ay
x
y

a
x
ay
x
y
a 





3 2 2

2
3
2

3 ;2 ; 1 ; 2

1
x
y
a
x
y
a
x
ay
x
y
a 
b)

Nếu a, x là hằng số, y là biến số ta được 4 đơn thức và

cả 4 đơn thức đèu đồng dạng là:

 Nếu a, y là hằng số, x là biến số ta viết lại các biểu thức 
như sau:

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

V. Cộng, trừ đa thức:



Phương pháp:

Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính

chất của các phép tính trên số, ta có thể cộng, trừ

các biểu thức số. Bằng cách tương tự, ta có thể thực

hiện các phép toán cộng về trừ các đa thức.

 Ví dụ: Cho hai đa thức:

2
2

3 3 5 1

5 5 3 .

M xyz x xy

N x xyz xy y

   

    

Tính M + N; M - N; N - M
LG:

2 2

(3 3 5 1) (5 5 3 )

M N  xyz  x  xy   x  xyz  xy   y

2 2

(3 ) ( 3 5 ) (5 5 ) ( 1 3)

4 2 2

xyz xyz x x xy xy y
xyz x y

          

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

2 2

(3 3 5 1) (5 5 3 )

M  N  xyz  x  xy   x  xyz  xy   y

2 2

3 3 5 1 5 5 3

(3 ) (3 5 ) (5 5 ) (1 3)

2 8 19 4

xyz x xy x xyz xy y

xyz xyz x x xy xy y

xyz x xy y

        

        

    

2 2

(5 5 3 ) (3 3 5 1)

N M  x  xyz  xy   y  xyz  x  xy 

2 2

5 5 3 3 3 5 1

(5 3 ) ( 3 ) (5 5 ) (3 1)

8 2 10 4

x xyz xy y xyz x xy

x x xyz xyz xy xy y

x xyz xy y

        

        

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

VI. Nhân chia đa thức

VI. Nhân chia đa thức

1. Nhân đơn thức với đa thức.

 Phương pháp:

1) Nhân đơn thức lần lượt với các hạng tử của đa
thức

2) Cộng các tích lại với nhau

 Ví dụ: Thực hiện phép nhân

a) b)
Giải:

Áp dụng các bước trên ta có:
a)

(

5)

x x



3 (4x x2  8)

(

5)

.

.5

5 x x





x x x





x



x

2 2 3

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

2.

Nhân đa thức với đa thức



Loại 1: Các bài toán nhân đa thức thơng thường

Loại 1: Các bài tốn nhân đa thức thơng thường

 Phương phápPhương pháp::

1) Nhân lần lượt các số hạng của đa thức này với số 1) Nhân lần lượt các số hạng của đa thức này với số

hạng của đa thức kiahạng của đa thức kia

2) Cộng các tích lại với nhau2) Cộng các tích lại với nhau

 Ví dụ: Thực hiện phép nhân:

Giải:

2 2

(6 5 )(36 30 25 )

A  x  y x  xy  y

2 2

(2 )(4 2 )

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

b) Ta có:

Vậy

2 2

(2 )(4 2 )

B  x y x  xy y

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 3

2 (4 2 ) (4 2 )

8 4 2 4 2

x x xy y y x xy y
x x y xy x y xy y
x y

     

     

 

3 3

B  x  y

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 3

6 (36 30 25 ) 5 (36 30 25 )

216 180 150 180 150 125

216 125

x x xy y y x xy y

x x y xy x y xy y

x y

     

 

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>



Loại 2: Các bài toán chứng minh dựa trên phép

nhân đa thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thực hiện nhân đa thức1) Thực hiện nhân đa thức

2) Thu gọn đa thức 2) Thu gọn đa thức

3) So sánh các đa thức thu được3) So sánh các đa thức thu được

 Ví dụ: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không

phụ thuộc vào giá trị của biến:

Giải:

Ta có:

( 5)(2 3) 2 ( 3) 7

A  x  x   x x   x

( 5)(2 3) 2 ( 3) 7

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

2 2

(2 3) 5(2 3) 2 ( 3) 7

2 3 10 15 2 6 7

(2 2 ) (3 10 6 ) 15 7

15 7 8

x x x x x x

x x x x x x

       

       

       

  

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>



Loại 3: Các bài tốn tìm x

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thực hiện nhân đa thức theo quy tắc1) Thực hiện nhân đa thức theo quy tắc

2) Giải bài tốn tìm x thơng thường 2) Giải bài tốn tìm x thơng thường

 Ví dụ: Tìm x biết:

Giải:

Ta có:

(12x  5)(4x  1) (3 x  7)(1 16 ) 81 x 

2 2

12 (4 1) 5(4 1) 3 (1 16 ) 7(1 16 ) 81

48 12 20 5 3 48 7 112 81

83 2 81

83 83

x x x x x x

x x x x x x
x

x
x

        

        

  

 

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>



Loại 4: Nhân đa thức đã sắp xếp

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Đặt các đa thức theo cột dọc1) Đặt các đa thức theo cột dọc

2) Nhân lần lượt các hạng tử với nhau như phép nhân các số thực2) Nhân lần lượt các hạng tử với nhau như phép nhân các số thực

 Ví dụ: Thực hiện phép tính:

3 2

(

x



1)(

x



x

 

x

1)

3 2

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Giải:

Vậy

b) Với cách làm tương tự ta có:

 Chú ý: Nhưng với những bài tốn nhân đa thức này ta

không nhất thiết phải đặt chúng theo cột dọc. Ta có thể
nhân theo hàng ngang như nhân đa thức với đa thức bình

3 2 4

(x 1)(x  x  x 1) x 1

3 2

4 3 2

1
1

x x x

x

x x x x

  



  

3 2 1

x x x

   

1

4

x

  1

3 2

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

VII. Những hằng đẳng thức đáng nhớ



Loại 1: Khai triển các hằng đẳng thức cho trước



Phương pháp:Phương pháp:

1)Nhận dạng đặc điểm của biểu thức xem nó là dạng1)Nhận dạng đặc điểm của biểu thức xem nó là dạng

hằng đẳng thức nào.hằng đẳng thức nào.

2) Áp dụng công thức khai triển của các hằng đẳng 2) Áp dụng công thức khai triển của các hằng đẳng

thức tương ứngthức tương ứng

 Ví dụ: Tính:

a) b)

c) d)

(2  xy) (0.1x  0.2)2

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Giải:

+ Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức:

Ta thấy biểu thức này có dạng trong đó:
A = 2 và B = xy

+ Bước 2: Áp dụng công thức khai triển hằng dẳng thức
để tính:

Áp dụng công thức:
Ta có:

Hay

Tương tự với các bước làm trên ta tính được các biểu thức
còn lại

(2 xy)

(A B )

2 2 2

(A B ) A  2AB  B

2 2 2

(2  xy) (2)  2.2.xy  (xy)

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>



Loại 2: Thành lập các hằng đẳng thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Nhận xét các hạng tử của biểu thức.1) Nhận xét các hạng tử của biểu thức.

2) Tìm các số hạng thỏa mãn yêu cầu2) Tìm các số hạng thỏa mãn yêu cầu

3) Từ dạng khai triển của hằng đẳng thức thu gọn về dạng tổng quát 3) Từ dạng khai triển của hằng đẳng thức thu gọn về dạng tổng quát

 Ví dụ: Điền vào chỗ trống:

a) b)

c) d)

2 2

9x ... 25 (...x ...) 36x2  ... ... (... 5)   2

3 15 2 ... ... (... ...)3

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Giải:

+ Bước 1: Nhận xét các hạng tử của biểu thức:
Ta thấy: vế phải có:

vế
trái là dạng bình phương của một tổng

+ Bước 2: Tìm các số hạng phù hợp

Để vế phải trở thành dạng bình phương của một
tổng thì theo cơng thức khai triển số cần tìm của vế
trái là: 2.5.3x

+ Bước 3: Từ dạng khai triển thu gọn về hằng đẳng thức
đáng nhớ

* Tương tự với cách làm trên ta có thể làm những bài tốn còn

2 2

9x ... 25 (...  x ...)

2
25 5

2 2

9x (3 )x

2 2

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>



Loại 3: Tính giá trị biểu thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Thu gọn biểu thức về dạng hằng đẳng thức tổng quát1) Thu gọn biểu thức về dạng hằng đẳng thức tổng quát

2) Thay giá trị của biến số2) Thay giá trị của biến số

 Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) với x = 6;
b) với x = 22

3 12 2 48 64

x  x  x 

3 6 2 12 8

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Giải:
a)

Bước 1: Thu gọn hằng đẳng thức

Bước 2: Thay số

Với x = 6 ta được:

 Chú ý: Với bài toán này học sinh cũng có thể thay trực

tiếp giá trị của biến vào từng số hạng ban đầu để tính
b) Tương tự

3 12 2 48 64 ( 4)3

x  x  x   x 

3 2 3

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>



Loại 4: Rút gọn

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định các hạng tử lập thành hằng đẳng thức hay1) Xác định các hạng tử lập thành hằng đẳng thức hay

các hằng đẳng thứccác hằng đẳng thức

2) Đặt thừa số chung để thu gọn biểu thức hoặc ghép 2) Đặt thừa số chung để thu gọn biểu thức hoặc ghép

các hạng tử thành hằng đẳng thứccác hạng tử thành hằng đẳng thức

 Ví dụ: Rút gọn biểu thức

a)
b)

2 2 2 2

(x  2x 2)(x  2)(x 2x 2)(x 2)

3 3 3

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Giải:
a)

+ Bước 1: Xác định các hạng tử lập thành hằng đẳng thức
Ta thấy và lập thành hằng đẳng thức

và lập thành hằng đẳng thức
+ Bước 2: Gép các thừa số để lập thành hằng đẳng thức:

Vậy

(x  2) (x2 2)

(x  2x2) (x2 2x2)

2 2 2 2

(x  2x2)(x  2)(x 2x2)(x 2)

2 2 2 2

(x 2)(x 2)(x 1 2 )(x x 1 2 )x

      

4 2 2 2

(x 4) ( x 1) (2 )x 

     

4 4 2

(x 4)(x 2x 1)

   

4 2 2

(x 4)(x 1)

  

2 2 2 2

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

b) (x 1)3 (x 1)3 x3 3 (x x 1)(x 1)

      

2 2 3

(x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) x 3 (x x 1)(x 1)

           

Tách hạng tử thành 3 số hạng và ghép đôi với
ba số hạng còn lại ta được:

3 (x x  1)(x 1)

(x1)(x  x1) x x(  1)(x1)

( 1) 1 ( 1)

( 1)

x x x x x

x

 

       

 

+ (x  1)(x2  x 1)  x x(  1)(x 1)

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

x x x x x

x

 

       
 

+ x3  x x(  1)(x 1)

2 2

( 1)( 1)
( 1)

x x x x

x x x

x
 
     
 
    


3 3 3

(x 1) (x 1)  x  3 (x x 1)(x 1)
( 1) ( 1)

x x x

x

    



</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>



Loại 5: Các bài toán chứng minh dựa vào

các hằng đẳng thức

Đây là dạng toán cần sử dụng hợp lý các hằng đẳng Đây là dạng toán cần sử dụng hợp lý các hằng đẳng
thức, việc khai triển và kết hợp các hằng đẳng thức được
thức, việc khai triển và kết hợp các hằng đẳng thức được

sử dụng linh hoạt để tìm lời giải cho bài tốn
sử dụng linh hoạt để tìm lời giải cho bài tốn

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Viết dạng khai triển của các hằng đẳng thức1) Viết dạng khai triển của các hằng đẳng thức

2) Thu gọn các hạng tử của các hằng thức sau khi khai 2) Thu gọn các hạng tử của các hằng thức sau khi khai
triển

triển

3) Làm xuất hiện các hằng đẳng thức mới hoặc dạng đơn 3) Làm xuất hiện các hằng đẳng thức mới hoặc dạng đơn
giản hơn của biểu thức

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

 Ví dụVí dụ : Chứng minh rằng: : Chứng minh rằng:

Áp dụng tính biết a + b = -5 ; a.b = 6;Áp dụng tính biết a + b = -5 ; a.b = 6;
Giải:

Giải:

3 3 ( )3 3 ( )

a b  a b  ab a b

3 3 ( )3 3 ( )

a  b  a b  ab a b

3 3

a  b

3 2 2 3 2 2

3 3

( ) 3 ( )

3 3 3 3

a b ab a b

a a b ab b a b ab
a b

   

     

  (đpcm)

Thay số ta có:

3 3 ( )3 3 ( ) ( 5)3 3.6.( 5)

a b  a b  ab a b    

( 125) 80
45

  

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

 Loại 1:Phương pháp đặt nhân tử chungLoại 1:Phương pháp đặt nhân tử chung
 Phương pháp:Phương pháp:

1) Tìm nhân tử chung1) Tìm nhân tử chung

2) Đặt nhân tử chung2) Đặt nhân tử chung

 Ví dụ:Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: Phân tích đa thức thành nhân tử:

(Toán 8-tập1-tr 18)(Toán 8-tập1-tr 18)

Giải:Giải: Ta thấy Ta thấy

;

VIII. Phân tích đa thức thành nhân tử

2 x



4 x

2 x



2 .

x x

4 x



2 .2

x

Vậy:

2

x



4

x



2 .

x x



2 .2

x

2 (

x x

2)

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

 Một số dạng bài tập:Một số dạng bài tập:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a)

b) x(x-1) - y(1-x) tại x =2001 và y=1999 
 Bài 3: Tìm x, biết:

a)
b)

Bài 4: Chứng minh rằng chia hết cho 54(với n là số tự
nhiên)

3 2

x  x  x

10 (x x  y) 8 ( y y x )
15.91, 5 150.0,85

5 (x x  2000)  x2000 0

3 13 0

x  x 

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>



Loại 2:Phương pháp dùng hằng đẳng thức

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Phân tích các hạng tử trong đa thức
1) Phân tích các hạng tử trong đa thức

2) Áp dụng các hằng đẳng thức đã học phân tích đa
2) Áp dụng các hằng đẳng thức đã học phân tích đa

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

4

x



x



2 2

x 

3
1 8 x

2 4 4

x  x  x2  2.2x  22

(x 2)

 

2 2 2 ( 2)2

x  x 

(x 2)(x 2)

  

3 3 3

1 8 x  1 (2 )x

(1 2 )(1 2x x 4 )x

   

b)
c)

LG:

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Tương tự như trên, áp dụng các hằng đẳng tức đáng nhớ đã

được học ta giải được các bài toán tương tự sau:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Tốn8 - Tập 1 -tr20)

2 6 9

x  x 

a)
b)
c)

2
10x  25 x

3 1

x 

Bài 2: Tìm x,biết: (Tốn8 - Tập 1 -tr20)

2 25 x 0

2 1 0

x  x  

a)
b)

Bài 3: Tính nhanh: (Tốn8 - Tập 1 -tr21)

a) 2 2

73  27
b) 20022 22

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>



Loại 3: Phương pháp nhóm hạng tử:

 Phương pháp:Phương pháp:

1)Ta nhóm các hạng tử của đa thức sao cho các 1)Ta nhóm các hạng tử của đa thức sao cho các

hạng tử trong nhóm có nhân tử chung hoặc có

hạng tử trong nhóm có nhân tử chung hoặc có
dạng của hằng đẳng thức để phân tích đa thức
dạng của hằng đẳng thức để phân tích đa thức

thành nhân tử.
thành nhân tử.

2) Phân tích các nhóm 2) Phân tích các nhóm

 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(Toán8- Tập1 –tr21)

2 3 3

x  x xy  y

3

x



x xy y

 

(x2  3 ) (x  xy  3 )y
Ta có:

( 3)

( 3)(

)

x x

y x

x

x y









 



</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Tương tự ta có thể giải được những bài sau:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Toán8- Tập1 –tr22)
a)

x  xy x  y

5(

)

xz yz





x y



Bài 2: Tính nhanh: (Tốn8- Tập1 –tr22)

37,5.6,5 7,5.3, 4 6,6.7,5 3,5.37,5  

b) 452  402  152 80.45

Bài 3: Tìm x, biết: (Tốn8- Tập1 –tr22)
a)

( 2) 2 0

x x   x 

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>



Loại 4: Phương pháp tách hạng tử

 Phương pháp:Phương pháp:

Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 1: Tìm tích ac.

Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên

bằng mọi cách.
bằng mọi cách.

Bước 3: Chọn thừa số mà tổng bằng b
Bước 3: Chọn thừa số mà tổng bằng b

 Chú ý:.Chú ý:. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác

thường nhằm mục đích:

- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất - Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất

hiện nhân tử chung
hiện nhân tử chung

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

 Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (NC và phát

triển toán8- tập1- tr39)

3x  8x  4

Giải:

Cách 1: ( Tách hạng tử thứ hai) 2

3 8 4

3 6 2 4

3 ( 2) 2( 2)
( 2)(3 2)

x x

x x x

x x x

x x

 

   
   
  

Cách 2 (Tách hạng tử thứ nhất) 2

2 2

2 2
3 8 4

4 8 4
(2 2)

(2 2 )(2 2 )

x x

x x x

x x

x x x x

 

   
  

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>



Loại 5: Phương pháp thêm và bớt cùng một

hạng tử

1) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiên hiệu

của hai bình phương

 Phương phápPhương pháp::

1) Phân tích các hạng tử thành dạng bình phương

một số

2) Thêm , bớt để xuất hiện dạng hiệu hai bình

phương

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

 Ví dụ:Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tửPhân tích đa thức thành nhân tử

( NC và phát triển toán8 - tập1 - tr44 )

Giải:

4x  81

Ta có:

4 x



81 

4 x



36 x



81 36



x

2 2 2

2 2

(2

9)

(6 )

(2

9 6 )(2

9 6 )

x

x x

x







</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

2) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất

hiện nhân tử chung

 Ví dụVí dụ

:

Phân tích đa thức thành nhân tử

(NC và phát triển toán8- tập1- tr43)

5 1

x  x 

Giải:

Cách 1: Ta có:

Cách 2: Ta có:

5 1

x  x   x x x x x x x x5 4  3 4  3  2  2   1

3 2 2 2 2

2 3 2

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x x x x

x x x x

        
    

5 1

x  x   x x x x5 2  2   1

2 3 2

2 2

2 3 2

( 1) ( 1)
[ ( 1) 1 1)

( 1)( 1)

](x

x x x x

x x x

x x x x

    

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>



Loại 6: Phương pháp đổi biến

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Biến đổi đa thức để làm xuất hiện các phần 1) Biến đổi đa thức để làm xuất hiện các phần

biểu thức giống nhau của biếnbiểu thức giống nhau của biến

2) Đặt phần giống nhau đó bằng một biến mới2) Đặt phần giống nhau đó bằng một biến mới

3) Thay biến mới vào đa thức đã cho ta được một đa 3) Thay biến mới vào đa thức đã cho ta được một đa

thức mới đơn giản hơn

4) Phân tích mới đa thức thành nhân tử4) Phân tích mới đa thức thành nhân tử

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: (NC và phát triển

toán8- tập1- tr44 )

( 4)( 6)( 10) 128

x x  x  x  

Giải:

Ta có:

Đặt: .
Đa thức đã cho có dạng:

Thay ta được:

( 4)( 6)( 10) 128

x x  x  x  

2 2

(x 10 )(x x 10x 24) 128

    

2 10 12

y x  x 

( 12)( 12) 128
16

( 4)( 4)

y y

y

y y

  

 

  

2 10 12

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

( 4)( 6)( 10) 128

x x  x  x  

2 2

( 10 16)( 10 8)
( 2)( 8)( 10 8)

x x x x

    

Tương tự ta có thể phân tích được đa thức sau thành nhân tử:

4 6 3 7 2 6 1

A x  x  x  x 

2 2 2

( ) 3( ) 2

B  x  x  x  x 

( 1)( 2)( 3) 1

C x x  x  x  

2 2 2

( 1)( 3 1)

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>



Loại 7: Phương pháp hệ số bất định

 Phương pháp:Phương pháp:

1) Xác định hệ số của hai đa thức nhân tử.1) Xác định hệ số của hai đa thức nhân tử.

2) Thực hiên phép nhân hai đa thức rồi đồng nhất các 2) Thực hiên phép nhân hai đa thức rồi đồng nhất các
hệ thức.

hệ thức.

 Ví dụ:Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử (NC và phát Phân tích đa thức thành nhân tử (NC và phát

triển toán8- tập1- tr45) triển toán8- tập1- tr45)

Giả sử đa thức đã cho được phân tích thành tích của hai
Giả sử đa thức đã cho được phân tích thành tích của hai

đa thức khác

4 6 3 11 2 6 1

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Giải:

Giả sử đa thức được phân tích thành 2 đa thức dạng:

Thực hiện phép nhân ta được:

Đồng nhất đa thức đã cho ta được:
Vậy

Tương tự ta có thể phân tích được các đa thức sau thành nhân tử:

2 2

(x ax 1)(x bx 1)

2 2

(x ax 1)(x bx 1) x4 (a b x ) 3 (2 ab x) 2 (a b x ) 1

3
9

a b

a b
ab

 


  






4 6 3 11 2 6 1

x  x  x  x  (x2 3x 1)2

2 2

3x  22xy  4x 8y  7y 1
4 6 3 12 2 14 3

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>



Loại 8: Bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

 Trong phân tích đa thức thành nhân tử, nhiều khi ta Trong phân tích đa thức thành nhân tử, nhiều khi ta
phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để phân
phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để phân
tích hoặc một bài có thể có nhiều cách để phân tích.

tích hoặc một bài có thể có nhiều cách để phân tích.

 VV

í dụ:

Phân tích đa thức thành nhân tử

2 2

2 x



4 x

 

2 2

y

Giải: Ta có: 2x2  4x  2 2y2 (2x2  4x  2) 2 y2

2 2

2 2
2 2

2( 2 1) 2
2( 1) 2

2[(x+1) ]
=2(x+1-y)(x+1+y)

x x y

x y

y

   

  

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

• Nhận xét: Ta thấy bài tốn trên khơng chỉ sử dụng một
phương pháp giải mà áp dụng kết hợp các phương pháp:
nhóm nhiều hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức, phương
pháp đặt nhân tử chung.

• Tương tự như vậy ta giải được các bài tốn:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng nhiều
cách

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

7

6

x



x



2 2

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

IX . Chia đa thức cho đơn thức; chia

đa thức cho đa thức



Loại 1: Bài toán áp dụng phương pháp chia đa

thức

 Phương phápPhương pháp::

1) Áp dụng các quy tắc chia đã học để thực hiện yêu

cầu bài toán

cầu bài tốn

 Ví dụVí dụ: Thực hiện phép chia:: Thực hiện phép chia:

Giải:

Giải:

Ta cTa c

ó:

4 3 2 3 4 4 2 3

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

4 3 2 3 4 4 2 3

(30x y  25x y  3x y ) : 5x y

4 3 2 3 2 3 2 3 4 4 2 3

2 2

(30

:5

) ( 25

:5

) ( 3

:5

)

3

6

5 x y

x

x y



 



 

Vậy thương của phép chia là: 6 2 5 3 2
5

x   x y

Tương tự ta thực hiện được các phép chia:

5 2 3 2

( 2



x



3 x



4 ) : 2

x

4 3 2 2

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>



Loại 2: Loại toán chia hết

 Phương phápPhương pháp:: Áp dụng điều kiện chia hết của hai đa Áp dụng điều kiện chia hết của hai đa
thức

thức

 Ví dụVí dụ:: Khơng làm tính chia, hãy xét xem đa thức A Khơng làm tính chia, hãy xét xem đa thức A
có chia hết cho đơn thức B khơng?

có chia hết cho đơn thức B không?

2 3 2

15 17 18

A  xy  xy  y B 6y2
Giải:

Ta thấy mọi hạng tử của A đều chia hết cho B nên đa
thức A chia hết cho đa thức B

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Bài 1

Bài 1: Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết: Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết

3 2

(5

x



7 x



x

) : 3

x

n

2 2 2

(5

xy



9 xy x y



) : 5

x y

n n

4 3

5( ) 17( ) 2( ) : ( )

[ a b  a b  a b ] b a n

</div>

chuyen

<b>Chuyên đề: BIỂU THỨC </b>

<b>Chuyên đề: BIỂU THỨC </b>

<b>Trong chương trình sách giáo khoa:</b>

<b>Trong chương trình sách giáo khoa:</b>

<i><b>Tốn 7- tập 2 </b></i>

<i><b>Tốn 7- tập 2 </b></i>

<b>:</b>

<b>:</b>

<i><b>Toán 8 - tập 1</b></i>

<i><b>Toán 8 - tập 1</b></i>

1. Phép nhân và phép chia các đa thức:

1. Phép nhân và phép chia các đa thức:

- Nhân đơn thức với đa thức

- Nhân đơn thức với đa thức

- Nhân đa thức với đa thức

- Nhân đa thức với đa thức

- Chia đơn thức cho đơn thức

- Chia đơn thức cho đơn thức

- Chia đa thức cho đơn thức

- Chia đa thức cho đơn thức

2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

<b>A. </b>

<b>A. </b>

<b>KIẾN THỨC CƠ BẢN</b>

<b><sub>KIẾN THỨC CƠ BẢN</sub></b>

<b>I. Khái niệm biểu thức đại số</b>

<b>I. Khái niệm biểu thức đại số</b>

:

:

1.

1.

<i><b>Khái niệm biểu thức đại số</b></i>

<i><b>Khái niệm biểu thức đại số</b></i>

Những biểu thức mà trong đó ngồi các số, các kí

Những biểu thức mà trong đó ngồi các số, các kí

hiệu phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ

hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ

thừa, cịn có các chữ( đại diện cho các số). Người ta

thừa, cịn có các chữ( đại diện cho các số). Người ta

gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.

gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.

<i>Ví dụ</i>

<i>Ví dụ</i>

: Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x+ y) ; ; ;

: Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x+ y) ; ; ;

; ; là các biểu thức đại số.

; ; là các biểu thức đại số.

<i>x</i>

<i>x y</i>

<b>2. </b>

<b>2. </b>

<i><b>Giá trị của một biểu thức đại số:</b></i>

<i><b><sub>Giá trị của một biểu thức đại số:</sub></b></i>

Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá

Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá

trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho

trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho

trước vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

trước vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

<i>Ví dụ</i>

<i>Ví dụ</i>

: Tính giá trị của biểu thức tại x= -1

: Tính giá trị của biểu thức tại x= -1

và tại x=

và tại x=

Thay x=1 vào biểu thức trên ta có:

Thay x=1 vào biểu thức trên ta có:

Vậy giá trị của biểu thức tại x= -1 là

Vậy giá trị của biểu thức tại x= -1 là

9.

9.

Thay x= vào biểu thức trên ta có:

Thay x= vào biểu thức trên ta có:

Vậy giá trị của biểu thức tại x= là

Vậy giá trị của biểu thức tại x= là

3

<i>x</i>



5