Dang 3. Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực(TH)

Câu 1.

[2D4-2.3-2] (THPT ĐƠ LƯƠNG 3 LẦN 2)Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

z − ( 6 + 8i ) = 2 và z.z = 64 .
A.

3.

B.

4.

C.

2.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng
Chọn D
Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

).

 z − ( 6 + 8i ) = 2 ( x − 6 ) 2 + ( y − 8 ) 2 = 4 ( 1)
⇔

2
2
 x + y = 64 ( 2 )
Khi đó:  z.z = 64
Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

thì:

( 1)

là phương trình của đường trịn

( C1 )

có tâm

I ( 6;8) , bán kính R1 = 2 .

( 2)

là phương trình của đường trịn

( C2 )

có tâm

O ( 0;0 ) , bán kính R2 = 8 .

Vì

OI = 62 + 82 = 10 = R1 + R2 nên đường tròn ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc ngồi nhau như hình vẽ.

Suy ra hệ phương trình

( 1) , ( 2 ) có nghiệm duy nhất.

Vậy có đúng 1 số phức thỏa mãn ycbt.
Chú ý: Ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình

( 1) , ( 2)

như sau:

24

x
=
 x + y − 12 x + 96 − 16 y = 0 3 x + 4 y − 40 = 0 
24 32
5
⇔ 2 2
⇔
⇒ z= + i
( 1) , ( 2 ) ⇔  2 2

5 5
 x + y − 64 = 0
 y = 32
 x + y − 64 = 0
Hệ
.

5
2

2


Câu 2.

[2D4-2.3-2] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Trên tập số phức, tìm hai số thực

2a + ( b + i ) i = 1 + 2i

mãn
A.

với

i

là đơn vị ảo.

1
a = ,b = 1

B.
.
2

a = 0, b = 2 .

a và b thỏa

C. a =
Lời giải

0, b = 1 .

D.

a = 1, b = 2 .

Tác giả: Đỗ Bảo Châu; Fb: Đỗ Bảo Châu
Chọn D
Ta có

2a + ( b + i ) i = 1 + 2i ⇔ 2a + bi + i 2 = 1 + 2i ⇔ 2a + bi − 1 = 1 + 2i

 2a − 1 = 1
⇔
⇔
b = 2
Vậy
Câu 3.

a = 1

b = 2 .

a = 1, b = 2.

[2D4-2.3-2]

(Đặng

Thành

(2 x − y)i+ y(1 − 2i) = 3 + 7i

với
B.40.

A. 30.

Nam

i

Đề

9)

Cho

là đơn vị ảo. Giá trị của

C. 10.

số

thực

x 2 − xy

x, y

thỏa

mãn

bằng
D. 20.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồng; Fb: Nguyễn Hồng
Chọn B

 y−3= 0
⇔
⇔
2
x
−
3
y
−

7
=
0
(2
x
−
y
)i
+
y
(1
−
2i)
=
3
+
7i
⇔
y
−
3
+
(2
x
−
3
y
−
7)
i

=
0

Ta có

y = 3

x = 8.

⇒ x 2 − xy = 40 .
Câu 4.

[2D4-2.3-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho số phức
đó

z

A.

z = 6.

z

thỏa mãn

z + 2iz = 1 + 17i . Khi

bằng:
B.

C. z = 10 .
D. z = 58 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt ; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt

z = 146 .

Chọn B
Gọi

z = a + bi,( a,b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi . Theo đề, ta có

 a + 2b = 1
z + 2iz = 1 + 17i ⇔ ( a + 2b ) + ( 2a + b ) i = 1 + 17i ⇔ 
⇔
 2a + b = 17
Vậy
Câu 5.

 a = 11
⇒ z = 11 − 5i

.
b = −5

z = 146 .

[2D4-2.3-2] (Sở Quảng NamT) Cho số phức z thỏa mãn
z

3z + (1 + i ) z = 1 − 5i

. Tìm mơ đun của


z = 5.

A.

z = 5.

B.

C. z = 13 .
D. z = 10 .
Lời giải
Người làm: Phạm Liên Facebook: phạm thị liên

Chọn D
Gọi

z = a + bi ⇒ z = a − bi

3z + (1 + i ) z = 1 − 5i ⇔ 3(a − bi ) + (1 + i )(a + bi ) = 1 − 5i
⇔ 3a − 3bi + a + bi + ai − b = 1 − 5i ⇔ (4a − b) + (a − 2b) i = 1 − 5i
 4a − b = 1
a = 1
⇔
⇔
⇒ z = 1 + 3i ⇒ z = 10

 a − 2b = − 5  b = 3


Câu 6.

[2D4-2.3-2] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Tập hợp các nghiệm phức
của phương trình

2

z2 + z = 0

là

A. Tập hợp mọi số phức thuần ảo.
C.

{ − i;0} .

{ ± i;0} .
D. { 0} .
B.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú
Chọn A
Gọi

z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ )

z 2 + z = 0 ⇔ ( x + yi ) + x 2 + y 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 xyi − y 2 + x 2 + y 2 = 0
2

2

 x2 = 0
x = 0
⇔
⇔


⇔ 2 x 2 + 2 xyi = 0  xy = 0  y ∈ ¡ .
Câu 7.

[2D4-2.3-2] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Cho số phức

z

thỏa mãn điều kiện

A.

z = 25 .

( 1 + 2i )

2

z + z = 4i − 20 . Tìm z .

z = 7.

B.

C.

z = 4.

D.

z = 5.

Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Chọn D
Gọi

z = a + bi

Ta có

( 1 + 2i )

2

với

a, b Ỵ ¡

.

z + z = 4i − 20 ⇔ ( 1 + 4i − 4 ) ( a + bi ) + a − bi = 4i − 20

 − 3a − 4b + a = − 20
⇔
⇔
4
a
−
3
b
−
b
=
4


a = 4

 b = 3 ⇒ z = 4 + 3i ⇒ z = 5 .


Câu 8.

[2D4-2.3-2] (Trần Đại Nghĩa) Nếu
bằng:
A.

2.

B.

2

số thực

4.

x, y
C.

x ( 3 + 2i ) + y ( 1 − 4i ) = 1 − 32i thì x + y

thỏa:

5.

D.

−3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai Hương; Fb: Mai Hương Nguyễn
Chọn C

 3x + y = 1
⇔
 2 x − 4 y = − 32

x ( 3 + 2i ) + y ( 1 − 4i ) = 1 − 32i ⇔ ( 3x + y ) + ( 2 x − 4 y ) i = 1 − 32i ⇔ 

 x = −2

y = 7 .

Khi đó x + y = 5 .

Câu 9.

[2D4-2.3-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Có bao nhiêu số phức
thỏa mãn
A. 4.

( 1 + i ) z + ( 2 − i ) z = 13 + 2i ?
B. 3.

C. 2.
Lời giải

z

D. 1.
Tác giả: Đào Thị Kiểm ; Fb: Đào Kiểm

Chọn D

) , khi đó ta có:
( 1 + i ) z + ( 2 − i ) z = 13 + 2i ⇔ ( 1 + i ) ( x + yi ) + ( 2 − i ) ( x − yi ) = 13 + 2i
⇔ x − y + ( x + y ) i + 2 x − y − ( x + 2 y ) i = 13 + 2i ⇔ 3x − 2 y − yi = 13 + 2i

Gọi

z = x + yi ( x ; y ∈ ¡

 3 x − 2 y = 13
⇔
⇔
−
y
=
2


x = 3

 y = − 2 . Vậy

z = 3 − 2i .

Câu 10. [2D4-2.3-2] (Kim Liên 2016-2017) Tìm nghiệm phức
A. z = 1 +

2i .

B.

z = 1 − 2i .

C. z =
Lời giải

z

2 z − 3z = − 1 − 10i
D. z = − 1 + 2i .

của phương trình

− 1 − 2i .

Tác giả: ; Fb: Xuan Thuy Delta
Chọn B
Đặt z = a + bi (a, b ∈ ¡ )
Khi đó phương trình trở thành

2(a + bi) − 3(a − bi ) = − 1 − 10i ⇔ − a + 5bi = − 1 − 10i
Vậy z = 1 − 2i .
Câu 11. [2D4-2.3-2]

(THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng)

z ( 1 − 2i ) + z.i = 15 + i . Tìm mơđun của số phức
A.

z = 5.

B.

z = 4.

 − a = −1
a = 1
⇔
⇔
 5b = − 10 b = −2 .
Cho

số

phức

z

thỏa

z?
C.

Lời giải

z = 2 5.

D.

z = 2 3.

mãn:


Tác giả: Nguyễn Duy Tân ; Fb: Nguyễn Duy Tân

Chọn A
Đặt

z = a + bi , (a, b ∈ ¡ )

, ta có:

z ( 1 − 2i ) + z.i = 15 + i

⇔ ( a + bi ) ( 1 − 2i ) + ( a − bi ) .i = 15 + i

⇔ a − 2ai + bi + 2b + ai + b = 15 + i ⇔ ( a + 3b ) + ( b − a ) i = 15 + i
 a + 3b = 15
⇔
⇔
b
−
a
=
1


a = 3

b = 4 .

⇒ z = 3 + 4i ⇒ z = 5 .

Câu 12. [2D4-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

z − 2 + i = z + 1 − 2i

và

z + 4 − 2i = 3 2 ?

3.

A.

B. 1 .

C.

0.

D.

2.

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Hữu Hiền ; Fb: Huu Hien Maths
Chọn B
Gọi
•

z = a + bi

là số phức thỏa yêu cầu bài tốn. Ta có:

z − 2 + i = z + 1 − 2i ⇔ a + bi − 2 + i = a + bi + 1 − 2i ⇔ (a − 2) + (b + 1)i = (a + 1) + (b − 2)i

⇔ (a − 2)2 + (b + 1) 2 = ( a + 1) 2 + (b − 2) 2 ⇔ − 4a + 4 + 2b + 1 = 2a + 1 − 4b + 4 ⇔ a = b .
•

z + 4 − 2i = 3 2 ⇔ a + ai + 4 − 2i = 3 2 ⇔ (a + 4) + (a − 2)i = 3 2 .

⇔ (a + 4) 2 + (a − 2) 2 = 3 2 ⇔ ( a + 4 ) + ( a − 2 ) = 18 ⇔ a 2 + 2a + 1 = 0 ⇔ a = − 1 ⇒ b = − 1.
2

2

⇒ z = − 1− i .
Vậy có 1 số phức

z

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 13. [2D4-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Có bao nhiêu số phức

z. z + z = 2

và

thỏa mãn điều kiện

z = 2?

A. 2.

B. 3.

C. 1.
D. 4.
Lời giải
Tác giả: Đinh Minh Thắng ; Fb: Win Đinh

Chọn C
Cách 1: Lưu ý:

z

z.z = z . Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) .
2


 x 2 + y 2 + x + yi = 2  ( x + 4 ) + yi = 2  ( x + 4 ) 2 + y 2 = 4 ( C )



1
⇔
⇔
 2 2
2

2
2
2
( C2 )
 x + y = 4
Theo đề ta có  x + y = 2
 x + y = 4

( C2 ) .
Đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( −4;0 ) , bán kính R1 = 2 , đường trịn ( C2 ) có tâm I 2 ( 0;0 ) , bán
Số số phức

z

thỏa mãn yêu cầu bài tốn là số giao điểm của hai đường trịn

và

R2 = 2 .

kính

Kiểm tra thấy
Cách 2: Ta có:

Vậy số phức
thì

( C1 )

A

z

I1I 2 = R1 + R2 . Vậy hai đường trịn tiếp xúc ngồi , số giao điểm là 1.
z. z + z = 2 ⇔ z . z + 1 = 2 ⇔ z + 1 = 1 ⇔ z + 1 = 1
 z = 2

thỏa mãn 2 phương trình  z + 1 = 1 ⇒ Gọi

là giao điểm của đường tròn

( C1 )

tâm

I ( − 1;0 ) , bán kính R ′ = 1 .
Mặt khác ta có

OI = 1 = R − R′ ⇒ ( C1 )

và

A là điểm biểu diễn của số phức z

O ( 0;0 ) , bán kính R = 2

( C2 )

và đường tròn

( C2 )

tâm

tiếp xúc trong, vậy số giao điểm là 1.

Câu 14. [2D4-2.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Số phức
thỏa mãn
A.

z ( 1+ i) + z − i = 0

z = 1 − 2i .

B.

z

là

z = − 1 − 2i .

C. z = 1 +
Lời giải

2i .

D.

z = − 1 + 2i .

Chọn C
Gọi

z = a + bi

với

a, b∈ ¡

.

 2a − b = 0
a = 1
⇒

Từ giả thiết, ta có  a − 1 = 0
 b = 2 ⇒ z = 1 + 2i .
Câu 15. [2D4-2.3-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho số phức

2 z + ( 1 + i ) z = 1 − i . Môđun của số phức
A.

3.

B. 1 .

z

z

thỏa mãn

bằng
C.

5.

D.

5.

Lời giải
Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ
Phản biện: Đỗ Hữu Nhân ; Fb: Do Huu Nhan
Chọn D
Đặt

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

).

 3a + b + 1 = 0  a = 1
2 z + ( 1 + i ) z = 1 − i ⇔ 3a + b − 1 + ( a + b + 1) i = 0 ⇔ 
⇔
Khi đó:
 a+ b+1= 0
b = − 2 .

Suy ra

z = 1 − 2i ⇒ z = 5 .

Câu 16. [2D4-2.3-2] (KonTum 12 HK2) Có bao nhiêu số phức

(

2

)

z

thỏa mãn

z − 2 + 3i = z + 1 − i

và

z +2 z+z =5?
A. 1 .

B.

0.

C. 2 .
D. 4 .

Lời giải
Tác giả: Đinh Văn Trường; Fb: Đinh Văn Trường

Chọn C
Cách 1.
Đặt
+)

z = x + yi ( x , y ∈ ¡

z − 2 + 3i = z + 1 − i ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = ( x + 1) + ( y − 1)
2

⇔ 6 x − 8 y − 11 = 0

(

⇔ y=

)

2

2

2

6 x − 11
8 (1).

z + 2 z + z = 5 ⇔ x 2 + y 2 + 2 ( x + yi + x − yi ) = 5
2

+)

). Ta có

⇔ x2 + y 2 + 4 x − 5 = 0

(2).
2

 6 x − 11 
x +
÷ + 4x − 5 = 0
Thay (1) vào (2), ta được
⇔
 8 
2

100 x 2 + 124 x − 199 = 0


−31 + 4 371
x =
50
⇔

−31 − 4 371
x =

.
50


−31 + 4 371
x=
Với
50
−31 − 4 371
x=
Với
50

⇒

− 92 + 3 371
y=
50

⇒

− 92 − 3 371
y=
50

⇒
⇒

z=

− 31 + 4 371  − 92 + 3 371 
+ 
÷÷i
50
50

 .

z=

− 31 − 4 371  − 92 − 3 371 
+ 
÷÷i
50
50

 .

Vậy có hai số phức thỏa mãn u cầu bài toán.
Cách 2.
Từ (1) và (2) suy ra số các số phức
thẳng

z

thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số giao điểm của đường

2
2
∆ : 6 x − 8 y − 11 = 0 với đường tròn ( C ) : x + y + 4 x − 5 = 0 .

Đường trịn

( C)

d ( I,∆ ) =

có tâm

I ( − 2;0 )

− 12 − 11

=

và bán kính

R = 3.

23
10 < R nên ∆ cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt.

Ta có
62 + 82
Do đó, có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 17. [2D4-2.3-2] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Cho số phức

( 2 + 3i ) z + 2 z = 16 + 3i. Tính giá trị biểu thức P = 3a + b.

z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )

thỏa


A.

P = − 11 .

B. P = 17 .

C. P = − 1 .
D. P = 1 .
Lời giải
Tác giả: Trần Minh Đức ; Fb: Trần Minh Đức

Chọn C
Ta có:

( 2 + 3i ) z + 2 z = 16 + 3i ⇔ ( 2 + 3i ) ( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = 16 + 3i

a = 1
⇔ ( 4a − 3b ) + 3ai = 16 + 3i ⇔ 
 b = − 4 . Vậy



P = 3a + b = − 1.

Như Trang Nguyễn Ngọc

Câu 18. [2D4-2.3-2] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho số phức

z

Môđun của số phức
A.

25 .

z

thỏa mãn

( 3 + i ) .z − i.z = 7 − 6i .

bằng
B.

2 5.

C.

5.

D.

5.

Lời giải

Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn C

z = x + yi ( x; y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi .

Đặt

Khi đó

( 3 + i ) .z − i.z = 7 − 6i ⇔ ( 3 + i ) ( x + yi ) − i ( x − yi ) = 7 − 6i ⇔ ( 3x − 2 y ) + 3 yi = 7 − 6i .

 3x − 2 y = 7
⇔
⇔
3y = −6

x = 1

 y = − 2 ⇒ z = 1 − 2i .

z = 12 + ( − 2 ) = 5 .
2

Vậy

Câu 19. [2D4-2.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho số phức

z

thoả

z ( 1 + 2i ) − z ( 2 − 3i ) = − 4 + 12i . Tìm toạ độ điểm M biểu diễn số phức z .
M ( 3;1) .
B. M ( 3; − 1) .
C. M ( − 1;3) .
D. M ( 1;3) .

mãn
A.

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom
Chọn B
Giả sử
Khi đó:

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

) . Suy ra z = a − bi .

z ( 1 + 2i ) − z ( 2 − 3i ) = − 4 + 12i

⇔ ( a + bi ) ( 1 + 2i ) − ( a − bi ) ( 2 − 3i ) = − 4 + 12i
⇔ − a + b + ( 5a + 3b ) i = − 4 + 12i
−a + b = −4
⇔
⇔
 5a + 3b = 12

a = 3


b = − 1.


Do đó điểm

M

biểu diễn số phức

z

( 3; − 1) .

có toạ độ là

Câu 20. PT 33.1. [2D4-2.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho số
phức

z

thoả mãn

diễn cho số phức

A. Điểm

( 1 + 3i ) z − 3z = − 5 + 7i . Điểm nào sau đây trong các điểm M , N , P, Q biểu

z?

M.

B. Điểm

N.

C. Điểm

P.

D. Điểm

Q.

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom
Chọn B
Giả sử

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

) . Suy ra z = a − bi .

( 1 + 3i ) z − 3z = − 5 + 7i
⇔ ( 1 + 3i ) ( a + bi ) − 3 ( a − bi ) = − 5 + 7i
⇔ − 2a − 3b + ( 3a + 4b ) i = − 5 + 7i

Khi đó:

 − 2a − 3b = − 5
⇔
⇔
 3a + 4b = 7

a = 1

b = 1 .

Do đó điểm biểu diễn cho số phức

z

có toạ độ là

( 1;1)

là điểm

N

trên hình vẽ.

Câu 21. PT 33.2. [2D4-2.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho số

( 2i + 3) z − ( 1 − i ) z = − 2 + 8i . Khoảng cách từ điểm biểu diễn cho số phức z
trên mặt phẳng toạ độ Oxy đến điểm M ( 1;2 ) bằng
phức

z

thoả mãn

A. 1 .

B.

2.

C.

3.

D.

4.

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom
Chọn A
Giả sử

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

) . Suy ra z = a − bi .


( 2i + 3) z − ( 1 − i ) z = − 2 + 8i
⇔ ( 2i + 3) ( a + bi ) − ( 1 − i ) ( a − bi ) = − 2 + 8i
⇔ 2a − b + ( 3a + 4b ) i = − 2 + 8i

Khi đó:

 2a − b = − 2
⇔
⇔
 3a + 4b = 8
Do đó điểm

N

a = 0

b = 2 .

biểu diễn cho số phức

Ta có khoảng cách cần tìm là

z

có toạ độ là

MN = 1 .

Câu 22. [2D4-2.3-2] (Sở Hà Nam) Cho các số thực
đơn vị ảo. Tính
A.

( 0;2 ) .

a,b thỏa mãn i  2 ( a − 5) − 7i  = b + ( a + 3) i , với i

là

a− b

2.

B.

6.

C. 12 .

D.

3.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Sỹ; Fb: Nguyễn Văn Sỹ
Chọn B

i  2 ( a − 5) − 7i  = b + ( a + 3) i

⇔ 7 + 2 ( a − 5 ) i = b + ( a + 3) i
 b = 7
⇔
⇔
 a + 3 = 2 ( a − 5 )

b = 7
⇒ a − b = 13 − 7 = 6.

a
=
13
