Tổ-8-Đ11-HSG SỞ GD _ ĐT CẦN THƠ

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

SỞ GD&ĐT CẦN THƠ

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 02 trang

Câu 1.

Cho hàm số

y = x 4 − 8mx 2 + 16m 2 − m + 1

H ( 0;1)

. Tìm tất cả các giá trị của
ABC
trực tâm của tam giác
.
Câu 2.

m

( với

để đồ thị

m

là tham số thực ) có đồ thị

(C )

có ba điểm cực trị

A, B, C

(C )

và điểm

sao cho

H

là

50
Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất
hành khách
k
trên mỗi chuyến đi. Theo tính tốn của nhà xe, nếu chở được
khách thì giá tiền mà mỗi
2

3k 

180 − ÷
2 


Câu 3.

khách phải trả khi đi tuyến đường này là
trăm đồng. Tính số hành khách trên mỗi
chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó.
Giải các phương trình sau
log 3 x 2 − x + 1 + log 1 ( 1 − 2 x ) + 2 x = 1 − x 2 − x + 1
3

a)

cos 2 x − 3 cos x + 6sin x.cos x = ( sin x + cos x ) − sin 2 x − sin x
2

b)

.

Câu 4.
a) Một chiếc xe ô tô đang chạy với vận tốc

Câu 5.

v0 ( m/s )

thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm
v ( t ) = −4t + v0 ( m/s )
t
đó, ơ tơ chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó (tính bằng
v0 ( m/s )
giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái đạp phanh. Tính vận tốc
, biết rằng từ lúc
đạp phanh đến lúc dừng hẳn ơ tơ cịn chạy tiếp một qng đường dài 8 mét.
b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng
Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu
nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ.
Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.
·
ABCD. A′B′C ′D′
ABCD
= 120°
a BAD
Cho hình lăng trụ
có đáy
là hình thoi cạnh ,
. Biết các
đường thẳng

A′A, A′B, A′C

cùng tạo với mặt phẳng
BB′, CC ′

lần lượt là trung điểm của
.
ABCD. A′B′C ′D′
a) Tính thể tích khối lăng trụ
.
b) Tính khoảng cách giữa

AD

và mặt phẳng

( ABCD )

một góc bằng

60°

. Gọi

M, N

( D′MN )

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 1 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 6.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

ME

, cho tam giác

ABC

nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn
BC
I
E M
AB
F
D
tâm . Gọi ,
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
; các điểm
và tương
BC
A
B
AI
ứng là hình chiếu vng góc của và trên các đường thẳng
và
.

a) Chứng minh rằng

Câu 7.

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

là đường trung trục của đoạn thẳng

DF

.

9 8
D ;− ÷
M (2; −1)
5 5
ABC
b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
, biết rằng
,
và đường thẳng
x + y −5 = 0
AC
có phương trình
.
Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho sản phẩm mới. Theo yêu cầu
của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng hoặc có
1 dm3

Câu 8.

dạng một hình trụ. Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng
. Hãy giúp lãnh đạo nhà máy
thiết kế hộp sữa sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất.
Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của
một trường trung học phổ thông. Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học
sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh. Vì đều là học sinh giỏi tốn nên các
học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau:
- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai cịn nhà em ở Cờ Đỏ”.
- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn ở Ơ Mơn”.
- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”.
- Phú: “Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”.
- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt”.
Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên.
Biết rằng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phần đúng và một phần sai đồng thời
mỗi địa phương là địa chỉ hộ khẩu của đúng một học sinh.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 2 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

Lời giải
Câu 1.

y = x 4 − 8mx 2 + 16m 2 − m + 1

Cho hàm số

H ( 0;1)

. Tìm tất cả các giá trị của
ABC
trực tâm của tam giác
.

m

m

( với

là tham số thực ) có đồ thị

(C )

để đồ thị

có ba điểm cực trị

A, B, C

(C )

và điểm

sao cho

H

là

Lời giải
Tác giả:Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó.
Tập xác định:

D=¡

y ' = 4 x 3 − 16mx = 4 x( x 2 − 4m)

Ta có:

x = 0
y ' = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − 4m) = 0 ⇔  2
 x = 4m

(C )

Đồ thị

có ba điểm cực trị khi và chỉ khi

m > 0 (1)

(

) (

)

A ( 0;16m2 − m + 1) B 2 m ;1− m C −2 m ;1 − m
Giả sử các điểm cực trị là
,
,
.
uuur
uuur
AH = 0; m − 16m 2 , BC = −4 m ; 0
Ta có:
uuur
uuur
CH = 2 m ; m , AB = 2 m ; − 16m 2 .

(

(

Do

H ( 0;1)

(

)

)

(

)

)

là trực tâm của tam giác

ABC

nên:


m = 0
m = 0

1

⇔ 2 1 ⇔ m = −
uuur uuur
m =

2
2
 AH .BC = 0
0. −4 m + ( m − 16m ) .0 = 0

4

1

⇔
r
 uuur uuu
m =
3
CH . AB = 0

2
4m − 16m = 0

(

Kết hợp với điều kiện

Vậy giá trị
Câu 2.

m

)

(1)

m=

ta có:
m=

cần tìm là:

1
2

1
2

.

.

50
Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất
hành khách
k
trên mỗi chuyến đi. Theo tính tốn của nhà xe, nếu chở được
khách thì giá tiền mà mỗi

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 3 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019
2

3k 

180 − ÷
2 



khách phải trả khi đi tuyến đường này là
trăm đồng. Tính số hành khách trên mỗi
chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn
2

Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là:

3 

T = k 180 − k ÷ ;0 ≤ k ≤ 50
2 


.

2

Gọi

3 

T(k) = k 180 − k ÷
2 


.

2

Bài tốn trở thành: Tìm

Ta có:

k

để

3 

T(k) = k 180 − k ÷
2 


đạt GTLN, với

0 ≤ k ≤ 50

.

3 
9 

T′(k) = 180 − k ÷180 − k ÷
2 
2 


 k = 120 ∉ (0;50)
T′(k) = 0 ⇔ 
 k = 40

.

Bảng biến thiên:

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở
trăm đồng ( tức là
Câu 3.

576.000.000

40

hành khách và số tiền thu được là

576000

đồng)

Giải các phương trình sau
log 3 x 2 − x + 1 + log 1 ( 1 − 2 x ) + 2 x = 1 − x 2 − x + 1
3

a)

cos 2 x − 3 cos x + 6sin x.cos x = ( sin x + cos x ) − sin 2 x − sin x
2

b)

.

Lời giải
Tác giả: Nhóm 2 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc
x<
a)Điều kiện

1
2

log 3 x 2 − x + 1 + log 1 ( 1 − 2 x ) + 2 x = 1 − x 2 − x + 1
3

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 4 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

log 3 x 2 − x + 1 + x 2 − x + 1 = log 3 ( 1 − 2 x ) + ( 1 − 2 x )
Xét hàm số

f ( t ) = log 3 t + t , t > 0

f '( t ) =

Ta có

1
+ 1 > 0, ∀t > 0
t ln 3

Suy ra hàm số đồng biến trên
f
Do đó phương trình

(

( 0; +∞ )

)

x2 − x + 1 = f ( 1 − 2 x ) ⇔ x2 − x + 1 = 1 − 2 x

1

x ≤
1 − 2 x ≥ 0
⇔
2
⇔ 2
2
2

 x − x + 1 = ( 1 − 2 x )
x − x = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm

x=0

.

cos 2 x − 3 cos x + 6sin x.cos x = ( sin x + cos x ) − sin 2 x − sin x
2

b)

⇔ cos 2 x − 3 cos x + 3sin 2 x = 1 + sin 2 x − sin 2 x − sin x
⇔ 2sin 2 x = 3 cos x − sin x

⇔ sin 2 x =

3
1
cos x − sin x
2
2

π
π k 2π


2
x
=

−
x
+
k
2
π
x
=
+


3
9
3
⇔
⇔
,k Â


2




sin 2 x = sin x ữ
2 x = π − + x + k 2π
x=
+ k 2π



3
3
3


Vậy phương trình đã cho có nghiệm

π k 2π
2π
x= +
;x =
+ k 2π
9
3
3

( k ∈¢)

.
.

Câu 4.
a) Một chiếc xe ơ tơ đang chạy với vận tốc

v0 ( m/s )

thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm
v ( t ) = −4t + v0 ( m/s )
t
đó, ơ tơ chuyển động chậm dần đều với vận tốc

, trong đó (tính bằng
v0 ( m/s )
giây) là khoảng thời gian kể từ lúc người lái đạp phanh. Tính vận tốc
, biết rằng từ lúc
đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô còn chạy tiếp một quãng đường dài 8 mét.
b) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng
Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu
nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ.
Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.
Lời giải
Tác giả: Nhóm 2 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 5 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

a) Với vận tốc chuyển động chậm dần đều

v ( t ) = −4t + v0
v0
4
0

s=∫

, thì sau thời gian

ơ tơ mới dừng

v0
v0 2
( −4t + v0 ) dt = ( −2t + v0t ) | 4 = ( m ) .
8
0

hẳn. Khi đó ô tô đã đi được quãng đường
Theo yêu cầu bài tốn, ơ tơ chạy thêm được qng đường
v0 = 8
v0 2
=8⇔ 
8
v0 = −8
.

8 ( m)

, ta có phương trình :

Vì ban đầu vật chuyển động có vận tốc, sau đó mới hãm phanh nên
b) Gọi

v0
4

v0 = 8 ( m/s ) .

A, P, K

lần lượt là tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp và không học ngoại
n ( A ∪ P ∪ K ) = 60, n ( A ) = 40, n ( P ) = 30, n ( A ∩ P ) = 20
ngữ. Khi đó
.
Ta có

n ( A ∪ P ∪ K ) = n ( A) + n ( B ) + n ( K ) − n ( A ∩ P ) − n ( A ∩ K ) − n ( P ∩ K ) + n ( A ∩ P ∩ K )

Nên
Gọi

60 = 40 + 30 + n ( K ) − 20 − 0 − 0 + 0 ⇔ n ( K ) = 10
X

Ta có

là biến cố “2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ”.

n ( Ω ) = C602 , n ( X ) = C102
P( X ) =

Do đó
Câu 5.

.

n ( X ) C102
3

= 2 =
n ( Ω ) C6 118

Cho hình lăng trụ
đường thẳng

.

.

ABCD. A′B′C ′D′

ABCD

có đáy

·
a BAD
= 120°
là hình thoi cạnh ,
. Biết các

A′A, A′B, A′C

cùng tạo với mặt phẳng
BB′, CC ′
lần lượt là trung điểm của
.
ABCD. A′B′C ′D′
a) Tính thể tích khối lăng trụ

.
b) Tính khoảng cách giữa

AD

và mặt phẳng

( ABCD )

một góc bằng

60°

. Gọi

M, N

( D′MN )

Lời giải
Tác giả: Nhóm 3 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 6 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

a) Tính thể tích khối lăng trụ
I
Gọi

là trung điểm của

ABCD. A′B′C ′D′

.

BC.
A′

H

( ABCD )

Gọi
là hình chiếu vng góc của điểm
trên mặt phẳng
vì các đường thẳng
ABCD
(
)
A′A, A′B, A′C
60°
cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
nên
·HAA ' = HBA

·
·
ABC
' = HCA ' = 60°
. Tam giác
đều
ABC
A′. ABC
Do tam giác
tam giác đều nên
là hình chóp tam giác đều.
a 3
a 3
a2 3
·
AI =
⇒ AH =
⇒ A′H = AH tan ·A′AH = a S ABCD = AB. AD.sin BAD
=
2
3
2
Ta có
,
a3 3
V = A′H .S ABCD =
ABCD. A′B′C ′D′
2
Thể tích khối lăng trụ
là

.
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng

AD

và mặt phẳng

( D¢MN )

Cách 1.

Do

MN / / A¢D¢

nên

A¢

thuộc mặt phẳng

( D¢MN )

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 7 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

B, C
E = A¢M ầ AB F = D ÂN ầ DC ị EF / / BC / / AD
,
và
lần lượt là trung điểm của các
3
AF = HF
AE , DF
A, H , F
2
đoạn thẳng
. Suy ra
thẳng hàng và
.

Gọi

Ta có
Do

3
AD / / ( D¢MN ) Þ d ( AD,( D¢MN ) ) = d ( A, ( A¢EF ) ) = d ( H , ( AÂEF ) )
2

.

AH ^ BC ị AH ^ EF Þ EF ^ ( A¢HF ) Þ ( A¢EF ) ^ ( AÂHF )

Trong tam giỏc

AÂHF

, k

HK ^ AÂF ị HK ^ ( AÂEF ) ị d ( H , ( A¢EF ) ) = HK

A¢H = a, HF = 2 HA =

Ta có

Suy ra

2a 3 1
1
1
1
3
7
2a 7
,
=
+
= 2 + 2 = 2 ị HK =
2
2
2
3
HK
HAÂ HF

a
4a
4a
7

3
3a 7
d ( AD,( D ¢MN ) ) = HK =
2
7

.

.

Cách 2.

Chọn hệ trục tọa độ

Oxyz

sao cho

ỉa
ư ỉa
ư
I º O ( 0;0;0) , B ç
- ;0;0÷
,C ç
;0;0÷

÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è 2
ø è2
ø

ỉa 3 ÷
ư ỉa 3 ư
ỉa 3 ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
Â
Hỗ
0;
;0
,
A
0;
;0
,

A
0;
; aữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
6
2
6
ố
ứ ố
ứ ố
ứ

Do

uuur uuur uuur
AAÂ= BBÂ= CC Â

M,N

ổa a 3 ữ
ử ổa a 3 ử
ổa 3 ử
uuu
r uuuur
ữ
ữ
ữ
ữ
Âỗ
ÂD Âị D Âỗ
BÂỗ
;
;
a
,
C
;
;
a
BC
=
A
a;
; aữ
ỗ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
2
3
2
3
6
ố
ứ ố
ứ
ố
ứ
nờn
;

ln lt l trung im ca

BBÂ, CC Â

ổ a a 3 aử
ổa a 3 a ữ
ử
ữ
ỗ
ữ
ữ
Mỗ
;
;
,
N
;
;
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ 2
ỗ2
ữ ố
ỗ
ỗ
6 2ứ
6 2ữ
ố
ứ

nờn

uuuu
r ổ a a 3 aữ
ử
ữ
uuur
DÂN = ç
;
;
ç
÷
ç
ç
3
2÷
MN = ( a;0;0)
è 2
ø
Ta có
,

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 8 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

r ỉ a2
ư a2

uuur uuuu
a2 3 ữ
ộMN
ự= ỗ
ữ
Â
,
D
N
0;
;
0;3;- 2 3
ỗ
ữ=
ờ
ỳ
ở
ỷ ỗ
ỗ
3 ữ
ố 2
ứ 6

(

)

Suy ra
Mặt phẳng

( D¢MN )

r
n = 0;3; - 2 3
có một véc tơ pháp tuyến là

( D¢MN ) 3 y - 2 3 z +
Phương trình mặt phẳng
:
d ( AD, ( D ¢MN ) ) = d ( A, ( D ¢MN ) ) =

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

)

3a 3
=0
2

3a 3 3a 3
+
2
2
9 +12

Do đó
Câu 6.

(

3a 7
7

.

ABC

nhọn, khơng cân, nội tiếp đường tròn
BC
I
E M
AB
F
D
tâm . Gọi ,
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
; các điểm
và tương
BC
A
B
AI
ứng là hình chiếu vng góc của và trên các đường thẳng
và
.
a) Chứng minh rằng

ME

, cho tam giác

=

là đường trung trục của đoạn thẳng

DF

.

9 8
D ;− ÷
M (2; −1)
ABC
5 5
b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
, biết rằng
,
và đường thẳng
x + y −5 = 0
AC
có phương trình
.
Lời giải
Tác giả: Nhóm 3 tổ 8 nhóm strong team vd- vdc

a)Ta có

·
·
BFA
= BDA
= 90o

Mặt khác
.

, suy ra tứ giác

·
·
·
IEB
= IDB
= IMB
= 90o

ABFD

nội tiếp đường tròn tâm

, suy ra ngũ giác

BEIDM

Địa chỉ truy cập  />
E

, đường kính

AB

nội tiếp đường trịn đường kính

.

BI

 Trang 9 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

·
·
·
DEM
= DBM
= DBF

¼
DM

Từ đó ta có
( cùng chắn cung
).

1
·
·
DBF
= DEF
2
Mà góc
(số đo góc ở tâm bằng nửa cung bị chắn).
1·
·
·
·
DEM
= DBM
= DBF
= DEF
·
2
DEF
EM
Suy ra
, suy ra
là tia phân giác của
.
1
DE = FE = AB
2
E
AB
Mà

( do cung nằm trên đường trịn tâm , đường kính
).
ME
FD
Suy ra
là đường trung trực của cạnh
.
9 8
D ;− ÷
M (2; −1)
5 5
ABC
AC
b)Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
, biết rằng
,
và đường thẳng
x + y −5 = 0
có phương trình
.
ME P AC ⇒
ME : x + y − 1 = 0
Ta có
phương trình đường thẳng
.

Gọi

H

là hình chiếu vng góc của

D

trên đường thẳng

ME

suy ra

 11 −6 
H ; ÷
5 5 

.

 13 4 
F  ;− ÷
5
5
D
F
ME
H
DF
Vì
và
đối xứng qua
nên
là trung điểm của

suy ra
.

Đường thẳng
Ta có

Vậy:
Câu 7.

đi qua

M (2; −1)

C = AC ∩ BC ⇒ C (5;0)

Đường thẳng
3x + y − 7 = 0

Ta có

BC

AF

đi qua điểm

và

. Mà

M

 13 4 
F  ;− ÷
5
5

nên có phương trình:

là trung điểm của

 13 4 
F  ;− ÷
5
5

BC

và vng góc với

suy ra

BC

x − 3y − 5 = 0

B( −1; −2)

.

.

nên có phương trình:

.

A = AF ∩ AC ⇒ A(1; 4)

.

A(1; 4) B( −1; −2) C (5; 0)
,
,
.

Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho sản phẩm mới. Theo yêu cầu
của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng hoặc có
dạng một hình trụ. Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng
thiết kế hộp sữa sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất.
Lời giải

1 dm3

. Hãy giúp lãnh đạo nhà máy

Tác giả : Nhóm 4 tổ 8 nhóm strong team tốn vd-vdc
Vật liệu làm bao bì ít nhất khi và chỉ khi diện tích tồn phần của hộp đạt giá trị nhỏ nhất.
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 10 

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng: Gọi độ dài cạnh đáy là
h ( dm ) x, h > 0
chiều cao
,
.

V = x2h = 1 ⇔ h =

Khi đó thể tích khối hộp:

1
x2

Áp dụng BĐT Cơ-si cho 3 số dương:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

,

.

Stp = 2 xh + 2 x 2 =
Diện tích tồn phần của hộp là:

x ( dm )

4
+ 2x2
x

.

4
2 2
+ 2 x 2 = + + 2 x 2 ≥ 3.2 = 6
x
x x

2
= 2 x 2 ⇔ x = 1 ( dm )
x

Stp

Vậy trong trường hợp này
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1 dm
lập phương cạnh bằng
.

.
6 dm 2

Nếu hộp sữa có dạng hình trụ với đáy là đường trịn bán kính
h>0 r >0

,
.

Địa chỉ truy cập  />
.

, đạt được khi khối hộp là hình

r ( dm )

, chiều cao

h ( dm )

với

 Trang 11 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT CẦN THƠ – TỔ 8 – 2018-2019

V = π r 2h = 1 ⇔ h =

Khi đó thể tích của khối trụ là:

1
π r2

.

Suy ra diện tích tồn phần của hộp bằng:
2
1 1
2
2
Stp = 2π rh + 2π r 2 = r + 2π r = r + r + 2π r ≥ 3 3 2π
Stp

Vậy trong trường hợp này
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
1
= 2π r 2 ⇔ r = 3
( dm )
r
2π
r
kính thỏa mãn:
.
Vì

.
3 3 2π dm 2

khi đáy là hình trịn có bán

3 3 2π < 6

nên lãnh đạo nhà máy nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy là:
1
4
r= 3
dm
h = 3 dm
2π
π
và chiều cao
.

Câu 8.

Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của
một trường trung học phổ thông. Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học
sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh. Vì đều là học sinh giỏi tốn nên các
học sinh khơng trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau:
- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ”.
- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ơ Mơn”.
- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”.
- Phú: “Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”.
- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt”.
Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên.
Biết rằng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phần đúng và một phần sai đồng thời
mỗi địa phương là địa chỉ hộ khẩu của đúng một học sinh.
Lời giải.
Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team tốn vd – vdc.
- Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai cịn nhà em ở Cờ Đỏ”. (1)
- Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ cịn nhà bạn Tuấn ở Ơ Mơn”.

(2)

- Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”.

(3)

- Phú: “Nhà em cũng ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”.

(4)

- Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều cịn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt”. (5)
Nếu ý đầu của (3) là đúng thì nhà Tuấn ở Cờ Đỏ. Do đó, cả hai ý của (2) là sai.
Vậy ý đầu của (3) là sai. Do đó ý sau của (3) là đúng hay nhà bạn Phú ở Thốt Nốt.
Do đó ý đầu của (1) là sai và ý sau của (5) là sai hay ý sau của (1) là đúng và ý đầu của (5) là
đúng. Suy ra nhà bạn Tính ở Cờ Đỏ và nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều.
Vì nhà bạn Tính ở Cờ Đỏ nên ý đầu của (2) là sai hay ý sau của (2) là đúng. Suy ra nhà bạn
Tuấn ở Ô Mơn. Cịn lại nhà bạn Nghĩa ở Thới Lai.
Kết luận: Nhà bạn Phú ở Thốt Nốt, nhà bạn Tính ở Cờ Đỏ, nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều, nhà bạn
Tuấn ở Ơ Mơn, nhà bạn Nghĩa ở Thới Lai.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 12 