Tổ-16-Đ2-de-thi-hoc-sinh-gioi-cap-truong-toan-10-THPT-Dan-Phuong-nam-2018-2019

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT ĐAN PHƯỢNG
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT
ĐỀ BÀI
Câu I (6 điểm)
1. Cho parabol

( P ) : y = 2 x2 + 6 x − 1 . Tìm giá trị của

∆ : y = ( k + 6 ) x + 1 cắt parabol

( P)

MN

trung điểm của đoạn thẳng

k

x(

x 2 − 2 ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = 0
2

M,N

tại hai điểm phân biệt

d : y = −2 x +

nằm trên đường thẳng

2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn

để đường thẳng

m

sao cho

3
2.

là tham số):

x1 ,

có hai nghiệm

x2

thỏa mãn điều

x1 + x2 ≤ 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

kiện

P = x13 + x23 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + 8) .

Câu II (5 điểm)

( x + 1) ( x + 4 ) ≤ 5

1. Giải bất phương trình:

x; y > 0

P = x+ y .

2. Cho tam giác

BC , CA , AB

BC = a ; AC = b

ABC có

góc của tam giác này biết

lần

S=

S . Tính các

và diện tích bằng

1 2 2
(a +b ) .

4

ABC là

tam giác đều cạnh

lượt

lấy

các

a
2a
BN = ; CM = ; AP = x ( 0 < x < a )
. Tìm
3
3

AN

2018 2019
+
= 1.
Tìm giá
x
y

là những số thay đổi thỏa mãn

trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu IV (4 điểm)
1. Cho tam giác

).

 x 2 + y 2 − 2 y − 6 + 2 2 y + 3 = 0
( x, y ∈ ¡ )

( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 3) = 3 ( x 2 + y 2 ) + 2
.

2. Giải hệ phương trình

Câu III (2 điểm) Cho

x 2 + 5 x + 28 ( x ∈ ¡

vng góc với đường thẳng

a.

Trên các cạnh

N, M , P

điểm

x

theo

a

sao

để đường thẳng

PM .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

cho

Trang 1


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

Oxy

Câu V (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ

AB

CD . Biết diện tích hình thang bằng

và

A ( 1;1)

ABCD

cho hình thang

BC

và trung điểm cạnh

quát của đường thẳng
trên đường thẳng

14

với hai đáy là

(đơn vị diện tích), đỉnh

 1 
H  − ;0 ÷
 2  . Viết phương trình tổng

là

AB biết đỉnh
d :5 x − y + 1 = 0 .

D

D

có hồnh độ dương và

nằm

-----------------Hết-----------------

PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thực hiện lời giải, sưu tầm và phát triển bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC

( P ) : y = 2 x2 + 6 x − 1 . Tìm giá trị của

Câu I.1. Cho parabol

∆ : y = ( k + 6 ) x + 1 cắt parabol

( P)
MN

cho trung điểm của đoạn thẳng

k

để đường thẳng

M,N

tại hai điểm phân biệt

d : y = −2 x +

nằm trên đường thẳng

sao

3
2.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Dũng; Fb: Nguyễn Văn Dũng

( P)

Phương trình hồnh độ giao điểm của

và

2 x2 + 6 x − 1 = ( k + 6) x + 1
Phương trình (1) có

∆ = k 2 + 16 > 0, ∀ k ∈ ¡

ra với mọi giá trị của tham số
điểm phân biệt

x1, x2

Gọi

k

(∆)

là

⇔ 2 x 2 − kx − 2 = 0

(1).

nên nó ln có hai nghiệm phân biệt. Suy

thì đường thẳng

∆

ln cắt

MN

là

tại hai

M,N .
lần lượt là hai nghiệm của (1). Khi đó theo Vi-et ta có

M ( x1; ( k + 6 ) x1 + 1) ; N ( x2 ; ( k + 6 ) x2 + 1) , nên tọa độ trung điểm

Ta có

( P)

k
2.

x1 + x2 =

I

của

 k ( k + 6) k 
I ;
+ 1÷
4
4

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 2


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

I∈ d

Điểm

khi và chỉ khi

( k + 6 ) k + 1 = − k + 3 ⇔ k 2 + 8k − 2 = 0 ⇔ k = − 4 ± 3
4

k = −4± 3 2

Vậy
Câu

I.2.

Giả

2 2

sử

.

thì thỏa yêu cầu bài tốn.

phương

trình

bậc

hai

x 2 − 2 ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = 0
2

kiện

2

ẩn

x

m

(

x1 ,

có hai nghiệm

là

x2

tham

số):

thỏa mãn điều

x1 + x2 ≤ 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = x13 + x23 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + 8) .
Lời giải
Tác giả: Trần Như Tú; Fb: Tú Tran

Ta có

∆ ' = ( m − 1) + m3 − ( m + 1) = m3 − 4m .
2

2

x1 ,

Phương trình có 2 nghiệm

x2

thỏa mãn

x1 + x2 ≤ 4

m ( m 2 − 4 ) ≥ 0 m ∈ [ −2;0] ∪ [ 2; +∞ )
∆ ' ≥ 0
⇔
⇔
⇔
⇔ m ∈ [ −2;0] ∪ [ 2;3]
x
+
x

≤
4
m
≤
3
1 2

2 ( m − 1) ≤ 4
.
Ta có

P = x13 + x23 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + 8)
= ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 8x1 x2
3

= ( x1 + x2 ) + 8 x1 x2
3

3
2
=  2 ( m − 1)  + 8  − m3 + ( m + 1) 



= 8 ( m3 − 3m 2 + 3m − 1) − 8m3 + 8 ( m 2 + 2m + 1)
= −16m 2 + 40m
Xét

P = − 16m 2 + 40m

với

m∈ [ − 2;0] ∪ [ 2;3] .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

( x + 1) ( x + 4 ) ≤ 5

Câu II.1. Giải bất phương trình:

m = 2 , đạt giá trị nhỏ nhất bằng

16 khi

P đạt giá trị lớn nhất bằng
m = −2.
− 144 khi

Vậy

x 2 + 5 x + 28 ( x ∈ ¡

).

Lời giải

Tác giả: Mai Vĩnh Phú; Fb: Mai Vĩnh Phú

x 2 + 5 x + 28 > 0, ∀x ∈ ¡

Vì

nên tập xác định của bất phương trình đã cho là

¡

.

Ta có

( x + 1) ( x + 4 ) ≤ 5

x 2 + 5 x + 28

⇔ x 2 + 5 x + 4 ≤ 5 x 2 + 5 x + 28

⇔ x 2 + 5 x + 28 − 24 ≤ 5 x 2 + 5 x + 28 ( *)

a = x 2 + 5 x + 28, a > 0 ⇒ a 2 = x 2 + 5 x + 28 .

Đặt

( *)

Bất phương trình

trở thành

a 2 − 24 ≤ 5a ⇔ a 2 − 5a − 24 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ a ≤ 8

a> 0

kết hợp với

⇔ x 2 + 5 x + 28 ≤ 64

0 < a ≤ 8 ⇔ 0 < x 2 + 5 x + 28 ≤ 8

suy ra

⇔ −9≤ x≤ 4.

⇔ x 2 + 5 x − 36 ≤ 0

Vậy tập nghiệm bất phương trình là

S = [ − 9;4] .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1+ x − 1− x ≥ x .

Câu II.1.1. Giải bất phương trình

Lời giải
Tác giả: Mai Vĩnh Phú ; Fb: Mai Vĩnh Phú

Điều kiện:

− 1 ≤ x ≤ 1 . Khi đó

1+ x − 1− x ≥ x ⇔
Ta thấy
Với

x= 0

2x
2


≥ x ⇔ x
− 1÷ ≥ 0
1+ x + 1− x
 1 + x + 1 − x  . (1)

là nghiệm.

x ≠ 0 , ta có

( 1 + x + 1 − x )2 = 2 + 2 1 − x2 < 4 ⇒ 0 < 1 + x + 1 − x < 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 4

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

⇒

2
−1 > 0
. Do đó
1+ x + 1− x

(1) ⇔ x > 0 .

0 ≤ x ≤ 1.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là

(

x + 1 ≤ 2 x + 1− 2x + 3

Câu II.1.2. Giải bất phương trình

)

Tác giả: Mai Vĩnh Phú; Fb: Mai Vĩnh Phú
Lời giải

(

)

x + 1 ≤ 2 x + 1 − 2 x + 3 ⇔ x + 1 + 2 2 x + 3 ≤ 2 x + 2 ( 1)

t = x + 1 ⇒ t 2 − 1 = x, t ≥ 0

x ≥ − 1 , đặt

Điều kiện

2t 2 − t ≥ 0
( 1) ⇔ 2 2t + 1 ≤ 2t − 1 ⇔  4 3 2
4t − 4t − 7t − 4 ≥ 0
2

Thay

2

 t ≤ 0

1

⇔  t ≥
 2

( t − 2 ) 4t 3 + 4t 2 + t + 2 ≥ 0


(

)

t ≤ 0⇒ t = 0

Th1:

t≥

Th2:

( 2)

( 2)

suy ra

vơ nghiệm.

1
2 khi đó

( 2 ) ⇔ ( t − 2 ) ( 4t 3 + 4t 2 + t + 2 ) ≥ 0 ⇔ t ≥ 2 ⇔
S = [ 3; +∞ ) .

Vậy tập nghiệm

Câu II.2.

x +1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 3

Giải hệ phương trình

 x 2 + y 2 − 2 y − 6 + 2 2 y + 3 = 0
( x, y ∈ ¡

( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 3) = 3 ( x 2 + y 2 ) + 2

)

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hồi Phúc; Fb: Nguyen Phuc

Điều kiện:

y≥−

3
2

Phương trình thứ hai của hệ

⇔ x3 − y 3 + 3( x − y) = 3x 2 + 3 y 2 + 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

⇔ ( x − 1) = ( y + 1) ⇔ y = x − 2 .

3

3

y = x − 2 vào phương trình đầu của hệ ta được

Thay

x2 + ( x − 2) − 2 ( x − 2) − 6 + 2 2 ( x − 2) + 3 = 0
2

⇔ 2x2 − 6x + 2 + 2 2 x − 1 = 0

(*)

1
1
= 2x − 1− 2x − 1 +
4
4
1
 1
 x − 2 = 2x − 1 − 2
⇔
 x − 1 = − 2x − 1 + 1
 2
2
⇔ x2 − x +

 x = 2x − 1

⇔
1 − x = 2 x − 1

Giải

Giải

(a )
(b)

( a) :

x ≥ 0
(a) ⇔  2
⇔ x=1
x
−
2
x
+
1
=
0
.


(b ) :

x ≤ 1
(b) ⇔  2

⇔ x = 2− 2
x
−
4
x
+
2
=
0
.


Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

x = 1

 y = − 1 và

 x = 2 − 2

 y = − 2 .

Chú ý: Có thể giải phương trình (*) bằng cách khác như sau:

x2 − 3x + 1 = − 2 x − 1

(*) ⇔
⇒

(x

2

− 3x + 1) = 2 x − 1
2



x 4 − 6 x3 − 11x2 − 8x − 2 = 0



( x − 1)

2

( x − 4x + 2) = 0
2

x = 1

⇔ x = 2+ 2
x = 2− 2

Thử lại, ta thấy

x = 1; x = 2 − 2

thỏa mãn phương trình (*).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

( x 2 + y 2 ) ( x + y ) + 2 xy = x + y
 2
 x − 11x + 6 − 2 9 x − 5 = x + y .

Câu II.2.1. Giải hệ phương trình

Lời giải
Tác giả: Lê Văn Quý; Fb: Lê Văn Quý

 5
x ≥
 9
 x + y ≥ 0 .

Điều kiện:

(x

Phương trình đầu ⇔

2

+ y 2 ) ( x + y ) + 2 xy = x + y

⇔

 ( x + y ) 2 − 2 xy  ( x + y ) + 2 xy = x + y



⇔

( x + y ) − ( x + y ) − 2 xy ( x + y ) + 2 xy = 0

⇔

( x + y )  ( x + y )

⇔

( x + y − 1)  ( x + y )

3

2

− 1 − 2 xy ( x + y − 1) = 0

2

+ x + y − 2 xy  = 0



( x + y − 1) ( x 2 + y 2 + x + y ) = 0 .

⇔

y = 1− x

Từ đó tìm được

y = 1− x

Thay

x + y ≥ 0 và

(do

vào phương trình thứ 2 của hệ ta được:

⇔

x2 − 2 x +1 = 9 x − 5 + 2 9 x − 5 + 1

⇔

( x − 1)

2

Câu II.2.2. Giải hệ phương trình

=

(

)

2

x=

9x − 5 + 1 ⇔

x≥

5
9)

x 2 − 11x + 5 − 2 9 x − 5 = 0

13 + 133
− 11 − 133
⇒ y=
.
2
2

7 x3 − 3( y + 4) x 2 + 3(2 − y 2 ) x = y 3 + 1


2
2 y + 4 = 9 x − x − 4
.
Lời giải
Tác giả: Lê Văn Quý; Fb: Lê Văn Quý

Điều kiện

y ≥ 4.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

7 x3 − 3( y + 4) x 2 + 3(2 − y 2 ) x = y 3 + 1

Phương trình đầu của hệ ⇔
⇔

x3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 = 8 x3 − 12 x 2 + 6 x − 1

⇔

( x + y )3 = (2 x − 1)3

⇔

x + y = 2x − 1 ⇔ y = x − 1 .
y = x − 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Thay

(

⇔ 1+ 3 + x

)

x; y > 0

Câu III. Cho

2

2 x + 3 = 9x2 − x − 4

x = 1 → y = 0
 x + 3 + 1 = 3x
= 9x ⇔ 
⇔  −5 − 97
−23 − 97
→y=
 x + 3 + 1 = −3 x  x =
.
18
18


2

2018 2019
+
= 1.
Tìm giá trị nhỏ
x
y

là những số thay đổi thỏa mãn

P = x+ y.

nhất của biểu thức

Lời giải
Tác giả: Đồn Cơng Hồng; Fb: Đồn Cơng Hồng
Tác giả: Đào Thị Thái Hà; Fb:Thái Hà Đào
Cách 1

 2018 2019 
P = ( x + y) 
+
÷
y =
 x

+Ta có

+Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương

2018 +

2018 y 2019 x
+
+ 2019
.
x
y

2018 y 2019 x
;
x
y ta được

2018 y 2019 x
+
≥ 2 2018.2019
.
x
y

Do đó

P≥

(

)

2

2018 + 2019 , dấu bằng xảy ra khi


 x > 0; y > 0

 2018 2019
+
=1

y
 x
 2018 y 2019 x
=

y
 x

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

 x = 2018


 y = 2019



⇔

(
(

2019 +

(

Vậy GTNN của P bằng

)
2018 ) .

2018 + 2019

)

 x = 2018


 y = 2019


2

2018 + 2019 khi

(
(

)
2018 ) .

2018 + 2019
2019 +

Cách 2
Từ giả thiết và áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có
2

 2018 2019  
2018
2019 
P = ( x + y) 
+
≥
x
+
y

÷
÷
y  
x
y ÷
 x


⇔P≥

(

)

2

2018 + 2019 .

Dấu bằng xảy ra khi



 x > 0; y > 0
 2018 2019
+
=1

y
 x
 2018
2019

=
y
 x

(

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

 x = 2018


 y = 2019


(
(

 x = 2018


 y = 2019


⇔

)

(
(

)
2018 ) .

2018 + 2019
2019 +

2

2018 + 2019 khi

)
2018 ) .

2018 + 2019
2019 +

Bài toán tổng quát
Cho

a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn ; k

2n + 1 số thực dương cố định

( n ∈ ¥ , n ≥ 2) và n số thực dương thay đổi

x1 , x2 ,..., xn

thỏa mãn

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = k . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
Câu IV.1. Cho tam giác

ABC có

Tính các góc của tam giác này biết

b
b1 b2
+ + ... + n
x1 x2
xn .

BC = a ; AC = b
S=

và diện tích bằng

S.

1 2 2
(a +b ) .
4

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Thanh Thương; Fb:Nguyễn Thương

S=

Ta có:

sin C ≤ 1 ( 2 ) .

Mặt khác

( 1)

Từ
Khi

1 2 2 ab 1
(4 a + b ) ≥ 2 ⇔ 2 ab sin C ≥ ab2 ⇔ sin C ≥ 1 ( 1)

( 2)

và

( 1)

sin C = 1 thì

ABC

Vậy tam giác

lần lượt lấy các điểm

x
PM .

" = " hay

xảy ra dấu

theo

N, M , P

a

a = b.

µA = Bµ = 450.

vng cân tại C nên

a . Trên các cạnh

ABC là tam giác đều cạnh

Câu IV.2. Cho tam giác

Tìm

sin C = 1⇒ Cµ = 900.

ta suy ra

BC , CA , AB

a
2a
BN = ; CM = ; AP = x ( 0 < x < a )
.
3
3

sao cho

AN

để đường thẳng

vng góc với đường thẳng

Lời giải
Tác giả:NgơYến; Fb: Ngoyen

Ta có:

uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur
AN = AB + BN = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC
.
3
3
3
3

(

)

uuuur uuur uuuur
x uuur 1 uuur
PM = PA + AM = − AB + AC
.
a
3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

uuur uuuu
r  2 uuur 1 uuur  x uuur 1 uuur 
AN .PM =  AB + AC ÷ − AB + AC ÷
3
3
3
 a

u
u
u
r
uuur

2x
1
2 x 
= − . AB 2 + . AC 2 +  − ÷ AB. AC
3a
9
 9 3a 
=−

2x 2 1 2  2 x  a2
.a + .a +  − ÷
3a
9
 9 3a  2

5 xa 2a 2
=−
+
6
9

 4a
uuur uuuur
x=
5 xa 2a 2
AN ⊥ PM ⇔ AN . PM = 0 ⇔ −
+
= 0 ⇔  15

6

9
 a = 0 ( L )

AN

Vậy đường thẳng

vng góc với đường thẳng

x=

PM khi

4a
15 .

Cách 2. Tác giả: Nguyễn Trọng Lễ; Fb: Nguyễn Trọng Lễ

Chọn

hệ

trục

tọa

độ

như

hình

vẽ.

Khi

đó

a a 3
A ( 0;0 ) , B ( a;0 ) , C  ;
÷÷, P ( x;0 ) ( 0 < x < a )
2
2
.


uuur 1 uuur
 5a a 3  uuur  5a a 3 
BN = BC ⇒ N  ;
÷÷ ⇒ AN =  ;
÷÷
3
 6 6 
 6 6 .

Ta có

uuuur 1 uuur
 a a 3  uuuur  a
a 3

AM = AC ⇒ M  ;
÷÷ ⇒ PM =  − x;
÷
3
6 ÷ .
6 6 
6
uuur uuuur
5a  a  3a 2
4a
AN ⊥ PM ⇔ AN .PM = 0 ⇔  − x ÷ = −
⇒x=
6 6 
36
15 .
x=

Vậy với

4a
15 thì đường thẳng

AN

PM .

vng góc với đường thẳng

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

ABC

Câu IV.2.1. Cho tam giác

BC ,

CA ,

a . Trên các cạnh

là tam giác đều có độ dài cạnh bằng

AB

lần lượt lấy các điểm

N,

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

M,
Trang 11

P


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

sao

BN = na ,

cho

0 < m < 1,
AN

thẳng

CM = ma ,

AP = x

0 < x < a . Tìm giá trị của

x

0 < n < 1,

với

theo

m, n, a

để đường

PM .

vuông góc với đường thẳng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trọng Lễ; Fb: Nguyễn Trọng Lễ
Tác giả: Trần Quang; Fb: Quang Trần

Ta có
+)

uuur uuur uuur uuur NC uuur uuur NC uuur uuur NC uuur  NC  uuur
AN = AC + CN = AC +
CB = AC +
. AB − AC =
AB +  1 −
÷ AC
CB
BC
BC
 BC 

(

)

uuur NC uuur NB uuur
uuur uuur
⇔ AN =
. AB +
. AC = ( 1 − n ) AB + nAC
.
BC

BC
+)

uuuur uuur uuuur
uuur
x uuur
PM = PA + AM = − . AB + ( 1 − m ) AC
.
a

uuur
uuur
 nAC + ( 1 − n ) AB  .



uuur uuuur
AN ⊥ PM ⇔ AN .PM = 0 ⇔
uuur 
 x uuur
−
.
AB
+
1
−
m
( ) AC  = 0
 a
 .

2

 −x 
 −x  a
⇔ ( 1 − n )  ÷a 2 + n ( 1 − m ) a 2 + ( 1 − n ) ( 1 − m ) + n  ÷ = 0
.
 a 
 a  2


Tìm được

x=
x=

Vậy với

( 1− m) ( 1+ n) a
2−n

.

( 1− m) ( 1 + n) a
2−n

thì đường thẳng

AN

vng góc với đường thẳng

PM .
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

ABC

Câu IV.2.2. Cho tam giác

BC ,

CA ,
BN =

sao cho

x

của
một góc

theo

AB

a
3,

N,

lần lượt lấy các điểm

CM =

a

a . Trên các cạnh

là tam giác đều có độ dài cạnh bằng

2a
3 ,

AP = x

để đường thẳng

AN

với

M,

P

0 < x < a . Tìm giá trị

tạo với đường thẳng

PM

60° .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trọng Lễ; Fb: Nguyễn Trọng Lễ
Tác giả: Trần Quang; Fb: Quang Trần

Ta có
2
uuur 2 uuur 1 uuur
 2 uuur 1 uuur  7 2
2
AN = AB + AC ⇒ AN =  AB + AC ÷ = a
3
3
3  9 .
3
2
uuuur
x uuur 1 uuur
 x uuur 1 uuur  1 2 2 1
2
PM = − AB + AC ⇒ PM =  − AB + AC ÷ = a + x − ax
a
3
3  9

3 .
 a

uuur uuuur  2 uuur 1 uuur   x uuur 1 uuur  2 2 5
AN .PM =  AB + AC ÷ − AB + AC ÷ = a − ax
3  a
3  9
6 .
3
2 2 5
a − ax
1
9
6
cos 60° =
⇔ =
AN .PM
2
7
1
1
a. a 2 + x 2 − ax
3
9
3 .
uuur uuuur
AN .PM

Từ giả thiết ta có

x 1  a
 a = 2 x = 2
x
 x
2
2
⇔ 162 x − 99ax + 9a = 0 ⇔ 162.  ÷ − 99. + 9 = 0 ⇔ 
⇔
x
1
a
a
 =
x = a
 a 9  9 .
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

x=

Vậy với

PM
Câu V.

a
2 và

60° .
Oxy

một góc

Trong mặt phẳng tọa độ

CD .

và

A ( 1;1)

a
9 thì đường thẳng

x=

AN
ABCD

cho hình thang

14

Biết diện tích hình thang bằng

BC

và trung điểm cạnh

trên đường thẳng

AB

với hai đáy là

(đơn vị diện tích), đỉnh

 1 
H  − ;0 ÷
 2  . Viết phương trình tổng

là

AB biết đỉnh
d :5 x − y + 1 = 0 .

quát của đường thẳng

tạo với đường thẳng

D

D

có hồnh độ dương và

nằm

Lời giải
Tác giả: Phan Đình Cơng; Fb: Cơng Phan Đình

E là giao điểm của
D ABH =D ECH .

Gọi
và
Do đó

S ADE = S ABCD = 14

Suy ra:

D ( x; 5 x +1) , x > 0

;

2 x - 3 y +1 = 0 .
d ( D, AE ) =

2 x - 3( 5 x +1) +1
13

=

13x + 2
13

.

13x + 2
1
S ADE = d ( D, AE ) .AE =
(2).
2
2
éx = 2
13x + 2
ê
= 14 Û ê
Þ D ( 2;11)
30
êx =2
L)
(
ê
.
13
ë

Từ (1) và (2) ta có:

Đường thẳng
phương.

E ( - 2;- 1) ,AE = 13

DC , ta có

và

(1).

AE :

Phương trình đường thẳng

Ta có:

AH

AB

đi qua

Phương trình tổng quát của đường thẳng

A và nhận véc tơ

AB

là:

r 1 uuur
n = ED = ( 1; 3)

là véc tơ chỉ
4

3x - y - 2 = 0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 14


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Oxy ,

Câu V.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

AB

CD .

và

A ( 1;1) ,

với hai đáy

Biết diện tích hình thang là 14 (đơn vị diện tích), đỉnh

CD = 3 AB

BC

và trung điểm cạnh

D

tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang biết đỉnh

 1 
H  − ;0 ÷
 2  . Tìm

là

có hồnh độ dương và

D

5x − y + 1 = 0 .

d:

nằm trên đường thẳng

ABCD

cho hình thang

Lời giải
Tác giả: Hà Bích Vượng; Fb: Vượng Mỡ

E

Gọi

AH

là giao điểm của

∆ ABH = ∆ ECH

Dễ thấy

DC .

và

S ABCD = S AED = 14

nên

và

H

là trung điểm của

AE .

uuur
⇒ E ( − 2; − 1) ⇒ AE = ( − 3; − 2 )
Gọi

Ta có:

⇒ ( AE ) :

2x − 3y + 1 = 0 .

D ( xD ;5 xD + 1) .
1
S ADE = AE ×d ( D ; AE )
2
⇔ 14 =

1
2

( −3)

2

+ ( −2 ) ×
2

2 xD − 3 ( 5 xD + 1) + 1
22 + ( −3)

2

⇔ −13 xD − 2 = 28

⇔ xD = 2
Vì

( thỏa mãn) hoặc

CD = 3 AB , mà

AB = CE

xD = −

30
13 ( loại)

nên

uuur
uuur
DE = ( − 4; − 12 ) ⇒ CE = ( − 1; − 3) ⇒ C ( − 1;2 ) .

⇒ D ( 2;11) .

uuur uuur
DE = 4CE .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Đan Phượng – Hà Nội năm 2018-2019

uuur uuur
AB = CE = ( − 1; − 3) ⇒ B ( 0;2 ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 16