SKKN:Giải bài toán đưa về phương trình bậc hai

Sáng kiến kinh nghiệm

i. LờI NóI ĐầU
Đây là tài liệu nói về phơng pháp học giải toán bằng cách lập phơng
trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ
và tìm lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đà học. Tài liệu
này là cầu nối giữa lí thuyết và thực hành toán học.
Học giải toán là một cách t duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn
đề trừu tợng và khá khó đối với học sinh, nhng đó lại là điều rất cần thiết
cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trờng THCS.
Nội dung giới thiệu:
1. Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm:
ã Đề bài
ã Tìm hiểu đề bài
ã Hớng dẫn cách tìm lời giải
ã Cách giải
ã Khai thác bài toán.
2. Các bài toán tự giải
Các vị phụ huynh học sinh, các thầy cô giáo có thể dùng tài liệu này
làm tài liệu híng dÉn con em m×nh häc tËp. Hy väng r»ng tài liệu này sẽ
giúp ích nhiều cho học sinh để có thể phát huy nội lực trong giải toán nói
riêng và học toán nói chung.

-1-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm

ii. Nội dung
Giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai
A. Các bài tập điển hình
Bài 1:
a. Tìm hai số biết tổng là 22 và tổng các bình phơng là 250.
b. Tìm một số có hai chữ số biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ số
của nó và nếu thêm 13 và tích hai chữ số đó thì sẽ đợc số viết theo thứ tự
ngợc lại.
ã Tìm hiểu đề bài
Đây là bài toán tìm số. ở câu a phải tìm hai số khi biết tổng và tổng
các bình phơng của chúng. ở câu b phải tìm một số có hai chữ số theo một
số điều kiện cho trớc.
ã Hớng dẫn cách tìm lời giải
a. Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là 22 - x. Tổng các bình phơng
của chúng lµ x2 + (22 - x)2 = 250. TiÕp tơc giải phơng trình bậc hai này.
b. Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự là x và y. Số phải tìm
sẽ là 10x + y, số viết theo thứ tự ngợc lại là 10y + x. Từ đó mà lập phơng
trình.
ã Cách giải
a. Gọi số thứ nhất lµ x (x > 0), sè thø hai sÏ lµ 22 - x. Theo bài ra ta có
phơng trình:
x2 + (22 - x)2 = 250, hay x2 + 484 - 44x + x2 - 250 = 0;
2x2 - 44x + 234 = 0 hay x2 - 22x + 117 = 0.
Giải ra ta sẽ tìm đợc

x1

= 13;

x1

= 9, thỏa mÃn điều kiện ở trên. Vậy

hai số phải tìm là 13 và 9.
-2-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hßa


Sáng kiến kinh nghiệm
b. Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x
y





9), chữ số hàng đơn vị là y (0 <

9) víi x > y.
Theo bµi ra ta có hệ phơng trình:
10 x + y = 8 ( x + y )


10 y + x = xy + 13


(1)

⇔

( 1)
( 2)

10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x =

7y
x

Thay giá trị x vào (2) ta đợc:
7y
2

=

7y
2

.y +13 => 7y2 - 27y + 26 = 0

y1 =

2;

y2 =

13

7

10y +
=>

Từ đó suy ra

x=

(loại).

7 y 7.2
=
=7,
2
2

thỏa mÃn điều kiện ở trên.

Vậy số phải tìm là 72.
ã Khai thác bài toán
Có thể giải hai bài toán tơng tự:
a. Tổng các bình phơng của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98. Tìm
hai số đó.
b. Phân tích sè 270 thµnh hai thõa sè mµ tỉng b»ng 33.
- Với bài toán a ta gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là x + 3. Theo bài
ra ta có phơng trình: x2 + (x + 3)2 =89
=> x1 = 5;

⇔ 2x2

+ 6x - 80 = 0

x2 = 8 (loại)

Vậy hai số phải tìm là 5 và 8.
- Với bài toán b nếu gọi số thừa số thứ nhất là x thì thừa số thứ hai là
33 - x. Theo bài ra ta có phơng trình:
x(33 - x) = 270
=> x1 = 18;

⇔

x2 - 33x + 270 = 0.

x2 = 15

-3-

Ngêi thùc hiƯn: Ngun ThÞ Kim Oanh

Trêng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
Vậy số 270 có thể phân tích thành hai thừa số là 18 và 15.
Bài 2:
a. Đa giác mà số đờng chéo lớn hơn số cạnh là 12 là đa giác gì?
b. Đờng cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền
thành hai đọan hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền.

ã Tìm hiểu đề
Đây là loại toán có nội dung hình học. Câu a đòi hỏi phải nắm đợc
công thức tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh. Câu b liên quan
đến hệ thức lợng trong tam giác vuông.
ã Hớng dẫn cách tìm lời giải
a. Một đa giác lồi n cạnh có số đờng chéo là

( n 3) n
2

. Từ đó mà lập ph-

ơng trình để tìm n khi biết số đờng chéo hơn số cạnh là 12.
b. Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6. áp dụng
hệ thức lợng trong tam giác vuông h2 = b'.c' (h là độ dài đờng cao, b' và c'
là hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền). Từ đó tìm đợc x và độ dài cạnh
huyền của tam giác vuông.
ã Cách giải
a. Gọi n là số cạnh của đa giác (n là số nguyên dơng). Ta biết rằng số
đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh là

( n 3) n
2

Theo bài ra ta có phơng trình:

( n 3) n n = 12 ⇔ n 2 − 5n − 24 = 0 ⇒ n1 = 8

 n = −3 (loai)
 2

2

VËy đa giác phải tìm là bát giác (hình tám cạnh).

-4-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
b. Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 (m) với
x > 0.
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta cã: h2 = b'.c' hay:
9,62 = x(x + 5,6)

⇔ x2

+ 5,6x - 92,16 = 0

=> x1 = 7,2 (tháa mÃn)
x2 = -12,8 (loại)

Ta có hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là 7,2m và 7,2 + 5,6 =
12,8m. Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m.
ã Khai thác bài toán
Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức về
hình học. Ta có thể xét thêm bài toán sau:

Cho một số điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào
thẳng hàng thì số đờng thẳng qua từng cặp điểm một là

( n 1) n
2

(đờng

thẳng).
Theo bài ra ta có phơng trình:
( n 1) n
2

= 45

n2

- n - 90 = 0 => n = 10

Lu ý: nếu trong n điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng thì số đờng thẳng
vẽ đợc sẽ giảm đi 2 (vì qua 3 điểm không thẳng hàng thì vẽ đợc 3 đờng
thẳng còn qua 3 điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ đợc một đờng thẳng).
Bài 3:
a. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc dòng 36 km.
Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi
dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6 km/h. Tìm vận tốc của canô khi xuôi
và khi ngợc dòng.
-5-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
b. Một ngời đi xe đạp từ ®Þa ®iĨm M ®Õn ®Þa ®iĨm N trong mét thêi
gian đà định. Khi còn cách N 30 km ngời ấy nhận thấy nếu giữ nguyên
vận tốc đang đi thì sẽ đến N chậm mất
km/h nên đến sớm hơn

1
2

1
2

giờ , do đó đà tăng vận tốc lên 5

giờ. Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu?

ã Tìm hiểu đề bài
Đây là loại toán chuyển động. ở câu a là canô xuôi dòng và ngợc
dòng, ở câu b là ngời đi xe đạp sẽ đến nơi chậm và đến nơi sớm hơn thời
gian dự định nếu tăng vận tốc. ở cả hai câu đều yêu cầu tìm vận tốc.
ã Hớng dẫn cách tìm lời giải
a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h, vận tốc khi ngợc dòng sẽ
là x - 6 km/h. HÃy tính thời gian khi xuôi dòng và khi ngợc dòng, từ đó
mà lập đợc phơng trình bậc hai. Sẽ tìm đợc hai đáp số.
b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h. HÃy tính thời gian đi 30 km
lúc đầu và thời gian đi 30 km khi đà tăng vận tốc thêm 5 km/h. Từ đó mà

lập đợc phơng trình bậc hai.
ã Cách giải
a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h (x > 0), vận tốc khi ngợc
dòng sẽ là x - 6 km/h.
Thời gian xuôi dòng là

90
x

giờ, khi ngợc dòng là

36
x6

giờ. Do thời

gian xuôi nhiều hơn thời gian ngợc là 2 giờ nên ta có phơng trình:

90 36
45 18

= 2 hay

= 1 ⇔ x 2 − 33 x + 270 = 0
x x−6
x x−6
=> x1 = 15 (t/m) ; x2 = 18 (t/m)
Vậy vận tốc canô khi xuôi dòng là 15 km/h hoặc 18 km/h.
-6-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
vận tốc canô khi ngợc dòng là 9 km/h hoặc 12 km/h.
b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h, khi đà tăng vận tốc là(x + 5)
km/h, (x > 0).
Thời gian đi 30 km lúc đầu là

30
,
x

lúc sau là

30
(giờ)
x+5

Theo bài ra ta có phơng trình:
30 1
30 1
=
+ .
x 2 x+5 2

Ta đợc phơng trình bậc hai
là

x1 = 10, x2 = 15

x 2 + 5 x 150 = 0 .

Giải ra ta đợc nghiệm

(loại). vậy vận tốc xe đạp lúc đầu là 10km/h.

ã Khai thác bài toán
Sau đây là bài toán tơng tự
Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với canô xuôi từ
bến A là một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B canô trở
ngay về A và gặp bè khi bè trôi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của canô biết
rằng vận tốc riêng của canô không đổi. Thời gian từ lúc đi đến khi về gặp
bè là 2giờ 40phút.
Trong bài này cần lu ý là có chiếc bè trôi, nh thế vận tốc bè trôi 3km/h
chính là vận tốc dòng nớc.
40

Gọi vận tốc riêng của canô là x km/h ( x>o). Thời gian lúc xuôi là x + 3
32

, thời gian lúc ngợc là x 3 giờ.
Theo bài ra ta có phơng trình:
40
32
8
+
= ,

x +3 x 3 3

8

( đổi 2giờ 40 = 3 giờ ).

Giải ra ta sẽ tìm đợc x= 27. Vậy vận tốc riêng của canô là 27km/h.
Bài 4:
-7-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hßa


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm
a) Ngêi ta trén lÉn 8g dung dịch A vời 6g dung dịch B có khối lợng
riêng nhỏ hơn nó là 200 kg/m3 để đợc một dung dịch có khối lợng riêng là
700kg/m3. Tìm khối lợng riêng của mỗi dung dịch.
b) Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể
trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh
hơn vòi B là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu
mới đầy bể ?
ã Tìm hiểu đề bài
a) Đây là bài toán về hỗn hợp, trộn hai dung dịch A và B để đợc một
dung dịch mới.
b) Loại toán này là toán về vòi nớc chảy.
ã Hớng dẫn cách tìm lời giải
a) Gọi khối lợng riêng của dung dịch A là x kg/m3, khối lợng riêng
của dung dịch B sẽ là x- 200kg/m3. HÃy tính thể tích của dung dịch A và

của dung dịch B rồi tính khối lợng của hỗn hợp và thể tích của hỗn hợp.
Từ đó mà lập phơng trình của bài toán.
b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x, số giờ vò B chảy riêng
đầy bể sẽ là x+ 2. HÃy tính xem trong 1 giờ mỗi vòi rồi cả hai vòi chảy
vào đợc bao nhiêu phần bể. Từ đó mà lập đợc phơng trình.
ã Cách giải
a) Gọi khối lợng riêng của dung dịch A là x kg/m3. Khối lợng riêng
của dung dịch B sẽ là (x-200) kg/m3 với x>200.
Đổi 8g = 0,008 kg và 6g = 0,006kg. Ta có:
Thể tích dung dịch A là

0, 008
,
x

thể tích dung dịch B là

0, 006
.
x 200

-8-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
Khối lợng của hỗn hợp là 0,008 + 0,006 = 0,014. Thể tích của hỗn

hợp là

0, 014
.
700

Theo bài ra ta có phơng trình:
8
6
14
1
0, 008 0, 006 0, 014
+
=
=
=
, hay +
;
x
x − 200
700
x x − 200 700 50

400(x - 200) + 300x = x2- 200 ; x2 - 900x + 80 000 = 0.
Giải ra tìm đợc

x1

= 800,

x2

= 100 ( loại vì nhỏ hơn 200).

Vậy khối lợng riêng của dung dịch A là 800kg/m3 và của dung dịch B
là 600 kg/m3.
b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x( x > 0). Số giờ để vòi B
chảy đầy bể sẽ là x + 2.
Trong 1 giờ vòi A chảy vào đợc
hai vòi chảy trong 1 giờ đợc 1:

35 12
=
12 35

1
x

1

bể, vòi B chảy vào đợc x + 2 bể, cả

bể (đổi 2giờ 55phút thành

35
12

giờ).

Theo bài ra ta có phơng trình:

1
1
12
+
=
x x + 2 35

hay 35(x+2) +35x =12x(x+2).

Thực hiện phép tính đợc phơng trình 6x2- 23x- 35 = 0. Giải ra ta đợc
hai nghiệm

x1 = 5, x2 =

7
(
6

loại).

Vậy nếu chảy riêng thì vòi A phải chảy trong 5 giờ và vòi B phải chảy
trong 7 giờ mới đầy bể.
ã Khai thác bài toán
Bài toán về vòi nớc còn có thể ra dới dạng công việc cùng làm chung,
chẳng hạn bài toán sau (giải bằng cách lập hệ phơng trình bậc nhất):

-9-

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
Hai ngời thợ cùng làm một công viƯc trong 7giê 12 phót th× xong.
NÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 5 giê vµ ngêi thø hai lµm trong 6 giờ thì cả
hai ngời chỉ làm đợc

3
4

công việc.

Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Cách giải sẽ nh sau. Gọi số giờ mà ngời thứ nhất làm xong công việc
là x, số giờ mà ngời thứ hai làm xong công việc là y (x,y>0).
Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc
1
y

công việc. Đổi 7 giờ 12 phút thành

1
x

công việc, ngời thứ hai làm đợc

36
giờ.
5

Theo bài ra ta có hệ phơng

trình:
5
1 1
x + y = 36


5 + 6 = 3
x y 4


Giải ra ta đợc x= 12, y =18, phù hợp với điều kiện ở
trên. Vậy muốn làm xong công việc thì ngời thứ nhất phải

làm trong 12 giờ, ngời thứ hai làm trong 18 giê.

- 10 -

Ngêi thùc hiƯn: Ngun ThÞ Kim Oanh

Trêng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm

iii. kết luận
Do thời gian có hạn nên chủ đề mà tôi nghiên cứu chắc chắn sẽ còn
nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong đơc sự đóng góp ý kiến của các đồng

nghiệp để tài liệu của tôi đợc hoàn thiện hơn. Mọi thông tin góp ý của các
bạn đều vô cùng quý giá với bản thân tôi.
Cuối cùng tôi xin trân trọng biết ơn!

Nhân Hòa, ngày 8 tháng 1 năm 2008.
Ngi vit.

Nguyễn Thị Kim Oanh

- 11 -

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hßa


Sáng kiến kinh nghiệm

- 12 -

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm
B. bài tập tự chọn
Bài 1:
Một rạp hát chứa đợc 300 chỗ ngồi. Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dÃy
ghế và bớt đi 3 dÃy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi rạp hát có mấy dÃy

ghế?
Bài 2:
Ngời ta rào một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều
rộng là 20m. Hỏi hàng rào đó dài bao nhiêu nếu diện tích khu vên lµ
3500m2 vµ ngêi ta mn chõa mét cỉng ra vào rộng 1m?

- 13 -

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm

iv. Phụ lục
I. Bản cam kết :
Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập -Tự do - Hạnh phúc

Bản cam kết
1. Tác giả
Họ và tên : Nguyễn Thị Kim Oanh
Sinh ngày 15 Tháng 10 Năm 1982
Đơn vị công tác: Trờng THCS Nhân Hoà, xà Nhân Hoà, huyện Vĩnh Bảo,

Thành phố Hải Phòng.
Điện thoại : 0975223450
2. Sản phẩm
Tên sản phẩm: giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai

3. Cam kết:
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân
tôi. Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với sản phẩm này, tôi
hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lÃnh đạo đơn vị, lÃnh đạo Sở GD&ĐT về
tính trung thực của bản cam kết này.
Vĩnh Bảo, Ngày 15 Tháng 02 năm 2008
Ngời cam kết

Nguyễn Thị Kim Oanh
- 14 -

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


Sáng kiến kinh nghiệm

II. Tài liệu tham khảo:
1. Sách giáo khoa đại số 9 tập 2
Nhà xuất bản giáo dục 2005
2. Sách bài tập đại số 9 tập 2
Nhà xuất bản giáo dục 2005
3. Toán bồi dỡng học sinh đại số 9
Nhà xuất bản giáo dục 2002
4.Tuyển tập Toán học tuổi trẻ
Và một số tài liệu khác.

- 15 -

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm
III. Danh s¸ch c¸c s¸ng kiÕn kinh nghiệm đà viết

TT

Tên sáng kiến kinh nghiệm

Thuộc thể
loại

Năm viết

1

giải toán bằng cách lập phơng trình bậc
hai

Toán học

2007-2008

Toán học

2006-2007

2

Xếp loại

.....................................................
......................................................

- 16 -

Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh

Trờng THCS Nhân Hòa