DS_C8_VI TRI TUONG DOI

CHỦ ĐỀ 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
 (α)//(β)

⇔

 (α ) ≡ ( β ) ⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A2 B2 C2 D2
A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2

A1 B1 B1 C1 A1 C1
≠
∨
≠
∨
≠
A2 B2 B2 C2 A2 C2

 (α ) cắt ( β ) ⇔

Đặc biệt: (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = 0
2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
 x = x0 + a1t
r

d :  y = y0 + a2t qua M, có VTCP ad
Cho 2 đường thẳng:
z = z + a t
0
3

 x = x0′ + a1′t ′
r

d ' :  y = y0 + a2′ t ′ qua N, có VTCP ad '
 z = z + a′t ′
0
3

•Cách 1:
r r

[ ad , ad ' ]
r r

r r

r

[ ad , ad ' ] ≠ 0

uuuu
r
 ard , MN 



r r uuuu
r
 a d , a d '  .MN



uuuu
r
r
 ard , MN  = 0



d ≡ d'

r

[ ad , ad ' ] = 0

r
r r uuuu
r
uuuu

r
r r r uuuu
 ard , MN  ≠ 0  a d , a d '  .MN = 0  a d , a d '  .MN ≠ 0






d // d '

d cắ
t d'

d ché
o d'

•Cách 2:
 x0 + a1t = x0′ + a1′t ′

Xé hệ phương trình:  y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ (*)
 z + a t = z + a′t ′
0
3
 0 3
 Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ d và d ' cắt nhau
 Hệ vô nghiệm ⇔ d và d ' song song hoặc chéo nhau
 Hệ vô số nghiệm ⇔ d và d ' trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d ' .
Trang

1/27


 Chú ý:
 d
 d
 d
 d

r
r
 ad = kad ′
song song d ′
⇔
M ∉ d ′
r
r
 ad = kad ′
trùng d ′ ⇔ 
M ∈ d ′
r
r
 ad khoâng cùng phương ad ′
r
cắt d ′
⇔  r r uuuu
[ a , a′] .MN = 0
r
r r uuuu
chéo d ′ ⇔ [ ad , ad ′ ] .MN ≠ 0

3.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
 x = x0 + a1t

Cho đường thẳng: d :  y = y0 + a2t và mp (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
z = z + a t
0
3

 x = x0 + a1t
y = y + a t

0
2
Xé hệ phương trình: 
z
=
z
+
a
0
3t

 Ax + By + Cz + D = 0

 (*) có nghiệm duy nhất

(1)
(2)
(*)

(3)
(4)

⇔ d cắt (α)

 (*) có vơ nghiệm ⇔ d // (α )
 (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α )

4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu ( S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 tâm I ( a; b; c ) bán kính R và mặt phẳng
2

2

2

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
• Nếu d ( I , ( P ) ) > R thì mp ( P ) và mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung.
• Nếu d ( I , ( P ) ) = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là
tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm

• Nếu d ( I , ( P ) ) < R

thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là

đường trịn có phương trình :

 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2

 Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó bán kính đường tròn r = R 2 − d ( I , ( P )) 2 và tâm H của đường trịn là hình chiếu
của tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) .
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆ .
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( S ) ta tính d ( I , ∆ ) rồi so sánh với bán kính R .
å d ( I , ∆ ) > R : ∆ không cắt ( S )

Trang
2/27


å d ( I , ∆ ) = R : ∆ tiếp xúc với ( S ) .
Tiếp điểm J là hình chiếu vng góc của tâm I lên đường thẳng ∆ .
2
å d ( I , ∆ ) < R : ∆ cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B và R = d 2 + AB
4
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 1 = 0 ;
( β ) : x + y − z + 2 = 0 ; (γ ) : x − y + 5 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
(α ) ⊥ (γ ) .
A. (α ) / /(γ ) .
B. (α ) ⊥ ( β ) .
C. (γ ) ⊥ ( β ) .
D.
Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng

x = 2 + t
x − 2 y +1 z


∆1 :
=
= ; ∆ 2 :  y = 3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là
2
−3
4
z = 1− t

r
r
r
A.. n = (5; −6;7)
B.. n = (5; −6; −7)
C. n = (−2;6;7) .
D.
Câu 3. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

r
n = ( −5; −6; 7) .

( P ) : 5 x + my + z − 5 = 0 và

(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 = 0 .Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) .

3
A. m = ; n = −10 .
2

3
B. m = − ; n = 10 .
2

C. m = −5; n = 3 .

m = 5; n = −3 .

D.

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x − my − 4 z − 6 + m = 0 và
(Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − 7 = 0 . Tìm m để ( P) ≡ (Q) .
6
A. m = − .
5

B. m = 1 .

C. m = −1 .

Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
(Q) : 6 x − y − z − 10 = 0 .Tìm m để ( P ) ⊥ (Q ) .
A. m = 4 .

B. m = −4 .

C. m = −2 .

m = −4 .

D.

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 = 0 và

m=2.

D.

Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : y − 9 = 0 . Xét các mệnh đề
sau:
(I) ( P ) / / ( Oxz )
(II) ( P ) ⊥ Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.
C.(I) sai, (II) đúng.

B.(I) đúng, (II) sai.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.

Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm I (2;6; −3) và các mặt phẳng : (α ) : x − 2 = 0 ;
( β ) : y − 6 = 0 ; (γ ) : z − 3 = 0
A. ( α ) ⊥ ( β ) .

B. ( β ) //(Oyz ) .

C. (γ )//oz .

D.

( α ) qua I .

Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0 và đường thẳng
x − 12 y − 9 z − 1
=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
4
3
1
A. d ⊂ ( P ) .
B. d // ( P ) .
C. d cắt ( P ) .
D. d ⊥ ( P) .

d:

Trang
3/27

Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y + 2 z − 5 = 0 và đường thẳng

 x = −1 + 2t

d :  y = 3 + 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z = 3t

A. d / /

( P) .

B. d ⊂

( P) .

C. d cắt ( P ) .

D.

d ⊥ ( P) .

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0 và đường thẳng

Câu 10.

x = 1+ t

d :  y = 1 + 2t . Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là:

 z = 2 − 3t

A. Vô số.
Câu 11.

B.1.

Trong khơng gian

C.Khơng có.

D.

2.

Oxyz , tọa độ giao điểm M của đường thẳng

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và mặt phẳng ( P ) : 3 x + 5 y – z – 2 = 0 là
4
3
1
A. ( 0; 2;3 ) .
B. ( 0;0; −2 ) .
C. ( 0;0; 2 ) .
D.
d:

Câu 12.

. ( 0; −2; −3) .

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + my − 3 z + m − 2 = 0 và đường

 x = 2 + 4t

thẳng d :  y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A. m ≠

Câu 13.

1
.
2

B. m = −1 .

1
.
2

D.

m ≠ −1 .

 x = 2−t


Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −3 + t và mặt phẳng
 z = 1+ t


( P) : m 2 x − 2my + (6 − 3m) z − 5 = 0 .
Tìm m để d / /( P)
 m =1
 m = −1
A. 
.
B. 
.
 m = −6
 m=6
Câu 14.

C. m =

 m = −1
C. 
.
 m=6

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng

D.
d:

m∈∅ .

x −1 y − 7 z − 3
=
=
và
2
1
4

x − 6 y +1 z + 2
=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
3
−2
1
A.song song.
B.trùng nhau.
C.cắt nhau.
D.
chéo nhau.
d ':

 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y = 2 − 2t và d ' :  y = −5 + 3t .
 z =t
 z = 4+t



Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.song song.
B.trùng nhau.
C.chéo nhau.
D.
cắt nhau.

Trang
4/27


Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d : x − 2 = y = z + 1 và
4
−6 −8
x−7 y −2 z
d ':
=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị
−6
9
12
trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A.song song.
B.trùng nhau.
C.chéo nhau.
D.
cắt nhau.

Câu 16.

 x = −1 + 12t
 x = 7 + 8t


Câu 17. Hai đường thẳng d :  y = 2 + 6t và d ′ :  y = 6 + 4t có vị trí tương đối là:.
 z = 3 + 3t
 z = 5 + 2t


A.trùng nhau.
B.song song.
C.chéo nhau.
D.
cắt nhau.
Câu 18.

Trong

không

gian

Oxyz ,

hai

 x = −1 + t


d ' :  y = −t có vị trí tương đối là:
 z = −2 + 3t

A.trùng nhau.
B.song song.
Câu 19.

đường

thẳng

d:

x −1 y + 2 z − 4
=
=
−2
1
3

C.chéo nhau.

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :

D.

cắt nhau.

x −1 y + 2 z − 4

=
=
.
−2
1
3

 x = −1 + t

d ' :  y = −t cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ' là
 z = −2 + 3t

A. I (1; −2; 4) .
B. I (1; 2; 4) .
C. I (−1; 0; −2) .
D.

và

và .

I (6;9;1) .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 6 z + 17 = 0 ; và
mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0 .

Câu 20.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = 5 .

B. ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường trịn.
C.Mặt phẳng ( P ) khơng cắt mặt cầu ( S ) .

Khoảng cách từ tâm của ( S ) đến ( P ) bằng 1 .

D.
Câu 21.

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt

phẳng ( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 . Mặt cầu ( S ) có bán kính R bằng:
B. R = 2 .

A. R = 1 .
Câu 22.

C. R =

2
.
3

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

D.

( P)

R=

2
.
9

: 2 x − 2 y − z − 3 = 0 và điểm

I (1; 0; 2) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là:

A. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 1 .

B. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 1 .

C. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3 .

D.

2

2

2

( x − 1)

2

2

2

2

+ y 2 + ( z − 2) = 3 .
2

Trang
5/27


Câu 23.

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 4 z − 5 = 0 .

Phương trình mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) là:
A. 2 x − y + 3z − 4 = 0 . B.
x − y + 3z − 3 = 0 .
D.

−x + 2 y − 2z +1 = 0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 = 0 .

Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 = 0 , mặt

Câu 24.

phẳng ( P ) : 4 x + 3 y + m = 0 . Giá trị của m để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .

 m > 11
A. 

.
 m < −19

B. −19 < m < 11 .

C. −12 < m < 4 .

m > 4
 m < −12 .


D.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 11 = 0 . Mặt cầu ( S )

Câu 25.

có tâm I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H , khi đó H có tọa độ
là:
A. H ( −3; −1; −2) .

B. H (−1; −5; 0) .

C. H (1;5;0) .

H (3;1; 2) .

D.

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 9 và mặt

2

Câu 26.

( P) : 2x + y + 2z = 1.
( C)

Giá trị của a để

phẳng
tròn
A. −

17
1
≤a≤ .
2
2

B. −

17
1
2
2

( P)

2

2

cắt mặt cầu

C. −8 < a < 1 .

D.

( S)

theo đường

−8 ≤ a ≤ 1 .

x y −1 z − 2
=
=
và và mặt cầu
2
1
−1
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 = 0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:
A.0.
B.0.
C.2.
D.
3.

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

Câu 27.

x +2 y z −3
= =
và và mặt cầu
−1
1
−1
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 67 = 0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

Câu 28.

A.3.

B.0.

C.1

D.

2.

Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và
tiếp xúc với trục Oy là:
2
2
2

2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) = 9 .
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3 ) = 10 .
C. ( x + 1) + ( y − 2 )

( z + 3) = 10 .
2
2
2
( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) = 10 .
2

2

2

D.

Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
x + 1 y − 2 z + 3 . Phương trình
I ( 1; −2;3) và đường thẳng d có phương trình
=
=
2
1
−1
mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:
2

2
2
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 50 .
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 5 2 .

Câu 30.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 5 2 .
2

( x + 1)

2

2

2

D.

+ ( y − 2 ) + ( z + 3) = 50 .
2

2

Trang
6/27

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ba mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 ,

Câu 31.

( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 = 0
( P ) ⊥ ( R ) và ( P ) / / ( Q )
A. −6 .

và

( R ) : − x + 2 y + nz = 0 .

B.1.

C.0.

thẳng d :

m + 2n , biết rằng
D.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

Câu 32.

Tính tổng

( P) :

6.

x − 2 y + 3 z + −4 = 0 và đường

x − m y + 2m z
=
= . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường
1
3
2

thẳng d và mặt phẳng ( P ) thuộc mặt phẳng ( Oyz ) .
A. m =

4
.
5

B. m = −1 .

C. m = 1 .

D.

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :

Câu 33.

m=

12
.
17

x −1 y + 2 z − 4
=
=
và
−2
1
3

 x = −1 + t

d ' :  y = −t cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
 z = −2 + 3t

A. 6 x + 9 y + z − 8 = 0 .
B. 6 x + 9 y + z + 8 = 0 .
6x − 9 y − z − 8 = 0 .
C. −2 x + y + 3 z − 8 = 0 .
D.
Câu 34.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

x +7 y −5 z −9
x y + 4 z + 18
=
=
=
và d ' : =
. Phương trình mặt phẳng chứa d
3
−1
4
3
−1
4
và d ' là
A. 63x + 109 y + 20 z + 76 = 0 .
B. 63x − 109 y + 20 z + 76 = 0 .
C. 63x + 109 y − 20 z + 76 = 0 .
D.
63 x − 109 y − 20 z − 76 = 0 .

d:

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) song song

Câu 35.
với

mặt

phẳng

( P) : 2x − 2 y + z + 7 = 0 .

Biết

mp ( Q )

cắt

mặt

cầu

( S) :

x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) = 25 theo một đường trịn có bán kính r = 3 . Khi đó mặt
2

phẳng ( Q ) có phương trình là:
A. x − y + 2 z − 7 = 0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 = 0 .
Câu 36.

B. 2 x − 2 y + z + 17 = 0 .
2 x − 2 y + z − 17 = 0 .
D.
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và

cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 theo giao tuyến là đường trịn có
bán kính bằng 3 có phương trình là:
A. y − 2 z = 0 .
B. y + 2 z = 0 .

C. y + 3 z = 0 .

D.

y − 3z = 0 .

Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2;
 x = 11 + 2t

3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng ( d ) có phương trình: ( d )  y = t
 z = −25 − 2t

tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 là:

Câu 37.

Trang

7/27


A. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 280 .

B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 289 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 17 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 .

2

2

2

Câu 38.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x +5 y −7 z
=
=
và điểm
2
−2
1
M (4;1; 6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

AB = 6 . Phương trình của mặt cầu ( S ) là:

A. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 9.
C. ( x − 4 ) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 6 ) 2 = 18.
2

( x − 4)
Câu 39.

2

2

B. ( x + 4 ) + ( y + 1) + ( z + 6 ) = 18. .
D.

2

2

2

2

+ ( y − 1) + ( z − 6 ) = 16.
2

2

Trong không gian

Oxyz , cho cho mặt cầu (S) có phương trình:

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0

phẳng ( P)
có phương trình
2 x + 2 y − z − 7 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) song song với ( P ) và cắt ( S )
theo giao tuyến là đường trịn có chu vi bằng 6π .
A. 2 x + 2 y − z + 17 = 0 . B. 2 x + 2 y − z − 7 = 0 . C. 2 x + 2 y − z + 7 = 0 . D.
2 x + 2 y − z − 19 = 0 .
và

mặt

Trong không gian Oxyz , cho đường

Câu 40.

 x = 2+t

thẳng ∆:  y = 1 + mt và mặt cầu. ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 = 1 Giá trị của m để
 z = −2t

đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( S ) là:
15
5
15
5
A. m > .hoặc m <
B. m = .hoặc m =
2
2
2
2
5
15
C. < m < .
D. m ∈ ¡ .
2
2
Câu 41.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

mặt

 x = 2+t

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 = 1 và đường thằng ∆:  y = 1 + mt . Giá trị của m
 z = −2t

đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) là:
15
5
15
5
A. m >
hoặc m <
B. m =
hoặc m = .
2
2
2

2
5
15
C. < m < .
D. m ∈ ¡ .
2
2

cầu
để

Oxyz ,
gian
cho
mặt
cầu
 x = 2+t

2
2
2
( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 1 và đường thẳng ∆:  y = 1 + mt . Giá trị của m để đường
 z = −2t

(
S
)
thẳng ∆ cắt mặt cầu
tại hai điểm phân biệt là:
15

5
A. m ∈ ¡ .
.
B. m > .hoặc m <
2
2
15
5
5
15
C. m = .hoặc m =
D. < m < .
2
2
2
2

Câu 42.

Trong

không

Trang
8/27


Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, B(a;0; 0) , D(0; a; 0) ,
a

A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′ . Giá trị của tỉ số
b
để hai mặt phẳng ( A′BD) và ( MBD ) vng góc với nhau là:
1
1
A. .
B. .
C. −1 .
D.
1.
3
2

Câu 43.

Oxyz ,
Trong
không
gian
cho
mặt
phẳng
2
2
2
( P ) : x + 2 y + 2 z + 4 = 0 và mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 1 = 0. Giá trị của
điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt GTNN là:

Câu 44.

A. ( 1;1;3) .

5 7 7
B.  ; ; ÷.
3 3 3

1 1 1
C.  ; − ; − ÷ .
3 3 3

D. ( 1; −2;1) .

Câu 45.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 9 = 0
và mặt cầu ( S ) : ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt
cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ
nhất là:
 11 14 13 
 29 26 7 
 29 26 7 
A. M  − ; ; ÷. B. M  ; − ; − ÷ . C. M  − ; ; − ÷ . D.
3
3
3
 3 3 3
 3
 3 3
 11 14 13 
M  ; ; − ÷.
3

3 3
Trong khơng gian Oxyz , cho các điểm I ( 1;0; 0 ) và đường
x −1 y −1 z + 2
=
=
thẳng d :
. Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt đường
1
2
1
thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
20
20
2
2
A. ( x + 1) + y 2 + z 2 =
.
B. ( x − 1) + y 2 + z 2 =
.
3
3
16
5
2
2
C. ( x − 1) + y 2 + z 2 = .
D.
( x − 1) + y 2 + z 2 = .
4
3

Câu 46.

 x=2

Câu 47.
Trong không gian Oxyz , cho d :  y = t và mặt cầu
z = 1− t

2
2
2
( S ) : x + y + z − 2 x − 4 y + 2 z + 5 = 0. Tọa độ điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , d ) đạt
GTLN là:
(2; 2; −1) .
A. ( 1; 2; −1) .
B..
C. (0; 2; −1) . .D.

( −3; −2;1) .

Câu 48.

Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt

2
2
2
phẳng ( α ) : 2 x – 2 y + z + 15 = 0 và mặt cầu ( S ) : (x − 2) + (y − 3) + (z − 5) = 100 . Đường

thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng ( α ) cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn
nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
=
=
=
=
A.
.
B.
.
1
4
6
16
11
−10

Trang
9/27


 x = −3 + 5t

C.  y = 3
.
 z = −3 + 8t


D.

x +3 y −3 z +3
=
=
.
1
1
3

rong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt

Câu 49.

2
2
2
phẳng ( α ) : 2 x – 2 y + z + 15 = 0 và mặt cầu ( S ) : (x − 2) + (y − 3) + (z − 5) = 100 . Đường

thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng ( α ) cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB nhỏ
nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
x +3 y −3 z +3
x +3 y −3 z +3
=
=
=
=
A.
.
B.

.
16
11
−10
1
4
6
 x = −3 + 5t

x +3 y −3 z +3
=
=
C.  y = 3
.
D.
.
16
−11
10
 z = −3 + 8t

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3; 0; 2 ) , B ( 3;0; 2 )

Câu 50.

và mặt cầu x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 25 . Phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai
điểm A , B và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trịn bán kính nhỏ nhất là:
A.  x − 4 y − 5 z + 17 = 0 .
B.  3x − 2 y + z − 7 = 0 .
 3 x + 2 y + z – 11 = 0 .

C.  x − 4 y + 5 z − 13 = 0 .
D.
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.5
1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
C

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B D D C A A C A A D
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + 2 z + 1 = 0 ;
( β ) : x + y − z + 2 = 0 ; (γ ) : x − y + 5 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
(α ) ⊥ (γ ) .
A. (α ) / /(γ ) .
B. (α ) ⊥ ( β ) .
C. (γ ) ⊥ ( β ) .
D.
Lời giải.
r
(α ) : x + y + 2 z + 1 = 0 có VTPT a = ( 1;1; 2 )
r
( β ) : x + y − z + 2 = 0 có VTPT b = ( 1;1; −1)
r
(γ ) : x − y + 5 = 0 có VTPT c = ( 1; −1; 0 )
r r
r
Ta có  a; c  = ( 2; 2; −2 ) ≠ 0 ⇒ ( α ) và ( γ ) khơng song song nhau
rr
Ta có a.b = 0 ⇒ ( α ) ⊥ ( β )
rr
Ta có a.c = 0 ⇒ ( α ) ⊥ ( γ )
rr
Ta có b.c = 0 ⇒ ( β ) ⊥ ( γ )
Do đó chọn đáp án A.

Trang
10/27


Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng

x = 2 + t
x − 2 y +1 z

∆1 :
=
= ; ∆ 2 :  y = 3 + 2t có một vec tơ pháp tuyến là
2
−3
4
z = 1− t

r
r
r
A.. n = (5; −6;7)
B.. n = (5; −6; −7)
C. n = (−2;6;7) .
D.
Lời giải.
∆1 có một VTCP là u1 = ( 2; −3; 4 ) ,

r
n = ( −5; −6; 7) .

∆ 2 có một VTCP là u1 = ( 1; 2; −1) .

ur uu
r
r
Do ( P ) song song với ∆1 , ∆ 2 nên ( P ) có một VTPT là n = u1 , u2  = ( −5; 6;7 )

Do đó chọn đáp án B.
Câu 3. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

( P ) : 5 x + my + z − 5 = 0 và

(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 = 0 .Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) .

3

3
A. m = ; n = −10 . B. m = − ; n = 10 .
C. m = −5; n = 3 .
2
2
Lời giải.
r
( P ) : 5 x + my + z − 5 = 0 có VTPT a = ( 5; m;1)
r
(Q) : nx − 3 y − 2 z + 7 = 0 có VTPT b = ( n; −3; −2 )

D.

m = 5; n = −3 .

 −2 m + 3 = 0
3

r r
r

m =


( P ) // ( Q ) ⇔ a; b  = 0 ⇔ n + 10 = 0 ⇔  2
−15 − mn = 0 n = −10

Chọn đáp án A.
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x − my − 4 z − 6 + m = 0 và
(Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − 7 = 0 . Tìm m để ( P) ≡ (Q) .

6
A. m = − .
5

B. m = 1 .

C. m = −1 .

D.

m = −4 .

Lời giải.

( P) ≡ ( Q) ⇔

2
−m
−4
−6 + m 
1
=
=
=
 m ≠ −3, − ÷ ⇔ m = −1
m+3
1
5m + 1
−7 
5

Chọn đáp án A.
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
(Q) : 6 x − y − z − 10 = 0 .Tìm m để ( P ) ⊥ (Q ) .
A. m = 4 .

B. m = −4 .

C. m = −2 .

( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 = 0 và

D.

m=2.

Lời giải.
r
( P ) : 2 x + my + 2mz − 9 = 0 có VTPT a = ( 2; m; 2m )
r
(Q) : 6 x − y − z − 10 = 0 có VTPT b = ( 6; −1; −1)
rr
( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ a.b = 0 ⇔ 2.6 + m. ( −1) + 2m. ( −1) = 0 ⇔ m = 4
Chọn đáp án A.
Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : y − 9 = 0 . Xét các mệnh đề
sau:
(I) ( P ) / / ( Oxz )
Trang
11/27

(II) ( P ) ⊥ Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
A.Cả (I) và (II) đều sai.
C.(I) sai, (II) đúng.

B.(I) đúng, (II) sai.
D.Cả (I) và (II) đều đúng.

Lời giải.
r
( Oxz ) có VTPT a = ( 0;1;0 )

( P ) / / ( Oxz )

đúng
r
Oy có VTCP a = ( 0;1;0 ) cũng là VTPT của ( P )

( P ) ⊥ Oy

đúng

Chọn đáp án A.
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm I (2;6; −3) và các mặt phẳng : (α ) : x − 2 = 0 ;
( β ) : y − 6 = 0 ; (γ ) : z − 3 = 0
A. ( α ) ⊥ ( β ) .

B. ( β ) //(Oyz ) .

C. (γ )//oz .

D.

( α ) qua I .

Lời giải.
r
(α ) : x − 2 = 0 có VTPT a = ( 1; 0; 0 )
r
( β ) : y − 6 = 0 có VTPT b = ( 0;1;0 )
r
(γ ) : z + 3 = 0 có VTPT c = ( 0;0;1)
r
rr
A sai vì Oz có VTCP u = ( 0;0;1) và u.c = 1 ≠ 0
r
B sai vì ( β ) / /(Oyz ) sai vì b = ( 0;1;0 )

D sai vì thay tọa độ điểm I vào ( α ) ta thấy không thỏa mãn nên I ∉ ( α ) .
rr
C đúng vì ta có a.b = 0 ⇒ ( α ) ⊥ ( β ) .
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0 và đường thẳng
x − 12 y − 9 z − 1
=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
4
3
1

A. d ⊂ ( P ) .
B. d // ( P ) .
C. d cắt ( P ) .
D. d ⊥ ( P) .

d:

Lời giải.
r
( P ) : 3x + 5 y − z − 2 = 0 có VTPT a = ( 3;5; −1)
r
x − 12 y − 9 z − 1
d:
=
=
có VTCP b = ( 4;3;1)
4
3
1
rr
a.b ≠ 0 ⇒ d không song song với ( P ) và d ⊄ ( P )
r r
r
 a; b  ≠ 0 ⇒ d không vng góc ( P )
 
Chọn đáp án A.
Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3 x − 3 y + 2 z − 5 = 0 và đường thẳng

 x = −1 + 2t


d :  y = 3 + 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 z = 3t

A. d / /

( P) .

B. d ⊂

( P) .

C. d cắt ( P ) .

D.

d ⊥ ( P) .

Lời giải.
Trang
12/27


( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0

r
có VTPT a = ( 3; −3; 2 )

 x = −1 + 2t
r


d :  y = 3 + 4t có VTCP b = ( 2; 4;3)
 z = 3t

rr
a.b = 0

Ta có  A ( −1;3;3) ∈ d ⇒ d / / ( P )

 A∉( P)
Chọn đáp án A.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 4 = 0 và đường thẳng

Câu 10.

x = 1+ t

d :  y = 1 + 2t . Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là:
 z = 2 − 3t

A. Vơ số.

B.1.

C.Khơng có.

D.

2.

Lời giải.

r
( P ) : x + y + z − 4 = 0 có VTPT a = ( 1;1;1)

x = 1+ t
r

d :  y = 1 + 2t có VTCP b = ( 1; 2; −3)
 z = 2 − 3t

rr
a.b = 0

Ta có  A ( 1;1; 2 ) ∈ d ⇒ d ⊂ ( P )
A∈ P

Chọn đáp án A.
Câu 11.

Trong không gian

Oxyz , tọa độ giao điểm M của đường thẳng

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và mặt phẳng ( P ) : 3 x + 5 y – z – 2 = 0 là
4
3
1
A. ( 0; 2;3 ) .

B. ( 0;0; −2 ) .
C. ( 0;0; 2 ) .
D.
d:

. ( 0; −2; −3) .

Lời giải.
 x − 4t = 9
x = 0
 y − 3t = 9
y = 0


⇒
Giải hệ 
. Vậy chọn đán án A.
z
−
t
=
1
z
=
−
2


3x + 5 y − z = 2 t = −3
Câu 12.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + my − 3 z + m − 2 = 0 và đường

 x = 2 + 4t

thẳng d :  y = 1 − t . Với giá trị nào của m thì d cắt ( P )
 z = 1 + 3t

A. m ≠

1
.
2

B. m = −1 .

C. m =

1
.
2

D.

m ≠ −1 .

Lời giải.
Trang
13/27

( P ) : 2 x + my − 3z + m − 2 = 0

r
có VTPT a = ( 2; m; −3)

 x = 2 + 4t
r

d :  y = 1 − t có VTCP b = ( 4; −1;3)
 z = 1 + 3t

rr
d cắt ( P ) ⇔ a.b ≠ 0 ⇔ 2.4 − m + ( −3) .3 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1
Chọn đáp án A.
Câu 13.

 x = 2−t

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −3 + t và mặt phẳng
 z = 1+ t


( P) : m 2 x − 2my + (6 − 3m) z − 5 = 0 .
Tìm m để d / /( P)
 m =1
 m = −1
A. 
.
B. 

.
 m = −6
 m=6

 m = −1
C. 
.
 m=6

D.

m∈∅ .

Lời giải.
r
Ta có d đi qua M (2; −3;1) và có VTCP u (−1;1;1)
r
Và ( P ) có VTPT n(m 2 ; −2m;6 − 3m)
Để d song song với ( P ) thì
r r
rr
 (−1).m2 − 2m + 6 − 3m = 0
 − m2 − 5m + 6 = 0
 m =1
 u ⊥ n
 u.n = 0
⇔
⇔
⇔
⇔



 2

2
 m = −6
2m − 2.( −3)m + 6 − 3m ≠ 0
 2m − m − 4 ≠ 0
 M ∉ ( P )
 M ∉ ( P )
Câu 14.

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng

d:

x −1 y − 7 z − 3
=
=
và
2
1
4

x − 6 y +1 z + 2
=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
3
−2

1
A.song song.
B.trùng nhau.
C.cắt nhau.
D.
chéo nhau.
d ':

Lời giải.
r
d có VTCP u = (2;1; 4) và đi qua M (1; 7;3)
ur
d ' có VTCP u ' = (3; −2;1) và đi qua M '(6; −1; −2)
Từ đó ta có
uuuuur
r ur
r
MM ' = (5; −8; −5) và [u, u '] = (9;10; 7) ≠ 0
r ur uuuuur
Lại có [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d '

 x = 1 + 2t
 x = −2t


Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y = 2 − 2t và d ' :  y = −5 + 3t .
 z =t
 z = 4+t



Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.song song.
B.trùng nhau.
C.chéo nhau.
D.
cắt nhau.
Lời giải.
r
d có VTCP u = (2; −2;1) và đi qua M (1; 2; 0)
ur
d ' có VTCP u ' = (−2;3;1) và đi qua M '(0; −5; 4)
Từ đó ta có
uuuuur
r ur
r
MM ' = (−1; −7; 4) và [u, u '] = (−2;1; 6) ≠ 0
Trang
14/27


r ur uuuuur
Lại có [u, u '].MM ' = 19 ≠ 0

Suy ra d chéo nhau với d ' .
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d : x − 2 = y = z + 1 và
4
−6 −8
x−7 y −2 z
d ':

=
=
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị
−6
9
12
trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A.song song.
B.trùng nhau.
C.chéo nhau.
D.
cắt nhau.

Câu 16.

Lời giải.
r
d có VTCP u = (4; −6; −8) và đi qua M (2;0; −1)
ur
d ' có VTCP u ' = (−6;9;12) và đi qua M '(7; 2;0)
Từ đó ta có
uuuuur
r ur r
MM ' = (5; 2;1) và [u , u '] = 0
r uuuuur r
Lại có [u , MM '] ≠ 0
Suy ra d song song với d ' .

 x = −1 + 12t
 x = 7 + 8t



Câu 17. Hai đường thẳng d :  y = 2 + 6t và d ′ :  y = 6 + 4t có vị trí tương đối là:.
 z = 3 + 3t
 z = 5 + 2t


A.trùng nhau.
B.song song.
C.chéo nhau.
D.
cắt nhau.
Lời giải.
r
d có VTCP u = (12;6;3) và đi qua M (−1; 2;3)
ur
d ' có VTCP u ' = (8; 4; 2) và đi qua M ′(7; 6;5)
Từ đó ta có
uuuuur
MM ' = (8; 4; 2)
r uuuuur r
r ur r
Suy ra [u , MM ']=0 và [u , u '] = 0
Suy ra d trùng với d ' .
Câu 18.

Trong

không

gian

Oxyz ,

hai

 x = −1 + t

d ' :  y = −t có vị trí tương đối là:
 z = −2 + 3t

A.trùng nhau.
B.song song.

đường

thẳng

C.chéo nhau.

d:

x −1 y + 2 z − 4
=
=
−2
1
3

D.

cắt nhau.

Lời giải.
r
d có VTCP u = (−2;1;3) và đi qua M (1; −2; 4)
ur
d ' có VTCP u ' = (1; −1;3) và đi qua M '(−1; 0; −2)
Từ đó ta có
uuuuur
MM ' = (−2; 2; −6)
r ur
r
r ur uuuuur
[u , u '] = (6;9;1) ≠ 0 và [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d ' .

Trang
15/27

và


Câu 19.

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :

x −1 y + 2 z − 4
=
=

.
−2
1
3

 x = −1 + t

d ' :  y = −t cắt nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ' là
 z = −2 + 3t

A. I (1; −2; 4) .
B. I (1; 2; 4) .
C. I (−1; 0; −2) .
D.

và .

I (6;9;1) .

Lời giải.
−1 + t − 1 −t + 2 −2 + 3t − 4
=
=
−2
1
3
−2 + t −t + 2 −6 + 3t
⇔
=
=

−2
1
3
⇔t =2
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; −2; 4)
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 6 z + 17 = 0 ; và
mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0 .

Câu 20.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = 5 .
B. ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là đường trịn.
C.Mặt phẳng ( P ) khơng cắt mặt cầu ( S ) .

Khoảng cách từ tâm của ( S ) đến ( P ) bằng 1 .

D.

Lời giải.
2
2
2
( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 3) = 5 có tâm I ( 2; −3; −3) và bán kính R = 5

d  I ; ( P )  =

2 − 2. ( −3) + 2. ( −3) + 1
12 + ( −2 ) + 2 2
2

=1< R = 5

⇒ ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án A.
Câu 21.

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt

phẳng ( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 . Mặt cầu ( S ) có bán kính R bằng:
A. R = 1 .
Lời giải.

( P)

C. R =

B. R = 2 .

tiếp xúc ( S ) ⇒ R = d  I ; ( P )  =

2
.
3

D.

2.2 − 2.1 − 1. ( −1) + 3
2 + ( −2 ) + ( −1)
2

2

2

R=

2
.
9

=2

Chọn đáp án A.
Câu 22.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( P)

: 2 x − 2 y − z − 3 = 0 và điểm

I (1; 0; 2) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là:

A. ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 1 .
2

2

B. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 1 .

2

2

Trang
16/27


C. ( x + 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3 .
2

( x − 1)

2

2

D.

+ y 2 + ( z − 2) = 3 .
2

Lời giải.

( P)

tiếp xúc ( S ) ⇒ R = d  I ; ( P )  =

2.1 − 2.0 − 2 − 3
2 + ( −2 ) + ( −1)

2

2

2

=1

⇒ ( S ) : ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 1
2

2

Chọn đáp án A.
Câu 23.

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 4 z − 5 = 0 .

Phương trình mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) là:
A. 2 x − y + 3z − 4 = 0 . B.
x − y + 3z − 3 = 0 .
D.

−x + 2 y − 2z +1 = 0 .

C. 2 x − 2 y + z + 7 = 0 .

Lời giải.
uuur
( P ) tiếp xúc với ( S ) tại điểm M (1;1;1) ⇒ ( P ) qua M (1;1;1) và có VTPT IM với

I ( −1; 2; −2 ) là tâm của mặt cầu ( S )
uuur
Ta có IM = ( 2; −1;3)

⇒ ( P ) : 2 x − y + 3z − 4 = 0

Chọn đáp án A.
Câu 24.

Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 = 0 , mặt

phẳng ( P ) : 4 x + 3 y + m = 0 . Giá trị của m để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .

 m > 11
A. 
.
 m < −19

B. −19 < m < 11 .

C. −12 < m < 4 .

D.

m > 4
 m < −12 .


Lời giải.
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 = 0 có tâm I ( 1;0;1) và bán kính R = 3

( P)

cắt mặt cầu ( S ) ⇔ d  I ; ( P )  < R ⇔

4.1 + 3.0 + m
42 + 32

<3

⇔ m + 4 < 15 ⇔ −19 < m < 11
Chọn đáp án A.
Câu 25.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z − 11 = 0 . Mặt cầu ( S )

có tâm I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H , khi đó H có tọa độ
là:
A. H ( −3; −1; −2) .

B. H (−1; −5; 0) .

C. H (1;5;0) .

D.

H (3;1; 2) .

Lời giải.
( S ) có tâm I (1; −2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm H ⇒ H là hình

chiếu của I lên ( P )

 x = 1 + 2t

Đường thẳng đi qua I ( 1; −2;1) và vng góc với ( P ) là d :  y = −2 + 3t ( t ∈ R )
z = 1+ t

H ( 1 + 2t;3t − 2;1 + t ) ∈ d

Trang
17/27


H ∈ ( P ) ⇔ 2 ( 1 + 2t ) + 3 ( 3t − 2 ) + ( 1 + t ) − 11 = 0 ⇔ t = 1

⇒ H ( 3;1; 2 )

Chọn đáp án A.
Câu 26.

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3 ) = 9 và mặt
2

( P) : 2x + y + 2z = 1.
( C)

phẳng
tròn
A. −

17
1
≤a≤ .
2
2

B. −

Giá trị của a để

17
1
2
2

( P)

2

2

cắt mặt cầu

C. −8 < a < 1 .

D.

( S)

theo đường

−8 ≤ a ≤ 1 .

Lời giải.
2
2
2
( S ) : ( x − a ) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 có tâm I ( a; 2;3) và có bán kính R = 3

( P)

cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C ) ⇔ d  I ; ( P )  < R
2.a + 2 + 2.3 − 1
⇔
< 3 ⇔ 2a + 7 < 9 ⇔ −8 < a < 1
22 + 12 + 22

x y −1 z − 2
=
=
và và mặt cầu
2
1
−1
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 = 0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:
A.0.
B.0.
C.2.
D.

3.

Câu 27.

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

Lời giải.
r
Đường thẳng ∆ đi qua M = ( 0;1; 2 ) và có VTCP u = ( 2;1; − 1)
Mặt cầu ( S ) có tâm I = ( 1;0; − 2 ) và bán kính R=2
r uuu
r
uuu
r
Ta có MI = ( 1; −1; −4 ) và u, MI  = ( −5; 7; −3 )


r uuu
r
u , MI 
498


⇒ d ( I, ∆) =
=
r
6
u
Vì d ( I , ∆ ) > R nên ∆ không cắt mặt cầu ( S ) .
x +2 y z −3

= =
và và mặt cầu
−1
1
−1
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 67 = 0 . Số điểm chung của ∆ và ( S ) là:

Câu 28.

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :

A.3.

B.0.

C.1

D.

2.

Lời giải.
r
Đường thẳng ∆ đi qua M = ( −2;0;3 ) và có VTCP u = ( −1;1; − 1)
Mặt cầu ( S ) có tâm I
uuu
r
Ta có MI = ( 3; 2; −6 ) và
r uuu
r

u , MI 


⇒ d ( I,∆) =
=
r
u

= ( 1; 2; − 3) và bán kính R=9
r uuu
r
u , MI  = ( −4; −9; −5 )



366
3

Vì d ( I , ∆ ) < R nên ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt.
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và
tiếp xúc với trục Oy là:
Trang
18/27


A. ( x − 1) + ( y + 2 )

( z − 3) = 9 .
2
2

2
C. ( x + 1) + ( y − 2 ) ( z + 3) = 10 .
2
2
2
( x − 1) + ( y + 2 ) ( z − 3) = 10 .
2

2

B. ( x − 1) + ( y + 2 )

2

2

2

( z − 3)

2

= 10 .

D.

Lời giải.
Gọi M là hình chiếu của I ( 1; −2;3) lên Oy, ta có: I ( 0; −2;0 ) .
uuur
IM = ( −1;0; −3) ⇒ R = d ( I , Oy ) = IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm

Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 2 )
2

2

( z − 3)

2

= 10.

Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
x + 1 y − 2 z + 3 . Phương trình
I ( 1; −2;3) và đường thẳng d có phương trình
=
=
2
1
−1
mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:
2
2
2
2
2
2
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 50 .
B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 5 2 .

Câu 30.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 5 2 .
2

( x + 1)

2

2

2

D.

+ ( y − 2 ) + ( z + 3) = 50 .
2

2

Lời giải.
( d ) đi
Đường
thẳng
r uuuu
r
u, AM 


⇒ d ( A, d ) =
=5 2

r
u

qua

I ( −1; 2; −3) và

Phương trình mặt cầu là : ( x − 1) + ( y + 2 )
2

Câu 31.

2

( z − 3)

2

có

r
u = ( 2;1; − 1)

VTCP

= 50.

Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ba mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 ,

( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 = 0

( P ) ⊥ ( R ) và ( P ) / / ( Q )
A. −6 .

và

( R ) : − x + 2 y + nz = 0 .

B.1.

Tính tổng

C.0.

m + 2n , biết rằng
D.

6.

Lời giải.
r
( P ) : x + y + z − 1 = 0 có VTPT a = ( 1;1;1)
r
( Q ) : 2 x + my + 2 z + 3 = 0 có VTPT b = ( 2; m; 2 )
r
( R ) : − x + 2 y + nz = 0 có VTPT c = ( −1; 2; n )
rr
( P ) ⊥ ( R ) ⇔ a.c = 0 ⇔ n = −1
2 m 2
= = ⇔m=2
1 1 1

Vậy m + 2n = 2 + 2 ( −1) = 0

( P) / / ( Q) ⇔

Chọn đáp án A
Câu 32.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

thẳng d :

( P) :

x − 2 y + 3 z + −4 = 0 và đường

x − m y + 2m z
=
= . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường
1
3
2

thẳng d và mặt phẳng ( P ) thuộc mặt phẳng ( Oyz ) .
Trang
19/27


A. m =

4

.
5

B. m = −1 .

C. m = 1 .

D.

m=

12
.
17

Lời giải.
 3

d ∩ ( P ) = A ∈ ( Oyz ) ⇒ A  0; a − 2; a ÷
 2

3
a − 2 + 2m
a
A∈ d ⇒ 0 − m = 2
=
3
2
a
=

−
2
m

 a = −2

⇒ 3
⇒
 2 a − 2 + 2m = −3m m = 1

Chọn đáp án A.
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :

Câu 33.

x −1 y + 2 z − 4
=
=
và
−2
1
3

 x = −1 + t

d ' :  y = −t cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
 z = −2 + 3t

A. 6 x + 9 y + z − 8 = 0 .
B. 6 x + 9 y + z + 8 = 0 .

6x − 9 y − z − 8 = 0 .
C. −2 x + y + 3 z − 8 = 0 .
D.
Lời giải.
r
d có VTCP u = (−2;1;3) và đi qua M (1; −2; 4)
ur
d ' có VTCP u ' = (1; −1;3) và đi qua M '(−1;0; −2)
Từ đó ta có
uuuuur
MM ' = (−2; 2; −6)
r ur
r
r ur uuuuur
[u , u '] = (6;9;1) ≠ 0 và [u , u '].MM ' = 0
Suy ra d cắt d ' .
r r ur
Mặt phẳng ( P) chứa d và d ' đi qua giao điểm của d và d ' ; có VTPT n =[u, u ']
Từ phương trình đường thẳng d và d ' , ta có:
−1 + t − 1 −t + 2 −2 + 3t − 4
=
=
−2
1
3
−2 + t −t + 2 −6 + 3t
⇔
=
=
−2

1
3
⇔t=2
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; −2; 4) .
r r ur
Khi đó ta có ( P) đi qua I (1; −2; 4) và có VTPT n =[u, u '] = (6;9;1)
Phương trình mặt phẳng ( P) cần tìm là
6( x − 1) + 9( y + 2) + ( z − 4) = 0 ⇔ 6 x + 9 y + z + 8 = 0

Câu 34.

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

đường

thẳng

x +7 y −5 z −9
x y + 4 z + 18
=

=
=
và d ' : =
. Phương trình mặt phẳng chứa d
3
−1
4
3
−1
4
và d ' là
A. 63x + 109 y + 20 z + 76 = 0 .
B. 63x − 109 y + 20 z + 76 = 0 .
C. 63x + 109 y − 20 z + 76 = 0 .
D.
63 x − 109 y − 20 z − 76 = 0 .
d:

Trang
20/27


Lời giải.
r
d có VTCP u = (3; −1; 4) và đi qua M (−7;5;9)
ur
d ' có VTCP u ' = (3; −1; 4) và đi qua M '(0; −4; −18)
uuuuur
r uuuuur
r

ur
Từ đó ta có MM ' = (7; −9; −27) , u cùng phương với u ' và [u; MM '] ≠ 0
Suy ra d song song d ' . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d ' .
r
r uuuuur
(P) đi qua M (−7;5;9) và có VTPT n = u; MM ' = ( 63;109; −20 )
Vậy phương trình mặt
63 x + 109 y − 20 z + 76 = 0

phẳng

(P)

là

63( x + 7) + 109(y− 5) − 20(z − 9) = 0 ⇔

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( Q ) song song

Câu 35.
với

mặt

phẳng

( P) : 2x − 2 y + z + 7 = 0 .

Biết

mp ( Q )

cắt

mặt

cầu

( S) :

x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) = 25 theo một đường trịn có bán kính r = 3 . Khi đó mặt
2

phẳng ( Q ) có phương trình là:
A. x − y + 2 z − 7 = 0 .
B. 2 x − 2 y + z + 17 = 0 .
2 x − 2 y + z − 17 = 0 .
C. 2 x − 2 y + z + 7 = 0 .
D.
Lời giải.
( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính R = 5
Gọi M là hình chiếu vng góc của I lên ( Q )

( Q)

cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trịn có bán kính r = 3

⇒ IM = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4
( Q ) // ( P ) : 2 x − 2 y + z + 7 = 0 ⇒ ( Q ) : 2 x − 2 y + z + m = 0 ( m ≠ 7 )
d  I ; ( Q )  =

2.0 − 2. ( −2 ) + 1.1 + m
22 + ( −2 ) + 12
2

= IM = 4

m = 7
⇔ m + 5 = 12 ⇔ 
 m = −17
Vậy ( Q ) : 2 x − 2 y + z − 17 = 0
Chọn đáp án A.
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và

Câu 36.

cắt mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 theo giao tuyến là đường trịn có
bán kính bằng 3 có phương trình là:
A. y − 2 z = 0 .
B. y + 2 z = 0 .

C. y + 3 z = 0 .

D.

y − 3z = 0 .

Lời giải.
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 có tâm I ( 1; −2; −1) và bán kính R = 3

( P)

cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 3 = R

⇒ I ∈( P)

uuur
Chọn điểm M ( 1; 0;0 ) ∈ Ox ⇒ IM = ( 0; 2;1)
r
r uuur
n =  a; IM  = ( 0; −1; 2 )
r
( P ) qua O ( 0; 0;0 ) và có VTPT n = ( 0; −1; 2 ) ⇒ ( P ) : y − 2 z = 0
Chọn đáp án A.

Trang
21/27


Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2;
 x = 11 + 2t

3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng ( d ) có phương trình: ( d )  y = t
 z = −25 − 2t

tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 là:

Câu 37.

A. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 280 .

B. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z − 1) = 289 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 17 .

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải.
r
Đường thẳng ( d ) đi qua M ( 11; 0; −25 ) và có VTCP u = ( 2;1; − 2 )
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có:

r uuu
r
u , MI 


IH = d ( I , AB ) =
= 15
r
u

2

 AB 
R = IH 2 + 
÷ = 17 .
 2 

Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289.
2

Câu 38.

2

2

x +5 y −7 z
=
=
và điểm
2
−2
1
M (4;1; 6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

AB = 6 . Phương trình của mặt cầu ( S ) là:

A. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 9.
C. ( x − 4 ) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 6 ) 2 = 18.
2

( x − 4)

2

2

B. ( x + 4 ) + ( y + 1) + ( z + 6 ) = 18. .
D.

2

2

2

2

+ ( y − 1) + ( z − 6 ) = 16.
2

2

Lời giải.
uuuu
r
r
d đi qua N (−5;7;0) và có VTCP u = (2; −2;1) ; MN = (−9; 6; −6) .
Gọi H là chân đường vng góc vẽ từ M đến đường thẳng d ⇒MH =
d (M , d ) = 3 .
2

AB 
Bán kính mặt cầu ( S ) : R 2 = MH 2 + 
÷ = 18 .
 2 
2
2
2
⇒PT mặt cầu ( S ) : ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 18.
Câu 39.

Trong khơng gian

Oxyz , cho cho mặt cầu (S) có phương trình:

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0

phẳng ( P)
có phương trình
2 x + 2 y − z − 7 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) song song với ( P ) và cắt ( S )
theo giao tuyến là đường trịn có chu vi bằng 6π .
A. 2 x + 2 y − z + 17 = 0 .
B. 2 x + 2 y − z − 7 = 0 .
2 x + 2 y − z − 19 = 0 .
C. 2 x + 2 y − z + 7 = 0 .
D.
và

mặt

Lời giải.
( S ) có tâm I (1; −2;3) , bán kính R = 5 .

Do (Q ) / /( P ) ⇒ (Q) : 2 x + 2 y − z + D = 0 ( D ≠ −7)
Đường trịn có chu vi 2π .r = 6π ⇔ r = 3 ⇒ d ( I , (Q )) = d = R 2 − r 2 = 52 − 32 = 4
Trang
22/27


⇔

2.1 + 2( −2) − 3 + D
22 + 22 + (−1) 2

 D = −7
= 4 ⇔ −5 + D = 12 ⇔ 
 D = 17

Vậy (Q) có phương trình 2 x + 2 y − z + 17 = 0
VẬN DỤNG CAO
Trong không gian Oxyz , cho đường

Câu 40.

 x = 2+t

thẳng ∆:  y = 1 + mt và mặt cầu. ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 = 1 Giá trị của m để
 z = −2t

đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( S ) là:
15
5
15
5
A. m > .hoặc m <
B. m = .hoặc m =
2
2
2
2
5

15
C. < m < .
D. m ∈ ¡ .
2
2
Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + ( −2 t − 2) 2 = 1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 = 1
⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 = 0

(1)

15

m > 2
Để ∆ không cắt mặt cầu ( S ) thì (1) vơ nghiệm, hay (1) có ∆ ' < 0 ⇔ 
.
m< 5

2
Câu 41.

Trong

khơng

gian

Oxyz ,

cho

mặt

 x = 2+t

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 = 1 và đường thằng ∆:  y = 1 + mt . Giá trị của m
 z = −2t

đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) là:
15
5
15
5
A. m >
hoặc m <
B. m =
hoặc m = .
2
2
2
2
5
15
C. < m < .
D. m ∈ ¡ .
2
2

cầu
để

Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + ( −2 t − 2) 2 = 1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 = 1
⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 = 0

(1)

15

m=

a ≠ 0
2
⇔
Để ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) thì (1) có nghiệm kép, hay (1) có 
′
∆
=
0
5

m=

2
.
Trang

23/27


Oxyz ,
gian
cho
mặt
cầu
 x = 2+t

( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 = 1 và đường thẳng ∆:  y = 1 + mt . Giá trị của m để đường
 z = −2t

thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt là:
15
5
A. m ∈ ¡ .
.
B. m > .hoặc m <
2
2
15
5
5
15
C. m = .hoặc m =
D. < m < .
2
2
2

2

Câu 42.

Trong

khơng

Lời giải.
Từ phương trình đường thẳng ∆ và mặt cầu ( S ) ta có
(2 + t − 1) 2 + (1 + mt + 3) 2 + ( −2 t − 2) 2 = 1
⇔ (1 + t ) 2 + (4 + m t) 2 + (−2 t − 2) 2 = 1
⇔ ( m 2 + 5 ) t 2 + 2(5 + 4m)t + 20 = 0

(1)

Để ∆ cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt,
5
15
hay (1) có ∆ ' > 0 ⇔ < m < .
2
2
Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, B(a;0; 0) , D(0; a; 0) ,
a
A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ′ . Giá trị của tỉ số
b
′
để hai mặt phẳng ( A BD) và ( MBD ) vng góc với nhau là:
1

1
A. .
B. .
C. −1 .
D.
1.
3
2

Câu 43.

Lời giải.
uuu
r uuur
b

Ta có AB = DC ⇒ C ( a; a;0 ) ⇒ C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a; ÷
2

Cách 1.
uuur 
uuuur
b  uuur
Ta có MB =  0; −a; − ÷; BD = ( −a; a; 0 ) và A ' B = ( a; 0; −b )
2

r
uuur uuur  ab ab
uuur uuuur
2

2
2
2
Ta có u =  MB; BD  =  ; ; −a ÷ và  BD; A ' B  = ( −a ; − a ; − a )
 2 2

r
Chọn v = ( 1;1;1) là VTPT của ( A ' BD )
rr
ab ab
a
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ u.v = 0 ⇔ + − a 2 = 0 ⇔ a = b ⇒ = 1
2
2
b
Cách 2.
 A ' B = A ' D  A ' X ⊥ BD
AB = AD = BC = CD = a ⇒ 
⇒
với X là trung điểm BD
 MB = MD
 MX ⊥ BD
⇒ (·A ' BD ) ; ( MBD )  = ·
A ' X ; MX


a a 
X  ; ; 0 ÷ là trung điểm BD
2 2 
uuuur  a a


A ' X =  ; ; −b ÷
2 2


(

)

Trang
24/27


uuuu
r  a a b
MX =  − ; − ; − ÷
 2 2 2
( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇒ A ' X ⊥ MX
uuuur uuuu
r
⇒ A ' X .MX = 0
2

2

2
a a b
⇒ − ÷ −  ÷ + = 0
2
2  2

⇒

a
=1
b

Oxyz ,
Trong
không
gian
cho
mặt
phẳng
2
2
2
( P ) : x + 2 y + 2 z + 4 = 0 và mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 1 = 0. Giá trị của
điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt GTNN là:

Câu 44.

A. ( 1;1;3) .

5 7 7
B.  ; ; ÷.
3 3 3

1 1 1
C.  ; − ; − ÷ .

3 3 3

D.

( 1; −2;1) .

Lời giải.
Ta có: d ( M , ( P )) = 3 > R = 2 ⇒ ( P ) ∩ ( S ) = ∅.
 x = 1+ t

Đường thẳng d đi qua I và vng góc với (P) có pt:  y = 1 + 2t , t ∈ ¡ .
 z = 1 + 2t

5 7 7
1 1 1
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: A  ; ; ÷, B  ; − ; − ÷
3 3 3
 3 3 3
Ta có: d ( A, ( P)) = 5 ≥ d ( B, ( P )) = 1. ⇒ d ( A, ( P)) ≥ d ( M , ( P)) ≥ d ( B, ( P)).
Vậy: ⇒ d ( M , ( P )) min = 1 ⇔ M ≡ B.

Câu 45.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 9 = 0
và mặt cầu ( S ) : ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt
cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ
nhất là:
 11 14 13 
 29 26 7 
A. M  − ; ; ÷.
B. M  ; − ; − ÷ .

3
3
 3 3 3
 3
 29 26 7 
 11 14 13 
M  ; ; − ÷.
C. M  − ; ; − ÷ .
D.
3
3
 3 3
3 3
Lời giải.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; −2;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) : d ( I ;( P )) = 6 < R nên ( P ) cắt ( S ) .
Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P) lớn nhất ⇒ M ∈ (d ) đi qua I và vng
góc với ( P)
 x = 3 + 2t

Phương trình (d ) :  y = −2 − 2t .
z = 1− t

Ta có : M ∈ (d ) ⇒ M (3 + 2t ; −2 − 2t ;1 − t )

Trang
25/27