Dang 4. Tìm m để hàm số, đồ thị hàm số Bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện(VDT

Câu 1.

[2D1-2.4-3] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng
3
cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x  3 x  m
nhỏ hơn hoặc bằng
A. 5 .

5.

B. 2 .

C. 11 .
Lời giải

D. 4 .
Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb:Loan Vu

Chọn A
 3x 2  3
Ta có y�

x 1
�
y�
 0 � 3x2  3  0 � �
x  1
�
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A  1; m  2  B  1; m  2 

,

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  2 x  m
hay 2 x  y  m  0
m

d O; AB  � 5 �
5
Theo giả thiết 
Mà m nguyên dương nên có 5 giá trị.


Câu 2.

� 5

�  m �5 � 5 �m �5 .

1 3
x  mx 2  (m  2) x
3
[2D1-2.4-3] (Đoàn Thượng) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương.
� 22 7 �
22 7
m ��
2;
�
 m  1
�

�
3
�
�. C.
3
A. m  2 .
B.
. D. m  1 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.
Chọn B
 x 2  2mx  m  2 .
Cách 1: Ta có: y�
y

y�
 0 � x 2  2mx  m  2  0  1

.

 1 có hai nghiệm phân biệt.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình
m  1
�
�
 0 � m2  m  2  0 � �
 *
m2
�
Phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hàm số là:

4� 1
�2 2 2
y �
 m  m  �x  m  m  2 
3
3� 3
�3
.
Gọi

A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2 

là hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, khi đó để hàm số có
giá trị cực đại, và giá trị cực tiểu dương thì y1  y2  0 và đồ thị hàm số
1 3
x  mx 2  ( m  2) x
3
cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
x  x  2m
Theo định lý vi-et ta có 1 2
4�
2
�2 2 2
y1  y2  0 � �
 m  m �
 x1  x2   m  m  2   0
3
3�
3
�3

Nên
y


4�
2
�2 2 2
��
 m  m �
 2m   m  m  2   0
3
3�
3
�3

� 2m  2m 2  3m  6   0

� 3  57 � � 3  57 �
� m ��
�;
��
0;
 **
�
�
�
�
�
�
4

4
�
� �
� .
1
y  x 3  mx 2  ( m  2) x
3
Để đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại 1 điểm duy nhất thì phương trình
1 3
x  mx 2  ( m  2) x  0  2 
y  0 có 1 nghiệm đơn duy nhất, khi đó 3
có 1 nghiệm đơn duy
nhất.
x0
�
1 3
2
2
�
�
x  mx  (m  2) x  0 � x x  3mx  3m  6  0
x 2  3mx  3m  6  0  3
�
Ta có: 3
.





 1

có 1 nghiệm đơn duy nhất thì phương trình
22 7
2 2 7
�
m
 ***
2
3
3
kiện là   9m  12m  24  0
.
Để phương trình

 3

 * ,  ** ,  ***
Kết hợp

ta được tập các giá trị của m thỏa mãn là
 x 2  2mx  m  2 .
Cách 2: Ta có: y�
y�
 0 � x 2  2mx  m  2  0  1
.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình
m  1
�

�
 0 � m2  m  2  0 � �
 *
m2
�

 1

vô nghiệm, khi đó điều

2m

22 7
3
.

có hai nghiệm phân biệt, khi đó

1 3
x  mx 2  (m  2) x
3
Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương thì đồ thị hàm số
cắt trục
hoành tại 1 điểm duy nhất và giá trị của hàm số tại điểm uốn luôn dương.
1
y  x 3  mx 2  ( m  2) x
3
Để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình
1 3

x  mx 2  (m  2) x  0  2 
y  0 có nghiệm duy nhất, khi đó 3
có 1 nghiệm đơn duy nhất.
y

1 3
x  mx 2  (m  2) x  0 � x x 2  3mx  3m  6  0
3
Ta có:
x0
�
� �2
x  3mx  3m  6  0  3
�
.



Để phương trình

 1



có nghiệm đơn duy nhất thì phương trình
22 7
22 7
�
m
 **

2
3
3
:   9m  12m  24  0
.
Để giá trị của hàm số tại điểm uốn luôn dương:
�
y�
 x 2  2mx  m  2, y�
 2 x  2m
�
y�
 0 � 2 x  2m  0 � x  m

 3

vô nghiệm, khi đó điều kiện


Ta có:

y  m  0 �

m3
 m3  m  m  2   0
3

� m  2m 2  3m  6   0
� 3  57 � � 3  57 �
� m ��

�;
��
0;
 ***
�
�
�
�
4 �
4 �
�
��
�
2m

 * ,  ** ,  ***
Kết hợp
Câu 3.

22 7
3

ta được tập các giá trị của m thỏa mãn là
Bình luận : đáp án của đề gốc bị sai chúng tôi đã thảo luận và sửa lại đáp án như trên .
[2D1-2.4-3] (THPT Nghèn Lần1) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số
y  x3  3( m  1) x 2  12mx  2019 có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 x1 x2  8.
A. m  1.

B. m  2.

C. m  1.

D. m  2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb: Chau Ngoc
Chọn A

y '  3x 2  6( m  1) x  12m ;
y '  0 � 3x 2  6(m  1) x  12m  0 � x 2  2(m  1) x  4m  0

(1) .

Để hàm số có 2 cực trị x1 , x2 � Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

�'�0۹ ( m 1) 2

0

Với điều kiện m �1 ta có
Do đó

m 1.
�x1  x2  2(m  1)
�
�x1 x2  4m

.

x1  x2  2 x1 x2  8 � 2m  2  8m  8 � m  1.

Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu của bài tốn.
Câu 4.

x ,x
[2D1-2.4-3] (Chun Thái Bình Lần3)Gọi 1 2 là hai điểm cực trị của hàm số
1
1
y  x 3  mx 2  4 x  10
S   x12  1  x22  1
3
2
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
.
A. 9 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn A
y

1 3 1 2
x  mx  4 x  10 � y '  x 2  mx  4
3
2
.

Ta có:

y '  0 � x 2  mx  4  0 .

  m 2  16  0, m nên phương trình y '  0 ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b
�
x1  x2 
m
�
�
a
�
� x1. x2  c  4
a
Áp dụng định lí viet: �
.

S  ( x12  1)( x22  1)  ( x1 x2 ) 2  [( x1  x2 ) 2  2 x1. x2 ]  1  16  ( m 2  8)  1  9  m 2 �9
.


Câu 5.

3
2
2
3
[2D1-2.4-3] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m với m là
 C  là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ
tham số, gọi
 C  luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d .

thị
1
1
k
k 
3.
3.
A. k  3 .
B.
C. k  3 .
D.

Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần
Chọn A
Ta có:

y�
 3 x 2  6mx  3(m2  1)  3( x 2  2mx  m2  1)
x  m 1
�
y�
 0 � x 2  2mx  m 2  1 � �
x  m 1
�
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của đồ thị
Nhận xét:

 C

là điểm

M  m  1; 3m  2 

.

yM  3m  2  3(m  1)  1  3xM  1 � M � d  : y  3 x  1, m.

 C  luôn nằm trên một đường thẳng d cố định
Vậy: khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị
có phương trình: y  3x  1 .
Vậy đường thẳng d có hệ số góc k  3 .
Câu 6.

[2D1-2.4-3]
(Chuyên
Hạ
3
2
y  x   2m  1 x   m  1 x  m  1

Long

lần

2-2019)

Cho

hàm

số

. Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên m  20 để đồ thị
hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hồnh?
A. 18 .
B. 19 .
C. 21 .
D. 20 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Nga:; Fb:Con Meo
Chọn B
+ Ta có:

y   x  1  x 2  2mx  1  m 

.

+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hồnh khi và chỉ khi đồ thị y cắt trục hoành
� y   x  1  x 2  2mx  1  m   0
tại ba điểm phân biệt.
có ba nghiệm phân biệt.

� x 2  2mx  1  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.


�
�� 1  5

m
�
��
2
�2
��
m  m 1  0
�
�
1  5
��
� ��
m
�
2
� 2  3m �0
��
�
�
2
�
� m�
3
�
�
.
+ Do m �N , m  20 nên 1 �m  20 . Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài tốn.
Câu 7.

[2D1-2.4-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Tìm tất các

3
2
2
giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x  3mx  3m có hai điểm cực trị là A , B mà
VOAB có diện tích bằng 24 ( O là gốc tọa độ ).
A. m  2 .
B. m  1 .
C. m  �2 .
D. m  �1 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Dạ Thu ; Fb: Nguyen Da Thu
Chọn C
Xét

y�
 3 x 2  6mx  3 x  x  2m 

.

x0
�
y�
 0 � 3 x  x  2m   0 � �
x  2m .
�
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
Tọa độ hai điểm cực trị là

m 0 .

A  0;3m2  , B  2m ;3m2  4m3 

.

Phương trình đường thẳng OA : x  0 .
Ta có:
Câu 8.

SVOAB 

1
1
OA.d  B ; OA   3m 2 . 2m  24 � m 2 m  8 � m  �2
2
2
.

[2D1-2.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị
3
2
2
2
hàm số y  x  (m  1) x  ( m  2) x  m  3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về
cùng một phía đối với trục hồnh?
A. 4 .
B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan
Chọn C
Tập xác định của hàm số đã cho là �.
y�
 3x 2  2  m  1 x  m 2  2

 2m2  2m  7 .
có �

3
2
2
2
Để đồ thị hàm số y  x  (m  1) x  ( m  2) x  m  3 có hai điểm cực trị thì y�đổi dấu hai
lần, tức là y�có hai nghiệm phân biệt, tương đương

�
 0 � 2m2  2m  7  0 �

1  15
1  15
m
2
2 ,


m � 1; 0; 1; 2

Vì m �� nên được
.
Lúc này, hai nghiệm

x1 , x2

của y�lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số.

f  x1  . f  x2   0
Hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hồnh khi và chỉ khi
,
tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại đúng một điểm (hình vẽ minh họa bên
3
2
2
2
dưới), tức là, phương trình x  (m  1) x  ( m  2) x  m  3  0 (*) có duy nhất một nghiệm
thực.

3
Xét m  1 thì phương trình (*) là x  x  2  0 : phương trình này có đúng một nghiệm thực
(dùng MTCT) nên chọn m  1 .
3
2
Xét m  0 thì phương trình (*) là x  x  2 x  3  0 : phương trình này có đúng một nghiệm
thực (dùng MTCT) nên chọn m  0 .
3
2
Xét m  1 thì phương trình (*) là x  2 x  x  2  0 : phương trình này có ba nghiệm thực phân
biệt (dùng MTCT) nên không chọn m  1 .

3
2
Xét m  2 thì phương trình (*) là x  3 x  2 x  1  0 : phương trình này có đúng một nghiệm
thực (dùng MTCT) nên chọn m  2 .

Đáp số:
Câu 9.

m � 1; 0; 2

.

f  x
[2D1-2.4-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho hàm số
xác định trên �, có
3
5
3
f  x
f �x  x  1  x  2   x  3
đạo hàm   
. Số điểm cực trị của hàm số
là
3
5
1
2
A. .
B. .
C. .

D. .
Lời giải
Tác giả: Lê Hoa; Fb: Lê Hoa
Chọn A
+ Hàm số

y f  x

là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

y  f  x
+ Gọi n là số điểm cực trị của hàm số
trên miền x  0 . Khi đó số điểm cực trị của
y f  x
hàm số
là 2n  1 .
x  1
�
�
x2
�
3
5
3
x  3
f �x  0 �  x  1  x  2   x  3   0 � �
�
+ Ta có  
( nghiệm bội lẻ )
� Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  trên miền x  0 là 1 .

� Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là 2.1  1  3 .


Câu 10. [2D1-2.4-3] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Có bao nhiêu số nguyên
3
2
m để hàm số y  x  3 x  mx  4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng  3;3 ?
A. 12 .

C. 13 .

B. 11 .

D. 10 .

Lời giải
Tác giả: Trần Quốc Tú; Fb: Tran Tu
Chọn B
2
Ta có: y '  3x  6 x  m
3
2
 3;3 thì phương trình
Để hàm số y  x  3 x  mx  4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng
y '  0 hay 3x 2  6 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  3;3 .

Cách 1:
Khi đó, đặt

f  x   3x 2  6 x  m

thì

� '  0
9  3m  0
�
�
a
.
f
3

0


�
�
45  m  0
�
�
� 3  m  9
�a. f  3  0 � �
9m 0
�
�
�3  S  3
�
3  1  3
�
�

�
2
Do đó có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Cách 2:
Khi đó, đặt

f  x   3x 2  6 x  m

thì

9  3m  0
�
'  0
�
�
��
� 3  m  9
�
3  9  3m 3  9  3m
3  x1  x2  3 �
3 

3
�
3
3
�
Do đó có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 3: Admin Nguyễn Văn Thịnh

 3x 2  6 x  m
Ta có: y �
3
2
 3;3 � Phương trình y� 0
Hàm số y  x  3 x  mx  4 có hai điểm cực trị thuộc khoảng
2
 3;3 .
hay 3x  6 x  m có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

Đặt

f  x   3x 2  6 x, x � 3;3

f�
 x   6x  6

;

Bảng biến thiên:

. Ta có:

f�
 x  0 � x  1

.


Yêu cầu bài toán � 3  m  9 .

Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1
y  x 3  2mx 2   m  1 x  2m 2  1
3
Câu 11. [2D1-2.4-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số
O  0; 0 
( m là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ
đến đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
2
10
A. 9 .
B. 3 .
C. 2 3 .
D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Lê Mai Hương ; Fb: Le Mai Huong
Chọn D

 x 2  4mx  m  1 . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y�
 0 có hai
Ta có y�
 4m2  m  1  0 � m ��.
nghiệm phân biệt � �
1
2m � �8 2 2
2� 8 2 2
y  x   y�
 x  .�
� x

� � m  m  �x  m  m  1
3 � �3
3
3� 3
3
�3
Mà
.
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là đường thẳng  :

2
2� 8
2
�8
y   � m 2  m  �x  m 2  m  1
3
3� 3
3
�3
.
�1�
A�
1; �
3 �.
�

Ta thấy đường thẳng luôn qua điểm cố định
d  O;    OH �OA
Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên  . Khi đó ta có
(Hình vẽ)

Do đó khoảng cách lơn nhất khi H �A hay   OA .

Vậy khoảng cách lớn nhất là

OA 

10
3 .

Câu 12. [2D1-2.4-3] (Quỳnh Lưu Lần 1) Xét các số thực với a �0, b  0 sao cho phương trình
ax3  x 2  b  0 có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức a 2b bằng:
15
27
4
4
A. 4 .
B. 4 .
C. 27 .
D. 15 .
Lời giải


Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb:Thắng Minh Nguyễn
Chọn C
Xét hàm số

f  x   ax 3  x 2  b  x ��

.

x

0
�
y

b
�
2
� 2
f�
x

3
ax

2
x

0
�
 
4
�
x
� y b
27 a 2
� 3a

.

Để phương trình ax  x  b  0 có ít nhất 2 nghiệm thực khi và chỉ khi
4 �
4
4
4
�
yCD . yCT �
��
0 ��
b�
b ���
0 b
0 a 2b
0 a 2b
2 �
2
27a
27
27 .
� 27 a �
4
2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức a b bằng 27 .
3

2

Câu 13. [2D1-2.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Các giá trị
1 3

y  x  mx 2   m  6  x  2019
3
của m để đồ thị hàm số
có 5 điểm cực trị là
A. m  2 . B. 2  m  0 .C. 0  m  3 . D. m  3 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Sen ; Fb: Nguyễn Thị Sen
Chọn D
y

1 3
x  mx 2   m  6  x  2019
3
.

Xét hàm số :
TXĐ : D  �.
y�
 x 2  2mx   m  6 
Ta có :
.
1 3
y  x  mx 2   m  6  x  2019
3
Để đồ thị hàm số
có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số
1 3
y  x  mx 2   m  6  x  2019
3
có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục tung

2
 x  2mx   m  6   0
� phương trình y�
có hai nghiệm dương phân biệt
2
0 �
m m6  0
��
�
�
� �S  0 � �2m  0
�P  0
�
m60
�
�
� m  3.
Câu 14. [2D1-2.4-3] ( Hội các trường chuyên 2019 lần 3) Hỏi hàm số
  ;   ?
điểm cực trị trên
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .

y  sin 2 x  x

có bao nhiêu

D. 7 .

Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thúy; Fb:Vũ Thị Thúy
Chọn A
Xét hàm số

f  x   sin 2 x  x

f�
 x   0 � cos 2 x  

có

f�
 x   2 cos 2 x  1

.

1
2

� 2 x  �  k 2 � x  �  k  , k ��
2
3
3
.



�
x�

�
3
x �  ;   � �
2
�
x�
�
3 .
�
Vì
3 
� 2 � 3 2
� �
f�


 0; f � � 
  0.
�
3
� 3 � 2
�3 � 2 3
� � 3 
f � �
  0;
�3 � 2 3

�2
f�
�3

3 2
�

0
� 
3
� 2
.

Ta có bảng biến thiên:

  ;   đồ thị hàm số f  x   sin 2 x  x

có 4 điểm cực trị và
y  sin 2 x  x
cắt trục hoành tại duy nhất một điểm có hồnh độ x  0 . Do đó hàm số
có 5
  ;   .
điểm cực trị trên
Từ bảng biến thiên ta thấy: trên

Câu 15. [2D1-2.4-3] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hàm số

y  x3  2  m  2  x 2  5 x  1

. Tìm tất cả các giá
 x1  x2  thỏa mãn

trị thực của tham số m sao cho hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

x1  x2  2
.
7
1
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thanh Sang ; Fb: Nguyen Thanh Sang
Chọn C
y�
 3x 2  4  m  2  x  5
Tính được:
.
2
�
 4  m  2   15  0
x x  x  x2 
Khi đó
nên hàm số ln có hai điểm cực trị 1 , 2 1
.
x  0  x2
Nhận xét a.c  0 nên 1
Suy ra:
4  m  2
b
1
�



2
�
 2 � m 
x1  x2  2 �  x1  x2  2
a
2.
3

Câu 16. [2D1-2.4-3] (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
y  x3  3 x 2  m
hàm số
có 5 điểm cực trị?


A. 3 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn
Chọn A
Đặt f ( x)  x  3x  m . Ta có
3

2

f '( x)  3 x 2  6 x ;

x0
�
f '( x)  0 � �
x2
�

Bảng biến thiên:

y  f ( x)
Suy ra hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị. Do đó hàm số
có 5 điểm cực trị khi và chỉ
y

f
(
x
)
khi đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Từ bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là  m  4  0   m � 4  m  0 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 17. [2D1-2.4-3] (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
y  x3  3x 2  m
số m để hàm số
có 5 điểm cực trị?
A. 3 .
B. 6 .

C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn; Fb: Nguyễn Tuấn
Chọn A
Đặt f ( x)  x  3x  m . Ta có
3

2

f '( x)  3 x 2  6 x ;

x0
�
f '( x)  0 � �
x2
�

Bảng biến thiên:

y  f ( x)
Suy ra hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị. Do đó hàm số
có 5 điểm cực trị khi và chỉ
y

f
(
x
)
khi đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Từ bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là  m  4  0   m � 4  m  0 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.


f ( x)
Câu 18. [2D1-2.4-3] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Xét các hàm số
có đạo hàm
2
3
f�
y = f ( 1- 2019 x)
( x ) = ( x - x) ( x - 3 x )
với mọi x ��. Hàm số
có nhiều nhất bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 9 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Lê Xuân Hưng ; Fb: Hưng Xuân Lê
Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My
Chọn B

y = f ( 1- 2019 x)
● Nhận xét: Số cực trị của hàm số
bằng tổng số nghiệm của phương trình
f ( 1- 2019 x) = 0
f ( 1- 2019 x) = 0

và số cực trị (không phải là nghiệm phương trình
) của
y = f ( 1- 2019 x )
hàm số
.
Ta có

(

f�
( x) = x 2 ( x - 1) x -

)(

3 x+ 3

).

�
�
�
f ( 1- 2019 x ) �
�
�=- 2019 f ( 1- 2019 x ) .
Do đó
2
�
�
f ( 1- 2019 x ) �
�

�= 0 � ( 1- 2019 x ) ( 1- 2019 x - 1) 1- 2019 x -

(

�
1
�=
x
� 2019
�
x =0
�
�
� � 1- 3
�
x=
� 2019
�
� 1+ 3
�
x=
�
� 2019

)

.

Bảng biến thiên của

Do đó phương trình
điểm cực trị.
Vậy hàm số

)(

3 1- 2019 x + 3 = 0

y = f ( 1- 2019 x )

f ( 1- 2019 x ) = 0

y = f ( 1- 2019 x)

y = f ( 1- 2019 x )
có tối đa 4 nghiệm và hàm số
có ba

có tối đa 7 điểm cực trị.


3
2
Câu 19. [2D1-2.4-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Cho hàm số y   x  3mx  3m  1 với
m là tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị
đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x  8 y  74  0 .

A.

m � 1;1

.

B.

m � 3; 1

.

C.

m � 3;5

.

D.

m � 1;3

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Hữu ; Fb: Nguyễn Trần Hữu
Chọn D
y�
 3x 2  6mx ; y �
 0 � x  0 �x  2m .
�
Hàm số có CĐ, CT khi và chỉ khi PT y  0 có 2 nghiệm phân biệtuuur۹ m 0 .
A  0; 3m  1 B  2m; 4m3  3m  1 � AB   2m; 4m3 

2
Khi đó điểm cực trị là:
;
.
3
I  m; 2m  3m  1
Trung điểm I của AB có toạ độ:
.
r
u   8; 1
Đường thẳng d : x  8 y  74  0 có một VTCP
.
�I �d
��
�AB  d
và B đối xứng với nhau qua d
�
16m3  23m  82  0
3
3
�
m

8
2
m

3
m


1

74

0
16m  23m  82  0 �
�
�
� �uuur r
��
� ��
m0
16m  4m3  0
�AB.u  0
�
��
m  �2
��





� m  2 ( thỏa mãn điều kiện m �0 ). Suy ra m � 1;3 .

Câu 20. [2D1-2.4-3] (Văn Giang Hưng Yên) Cho hàm số
y  f '  x
hàm số
như hình vẽ sau:

y  f  x

y  f  x  2018  2019x  1
Số điểm cực trị của hàm số
là
2.
1.
3.
A.
B.
C.

có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị

.
D. 4.

Lời giải
Tác giả: Đào Thùy Linh; Fb:Thùy Linh Đào
Chọn B

y  f  x  2018   2019 x  1 � y '  f '  x  2018   2019
Do đó

y '  0 � f '  x  2018   2019

.

(1).

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
thẳng y  2019 .

y  f ' x

với đường


y  f ' x
Từ đồ thị hàm số
ta thấy (1) chỉ có 1 nghiệm đơn. Vậy hàm số
y  f  x  2018  2019x  1
chỉ có 1 điểm cực trị.
Câu 21. [2D1-2.4-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Với giá trị nào của tham số m để
3
2
đồ thị hàm số y  x  3x  m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA  OB ( O là gốc tọa
độ)?
3
1
5
m
m
m
2.
2.
2.
A.
B. m  3 .
C.

D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc ; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn D
Tập xác định: D  �.

x0
�
2
�
y

0
�
3
x

6
x

0
�
�
x  2.
y�
 3x 2  6 x ,
�
Do đó đồ thị hàm số đã cho ln có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là
B  2; 4  m 

A  0; m 

và

OA  OB � 02  m 2  22   4  m  � m2  4   4  m 
2

Ta

có
5
� 20  8m  0 � m 
2.

2

Câu 22. [2D1-2.4-3]

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-33
2
Bắc-Ninh-2019) Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y  x  3x  m có hai điểm
cực trị A , B thỏa mãn OA  OB ( O là gốc tọa độ)?
3
1
5
m
m
m
2.
2.

2.
A.
B. m  3 .
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc ; Fb: Quốc Nguyễn

Chọn D
Tập xác định: D  �.

x0
�
y�
 0 � 3x 2  6 x  0 � �
x  2.
y�
 3x  6 x ,
�
2

Do đó đồ thị hàm số đã cho ln có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là
B  2; 4  m 

� 20  8m  0 � m 

có
5
2.

và

OA  OB � 02  m 2  22   4  m  � m2  4   4  m 
2

Ta

A  0; m 

2