9. MIN, MAX MŨ-LÔGARIT NHIỀU BIẾN

MIN, MAX MŨ – LÔGARIT NHIỀU BIẾN SỐ
A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG
x+2 y

3

x, y

xy −1

Câu 1: Cho hai số thực dương

thay đổi thỏa mãn
P = 2x + 3y
nhỏ nhất của biểu thức
.

A.

6 2 −7

.

B.

10 2 + 1
10

.

C.

5 x+2 y +

x, y

Câu 2: Cho hai số thực dương

thoả mãn
P = x + 2y
nhỏ nhất của biểu thức
.
A.

P =6−2 3

.

B.

P = 4+2 6
4+3

x, y

Câu 3: Cho hai số thực
S = x + 2y
thức
.

−
A.

9
4

.

(

= 2 − 2 xy − 2 x − 4 y
.Tìm giá trị

15 2 − 20

.

B.

.

D.

3
5
+ x +1 =
+ 3− x−2 y + y ( x − 2 )
xy
3
5

= 4+9

C.

P = 4−2 6

x2 − 2 y

)7

.

7
4

−
.

1− x − y

2017

C.

33
8

P =6+2 3

x 2 + 2018
= 2
.
y − 2 y + 2019

−
.

D.

.

giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nhiêu?
391
16

.

lần lượt là giá trị lớn nhất,
Khi đó

C.

1
4

M,m
Gọi

B.

D.

. Tìm giá trị

2 y − x2 + 2

S = ( 4 x 2 + 3 y ) ( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy.

A.

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thỏa mãn

136
3

3 2 −4
2

xy

thỏa mãn

0 ≤ x, y ≤ 1
Câu 4: Cho

x2 − 2 y + 2

1
− ÷
 3

383
16

M +m

D.

25
2

bằng bao


e x −4 y +

x, y
Câu 5: Cho hai số thực

1− x 2

thay đổi thỏa mãn
P = x3 + 2 y 2 − 2 x 2 + 8 y − x + 2

của biểu thức

S = a+b

phân số tối giản. Tính
A.

S = 85

− ey

.

B.

là

+ 1− x 2

−y=

y2 − x
4

. Biết giá trị lớn nhất
a
a, b
b
với
là các số nguyên dương và

là

.

S = 31

.

x, y
Câu 6: Cho hai số thực dương

a
b

2

75
C. .
x + y +1
3 + ln
= 9 xy − 3 x − 3 y
3 xy

thoả mãn

D.

41

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = xy
biểu thức
P=
A.

1
9

.
P=
.

B.

1
3

.
log 3

a, b
Câu 7: Cho các số thực dương
S = a + 5b
biểu thức

A.

2 95 − 6
3

C.

thỏa mãn

A.

2 10 − 3
2

B.

.

2 − ab
= 3ab + a + b − 7
a +b

4 95 + 15
12

D.

P =1

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 95 − 16
3

5 95 − 21
6

.
C.
.
D.
.
1 − ab
log 2
= 2ab + a + b − 3
Pmin
a b
a+b
Câu 8: các số thực dương , thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của
P = a + 2b
.

Pmin =

.

P=9

Pmin =

A.

Pmin
C.

B.

Pmin =

2 10 − 1
2

Pmin =

2 10 − 5
2

.
C.
.
D.
.
1 − xy
log 3
= 3 xy + x + 2 y − 4
Pmin
x + 2y
x y

Câu 9: Xét các số thực dương , thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất
P = x+ y
của
.

Pmin =

.

3 10 − 7
2

9 11 − 19
9

.
18 11 − 29
=
9

Pmin =
B.

Pmin =
.

D.

9 11 + 19

9
2 11 − 3
3

.

.


log 3

x, y
Câu 10: Cho hai số thực dương
1 2
S= +
x
y
thức
.
A.

6

2x + y + 1
= x + 2y
x+ y

thỏa mãn

.

B.

3+ 2 3

. Tím giá trị nhỏ nhất của biểu

.

C.

4

.

D.

x 2 + 2 x − y + 1 = log 2

x, y
Câu 11: Cho hai số thực không âm
thỏa mãn
2 x −1
2
P = e + 4x − 2 y +1
m
của biểu thức
.

A.

m = −1

m=−
.

B.

1
2

m=
.

. Tím giá trị nhỏ nhất

1
e

m = e −3

Câu 12: Cho các số thực

thỏa mãn
P = 3 ( x3 − y 3 ) + 20 x 2 + 5 y 2 + 2 xy + 39 x
trị lớn nhất của biểu thức
.
A.

100

.

B.

125

.

C.
.
D.
x+ y
= x ( x + y − 3) + y ( y − 4 )
x 2 + y 2 + xy − y + 4

log 4 3

x, y

2 y +1
x +1

3+ 3

. Tìm giá

81

121

.

.

C.
.
D. .
x+ y
log 3 2
= x ( x − 4 ) + y ( y − 4 ) + xy
x + y 2 + xy + 2

x, y
Câu 13: Cho hai số thực

thay đổi thỏa mãn
. Biết
x + 2 y +1
a+ b
P=
a , b, c
x+ y+2
c
giá trị lớn nhất của biểu thức
là
với
là các số nguyên dương và
a
S = a +b+c

c
tối giản. Tính
.
A.

S = 221

.

B.

S = 231

.

x1 , x2
Câu 14: Biết

là hai nghiệm của phương trình
x1 + 2 x2 =

và
A.

a + b = 16

(

1
a+ b

4
.

)

C.

S = 195

.

S = 196

.

 4x2 − 4x + 1 
2
log 7 
÷+ 4 x + 1 = 6 x
2x



a, b
với

D.

là hai số nguyên dương. Tính
a + b = 11

a + b = 14
B.
.
C.
.

a + b.

D.

a + b = 13


3x

x, y
Câu 15: Cho

2

.log 2 ( x − y ) =

+ y 2 −2

là các số thực thỏa mãn điều kiện

1
1 + log 2 ( 1 − xy )  .
2

Tìm

M = 2 ( x 3 + y 3 ) − 3xy.
giá trị lớn nhất của biểu thức

A.

7

B.

13
2

a , b, c
Câu 16: Cho các số thực

17
2

3
C.
D.
a+b+c
log 2 2
= a ( a − 4) + b ( b − 4) + c ( c − 4)
a + b2 + c2 + 2

thỏa mãn
P = a + 2b + 3c

trị lớn nhất của biểu thức
.
3 10
A.

.

B.

12 + 2 35
6 10
C.
.
D.
.
a+b+c
log 2 2
= a ( a − 4) + b ( b − 4) + c ( c − 4)
a + b2 + c2 + 2

12 + 2 42

a , b, c
Câu 17: Cho các số thực

.

thỏa mãn
a + 2b + 3c
P=

a+b+c
trị lớn nhất của biểu thức
.

A.

12 + 30
3

.

B.

Câu 18: Cho hai số thực dương

3 + 30
3

8 + 30
3

.
log

x y

,

A.

.

Câu 19: Cho hai số thực dương

B.

3

. tìm giá

6 + 30
3

C.
.
D.
.
x+ y
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy
x 2 + y 2 + xy + 2

thỏa mãn
x + 2y + 3
P=
x + 2y + 6

giá trị lớn nhất của biểu thức

69 + 249
94

. tìm giá

. Tìm

.

43 + 3 249
94

C.

43 + 3 249
94

.
D.
.
x+ y
3
3
= 8 ( 1 − xy ) − 2 xy + 3
( x + y ) + x + y + log 2
1 − xy

x y

.

37 − 249

21

thỏa mãn
P = x + 3y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

A.

1 + 15
2

.

,

B.

3 + 15
2

.

.

C.

15 − 2

.

D.

2 15 + 3
6

.


DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÁC

log 2

x y

Câu 20: Cho hai số thực dương , thỏa mãn
P = x − 100 y
nhất của biểu thức
.
A.

−2499

.

B.

−2501

.

C.

log 2

a, b
Câu 21: Cho hai số thực dương
P = a + 2b
biểu thức
.

A.

2 10 − 3
2

.

thỏa mãn

B.

y
= − y2 + 3y + x − 3 1+ x
2 1+ x

2 10 − 1
2

−2500

.

1 − ab
= 2ab + a + b − 3
a+b

2 10 − 5
2

.

C.
1
xy = 4, x ≥ , y ≥ 1
2

x, y
Câu 22: Cho hai số thực

D.

. Tìm giá trị nhỏ

−2490

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

D.

3 10 − 7
2

.

M,m

thay đổi thoả mãn
. Gọi
lần lượt là giá trị lớn
2
2
P = log 2 x + ( log 2 y − 1)
S = M + 2m
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Tính
.

A.

S =6

.

B.

S = 11

S=
.

C.

ln ( x + x ) − 2
2

x, y

Câu 23: Cho hai số thực

x+ y

21
2

S=
.

D.

= ln ( y + x ) − 2

thay đổi thỏa mãn

11
2

.

x2 + x

. Tìm giá trị nhỏ

P = y − 4 xy + 8 x
2

nhất của biểu thức
A.

−4

.

.
B.

0

5
C. .
log 2 x2 + xy + 3 y 2 ( 11x + 20 y − 40 ) = 1

.

x, y
Câu 24: Cho các số thực dương

thỏa mãn

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

A.

a + b = 10

.

B.
x, y

a + b = 2 14

. Tính

a +b

C.

.
lần lượt là

.

a+b =
.

−3

a, b
. Gọi

y
S=
x

11
6

a+b =
.

D.

7
2

.

1
+ log xy 81 = 4 − log 3 y
log x 3

x > 1, y > 1

Câu 25: Xét các số thực
thỏa

2
F = x + 6y
của biểu thức
.

D.

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất


A.

min F = 27

min F = 12 3 9

.

B.
x, y , z

Câu 26: Cho các số thực dương

.

min F = 9

C.

xyz = 10

bất kì thỏa mãn

.

D.

min F = 6 3 12

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = log 2 x + 1 + log 2 y + 4 + log 2 z + 4
.
29

27
D.
.
m
 1
2 log ( sin ) + log  2 + 1 − 2 ÷ > 0
π 
x
m
Câu 27: Tìm số tự nhiên
lớn nhất để bất đẳng thức
đúng với mọi

 π
x ∈  0; ÷
 2
.
A.

A.

23

.

B.

m=5

.

B.

26

.

C.

m=3

.

C.

.

m=6

.

D.
( x; y )

m
Câu 28: Tìm tất cả giá trị thực của tham số
để tồn tại duy nhất cặp số thực
log x2 + y 2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1
x2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0

và

A.

(

10 − 2

)

2

.

B.

(

10 + 2

)

thỏa mãn

2

.
C.
x + y +1 = 2

thay đổi thỏa mãn

10 − 2

(

biểu thức
a
a+b
b
tối giản. Tính
.

.

x−2 + y+3

S = 3x + y − 4 + ( x + y + 1) 27 − x − y − 3 ( x 2 + y 2 )
là

a
b

)

D.

10 + 2

.

.Giá trị lớn nhất của

a, b
với

là các số nguyên dương và

T = 148
T = 151
T = 141
B.
.

C.
.
D.
.
a, b, c > 1
x, y , z
Câu 30: Cho các số thực
và các số thực dương thay đổi
thỏa mãn
16 16
P = + − z2
x
y
z
x
y
a = b = c = abc
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.

A.

A.

T =8

.

.

x, y
Câu 29: Cho hai số thực

m=4

20

.

20 −

.

B.

3
4

3

.

C.

24

24 −

3
4

3

D.
.
c
c
6 log 2a b − log b2 c = log a − 2 log b − 1
b
b

a , b, c
c > b > a >1
Câu 31: Cho các số thực
thỏa mãn
và
T = log b c − 2log a b
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.

. Đặt


T ∈ ( −3; −1)

A.

T ∈ ( −1; 2 )

.

T ∈ ( 2;5 )

B.

.

C.
20171− x − y

x, y
Câu 32: Cho các số thực

T ∈ ( 5;10 )

.
x + 2018
= 2
y − 2 y + 2019

D.

.

2

. Biết giá trị nhỏ nhất của
a
a

S = ( 4 x 2 + 3 y ) ( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy
a, b
b
b
biểu thức
là
với
là các số nguyên dương và
tối
T = a+b
giản. Tính
.
A.

T = 27

thay đổi thỏa mãn

.

T = 195
T = 207
C.
.
D.
.
log 2 x + log 2 ( x + 3 y ) ≤ 2 + 2 log 2 y
thoả mãn
. Biết giá trị lớn
x+ y

2x + 3y
b
−
a
−
2
2
x
+
2
y
x − xy + 2 y
a , b, c
c

B.
x, y

Câu 33: Cho hai số thực dương
S=

T = 17

.

nhất của biểu thức
là
b
P = a+b+c
c

dương và là phân số tối giản. Tính
.
A.

P = 30

.

B.

P = 15

a, b, c
Câu 34: Cho các số thực
thỏa mãn
2
2
2
P = a + b + c − 4( a + b + c)
.
−3 − log 5 3
A.

.

B.
x, y

Câu 35: Cho hai số thực dương
S = x + 3y

biểu thức
.

A.

1+ 3
10

.

.

−4

.

B.

2+ 3
5

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3+ 3
30

.
x 2 + y 2 −1

B.

a 6
b

.

D.

.

D.

1+ 3
4

.

. Biết giá trị lớn nhất

là
T = a + 2b

T = 34

−2 − log 3 5

C.
.
2
+ log 3 ( x + y 2 + 1) = 3

thỏa mãn

tối giản. Tính giá trị biểu thức

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

của biểu thức

D.

C.
.
log x + log y + 1 ≥ log ( x + y )

S = x − y + x3 − y 3

.

.

P = 10

−c

thỏa mãn

Câu 36: Cho các số thực dương

T = 25

b

là các số nguyên

−2 − 3

x, y

A.

P = 17

C.

3 = 5 = 15
a

với

a, b
với

là các số nguyên dương và phân số

.

C.

T = 32

.

D.

T = 41

.

a
b


xy ≤ 4 y − 1

x, y
Câu 37: Cho hai số thực dương
 x + 2y 
6y
S=
+ ln 
÷
x
 y 
.

A.

24 + ln 6

.

thỏa mãn

B.

12 + ln 4

.

C.

3
+ ln 6
2

thỏa mãn

.

D.
P=

log x2 + y2 +1 ( 2 x − 4 y ) = 1

x, y
Câu 38: Cho hai số thực

S = 4x + 3y − 5

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Tính

3 + ln 4

.

x
y

khi biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.

A.

8
5

9
5

−13
4

45

81

108

.
B. .
C.
.
xy ≤ 4 y − 1
x y
Câu 39: Cho , là các số dương thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
6 ( 2x + y )
x + 2y
P=
+ ln
x
y
a + ln b
ab
là
. Giá trị của tích
là
A.

.

B.
x, y

.

Câu 40: Cho hai số thực dương
thỏa mãn
2
2
P = ( 2 x + y ) ( 2 y + x ) + 9 xy
.
Pmax =
A.

27
2

C.
2 +2 =4
x

Pmax = 18
.

B.

.

y

. Tìm giá trị lớn nhất

Pmax = 27

D.

D.
Pmax

17
44

115

.

.

của biểu thức

Pmax = 12

.

C.
.
D.
.
y
z
x
y
z

Câu 41: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 4 + 9 + 16 = 2 + 3 + 4 . Tìm giá trị lớn nhất
x +1
y +1
z +1
của biểu thức P = 2 + 3 + 4 .
x

9 + 87
2
A.

5 + 87
2
B.

7 + 87
3 + 87
2
2
C.
D.
2
2
2
0 < ( x + y) + ( y + z) + ( z + x) ≤ 2
Câu 42: Cho các số thực x, y , z không âm thỏa mãn
. Biết giá trị
3
a
4

P = 4 x + 4 y + 4 z + ln ( x 4 + y 4 + z 4 ) − ( x + y + z )
4
lớn nhất của biểu thức
là b , với a, b là
a
các số nguyên dương và b tối giản. Tính S = 2a + 3b .

A. S = 13

B. S = 42

C. S = 54

D. S = 71


Câu 43: Cho các số thực

S = 4 a + 4b + 4 c −

a, b, c ∈ [ 2;3]

. Biết giá trị lớn nhất của
m
với m, n là các số nguyên dương và n tối giản. Tính P = m + 2n .
A. P = 257

1
m
3

( a + b + c)
4
là n

B. P = 258

C. P = 17
D. P = 18
y
z
Câu 44: Cho ba số thực x, y , z không âm thỏa mãn 2 + 4 + 8 = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x y z
S= + +
6 3 2.
thức
x

1
A. 12

4
B. 3

1
C. 6
D. 1 − log 4 3
4a − 2a +1 + 2 ( 2a − 1) sin ( 2a + b − 1) + 2 = 0

a, b
Câu 45: Cho các số thực dương

thỏa mãn
S = a + 2b
nhỏ nhất của biểu thức
.

A.

π
−1
2

Câu 46: Cho

B.

π
2
xy ≤ 4 y − 1

x y

. Tìm giá trị

C.

π −1

D.

3π
−1
2

, là các số dương thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
6 ( 2x + y )
x + 2y
P=
+ ln
x
y
a + ln b
ab
là
. Giá trị của tích
là

A.

45

.

108

115

.
C.

.
D.
.
P
a, b
a>0 0min
Câu 47: Cho hai số thực
thỏa mãn
,
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
a
( 2b ) + 2a + 2b a .
P=
2
2b a
( 2a − b a )
Pmin =
A.

B.

81

9
4

Pmin =
.

B.

7
4

Pmin =
.

C.

13
4

Pmin = 4
.

D.

.


C – HƯỚNG DẪN GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.B
21.A
31.B
41.A

2.B
12.A
22.A
32.D
42.C

3.A
13.D
23.A
33.D
43.D

4.B
14.C
24.C
34.B
44.C

5.A
15.B
25.A
35.B
45.C

6.D
16.C
26.C
36.B
46.B

7.A
17.D
27.D
37.C
47.C

8.A
18.A
28.A
38.C

9.D
19.C
29.D
39.B

10.A
20.B
30.A
40.B

DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG
VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO:
x, y

Câu 1: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương

thay đổi thỏa mãn

x+2 y

1
3xy −1 −  ÷
 3

A.

6 2 −7

= 2 − 2 xy − 2 x − 4 y

P = 2x + 3 y

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

B.

10 2 + 1
10

15 2 − 20

.
C.
Hướng dẫn giải

.

.

D.

3 2 −4
2

Chọn A.
Biến đổi giả thiết,ta có:
1− xy
x+2 y
1
1
 ÷ − 2 ( 1 − xy ) =  ÷ − 2 ( x + 2 y ) ⇔ f ( 1 − xy ) = f ( x + 2 y ) ⇔ 1 − xy = x + 2 y
3
 3

.

.

t

trong đó

1
f ( t ) =  ÷ − 2t
3

¡

nghịch biến trên .Khi đó
1− x
y ( x + 2 ) = 1 − x > 0 ⇒ 0 < x < 1; y =
x+2
.
 3

 1− x 
P = f ( x ) = 2x + 3 
− 2 ÷= 6 2 − 7
÷ ≥ min ( 0;1) f ( x ) = f 
 x+2
 2

Và
.
x, y

Câu 2: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương
3
5xy
5x+2 y + xy + x + 1 =
+ 3− x−2 y + y ( x − 2 )
3
5

A.

P =6−2 3

Chọn B.

.

B.

P = 4+2 6

thoả mãn

P = x + 2y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 4−2 6

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.

P =6+2 3

.
.

5x+2 y +

Theo giả thiết ta có

⇔5

x+2 y

− x −2 y

−3

3
5xy
+
x
+
1
=
+ 3− x −2 y + y ( x − 2 )
xy
3
5

+ x + 2y = 5

xy −1

1− xy

−3

.

+ xy − 1 ⇔ x + 2 y = xy − 1
.

x +1
⇔ 1 − xy + x + 2 y = 0 ⇔ y ( x − 2 ) = x + 1 > 0 ⇒ x > 2, y =
x−2
2 ( x + 1)
≥ min f ( x ) = f 2 + 6 = 4 + 2 6
( 2; +∞ )
x−2

(

⇒ P = f ( x) = x +

.

)

4 + 3x

x, y

2

−2 y +2

(

.

= 4 + 9x

2

−2 y

)7

2 y − x2 + 2

Câu 3: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực
thỏa mãn
S = x + 2y
trị nhỏ nhất của biểu thức
.

−
A.

9
4

.

B.

Chọn A.
Từ giả thiết ta có:
4 + 3x
7x

2

2

−2 y +2

−2 y +2

7
4

=

4+3
7

(

2 x2 − 2 y

(

2 x2 − 2 y

. Tìm giá

−
.

33
8

−

C.
.
Hướng dẫn giải

D.

1
4

.

)

)

(

⇔ f ( x 2 − 2 y + 2) = f 2 ( x2 − 2 y )

)

⇔ x2 − 2 y + 2 = 2 ( x2 − 2 y )
.
t

Trong đó

1
f ( t) = 4 ÷
7

t

3
+ ÷
7

nghịch biến trên

¡

.

2

2y = x − 2
2

Do đó:

và

1 9
9

S = x2 + x − 2 =  x + ÷ − ≥ −
2 4
4

20171− x − y =

0 ≤ x, y ≤ 1
Câu 4: [DS12.C2.9.D01.d] Cho

thỏa mãn

.

x 2 + 2018
.
y 2 − 2 y + 2019

M,m
Gọi

lần lượt

S = ( 4 x 2 + 3 y ) ( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy.
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M +m

bằng bao nhiêu?

A.

136
3

B.

391
16

Khi đó

383
16

C.
Hướng dẫn giải

D.

25
2


Chọn B.
20171− x− y =

x 2 + 2018

20171− y
x 2 + 2018
⇔
=
2
y 2 − 2 y + 2019
2017 x
( 1 − y ) + 2018

Ta có
2
2017 x ( x 2 + 2018 ) = 20171− y ( 1 − y ) + 2018 ⇔ f ( x ) = f ( 1 − y )



f ( t ) = 2017t ( t 2 + 2018 ) = t 2 .2017t + 2018.2017t ,
Xét hàm số
có
t
2
t
t
f ' ( t ) = 2t.2017 + t .2017 .ln 2017 + 2018.2017 .ln 2017 > 0; ∀t > 0
f ( t)

Suy ra

( 0; +∞ )
là hàm đồng biến trên

f ( x) = f ( 1− y ) ⇒ x + y = 1

mà

P = ( 4 x 2 + 3 y ) ( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy = 16 x 2 y 2 + 12 x 3 + 12 y 3 + 34 xy

Lại có
3
16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) − 3xy ( x + y )  + 34 xy = 16 x 2 y 2 + 12 ( 1 − 3xy ) + 34 xy = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12



1 = x + y ≥ 2 xy ⇔ xy ≤
Mà

1
4

nên đặt

 1
0; 4 

f ( t ) = 16t − 2 y + 12
2

Xét hàm số

 1
t = xy ∈ 0; 

 4

trên

ta được

P = f ( t ) = 16t 2 − 2t + 12

khi đó


 1  191
f ( t ) = f  ÷=
min
 1
 16  16
 0; 4 

max f ( t ) = f  1  = 25
 ÷
 0; 1 
4 2
 4 

e

x, y
Câu 5: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực

x − 4 y + 1− x 2

thay đổi thỏa mãn
P = x3 + 2 y 2 − 2 x 2 + 8 y − x + 2

Biết giá trị lớn nhất của biểu thức
a
S = a+b
b
nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính
.
A.

S = 85

.

Chọn A.
Theo giả thiết ta có

B.

S = 31

−1 ≤ x ≤ 1

−e

y 2 + 1− x 2

.

75
C. .
Hướng dẫn giải

và có biến đổi

là

a
b

y2 − x
−y=
4

a, b
với

D.

là các số

41

.

.

4e x − 4 y +

1+ x 2

− 4e y

2

= y2 − ( x − 4 y )

+ 1− x 2

⇔ x − 4 y + 1 − x 2 + 4e x − 4 y +

1− x 2

) (

(

= y 2 + 1 − x 2 + 4e y

⇔ f x − 4 y + 1 − x2 = f y 2 + 1 − x2

2

+ 1− x 2

)

⇔ x − 4 y + 1 − x2 = y 2 + 1 − x 2 ⇔ x = y 2 + 4 y
f ( t ) = t + 4et

Trong đó

đồng biến trên

¡

.

 1  58
P = x3 − 2 x 2 − x + 2 + 2 ( y 2 + 4 y ) = f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 2 ≤ max f ( x) = f  ÷ =
[-1;1]
 3  27

Do đó
S = 58 + 27 = 85.
Vậy:

3 + ln

x, y
Câu 6: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương

x + y +1
= 9 xy − 3x − 3 y
3 xy

thoả mãn

. Tìm

P = xy
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
A.

1
9

.

P=
.

B.

Chọn D.
3 + ln

1
3

.

P=9
C.
.

Hướng dẫn giải

D.

P =1

.

x + y +1
= 9 xy − 3x − 3 y
3 xy

Theo giả thiết ta có
⇔ ln ( x + y + 1) + 3 ( x + y + 1) = ln ( 3 xy ) + 3 ( 3 xy )

⇔ x + y + 1 = 3 xy ⇒ P = xy =

⇒P≥

2 P +1
⇔ P ≥1
3

x + y + 1 2 xy + 1
≥
3
3

.

.
log 3

a, b
Câu 7: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực dương
S = a + 5b
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

2 95 − 6
3

Chọn A.
log 3
Ta có

.

B.

4 95 + 15
12

thỏa mãn

3 95 − 16
3

.

C.
Hướng dẫn giải

2 − ab
= 3ab + a + b − 7
a+b

.

D.

. Tìm

5 95 − 21
6

.

2 − ab
= 3ab + a + b − 7 ⇔ log ( 2 − ab ) − log ( a + b ) = 3 ( ab − 2 ) + ( a + b ) − 1
3
3
a+b

.


6−a
⇔ log 3 3 ( 2 − ab )  + 3 ( ab − 2 ) = log 3 ( a + b ) + ( a + b ) ⇔ 3 ( 2 − ab ) = a + b ⇔ b = 3a + 1
5 ( 6 − a ) 3a 2 − 4a + 30

S = a + 5b = a +
=
3a + 1
3a + 1

Khi đó

được

 95 − 1  2 95 − 6
min f ( x ) = f 
÷
÷=
x∈( 0;6 )
3
3



Câu 8: [DS12.C2.9.D01.d] các số thực dương
Pmin
P = a + 2b
nhỏ nhất
của
.

Pmin =
A.

2 10 − 3

2

Chọn A.
Điều kiện:

Ta có

Pmin =
.

B.

a b

,

. Khảo sát hàm số

.
log 2
thỏa mãn

3 10 − 7
2

1 − ab
= 2ab + a + b − 3
a+b

Pmin =

.
C.
Hướng dẫn giải

3x 2 − 4a + 30
3x + 1

2 10 − 1
2

D.

trên

. Tìm giá trị

Pmin =
.

( 0;6 )

2 10 − 5
2

ab < 1

.
1 − ab
log 2

= 2ab + a + b − 3 ⇔ log  2 ( 1 − ab )  + 2 ( 1 − ab ) = log ( a + b ) + ( a + b ) ( *)
2 
2

a+b
y = f ( t ) = log 2 t + t

Xét hàm số

trên khoảng

f ′( t ) =
Ta có
Do đó,
⇔a=

( 0; +∞ )

1
+ 1 > 0, ∀t > 0
t.ln 2

.
f ( t)

( 0; +∞ )

. Suy ra hàm số
đồng biến trên khoảng
( *) ⇔ f  2 ( 1 − ab )  = f ( a + b ) ⇔ 2 ( 1 − ab ) = a + b ⇔ a ( 2b + 1) = 2 − b

−b + 2
2b + 1

.

P = a + 2b =
Ta có
g′ ( b) =

−5

( 2b + 1)

2

−b + 2
+ 2b = g ( b )
2b + 1

.

.

+ 2 = 0 ⇔ 2b + 1 2 = 5 ⇔ 2b + 1 = 10 ⇔ b = 10 − 2
(
)
2
4
2

Lập bảng biến thiên ta được

.

 10 − 2  2 10 − 3
Pmin = g 
÷
÷=
2
 4 

Câu 9: [DS12.C2.9.D01.d] Xét các số thực dương
Pmin
P = x+ y
giá trị nhỏ nhất
của
.

x y

,

.

log 3

thỏa mãn

(vì

b>0

).

1 − xy
= 3 xy + x + 2 y − 4
x + 2y

. Tìm

.


Pmin =
A.

Pmin
C.

9 11 − 19
9

Pmin =

.
18 11 − 29
=
9

B.

Pmin =
.

D.
Hướng dẫn giải

9 11 + 19
9
2 11 − 3
3

.

.

Chọn D.
1 − xy
log 3
= 3 xy + x + 2 y − 4
x + 2y
⇔ log 3 ( 1 − xy ) − log 3 ( x + 2 y ) = 3 ( xy − 1) + ( x + 2 y ) − 1
⇔ log 3 3 ( 1 − xy ) − log 3 ( x + 2 y ) = 3 ( xy − 1) + ( x + 2 y )
⇔ log 3 3 ( 1 − xy ) + 3 ( 1 − xy ) = log3 ( x + 2 y ) + ( x + 2 y )
f ( t ) = log 3 t + t

( t > 0)

Xét

,
1
f ′( t) =
+ 1 > 0, ∀t > 0
t ln 3

Suy ra:

f ( 3 ( 1 − xy ) ) = f ( x + 2 y ) ⇔ 3 − 3 xy = x + 2 y

3− 2y
1+ 3y

1 − xy
5y − 2
2
>0⇔ 2
>0⇔ y>
x + 2y
6y +3
5

Điều kiện
P = x+ y = y+

P′ = 1 +

⇔x=

3− 2y

1+ 3y

−11

( 1+ 3y)

2


−1 − 11
y =
3
=0⇔

−1 + 11
y =
3


Bảng biến thiên:
x

−1 − 11
3

−∞

y′

+

−

1
3

−

0

2
5

−1 + 11
3
0

+
+∞

2
y
−∞

+∞

−∞

2 11 − 3
3

Pmin =
Vậy

2 11 − 3
.
3
log 3

x, y
Câu 10: [DS12.C2.9.D01.c] Cho hai số thực dương
1 2
S= +
x
y
nhỏ nhất của biểu thức
.
A.

6

.

B.

3+ 2 3

.

2x + y +1
= x + 2y
x+ y

thỏa mãn

. Tím giá trị

4

C. .
Hướng dẫn giải

D.

3+ 3

.

Chọn A.
Từ điều liện bài tốn ta có
log 3 ( 2 x + y + 1) − log 3 ( x + y ) = x + 2 y
⇔ log 3 ( 2 x + y + 1) + ( 2 x + y + 1) = log 3 ( 3 ( x + y ) ) + 3 ( x + y )
⇔ 3( x + y ) = 2x + y + 1 ⇔ x + 2 y = 1

S = f ( x) =
Khi đó
Chọn A.

1

2
1
+
≥ min f ( x ) = f  ÷ = 6
0;1
x
1− x ( )
2
2

.

x 2 + 2 x − y + 1 = log 2

x, y

Câu 11: [DS12.C2.9.D01.c] Cho hai số thực không âm
thỏa mãn
2 x −1
P = e + 4x2 − 2 y + 1
m
Tím giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
.

A.

m = −1

m=−

.

B.

1
2

m=
.

C.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Từ điều kiện bài tốn ta có

( x + 1)

2

1
+ log 2 ( x + 1) = y + log 2 ( 2 y + 1)
2

⇔ 2 ( x + 1) + 2 log 2 ( x + 1) = 2 y + log 2 ( 2 y + 1)
2

(

⇔ 2 ( x + 1) + log 2 ( x + 1)

2

⇔ 2 ( x + 1) = 2 y + 1
2

.
Do đó

2

) = ( 2 y + 1) + log ( 2 y + 1)
2

1
e

.

D.

2 y +1
x +1

m = e −3

.

.

(

)

1
2
1
P = f ( x ) = e 2 x −1 + 4 x 2 − 2 ( x + 1) − 1 + 1 ≥ min f ( x ) = f  ÷ = −
2
2
¡
.

x, y
Câu 12: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực
thỏa mãn
x+ y
log 4 3 2
= x ( x + y − 3) + y ( y − 4 )
x + y 2 + xy − y + 4

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 3 ( x − y ) + 20 x + 5 y + 2 xy + 39 x
3

3

2

2

.
A.

100

.

B.

125

.

121

C.
.
Hướng dẫn giải

D.

81

.

Chọn A.
Từ giả thuyết ta có
log 4 3 ( 3x + 3 y ) + 3 ( x + y ) = log 4 3 ( x 2 + y 2 + xy − y + 4 ) + ( x 2 + y 2 + xy − y + 4 )

⇔ f ( 3x + 3 y ) = f ( x 2 + y 2 + xy − y + 4 ) ⇔ x 2 + y 2 + xy − y + 4 = 3 ( x + y )
y
x
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhai ẩn và ẩn dễ có
 4
 1
x ∈ 0;  , y ∈ 1; 
 3
 7
.
Suy ra
P = 3 ( x 3 − y 3 ) + 20 x 2 + 5 y 2 + 2 ( 3x + 3 y − 4 + y − x 2 − y 2 ) + 39 x
= 3x 3 + 18 x 2 + 45 x − 8 − 3 y 3 + 3 y 2 + 8 y
f ( x ) = 3x 3 + 18 x 2 + 45 x − 3; g ( x ) = −3 y 3 + 3 y 2 + 8 y

Đặt
 4
4
P ≤ max f ( x ) + max g ( y ) = f  ÷+ g  ÷ = 100
 3
3
 4
 7
0;
1;
 3



Ta có:

Dấu “=” đạt tại

 3
 

.
4
x= y= .
3

Thử lại điều kiện thấy thỏa mãn.
x, y
Câu 13: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực
thay đổi thỏa mãn
x+ y
log3 2
= x ( x − 4 ) + y ( y − 4 ) + xy
x + y 2 + xy + 2
. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức
x + 2 y +1
a+ b
a
P=
a
,
b
,
c
x+ y+2

c
c
là
với
là các số nguyên dương và
tối giản. Tính
S = a +b +c
.


A.

S = 221

.

S = 231

B.

.

S = 195
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

S = 196

.

Chọn D.
Thực hiện tượng tự câu trên ta có
25 − 170
25 + 170
≤P≤
26
26
x1 , x2
Câu 14: [DS12.C2.9.D04.d] Biết

là hai nghiệm của phương trình

 4x2 − 4x + 1 
2
log 7 
÷+ 4 x + 1 = 6 x
2x



x1 + 2 x2 =
và
A.

a + b = 16

(

1
a+ b
4
.

)

a, b
với

là hai số nguyên dương. Tính
a + b = 11
a + b = 14
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải

a + b.

D.

a + b = 13

Chọn C.

Điều kiện

Ta có

x > 0


1
 x ≠ 2

 ( 2 x − 1) 2 
 4 x2 − 4 x + 1 
2
log 7 
÷+ 4 x 2 − 4 x + 1 = 2 x
÷+ 4 x + 1 = 6 x ⇔ log 7 
÷
2x


 2x 

⇔ log 7 ( 2 x − 1) + ( 2 x − 1) = log 7 2 x + 2 x
2

2

f ( t ) = log 7 t + t ⇔ f ' ( t ) =
Xét hàm số
Vậy hàm số đồng biến

f

( 1)
Phương trình

có dạng

( ( 2x − t ) )
2

( 1)

1
+1 > 0
t ln 7

với

t >0


3+ 5
x=

2
4
= f ( 2 x ) ⇔ ( 2 x − 1) = 2 x ⇔ 

3− 5
x =


4

9 − 5
( l)

4

x1 + 2 x2 =
⇒ a = 9;b = 5 ⇒ a + b = 9 + 5 = 14
9 + 5
( tm )

 4

Vậy
Cách 2: Bấm Casio.


x, y
Câu 15: [DS12.C2.9.D01.d] Cho
3x

2

là các số thực thỏa mãn điều kiện

1
1 + log 2 ( 1 − xy )  .
2

.log 2 ( x − y ) =

+ y2 −2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M = 2 ( x 3 + y 3 ) − 3xy.

A.

7

B.

13
2

17
2

C.
Hướng dẫn giải

D.

3

Chọn B.
3x

2

.log 2 ( x − y ) =

+ y2 −2

Ta có
⇔ 3x

2

+ 2 xy + y 2 − 2 + 2 xy

2
2
1
2
1 + log 2 ( 1 − xy )  ⇔ 3x + y − 2.log 2 ( x − y ) = log 2 ( 2 − 2 xy )
2

.log 2 ( x − y ) = log 2 ( 2 − 2 xy ) ⇔ 3( x − y ) .log 2 ( x − y ) = 32− 2 xy.log 2 ( 2 − 2 xy )
2

2

f ( t ) = 3 .log 2 t

Xét hàm số

trên khoảng

f ( t)

Suy ra

, có

( 0; +∞ )
là hàm số đồng biến trên

mà

3t
> 0; ∀t > 0
t.ln 2

2
f ( x − y )  = f ( 2 − 2 xy ) ⇒ x 2 + y 2 = 2



2
M = 2 ( x + y ) − 3 xy = 2 ( x + y ) ( x + y ) − 3xy  − 3 xy


3

Khi đó

f ′ ( t ) = 3t ln 3.log 2 t +

( 0; +∞ )

t

3

2
⇔ 2 M = 2 ( x + y )  2 ( x + y ) − 3.2 xy  − 3.2 xy


2
2
2
2 ( x + y ) 2 ( x + y ) − 3 ( x + y ) + 6 − 3 ( x + y ) + 6


2
2
= 2 ( x + y ) 6 − ( x + y )  − 3 ( x + y ) + 6 = −2a 3 − 3a 2 + 12a + 6,



f ( a ) = −2a3 − 3a 2 + 12a + 6

a = x + y ∈ ( 0; 4 )

với
max f ( a ) = 13.

( 0; 4 )

( 0;4 )

Xét hàm số

trên
, suy ra
13
2
M
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
là
.
a , b, c
Câu 16: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực
thỏa mãn
a+b+c
log 2 2
= a ( a − 4) + b ( b − 4) + c ( c − 4)
a + b2 + c2 + 2
. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a + 2b + 3c
.
3 10
A.

.

B.

12 + 2 42

12 + 2 35

.
C.
Hướng dẫn giải

6 10
.

D.

.


Chọn C.
Từ điều kiện ta có:
log 2 ( a + b + c ) − log 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + 2 ) = a 2 + b 2 + c 2 − 4 ( a + b + c )
⇔ log 2 ( 4 ( a + b + c ) ) + 4 ( a + b + c ) = log 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + 2 ) + a 2 + b 2 + c 2 + 2
⇔ 4 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 2 ) + ( c − 2 ) = 10
2

2

2

Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
P = ( a − 2 ) + 2 ( b − 2 ) + 3 ( c − 2 ) + 12

≤

(1

2

+ 2 2 + 32 )

Dấu “=” đạt tại

( ( a − 2)

2

+ ( b − 2) + ( c − 2)
2

2

) + 12 = 12 + 2

35.

a − 2 b − 2 c − 2
=
=

2
3
 1

a + 2b + 3c = 12 + 2 5


.
a , b, c

Câu 17: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực
thỏa mãn
a+b+c
log 2 2
= a ( a − 4) + b ( b − 4) + c ( c − 4)
a + b2 + c2 + 2
. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a + 2b + 3c
P=
a+b+c
.

A.

12 + 30
3

.

B.

3 + 30
3

.

8 + 30
3

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

6 + 30
3

Chọn D.
Từ điều kiện ta có:
log 2 ( a + b + c ) − log 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + 2 ) = a 2 + b 2 + c 2 − 4 ( a + b + c )
⇔ log 2 ( 4 ( a + b + c ) ) + 4 ( a + b + c ) = log 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + 2 ) + a 2 + b 2 + c 2 + 2
⇔ 4 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 2 ) + ( c − 2 ) = 10
2

2

2

.
Và biến đổi:
P ( a + b + c ) = a + 2b + 3c ⇔ ( P − 1) a + ( P − 2 ) b + ( P − 2 ) c = 0
⇔ ( P − 1) ( a − 2 ) + ( P − 2 ) ( b − 2 ) + ( P − 3) ( c − 2 ) = −6 P + 12

.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz ta có:

( −6 P + 12 )

2

≤

( ( P − 1)

2

+ ( P − 2 ) + ( P − 3)
2

2

) ( ( a − 2)

2

+ ( b − 2) + ( c − 2)
2

2

)

.


(

⇔ ( −6 P + 12 ) ≤ 10 ( P − 1) + ( P − 2 ) + ( P − 3 )
2

2

2

2

) ⇔ 6 − 3 30 ≤ P ≤ 6 + 3 30

x y

.

Câu 18: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương , thỏa mãn
x+ y
log 3 2
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy
x + y 2 + xy + 2
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x + 2y + 3
P=
x + 2y + 6
.

A.

69 + 249
94

.

B.

43 + 3 249
94

37 − 249
21

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.

43 + 3 249
94

Chọn A.
Từ giả thiết ta có biến đổi:
log 3 ( x + y ) − log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) = x 2 + y 2 + xy − 3 ( x + y )

⇔ log

3

( 3( x + y ) ) + 3( x + y )

= log

3

(x

2

+ y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy + 2
2

y  3y2
y  3y


⇔
x
+
+
− 3  x + ÷−
+2=0
2
2


÷
⇔ 3 ( x + y ) = x + y + xy + 2
2
4
2 2


2

2
y 3  3
3

⇔  x + − ÷ + 
y−
÷ =1
2 2  2
2 ÷


⇔ a 2 + b2 = 1

a = x+
Trong đó
Khi đó:

y 3 b = 2b + 1
−
3

2 2
,
.

b
2b


⇔ Pa +
+ 8 ÷= a +
+6
P ( x + y + 6) = x + 2 y + 3
3
3


⇔ ( P − 1) a +

1
( P − 3) + 8P − 6 = 0
3

Điều kiện để đường trịn và đường thẳng có điểm chung là
8P − 6
⇔
≤1
69 − 249
69 + 249
1
2

2
⇔
≤P≤
( P − 1) + ( P − 3)
d ( O, d ) ≤ R
3
94
94
x y

.

Câu 19: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương , thỏa mãn
x+ y
3
3
= 8 ( 1 − xy ) − 2 xy + 3
( x + y ) + x + y + log 2
1 − xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x + 3y
.

.


A.

1 + 15
2

.

B.

3 + 15
2

.

15 − 2
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

2 15 + 3
6

.

Chọn C.
Từ điều kiện bài tốn ta có:

( x + y)

3

+ x + y + log 2 ( x + y ) = ( 2 ( 1 − xy ) ) + 2 ( 1 − xy ) + log 2 ( 2 ( 1 − xy ) )

3

⇔ f ( x + y ) = f ( 2 ( 1 − xy ) ) ⇔ x + y = 2 ( 1 − xy ) ⇔ y ( 2 x + 1) = 2 − x > 0 ⇒ 0 < x < 2 y

2− x
y=
2x +1

Trong đó

Khi đó

.
f ( t ) = t 3 + t + log 2 t

( 0; +∞ )

đồng biến trên khoảng
.
 15 − 1 
3( 2 − x)
=
f

÷
P = f ( x) = x +
≥ min f ( x )
÷
( 0;2 )
 2  = 15 − 2

2x + 1

;


DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÁC
VẬN DỤNG

x y

Câu 20: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực dương , thỏa mãn
y
log 2
= − y2 + 3 y + x − 3 1+ x
P = x − 100 y
2 1+ x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A.

−2499

.

−2501

B.

Chọn B.

−2500
C.
.
Hướng dẫn giải

.

P = x − 100 x + 1 =
Khi đó

.

(

)

.
2

x + 1 − 50 − 2501 ≥ −2501
.

x = 2499 y = 50
Dấu bằng đạt tại
,
.

log 2

a, b

Câu 21: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực dương
P = a + 2b
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

A.

−2490

log 2 y + y 2 − 3 y = log 2 1 + x + ( 1 + x ) − 3 1 + x y = 1 + x

Từ điều kiện bài tốn ta có:

2 10 − 3
2

D.

.

B.

2 10 − 1
2

thỏa mãn

2 10 − 5
2

.
C.
Hướng dẫn giải

1 − ab
= 2ab + a + b − 3
a+b

.

D.

3 10 − 7
2

. Tìm

.

Chọn A.
Theo giả thiết, ta có
2 ( 1 − ab )
log 2
= 2 ( ab − 1) + a + b ⇔ log 2 ( 2 ( 1 − ab ) ) + 2 ( 1 − ab ) = log 2 ( a + b ) + ( a + b )
a+b
⇔ 2 ( 1 − ab ) = a + b ⇔ 2 − a = b ( 2a + 1) ⇔ b =
P = f ( a) = a +
Do đó

2−a

> 0⇒ 0< a< 2
2a + 1

 10 − 1  2 10 − 3
2( 2 − a)
≥ min f ( a ) = f 
÷
÷=
( 0;2 )
2a + 1
2
 2 
x, y

Câu 22: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực

thay đổi thoả mãn

.

.
1
xy = 4, x ≥ , y ≥ 1
2

M,m

. Gọi
2
P = log x + ( log 2 y − 1)

2
2

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = M + 2m
.

. Tính


A.

S =6

.

B.

S = 11

S=
.

C.
Hướng dẫn giải

21
2

S=

.

D.

11
2

.

Chọn A.
y=
Ta có

4
1
≥ 1 ⇒ x ≤ 4 ⇒ ≤ x ≤ 4 ⇒ t ∈ [ −1; 2 ]
x
2

.

2

Khi đó

4 
2
2

P = log 22 x +  log 2 − 1÷ = log 22 x + ( 1 − log 2 x ) ⇒ f ( t ) = t 2 + ( 1 − t )

x 


1 1
M = max f ( t ) = f ( −1) = f ( 2 ) = 5, m = min f ( t ) = f  ÷ =
[ −1;2]
[ −1;2]
2 2
1
S = 5 + 2. = 6
2

Do đó
VẬN DỤNG CAO:

.

.

.

x, y

Câu 23: [DS12.C2.9.D04.d] Cho hai số thực

ln ( x + x ) − 2
2

x+ y

= ln ( y + x ) − 2

thay đổi thỏa mãn

x2 + x

P = y 2 − 4 xy + 8 x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

−4

.

B.

0

5

.

C. .
Hướng dẫn giải

.
D.

−3

.

Chọn A.

y = x2
và
Từ điều kiện bài tốn ta có
P = f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 8 x ≥ min ( 0;+∞ ) f ( x ) = f 1 + 3 = −4

(

)

.
log 2 x2 + xy +3 y 2 ( 11x + 20 y − 40 ) = 1

x, y
Câu 24: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực dương

thỏa mãn

a, b
Gọi

A.

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

a + b = 10

.

B.

a + b = 2 14

.
y
S=
x

a+b =

.
C.
Hướng dẫn giải

11
6

. Tính

a +b

a+b =
.

D.

Chọn C.
log 2 x2 + xy +3 y2 ( 11x + 20 y − 40 ) = 1 ⇔ 2 x 2 + xy + 3 y 2 − 11x − 20 y + 40 = 0
Ta có

y = Sx

.

2 x + Sx + 3S x − 11x − 20 Sx + 40 = 0
Khi đó
và
⇔ ( 4S 2 + 2 ) x 2 − ( 20 S + 11) x + 40 = 0
.
2

2

2 2

.
7
2

.


∆ x = ( 20 S + 11) − 160 ( 4 S 2 + 2 ) ≥ 0 ⇔ 240 S 2 − 440 S + 199 ≤ 0
2

.

440 11
=
240 6

a+b =
Do đó

.

x > 1, y > 1

x, y
Câu 25: [DS12.C2.9.D02.d] Xét các số thực

thỏa
F = x2 + 6 y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.

min F = 27

.

B.

1
+ log xy 81 = 4 − log 3 y
log x 3
và

.

.

min F = 12 3 9

min F = 9

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.

min F = 6 3 12

.

Chọn A.
1
+ log xy 81 = 4 − log 3 y
log x 3
Ta có
1
⇔ log 3 x +
= 4 − log 3 y
log81 xy

⇔ log 3 x + log 3 y +

4
−4= 0
log 3 x + log3 y

⇔ ( log 3 x + log 3 y ) − 4 ( log 3 x + log 3 y ) + 4 = 0
2

⇔ log 3 x + log 3 y = 2 ⇔ log 3 xy = 2 ⇔ xy = 9 ⇔ y =
F = x2 +
Suy ra

54
x

9
x

.

3
54 2 ( x − 27 )
F ′ = 2x − 2 =
=0⇔ x=3
x
x2

Ta có
Bảng biến thiên

x

.

1

+∞

3
−

F′

0

+
+∞

27

F
Vậy

min F = 27

.

xyz = 10

x, y , z
Câu 26: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực dương

bất kì thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ

P = log x + 1 + log y + 4 + log z + 4
2

2

2

nhất của biểu thức

.

29
A.

23
.

B.

.

26
C.

.
Hướng dẫn giải

27
D.

.