Dang 6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số(VDC)

Câu 1.

[2D1-5.6-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số
liên tục trên

( 0;+ ∞ )

thỏa mãn

f ′( x) +

y = f ( x)

f ( x)
x

= 4 x 2 + 3x, ∀x ∈ ¡

và

A.

y = − 16 x − 20 .

B.

x = 2 là
y = 16 x − 20 .

C.

y = 16 x + 20 .

D.

y = − 16 x + 20 .

tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x)

f ( 1) = 2 .

có đạo hàm

Phương trình

tại điểm có hồnh độ

Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope
Chọn B
Ta có

f ′ ( x) +

f ( x)
x

= 4 x 2 + 3 x ⇔ x. f ′ ( x ) + f ( x ) = 4 x 3 + 3x 2

.

⇔ ( x. f ( x ) ) ′ = 4 x3 + 3x 2 ⇔ x. f ( x ) = ∫ ( 4 x 3 + 3x 2 ) dx ⇔ x. f ( x ) = x 4 + x 3 + C .
Vì

f ( 1) = 2 ⇒ 1. f ( 1) = 2 + C ⇔ 2 = 2 + C ⇔ C = 0 .

Suy ra

x. f ( x ) = x 4 + x3 ⇒ f ( x ) = x3 + x 2 .

Khi đó:

f ′ ( x ) = 3x 2 + 2 x; f ′ ( 2 ) = 16; f ( 2 ) = 12 .

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x)

tại điểm có hồnh độ

y = 16 ( x − 2 ) + 12 ⇔ y = 16 x − 20 .
Câu 2.

[2D1-5.6-4]

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)

Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số

f ′( x) +

f ( x)

y = f ( x)

x

= 4 x 2 + 3x, ∀x ∈ ¡

tại điểm có hồnh độ

y = f ( x)
và

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-

có đạo hàm liên tục trên

f ( 1) = 2 .

x = 2 là

( 0;+ ∞ )

thỏa mãn

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

x = 2 là

A.

y = − 16 x − 20 .

B.

y = 16 x − 20 .

C.

y = 16 x + 20 .

D.

y = − 16 x + 20 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope
Chọn B
Ta có

f ′ ( x) +

f ( x)
x

= 4 x 2 + 3 x ⇔ x. f ′ ( x ) + f ( x ) = 4 x 3 + 3x 2

.

⇔ ( x. f ( x ) ) ′ = 4 x3 + 3 x 2 ⇔ x. f ( x ) = ∫ ( 4 x 3 + 3 x 2 ) dx ⇔ x. f ( x ) = x 4 + x 3 + C .
Vì

f ( 1) = 2 ⇒ 1. f ( 1) = 2 + C ⇔ 2 = 2 + C ⇔ C = 0 .


Suy ra

x. f ( x ) = x 4 + x3 ⇒ f ( x ) = x3 + x 2 .

Khi đó:

f ′ ( x ) = 3x 2 + 2 x; f ′ ( 2 ) = 16; f ( 2 ) = 12 .

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x)

tại điểm có hồnh độ

y = 16 ( x − 2 ) + 12 ⇔ y = 16 x − 20 .
Câu 3.

( C ) . Hàm số
y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại
điểm có hồnh độ bằng 1 . Hỏi ∆ và ( C ) có bao nhiêu điểm chung?
[2D1-5.6-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm đa thức bậc bốn

A.

2.

B.

3.

y = f ( x)

x = 2 là

C. 1 .

có đồ thị

D.

4.

Lời giải
Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê
Chọn B

Ta có tiếp tuyến

∆

của

( C)

Dựa vào đồ thị của hàm số

tại

x = 1 là y = f ′ ( 1) ( x − 1) + f ( 1) .

f ′ ( x ) , ta có f ′ ( 1) = 0 .

Vậy

∆ : y = f ( 1) .

Gọi

a1 , a2 là hai nghiệm còn lại của f ′ ( x ) . Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:


∆ : y = f ( 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Câu 4.

( C)

và

[2D1-5.6-4] (Ngơ Quyền Hà Nội) Cho hàm số
thuộc đường thẳng

là

A.

34 .

B.

y=

x+ 3
x − 1 có đồ thị là ( C ) , điểm M thay đổi

M có hai tiếp tuyến của ( C ) với hai tiếp điểm
AB luôn đi qua điểm cố định là H . Độ dài đoạn

sao cho qua

A , B . Biết rằng đường thẳng

tương ứng là

OH

d : y = 1 − 2x

có ba điểm chung.

10 .

C.
Lời giải

29 .

D.

58 .

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật
Chọn D

M ( m;1 − 2m ) ∈ d . Gọi ∆

Gọi

đường thẳng

Để

∆

∆ : y = k ( x − m ) + 1 − 2m .

là tiếp tuyến của đồ thị

k=−

Thay

là đường thẳng đi qua

( C)

( x − 1)

2

M

kẻ

được

vào

hai

có hệ số góc là

k , khi đó phương trình

x+3
 x − 1 = k ( x − m ) + 1 − 2m


4
−
=k
2

x
−
1

)
thì hệ phương trình  (
có nghiệm.

4
phương

mx 2 + 2 ( 2 − m ) x − m − 2 = 0 ( *)
Qua

M

x+ 3
= k ( x − m ) + 1 − 2m
x−1

trình

ta

được

.

tiếp

tuyến

với

( C)

khi

và

chỉ

khi

phương

trình

g ( x ) = mx 2 + 2 ( 2 − m ) x − m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1
a = m ≠ 0

m ≠ 0
2
⇔ ∆′ = ( 2 − m ) + m ( m + 2 ) > 0 ⇔ 
m ≠ 1

g
1
=
m

+
4
−
2
m
−
m
−
2
≠
0
(
)
.

Gọi

A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B )

là hai tiếp điểm, với

x A , xB

là hai nghiệm của phương trình

( *) .



2 ( m − 2)

 x A + xB =
m

x x = − m + 2
Theo địnhlý Vi-et ta có  A B
.
m

Gọi

I

là trung điểm của đoạn thẳng

AB

 m−2 m+3
I
;
÷
thì  m m − 1  .

uuur 
2 m ( xB − x A ) 
AB =  xB − xA ;
÷
m − 1  ⇒ một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Mặt khác


r
n = ( 2m;1 − m ) .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

AB

có một vectơ pháp tuyến

AB

là

r
n = ( 2m;1 − m )

và đi

 m−2 m+3
I
;
÷
qua điểm  m m − 1  là 2mx + ( 1 − m ) y + 7 − m = 0 .
Gọi

H ( xH ; y H )

Khi đó,

là điểm cố định mà đường thẳng

đi qua.

2mxH + ( 1 − m ) yH − m + 7 = 0 ⇔ m ( 2 xH − yH − 1) + yH + 7 = 0

 2 xH − y H − 1 = 0
⇔

Suy ra  yH + 7 = 0
Vậy

AB

OH =

( − 3) + ( − 7 )
2

2

với mọi

m≠ 0

và

m ≠ 1.

 xH = − 3
⇒ H ( − 3; − 7 )


y
=
−
7
.
 H

= 58 .

Phát triển câu 38.

Câu 38-1.

Cho hàm số

d : y = 1− 2x

sao cho qua

Khoảng cách từ
A.

34 .

y=

M

x+ 3

x − 1 có đồ thị là ( C ) , điểm
có hai tiếp tuyến của

O đến đường thẳng AB
B. 10 .

( C)

M

thay đổi thuộc đường thẳng

với hai tiếp điểm tương ứng là

A, B .

lớn nhất bằng
C.

58 .

D.

29 .

Lời giải
Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi
Chọn C
Kế thừa Lời giải trên, ta có đường thẳng

AB : 2mx + ( 1 − m ) y − m + 7 = 0

định

H ( − 3; − 7 ) .

luôn đi qua điểm cố


Gọi

K

là hình chiếu vng góc của

và chỉ khi
và

m ≠ 1 ).

K ≡ H , tức là OH ⊥ AB

Vậy khoảng cách từ

O trên AB . Ta có OK ≤ OH = 58 . Đẳng thức xảy ra khi
hay

7.2m − 3 ( 1 − m ) = 0 ⇔ m =

O đến đường thẳng AB

lớn nhất bằng

3
17 (thỏa điều kiện m ≠ 0

58 .

Nhận xét.
+) Bài toán này dựa trên đặc điểm đường thẳng
cách từ

O đến AB

lớn nhất khi

AB

quay quanh điểm cố định

H

nên khoảng

AB ⊥ OH . Từ đó ta có cách hỏi như trên.

AB đi qua điểm cố định H thì học sinh có thể giải
theo cơng thức tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB . Tuy nhiên, làm theo cách
+) Nếu không phát hiện ra đường thẳng

này học sinh sẽ phải khảo sát hàm số và thực hiện các bước tính tốn phức tạp.

Câu 38-2.

Cho hàm số

d : y = 1 − 2x

sao cho qua

y=

M

x+ 3
x − 1 có đồ thị là ( C ) , điểm
có hai tiếp tuyến của

Gọi K là hình chiếu vng góc của O trên
đường trịn cố định có bán kính bằng
A.

58 .

B.

( C)

M

thay đổi thuộc đường thẳng

với hai tiếp điểm tương ứng là

AB . Khi M di chuyển trên d
58
C. 2 .

29 .

thì

K

A, B .

di chuyển trên

29
D. 2 .

Lờigiải
Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi
Chọn C
Kế thừa Lời giải bài tốn đầu tiên, ta có đường thẳng
.
Gọi

K

Khi đó

là hình chiếu vng góc của

K

nhìn đoạn

OH

AB

ln đi qua điểm cố định

O trên AB .

(cố định) dưới một góc vng nên khi

chuyển trên đường trịn đường kính

Vậy bán kính đường trịn là

R=

H ( − 3; − 7 )

OH .

OH
58

=
2
2 .

M

di chuyển trên

d

thì

K

di


AB

Nhận xét. Bài toán này kết hợp ý tưởng đường thẳng
quen thuộc ở lớp 9 là điểm
đường kính

K

nhìn đoạn

OH

đi qua điểm cố định

dưới một góc vng thì

K

H và bài tốn

thuộc đường trịn

OH .

Câu 38-3.

Cho hàm số

y=

x+ 3
x − 1 có đồ thị là ( C ) , điểm

( C)

d : y = 1− 2x

sao cho qua M có hai tiếp tuyến của
Chọn khẳng định đúng dưới đây.

M

thay đổi thuộc đường thẳng

với hai tiếp điểm tương ứng là

A, B .

AB luôn cắt hai trục tọa độ.
B. Tồn tại điểm M sao cho AB song song với trục Ox
C. Tồn tại điểm M sao cho AB song song với trục Oy .
A. Đường thẳng

D. Không tồn tại điểm

M

sao cho

AB

đi qua gốc tọa độ

O.

Lời giải
Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi
Chọn A

AB có phương trình là

Theo kết quả của bài tốn ban đầu thì đường thẳng

2mx + ( 1 − m ) y − m + 7 = 0
Do đó,

AB

khơng thể song song với trục

Tiếp đến, đường thẳng
và

AB

đi qua

m ≠ 1 ). Do đó, tồn tại điểm M

Đường thẳng
tơ đơn vị

AB

r
i = ( 1;0 )

O

m≠ 0

và

m ≠ 1.

Ox , Oy .
−m+ 7 = 0⇔ m = 7
AB đi qua gốc tọa độ O .

khi và chỉ khi

sao cho

có một véc-tơ chỉ phương là
và

với

r
u = ( m − 1;2m )

r
j = ( 0;1) của các trục Ox , Oy

Vậy khẳng định đúng là “Đường thẳng

AB

nên

AB

luôn cắt các trục tọa độ.

luôn cắt hai trục tọa độ”.

[2D1-5.6-4] (Trần Đại Nghĩa) Cho hàm số

M ( x0 ; y0 )

với

đường thẳng

y=

d : 4 x + y = 0 . Giá trị của

AB

x −1
2 ( x + 1) có đồ thị là ( C ) . Gọi điểm

x0 > − 1 là điểm thuộc ( C ) , biết tiếp tuyến của ( C )

A , B và tam giác OAB
x0 + 2 y0 bằng bao nhiêu?

trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt

m≠ 0

không cùng phương với các véc-

Nhận xét. Bài toán này đặt ra dựa trên điều kiện tồn tại của đường thẳng

Câu 5.

(thỏa điều kiện

tại điểm

M

cắt trục hồnh,

có trọng tâm

G

nằm trên


5
A. 2 .

7
B. 2 .

5
C. 2 .

7

D. 2 .

−

−

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tấn Kiệt; Fb: Kiệt Nguyễn
Chọn D

y=

Có

x − 1 ⇒ y′ = 1 > 0, ∀x ≠ −1
2
2 ( x + 1)
( x + 1)
.

Tiếp tuyến của

( C)

M ( x0 ; y0 )

tại điểm

 x2
1 

A  − 0 + x0 + ;0 ÷
2 ,
Theo đề:  2
Vì

G ∈ d : 4x + y = 0

y=
có phương trình:

( x0 + 1)

2

( x − x0 ) +

x0 − 1
2 ( x0 + 1)

( d) .

 x2 − 2x − 1 
 x2 x 1 x2 − 2 x −1 
0
0
0
B  0;
G− 0 + 0 + ; 0
÷
÷

 2 ( x + 1) 2 ÷ suy ra  6 3 6 6 ( x + 1) 2 ÷.
0
0





 x02 x0 1  x02 − 2 x0 − 1
4.  − + + ÷ +
=0
2
6
3
6
6
x
+
1
(
)


ta có:
0

 x02 − 2 x0 − 1 = 0




⇔
1
1
2
=2
⇔ x0 − 2 x0 − 1  − 2 +
÷= 0
2
2


÷
2
x
+
1
2
x
+
1
(
)
( 0 ) 
 0


(

1

)

( 1)
( 2)

.

( 1) : x02 − 2 x0 − 1 = 0 khơng xảy ra vì lúc này A ≡ B ≡ O .

1

 x0 = − 2 > −1 ( N )
⇔
1
1
2
=
2
( 2) :
 x = − 3 < −1 ( L )
2
⇔
x
+
1
=
(
)
0
0

2 ( x0 + 1)
.
2
4 

1
3
7
x0 = − ⇒ y0 = − ⇒ x0 + 2 y0 = −
Với
2
2
2.

Câu 6.

[2D1-5.6-4] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số

f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d , có đồ thị (C )

và

(C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại điểm thứ hai N ;
tiếp tuyến của (C ) tại N cắt (C ) tại điểm thứ hai P . Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường thẳng MN và (C ) ; đường thẳng NP và (C ) . Mệnh đề nào dưới đây là

M

là một điểm bất kì thuộc

đúng ?
A.

S1 = 8S2

.

B.

S2 = 8S1 .

C.

S2 = 16S1 .

D.

S1 = 16S2 .

Lời giải
Tác giả:Phạm Hoàng Hải ; Fb: phamhoang.hai.900
Chọn C
Giả sử

M

là

a > 0 và gọi m, n, p lần lượt là hoành độ các điểm M , N , P với m < n . Tiếp tuyến tại
y = ex + f cắt (C ) tại điểm M , N có hồnh độ m, n trong đó tại điểm M là điểm tiếp

xúc. Vì vậy phương trình

(ax3 + bx2 + cx + d ) − (ex + f ) = a( x − m) 2 ( x − n)
2m + n =

x1 = x2 = m; x3 = n . Theo định lý vi-et ta có
Với giả sử

m< n⇒ m<

NP

Sử dụng tích phân

S1 = S( MN ,(C )) =

2
∫ ( x − a) ( x − b)dx =
a

b
− − 2m
a

∫

m

S 2 = S( NP ,( C )) =

b
− −2m
a

∫

b
+4m
a

=

∫

m

có

−b
−b
−b  −b
 b
⇔ p = − 2 n = − 2  − 2m ÷ = + 4 m < n
a
a
a
 a
 a

b

b
− −2m
a

−b
b
⇔ n = − − 2m
.
a
a

−b
.
3a

Một cách tương tự cho tiếp tuyến

2n + p =

có các nghiệm là

−1
(a − b) 4
12
. Diện tích các mặt phẳng:

 b


a ( x − m)  x + + 2m ÷dx = −
 a

2

2

b


a  x + + 2m ÷
a


2

b


a  x + + 2m ÷
a



b
− − 2m
a

∫

m

4

a b
 b


a( x − m)  x + + 2m ÷ dx =  − − 3m ÷
12  a
 a


2

b


 x − − 4m ÷dx
a


4

b
a  2b



 x − − 4m ÷dx =  − − 6m ÷

a
12  a




⇒ S2 = 16S1 .
*Lưu ý: Có thể chọn 1 hàm bậc ba cụ thể với điểm M cụ thể để thử đáp án trắc nghiệm.
Câu 7.

[2D1-5.6-4] (Chuyên KHTN) Cho hàm số

( C)

y = − x3 + 3 x 2 + 9 x có đồ thị ( C ) . Gọi A, B, C , D
a , b, c , d

là

ABCD là một hình
thoi đồng thời hai tiếp tuyến tại A và C song song với nhau và đường thẳng AC tạo với hai
trục tọa độ tam giác cân. Tính tích abcd .
A. 60 .
B. 120 .
C. 144 .
D. 180 .
bốn điểm trên đồ thị

với hoành độ lần lượt là

sao cho tứ giác

Lời giải
Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn
Chọn B
Đặt

A ( a; y ( a ) ) , B ( b; y ( b ) ) , C ( c; y ( c ) ) , D ( d ; y ( d ) ) .

Theo giả thiết

y′ ( a ) = y′ ( c ) ⇔ − 3a 2 + 6a + 9 = − 3c 2 + 6c + 9 ⇔ a + c = 2 (vì a ≠ c ).


Do đường thẳng
AC:

AC

cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng

k = ± 1.

y ( c) − y ( a)
− c3 + 3c 2 + 9c + a 3 − 3a 2 − 9a
k = 1⇒
= 1⇔
= 1 ⇔ ac = − 10
TH1:

.
c− a
c− a

ABCD

Do

là

uuur uuur
 AB = DC  b − a = c − d
⇒
⇔

 AC ⊥ BD  y′BD = − 1
Do đó

thoi

nên

có

b + d = a + c = 2

⇒ bd = − 12
 y ( d ) − y ( b)
=
−

1

.
 d −b

abcd = 120 .

[2D1-5.6-4]

(THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)

y = ( m + 1) x 3 − ( 2m + 1) x − m + 1 có đồ thị ( Cm ) , biết rằng đồ thị ( Cm )
định

ta

k = − 1 . Lập luận tương tự ta thu được abcd = 120 .

TH2:
Câu 8.

hình

A, B , C

thẳng hàng. Có bao nhiêu số ngun

tuyến vng góc với đường thẳng chứa ba điểm

19 .

A.

m

thuộc đoạn

A, B , C ?
B. 1 .

Cho

hàm

số

ln đi qua ba điểm cố

[ − 10;10]
C.

để

( Cm )

có tiếp

20 . D. 10 .

Lời giải

Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông
Chọn C
Gọi

A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC )

Ta có:

A là điểm cố định mà đồ thị ( Cm )

luôn đi qua nên

A ∈ ( Cm ) , ∀ m

⇔ y A = ( m + 1) x3A − ( 2m + 1) x A − m + 1, ∀ m
⇔ m ( x3A − 2 x A − 1) + x A3 − x A + 1 − y A = 0, ∀ m
 x3 − 2 xA − 1 = 0
⇔  3A
⇔
x
−
x
+
1
−
y
=
0
 A A
A

 xA3 − 2 xA − 1 = 0
⇔

3
y
=
x
−
2
x
−
1
+
x
+
2
 A A
A
A

Tương tự ta cũng chứng minh được: yB
Hay ba điểm
Ta lại có:

Khi đó để

A, B , C

thuộc đường thẳng

y′ = 3 ( m + 1) x 2 − ( 2m + 1)

( Cm )

phải có nghiệm

= xB + 2

và gọi

và

 xA3 − 2 xA − 1 = 0

 y A = xA + 2

yC = xC + 2 .

∆ : y = x+ 2.
M ( x0 ; y0 )

là tiếp điểm

có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

⇔ 3 ( m + 1) x02 − 2m = 0 ( *)

∆

phải có nghiệm

thì phương trình

y′ ( xo ) =

−1
= −1
k∆


+) Xét

+) Xét

m = − 1: ( *) ⇔ 2 = 0
m ≠ −1: ( *) ⇔ x02 =

(vơ lí) nên loại

m = −1

2m
3 ( m + 1)

2m
≥ 0 ⇔ m ∈ ( −∞ ; − 1) ∪ [ 0; + ∞ )
Để ( *) có nghiệm thì 3 ( m + 1)
So với điều kiện
Hay

và

m ∈ [ − 10;10]

ta được

m∈ ¢

và

m ∈ [ − 10 ; − 1) ∪ [ 0;10]

m ∈ { − 10; − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2;0;1;2;3;4;5;6;7; 8;9;10}

Vậy có
Câu 9.

m∈ ¢

20

số

m

thỏa u cầu bài tốn.

[2D1-5.6-4] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Cho đồ thị

( C ) : y = x3 − 3x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b∈ ( − 10;10 )
qua điểm B ( 0; b ) ?
A. 2.

B. 9.

để có đúng một tiếp tuyến của

C. 17.

( C)

đi

D. 16.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu.
Chọn C
Gọi

M 0 ( x0 ; x03 − 3x02 )

Tiếp tuyến

∆

qua

∆

của

là tiếp điểm.

(C ) tại M 0

có dạng

y = ( 3x02 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x03 − 3x02

B(0; b) ⇔ b = ( 3x02 − 6 x0 ) ( 0 − x0 ) + x03 − 3x02 ⇔ − b = 2 x03 − 3x02 (*) .

Có đúng một tiếp tuyến của

( C)

đi qua điểm

B ( 0; b ) ⇔ (*)

có đúng 1 nghiệm

x0 .

x = 0
g′ ( x) = 0 ⇔ 
Đặt g ( x ) = 2 x − 3x ; g′ ( x ) = 6 x − 6 x ;
x = 1 .
3

2

Ta có bảng biến thiên của hàm

2

g ( x)

−b > 0
⇔
⇔
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình ( *) có đúng 1 nghiệm
−b < −1
Vì

b

ngun và

b < 0
b > 1
.


b∈ ( − 10;10 ) , suy ra b∈ { − 9; − 8;...; − 1;2;3;....;9} , có 17 giá trị của b .


Câu 10. [2D1-5.6-4] (Chuyên KHTN) Gọi
trên

(C ) . Gọi d1 , d 2

A.

là đồ thị hàm số

y = x2 + 2x + 2

là các đường thẳng đi qua M sao cho

đối xừng nhau qua tiếp tuyến của
qua một điểm

(C )

và điểm M di chuyển

d1 song song với trục tung và d1 , d 2

(C ) tại M. Biết rằng khi M di chuyển trên (C ) thì d 2 ln đi

I (a; b) cố định. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

3a + 2b = 0 .

B.
D.

a+ b = 0.

C.

ab = − 1 .

5a + 4b = 0 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb:Điệp Nguyễn

Chọn D
+) Gọi
Do

M ( x0 ; y0 )

M ∈ (C ) ⇒ y0 = x02 + 2 x0 + 2

Hệ số góc của tiếp tuyến d của
+) TH1:

(C ) tại M là f ′( x0 ) = 2( x0 + 1)

x0 > − 1

Hệ số góc của

d 2 là k = tan α

cot 2 γ − 1 

0
µα + 2$
γ = 90 ⇒ tan α = cot 2γ =
tan 2 β − 1

2 cot γ  ⇒ tan α =
2 tan β

0
Ta có βµ + γ$ = 90 ⇒ tan β = cot γ

Mà hệ số góc của tiếp tuyến d của

Khi đó

k = tan α =

(C ) tại M là tan β ⇒ tan β = 2( x0 + 1)

[2( x0 + 1)]2 − 1 4( x0 + 1) 2 − 1
=
4( x0 + 1)
4( x0 + 1)

4( x0 + 1)2 − 1
y=
( x − x0 ) + x02 + 2 x0 + 2
d
4( x0 + 1)
Phương trình đường thẳng 2 là:

Thay x = - 1 vào

d2 ta được

4( x0 + 1)2 − 1
− 4( x0 + 1) 2 + 1 2
5
2
y=
(− 1 − x0 ) + x0 + 2 x0 + 2 =
+ x0 + 2 x0 + 2 =
4( x0 + 1)
4
4 với ∀ x 0 > − 1

5
I
(
−
1;
)
Vậy d 2 luôn đi qua điểm
4 cố định
+) TH2:

x0 < − 1


Hệ số góc của

d 2 là k = tan α

Ta có:

cot φ − 1
αµ + γ$ = 900 ⇒ αµ + (1800 − 2φ$) = 900 ⇒ 2φ$ − αµ = 900 ⇒ tan α = − cot 2φ = −

2cot φ 

βµ + φ$ = 900 ⇒ tan β = cot φ

2
tan β − 1
⇒ tan α = −
2 tan β
2

Mà hệ số góc của tiếp tuyến d của

(C ) tại M là − tan β ⇒ tan β = − 2( x0 + 1)

[-2( x0 + 1)]2 − 1 4( x0 + 1) 2 − 1
k = tan α = −
=
− 4( x0 + 1)
4( x0 + 1)
Khi đó
4( x0 + 1)2 − 1
y=
( x − x0 ) + x02 + 2 x0 + 2

4( x0 + 1)
Phương trình đường thẳng d 2 là:
Thay x = - 1 vào

d2 ta được

4( x0 + 1)2 − 1
− 4( x0 + 1) 2 + 1 2
5
2
y=
(− 1 − x0 ) + x0 + 2 x0 + 2 =
+ x0 + 2 x0 + 2 =
4( x0 + 1)
4
4 với ∀ x 0 > − 1

5

I (−1; )
Vậy d 2 luôn đi qua điểm
4
+) TH3:
Khi đó

x0 = − 1

M (− 1;1) ; d1 qua M và song song với trục tung nên có phương trình là: x = − 1

Tiếp tuyến d của

Mà

cố định

d1 , d 2

(C ) tại M có phương trình: y = 1

đối xứng nhau qua tiếp tuyến d của (C ) tại M và

5
I
(
−
1;
)
Vậy d 2 luôn đi qua điểm
4 cố định

d2

qua M nên

d 2 trùng d1