Dang 1. Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm(TH)

Câu 1.

[2D4-4.1-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Tổng mơđun 4 nghiệm phức
4
2
của phương trình 2 z  3z  2  0 là
A. 3 2 .

C. 2 5 .

B. 5 2 .

D. 2 3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram
Chọn A
�
z 2
�
z 2
�
�
2
��
z
i
2
�
�
2

z 2
�
� �2
2
1
1
2
�
�
z
i
z    .i
4
2
�
�
�
2 .
2 2
Ta có: 2 z  3 z  2  0

Khi đó, tổng mơđun 4 nghiệm phức của phương trình đã cho bằng
2   2 

Câu 2.

2
2
i  
i 3 2

2
2

.

[2D4-4.1-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình
2
2
z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 .
A. P  20 .
B. P  40 .
C. P  0 .
D. P  2 10 .
Lời giải
Chọn A

z  1  3i
�
2
�  z  1  9 � �
2
z  1  3i .
�
Ta có z  2 z  10  0
2

Vậy
Câu 3.

2

2

2

P  z1  z2  1  3i  1  3i  20.

2
[2D4-4.1-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Phương trình z  2 z  10  0 có hai
z z
nghiệm là z1 , z2 . Giá trị của 1 2 là

A. 4 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn
Chọn C
2
Phương trình z  2 z  10  0 có  '  9  0 nên có 2 nghiệm phức là z1  1  3i, z2  1  3i .

Vậy
Câu 4.

z1  z2  6i  6.

z ,z
[2D4-4.1-2] (SỞ LÀO CAI 2019) Kí hiệu 1 2 là nghiệm phức của phương trình
2 z 2  4 z  3  0 . Tính giá trị biểu thức P  z1 z2  i ( z1  z2 ) .
7
5
P
P
2.
2.
A. P  1 .
B.
C. P  3 .
D.


Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Chung; Fb: Phạm Văn Chung
Chọn D
Ta có

z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình 2 z 2  4 z  3  0.

Theo định lý Vi-ét ta có

Biểu thức
Câu 5.

�z1  z 2  2
�

�
3
z1.z2 
�
2
�

P  z1 z2  i  z1  z2 

.
2

3
3
5
2
�3 �
  i  2    2i  � �  2   .
2
2
2
�2 �

2
[2D4-4.1-2] (Lương Thế Vinh Lần 3) Phương trình z  2 z  10  0 có hai nghiệm là z1 , z2 .
z z
Giá trị của 1 2 là
A. 4 .
B. 3 .
C. 6 .

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn
Chọn C
2
Phương trình z  2 z  10  0 có  '  9  0 nên có 2 nghiệm phức là z1  1  3i, z2  1  3i .

Vậy
Câu 6.

z1  z2  6i  6.

[2D4-4.1-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Kí hiệu z1 ,
2
2
2
z1  z2
z2
z

3
z

3

0
là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của
bằng

A. 2 3 .
B. 2 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Trang; Fb: Trang nguyễn
Chọn C
� 3  3i
z1 
�
2
��
� 3  3i
z2 
�
2
�
2
z  3z  3  0
.
2

2

� z1  z2  6
Câu 7.

.

[2D4-4.1-2] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Biết số phức z  3  4i là một nghiệm của phương

2
trình z  az  b  0 , trong đó a, b là các số thực. Tính a  b .
A. 31 .
B. 19 .
C. 1 .
D. 11 .
Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến
Chọn B
Cách 1:


2
Do z  3  4i là một nghiệm của phương trình z  az  b  0 nên ta có:

 3  4i 

2

 a  3  4i   b  0 � 7  24i  3a  4ai  b  0

7  3a  b  0
a6
�
�
��
��
24  4a  0
b  25 .
�

�
Vậy a  b  6  25  19 .
Cách 2:
2
Do z  3  4i là nghiệm phương trình bậc hai z  az  b  0 nên z  3  4i cũng là nghiệm.
Theo định lý Viét ta có:

�
 3  4i    3  4i   a �6  a �a  6
�
�
��
��
 3  4i   3  4i   b
25  b
b  25 .
�
�
�
Vậy a  b  6  25  19 .
Câu 8.

[2D4-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 5) Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương
2
trình 2 z  6 z  5  0 . Hỏi điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0 ?
�1 3 �
�3 1 �
�3 1 �
� 1 3�
M1 � ; �

M2 � ; �
M3 � ;  �
M4 �
 ; �
�2 2 �.
�2 2 �.
�2 2 �
� 2 2 �.
A.
B.
C.
.
D.
Lời giải
Tác giả : Phan Kiên ; Fb: Kien Phan
Chọn A
�
z
�
2
2z  6z  5  0 � �
�
z
�
Ta có :

3 1
 i
2 2
3 1

�3 1 � 1 3
3 1
iz0  i �  i �  i
 i
z0   i
2 2 . Suy ra
�2 2 � 2 2 .
2 2 . Do đó

�1 3 �
M1 � ; �
�2 2 �
Vì vậy điểm biểu diễn của số phức iz0 là
.

Câu 9.

2
z ,z
[2D4-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Phương trình z  3 z  4  0 có hai nghiệm phức 1 2
z1. z 2 2
. Giá trị của
bằng
A. 27 .
B. 64 .
C. 16 .
D. 8 .
Lời giải
Tác giả:; Fb: Đào Duy Cang
Chọn D

Cách 1
� 3  7i
z1 
�
2
2
�
z  3z  4  0 �
� 3  7i
z2 
�
�
2 .
Phương trình

z  z2
z ,z
Vì 1 2 là hai số phức liên hợp với nhau nên 1
. Do đó
2
z1. z2 2  z1 . z2 2  z2 . z1  z2 . z12  z2 . z12
.


Suy ra vai trò của

z1

và

z2

trong biểu thức

z1. z2 2

là như nhau.

2

z1.z2 2 

3  7i �3  7i �
.�
� 2 �
�8
2
�
�

Ta có
.
Cách 2:
z .z  4
Ta có 1 2
2
z1  z2  z1 z2  4  2 � z1 z22  z1 z2  2.2 2  8.
Câu 10. [2D4-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 10) Phương trình
phức là 3  4i . Giá trị của a  b bằng
A. 31 .

B. 5 .
C. 19 .

z 2  a z  b  0  a, b ��

có nghiệm

D. 29 .

Lời giải
Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn C
2
Cách 1: Do z  3  4i là nghiệm của phương trình z  a z  b  0 nên ta có:

3a  b  7  0 �a   6
�
��
��
 3  4i   a (3  4i )  b  0 �  3a  b  7   (4a  24)i  0 �4a  24  0
b  25 .
�
2

Do đó: a  b  19 .
2
z  3  4i
z  3  4i
Cách 2: Vì 1
là nghiệm của phương trình z  a z  b  0 nên 2

cũng là
nghiệm của phương trình đã cho.

�z1  z2  a
�
z .z  b
Áp dụng hệ thức Vi-et vào phương trình trên ta có: � 1 2
.
�
(3  4i )  (3  4i)   a
�a  6
��
�
b  25
�
� � (3  4i )(3  4i )  b
.
Câu 11. [2D4-4.1-2] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
2
2
2
P  z1  z2
z z
NGÃI) Gọi 1 , 2 là hai nghiệm phức của phương trình z  3z  3  0 . Tính
.
A. P  2 3 .
B. P  6 .
C. P  0 .
D. P  3 .
Lời giải

Tác giả: Thu Hà ; Fb: Thu Ha
Chọn B
�
3
z1   
�
2
��
�
3
z2   
�
2
�
2
Ta có: z  3 z  3  0
2

3
i
2
3
i
2 .

2

� P  z1  z2  6 .
Câu 12. [2D4-4.1-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức
2

z  z2
của phương trình z  3 z  5  0 . Giá trị của 1
bằng:


A. 2 5 .

5.

B.

C. 3 .

D. 10 .

Lời giải
Tác giả: Vũ Kiều Oanh; Fb: Rio Vũ Vũ
Chọn A
Ta có:
� 3  i 11
z1 
�
2
2
z  3z  5  0 � �
� 3  i 11
z2 
�
�
2

.
� z1  z2  5

.

� z1  z2  2 5

.

2
Cách khác : Vì phương trình bậc hai z  3z  5  0 có các hệ số thực và   0 nên nó có hai
2
2
z  z1  z1.z1  z1.z2  5 � z1  z2  2 5
nghiệm phức liên hợp của nhau. Suy ra 2
2
z ,z
Câu 13. [2D4-4.1-2] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Phương trình z  4 z  9  0 có hai nghiệm 1 2 .
T  z1  z 2
Giá trị của biểu thức
bằng

A. 2 3 .

C. 8 .

B. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến
Chọn D

�
z  2i 5
z2  4z  9  0 � �
T  z 1  z 2  2  i 5  2  i 5  2. 4  5  6
z  2i 5
�
Ta có
. Vậy
.

z, z ,z z
Câu 14. [2D4-4.1-2] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Kí hiệu 1 2 3 , 4 là bốn nghiệm phức của
2
2
2
2
4
2
z  z 2  z3  z 4
phương trình z  4 z  5  0 . Giá trị của 1
bằng
A. 2  2 5 .
B. 12 .
C. 0 .
D. 2  5 .
Lời giải

Tác giả: Minh Thế ; Fb: Yyraya Tore
Chọn B
�
z2  1
� �2
4
2
z  5
�
z

4
z

5

0
Ta có:
.
z  1, z2  1 z3  i 5 z4  i 5
Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: 1
,
,
.
2

Do đó:

2

2

2

z1  z2  z3  z4  12  12 

 5   5
2

2

 12

.

2
Câu 15. [2D4-4.1-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Biết phương trình z  az  b  0
với a, b �� có một nghiệm z  1  2i . Giá trị a  b bằng

A. 1 .

B. 5 .

C. 3 .

Lời giải

D. 3.

Tác giả: Lê Hoàng Khâm; Fb: Lê Hoàng Khâm
Chọn D
2
z  1  2i
z  1  2i
Do 1
là một nghiệm của phương trình z  az  b  0 suy ra 2
cũng là
nghiệm của phương trình đã cho.

Theo định lý Vi-ét ta có:

a  2
�z1  z2   a
�2  a
�
��
��
�
5b
b5
�
�
�z1.z2  b

Vậy a  b  3 .

.

Câu 16. [2D4-4.1-2] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Gọi

2
2
z1  z1 . z2
z

2
z

5

0
nghiệm của phương trình
. Tính
.
5
10
15
A. .
B. .
C. .
D. 0 .

z1

,

z2

là hai

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh
Chọn B

z  1  2i
�
z2  2z  5  0 � �
z  1  2i .
�
z1  z1 . z2  z1 . z2  z1 . z2  2 z1 . z2  2  1  2i   1  2i   10
2

.

Câu 17. [2D4-4.1-2] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Gọi
2
2
2
T  z1  z2
là hai nghiệm của phương trình z  2 z  10  0 . Giá trị
bằng
6
10
A. 4 .
B. .
C. .
D. 20 .

z1 z2
,

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang
Chọn D
2
Phương trình z  2 z  10  0 có hai ngiệm là 1  3i và 1  3i .
2

Vậy

2

T  1  3i  1  3i  10  10  20.

z,z
Câu 18. [2D4-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 2) Kí hiệu 1 2 là hai nghiệm phức của phương trình
z 2  3 . Giá trị của z1  z2 bằng
6.
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 3 .
A.
Lời giải
Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Phản biện: Hà Ngọc Ngô
Chọn B
�
z i 3
z 2  3 � z 2  3i 2 � �1
� z1  z2  3  3  2 3

z


i
3
�
�2
.


Câu 19. [2D4-4.1-2] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Ký hiệu
2
z .z
nghiệm của phương trình z  2 z  10  0 . Giá trị của 1 2 bằng
5
A. 5 .
B. 2 .
C. 10 .
D. 20 .

z1

,

z2

là

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy

Chọn C

z  1  3i
�
z 2  2 z  10  0 � �
z  1  3i . Vậy z1  1  3i , z2  1  3i .
�
Phương trình
Suy ra

z1 . z2  10. 10  10

.

z1 z2
,
là hai nghiệm phức của

Câu 20. [2D4-4.1-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Gọi
1 1

2
phương trình z  6 z  18  0 .Giá trị của z1 z 2 bằng
1
A. 3 .

B.



1
3.

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb:Hoàng Điệp Phạm
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn
Chọn C

�z  3  3i
1 1
1
1
1
z 2  6 z  18  0 � �1
�  


z1 z2 3  3i 3  3i
3
�z2  3  3i
Ta có
.
Câu 21. [2D4-4.1-2] (Thị Xã Quảng Trị) Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
z1  2  6i
z 2  2 z  5  0 . Giá trị của
bằng

A. 5 .
B. 5 .
C. 73 .
D. 73 .
Lời giải
Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết
Chọn A

z  1  2i
�
z 2  2z  5  0 � �
z  1  2i . Vì z1 là nghiệm phức có phần ảo âm nên z1  1  2i .
�
Ta có:
Do đó:

z1  2  6i  1  2i  2  6i  3  4i  32  42  5

Câu 22. [2D4-4.1-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG -

.

HƯNG YÊN NĂM 2019) Gọi z1 và z 2 lần
2

2

2
z  z2
lượt là nghiệm phức của phương trình: z  2z  10  0 . Tính 1

.

A. 100 .

B. 50.

C. 20 .

D. 15 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen
Chọn C


2
z  1  3i , z 2  1  3i
Giải phương trình z  2 z  10  0 ta được : 1
.
2

Khi đó :

2

z1  z 2  (1) 2  32  (1) 2  (3) 2  20

.

2

 a, b ��
Câu 23. [2D4-4.1-2] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Phương trình bậc hai z  az  b  0 ,
có một nghiệm là 3  2i . Tính S  2a  b .
A. S  25 .
B. S  32 .
C. S  25 .
D. S  32 .
Lời giải
Tác giả: Phạm Uyên; Fb: Phạm Uyên
Chọn C
Cách 1:
2
Vì phương trình z  az  b  0 có một nghiệm phức z  3  2i nên ta có:
3a  b  5  0
�
a  6
�
��
��
.
2
�  12  2a   0
b  13
(3  2i)  a(3  2i)  b  0 � 3a  b  5  (12  2a)i  0
�
Do đó S  2a  b  12  13  25 .
Cách 2: Sử dụng định lí Viet:

Ta có: z  3  2i là một nghiệm thì z  3  2i cũng là một nghiệm của phương trình.
�

6  a
a  6
�
�
�z  z   a
��
��
�
13  b
b  13 � S  2a  b  12  13  25
z. z  b
�
�
Khi đó ta có �
.
Câu 24. [2D4-4.1-2] (Chuyên Bắc Giang)Gọi
2
2
P  z1  z2
Tính
.
A. 10.
B. 5.

Chọn A
Phương trình

C. 12.
D. 14.
Lời giải

Tác giả: Phạm Chí Dũng; Fb: Phạm Chí Dũng

z 2  2 z  5  0 có 2 nghiệm là z1  1  2i , z2  1  2i .

2

Vậy

2
z1 z2
,
là các nghiệm của phương trình z  2 z  5  0 .

P  z1  z2

2

 1  2i  1  2i 
2

2



12  22

 
2



12   2 

2



2

 10 .

Câu 25. [2D4-4.1-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Tổng phần thực các nghiệm
2
phức của phương trình: z  z  1  3i  0 bằng
1 .
A.
B. 3 .
C. 1 . D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Hoàng Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn C
Cách 1:
Gọi z  a  bi .
z 2  z  1  3i  0 �  a  bi    a  bi   1  0
2

Khi đó:

� a 2  2abi  b2  a  bi  1  0 �  a 2  b 2  a  1   2ab  b  i  0
�

a2  b2  a  1  0
�
��
2ab  b  0
�

 1
 2


b0
�
�
2ab  b  0 �
1
�
a
� 2
Giải (2):
+) Thay b  0 vào (1) ta được

a 2  a  1  0  3

.

Khi đó tổng phần thực các nghiệm phức của phương trình đã cho là tổng hai nghiệm a1 ; a2 của
phương trình (3).
Theo địnhlý Vi-et ta có
+) Thay

a

a1  a2  1

. Vậy tổng các phần thực của các nghiệm bằng 1 .

1
5
b2 
2 vào (1) ta được
4 ( Vơ lí ).

Cách 2:
  5  12i  9  12i  4i 2   3  2i  .
2

Ta có:

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là:
z1 

1   3  2i 
2

 2  i; z2 

1   3  2i 
2

 1  i

.

Vậy tổng phần thực các nghiệm phức bằng 1 .

z ,z
Câu 26. [2D4-4.1-2] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho 1 2 là hai nghiệm phức của phương trình
2
2
z 2  2 z  2 0 . Giá trị của z1  z2 bằng
A. 2.
B. 4
C. 0
D. 8
Lời giải
Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang.
Chọn C

z   1 i
�
z 2  2 z  2  0 � �1
2
2
z 2   1 i
�
. Lúc đó, z1  z2  0 .
z
z
Câu 27. [2D4-4.1-2] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Gọi 1 và 2 là hai nghiệm phức của
1

1

2
phương trình 9 z  6 z  4  0 . Giá trị của biểu thức | z1 | | z2 | bằng
4
A. 3 .

3
C. 2 .

B. 3 .

D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh; Fb: Hạnh nguyễn
Phản biện: Trương Thị Thúy Lan; Fb: Lan Trương Thị Thúy
Chọn B
1
3
1
3
z1   
i
z2   
i
9 z  6 z  4  0 có hai nghiệm phân biệt
3 3 và
3 3
2

2

2
�1� � 3 � 2
| z1 || z2 | �
 � �

�
3 �
� 3� �
�
� 3
Khi đó


1
1
3 3

  3
Vậy | z1 | | z 2 | 2 2

Câu 28. [2D4-4.1-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Kí hiệu
2
z .z
trình z  3 z  5  0 . Giá trị của 1 2 bằng
1

A. 5 .

B. 2 .
C. 3 .
Lời giải

z1 , z2

là hai nghiệm phức của phương
1
D. 2 .

Chọn A
� 3
z1  
�
2
z  3z  5  0 � � 2
� 3
z2  
�
� 2
Cách 1: Ta có
Cách 2:

z1.z2 

11
i
2
�3
11 ��3

11 �
11
z
.
z


i
.

i � 5.
�
�
�
1 2
i
�2
�
2 �
2 �
�
��2
�
2 suy ra

c
 5 � z1.z2  5
a

Câu 29. [2D4-4.1-2] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức

3 4
2
của phương trình z  2 z  3  0. Mơ đun của z1 .z2 bằng
A. 81 .

C. 27 3 .
Lời giải

B. 16 .

D. 8 2 .

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn C
2
Xét phương trình z  2 z  3  0 , có  '  1  3  2  0 nên phương trình có 2 nghiệm z1 , z2

| z13 .z2 4 |  | z1 |3 . | z2 |4 
|
z
|

|
z
|

3
1
2
thỏa

. Khi đó,

 3

7

 27 3

.

Kiến thức liên quan:
+/ | z1.z2 |  | z1 | . | z2 |  z1 , z2 ��
2
2
+/ Nếu phương trình az  bz  c  0 ( với a, b, c ��, a �0 ) có   b  4ac  0 thì phương
c
| z1 | | z2 |  | z1 z2 | 
a
trình có hai nghiệm z1 , z2 là hai số phức liên hợp, và
2
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z  4 z  3  0 . Giá trị của
biểu thức | z1 |  | z2 | bằng

PT 28.1.

A. 3 2 .

B. 2 3 .

C. 3.

Lời giải

D.

3 .

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn D


2
Xét phương trình 4 z  4 z  3  0 , có  '  8  0 nên phương trình có 2 nghiệm z1 , z2 thỏa
3
| z1 |  | z2 | 
2 . Khi đó | z1 |  | z2 |  3

Hoặc cũng có thể bấm máy tính ra kết quả.
2
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình az  bz  c  0 (với
2
2
2
a, b, c �� ). Giá trị của biểu thức M  z1  z2  z1  z2  2  | z1 |  | z2 |

PT 28.2.

A.

4

c
a .

B.

4

c
a .

4
C.
Lời giải

c
a .

4
D.

c
a .

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn D
c
M   z1  z2  z1  z2   z1  z2  z1  z2  2  | z1 |2 2 | z1 z2 |  | z2 |2   4 | z1 z2 |   4 a









Câu 30. [2D4-4.1-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Gọi
3 4
z 2  2 z  3  0. Mô đun của z1 .z2 bằng
A. 81 .

z1 , z2

là các nghiệm phức của phương trình

C. 27 3 .
Lời giải

B. 16 .

D. 8 2 .

Chọn C
Ta có :

z 2  2 z  3  0 � z1,2  1 � 2i � z1  z2  3
3

Do đó

4

z13 .z 24  z1 . z 2 

 3  . 3 
3

4

 27 3

.

.

z
Câu 31. [2D4-4.1-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Gọi 0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương
2
trình z  2 z  5  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
w  i 2019 z0
?
A.

M  2;1

.

B.

M  2;1

.

C.

M  2; 1

.

D.

M  2; 1

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến.
Giáo viên phản biện: Lan Trương Thị Thúy
Chọn A
2
Ta có z  2 z  5  0 là phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm phức là 1  2i và
1  2i . Do đó z0  1  2i là nghiệm phức có phần ảo âm.
2019
4
i 2019   i 4  i 3  i 3  i
Mặt khác i  1 suy ra
nên w  i z0  i.z0  2  i do đó trên mặt
M  2;1
phẳng tọa độ điểm
biểu diễn cho số phức w .

504

Câu 32. [2D4-4.1-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Kí hiệu
2
2
2
z1  z2
z

4
z

5

0
trình
. Giá trị của
bằng

z1 z2
, là hai nghiệm phức của phương


A. 10.

B. 6.

C. 20.
D. 14.

Lờigiải
Tácgiả:Đào Thị Hương; Fb:Hương Đào

Chọn A

z1  2  i
�
�
2
2
 z  2   1 � �z2  2  i .
Phương trình. z  4 z  5  0 � z  4 z  4  1 �
2
2
� z1  z2  5  5  10 .
2

2
Câu 33. [2D4-4.1-2] (Trần Đại Nghĩa) Biết phương trình z  az  b  0 với a, b �� có một nghiệm
z  1  2i . Tính a  b
A. 1.
B. -5.
C. -3.
D. 3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Toán
Chọn D
Phương trình có nghiệm z  1  2i nên có nghiệm thứ hai z  1  2i
Ta có

z1  z2   a  2 � a  2

z1.z2  b   1  2i   1  2i   5

.

nên a  b  3 .

Câu 34. [2D4-4.1-2] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Cho số phức z  5  2i . Tìm mơđun
của số phức w  iz  z .
A.

w 6 2

.

B.

w 7 2

.

C.

w  29

.

D.

w 2 7

.

Lời giải
Chọn B
� w  iz  z  i  5  2i   5  2i � w  5i  2  5  2i  7  7i
Ta có: z  5  2i

� w  72  72  7 2

.

z ,z
Câu 35. [2D4-4.1-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Gọi 1 2 là hai nghiệm của
2
z z
phương trình z  4 z  13  0 và A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho hai số phức 1 , 2
trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Diện tích tam giác OAB bằng
A. 13 .

13
C. 2 .

B. 12 .

D. 6 .

Lời giải

Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc
Chọn D
2
�  z  2   9 �  z  2    3i 
Ta có z  4 z  13  0
� A  2;3 , B  2;  3
.
OA  OB  13 � OAB cân tại O .
2

2

2

z  2  3i
�
��
z  2  3i .
�

� H  2;0 
Gọi H là trung điểm của AB
và OH  AB , OH  2 , AB  6 .


Vậy

S OAB 

1

1
OH . AB  .2.6  6
2
2
.

Câu 36. [2D4-4.1-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Số nào sau đây là một căn
bậc hai của số phức 3  4i ?
A. 1  2i .
B. 1  2i .
C. 2  i .
D. 2  i .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang
Chọn C
Cách 1:

 a , b�� là một căn bậc hai của số phức 3  4i .
Gọi z  a  bi

Khi đó

 a  bi 

2

�2 4
a 
3
�

� a2
�
a 2  b2  3 � � 2
�
��
b
 3  4i � a 2  b 2  2abi  3  4i
2
ab

4
� a
�

�
a2
�
�
�
b 1
�
�
�
a 4  3a 2  4  0
a2  4 � �
�
�
�
a  2
�

�� 2
�� 2
�
�
b

b

�
�
b  1
�
� a
� a
�
.

Vậy z  2  i hoặc z  2  i .
Cách 2: (Thử các đáp án)
2
 Số phức z được gọi là một căn bậc hai của số phức w nếu z  w .

 Ta thấy:

 1  2i 

2

 3  4i

 1  2i 

2

 3  4i

 2  i

2

 3  4i

 2  i

2

 3  4i

Vậy 2  i là một căn bậc hai của số phức 3  4i .
Câu 37. [2D4-4.1-2] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Gọi

z1

là nghiệm phức có phần ảo âm của
7  4i
2
phương trình z  2 z  5  0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z1 trên mặt phẳng phức?
P  3; 2 
N  1;  2 
Q  3; 2 

M  1; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả:lê tài ; Fb: lê tài

Chọn A

Ta có

z  1  2i
�
z 2  2z  5  0 � �
.
z  1  2i
�


7  4i 7  4i  7  4i   1  2i 


 3  2i.
2
2

z1  1  2i
z
1

2
i
1

2
1
Theo u cầu bài tốn chọn
. Khi đó
Vậy điểm biểu diễn của số phức là

P  3; 2 

.

Câu 38. [2D4-4.1-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Gọi

z
trình :

2

 z   4  z 2  z   12  0
2

2

. Tính
S

16
B.
.

A. S  18 .

z1 z2 z3 z4
, , ,
là các nghiệm phức của phương
2

2

S  z1  z2  z3  z4

2

.
S

17
C.
.
D. S  15 .
Lời giải
Tác giả: Đào Thị Kiểm ; Fb: Đào Kiểm

Chọn C
�
z2  z  2  0
2
� �2
z 2  z  4 z 2  z  12  0 �  z 2  z  2   z 2  z  6   0
z  z6 0
�
Ta có :
z1  1
�
�
z 2  2
�
� 1  i 23
��
z3 
2
�
� 1  i 23
�
z4 
�
2
.









2

2

2
2
� 1 � � 23 � � 1 � � 23 �
S  1   2   �
 � � �
 � � �

� 17
2 �
2 �
� 2� �
� 2� �
�
�
�
�
Suy ra
.
2

2

Câu 39. [2D4-4.1-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Gọi
2
z z
nghiệm phức của phương trình z  8 z  25  0 . Giá trị 1 2 bằng
A. 5 .
B. 3 .
C. 8 .
D. 6 .

z1

,

z2

là các

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hương; Fb: Lê Hương
Chọn D
z1  4  3i
�
�
2
z  4  3i
Phương trình z  8 z  25  0 � �2
.

Suy ra:

z1  z2  6i  6

.

Câu 40. [2D4-4.1-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức i 3
và i 3 làm nghiệm?
2
A. z  5  0 .

2
B. z  3  0 .

2
2
C. z  9  0 .
D. z  3  0 .
Lời giải
Tácgiả:giang văn thảo; Fb: Văn thảo

Chọn B
Cách 1.
Giả sử hai số phức lần lượt là z1  i 3 và z2  i 3
�S  z1  z2  0
�
P  z1 z2  3
Khi đó ta có �


2
2

z ,z
Vậy 1 2 là nghiệm của phương trình Z  S .Z  P  0 hay Z  3  0
Cách 2.
Dùng máy tính thử trực tiếp hai nghiệm vào các đáp án thì thấy đáp án B thỏa mãn.

z z
Câu 41. [2D4-4.1-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Giả sử 1 , 2
2
2
2
A  z1  z2
z

4
z

13

0
là các nghiệm của phương trình
. Giá trị của biểu thức
bằng
20
26
18
22
A.
.
B.
.

C.
.
D. .
Lời giải
Tác giả: Phạm Uyên ; Fb: Phạm Uyên
Chọn C

z  2  3i
�
z 2  4 z  13  0 � �
z  2  3i .
�
Ta có:
A  z1  z2   2    3   2   32  26
2

Do đó

2

2

2

2

.

2
Câu 42. [2D4-4.1-2] (KonTum 12 HK2) Gọi z là một nghiệm của phương trình z  z  1  0 . Giá trị

1
1
M  z 2019  z 2018  2019  2018  5
z
z
của biểu thức
bằng
5
2
A. .
B. .
C. 7 .
D. 1 .
Lời giải
Tác giả: Giang Văn Thảo; Fb: Văn Thảo
Chọn B
Nhận xét: z  1 không là nghiệm phương trình nên
2
3
z 2  z  1  0 tương đương  z  z  1  z  1  0 � z  1
673
672
1
z
M   z3   z 2. z3  

5
673
672
z3 

z3  z3 

 1  z 2  1  z  5  z 2  z  1  2  2
Do đó

Câu 43. [2D4-4.1-2] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Gọi z1 , z2 là
2
hai nghiệm phức của phương trình z  2 z  2  0 . Tính giá trị của biểu thức
P  2 z1  z2  z1  z2
.
A. P  6 .
B. P  3 .
C. P  2 2  2 .
D. P  2  4 .
Lời giải
Tác giả: Bùi Bài Bình; Fb: Bui Bai
Chọn A

�z  1  i
z 2  2 z  2  0 � �1
z2  1  i
�
Ta có:
.
P  2 z1  z2  z1  z2  2 2  2i  4  2  6
Xét
.
P

6

Vậy
.
Câu 44. [2D4-4.1-2] (Sở Hà Nam) Kí hiệu
3 z  z2
Tính 1
.
A. 2 6 .
B. 3 6 .

z1 , z2

2
là hai nghiệm phức của phương trình z  2 z  6  0 .

C. 4 6 .
Lời giải

D. 4 .


Tác giả: Đỗ Văn Dương; Fb: Dương Đỗ Văn
Chọn C

Ta có:

�
z  1  5i
z2  2z  6  0 � �
2
z  1  5i � 3 z1  z2  3 1 

�

 5

2



 12   5



2

4 6

.

---------------STRONG TEAM TỐN VD VDC--------------Câu 45. [2D4-4.1-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Gọi
2
2
2
P  z1  z2
z

5
z

7


0
nghiệm phức của phương trình
. Tính
.
A. 4 7 .
B. 56 .
C. 14 .
D. 2 7 .

z1 , z2

là hai

z1 , z2

là hai

Lời giải
Chọn C
Phương trình z  5 z  7  0 có hai nghiệm
2

2

Suy ra

z

5i 3
5i 3

z
2
2
và

2

P  z1  z2  14

.

Câu 46. [2D4-4.1-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Gọi
3
3
2
nghiệm phức của phương trình z  4 z  7  0 . Tính P  z1  z2 .
A. 20 .

B. 20 .

C. 14 7 .

D. 28 7 .

Câu 47. [2D4-4.1-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số thực a  2 và gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của
2
phương trình z  2 z  a  0 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. z1  z2 là số thực.

z1 z2


z

z
z
z1 là số ảo.
1
2
2
B.
là số ảo.
C.
Lời giải

z1 z2

z
z1 là số thực.
2
D.

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo
Chọn C
z1  z2  

b
 2 ��.
a

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là hai số phức liên hợp. Gọi z1  x  yi là

một nghiệm, nghiệm còn lại là z1  x  yi � z1  z2  2 yi : là số ảo.
z1 z2 z12  z22  z1  z2   2 z1 z2 22  3a
 


��
z2 z1
z1 z
z1 z2
a
2

Vậy C là đáp án sai.
2
Câu 48. [2D4-4.1-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho phương trình z  mz  5  0 trong đó m là tham số
2
2
z,z
thực. Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 thỏa mãn z1  z2  6 .

A. m  �2 .

B. m  �2 2 .

C. m  5 .
Lời giải

D. m  3 .

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo

Chọn A
z1  z2   m;

z1 z2  5

z12  z22  6 �  z1  z2   2 z1 z2  6 � m2  10  6 � m2  4 � m  �2
2

Câu 49. [2D4-4.1-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Có bao nhiêu giá trị thực của a sao cho phương trình

z 2  az  2a  a 2  0 có hai nghiệm phức có mơ-đun bằng 1.
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
Gọi

2
z1 z2
, là hai nghiệm của phương trình. Theo định lí Viete ta có z1 z2 = 2a - a

� z1.z2  2a  a 2

�

a  1 2
�
� 2a  a 2  1 � �
a  1 2
�
a 1
�
�
.

Thử lại ta thấy a  1 thỏa bài toán.
2
Câu 50. [2D4-4.1-2] (ĐH Vinh Lần 1) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z  4 z  7  0 .
Số phức z1 z2  z1 z2 bằng

B. 10 .

A. 2 .

C. 2i .

D. 10i .

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Phương Liên; Fb: Phuonglien Le
Chọn A

�
z  2  3i
z2  4z  7  0 � �

z  2  3i
�





 





z1 z2  z1 z2  2  3i 2  3i  2  3i 2  3i  2

Vậy

.

z1 z2  z1 z2  2.

2
'
Cách 2: Phương trình bậc hai z  4 z  7  0 có   3 là số nguyên âm nên phương trình có

hai nghiệm phức z1 , z2 và z1 = z2 , z2 = z1 .

Áp dụng định lý Viét, ta có:

z1 + z2 =- 4

�
�
�
�
� z1.z2 = 7

z1 z2  z1 z2  z12  z2 2   z1  z2   2 z1.z2  16  14  2.
2

Suy ra:

2
Câu 51. [2D4-4.1-2] (ĐH Vinh Lần 1) Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z  2 z  3  0 .
Số phức z1 z2  z1 z2 bằng

A. 2 .

B. 5 .

C. 2 .

Lời giải

D. 5i .


Chọn D

�
z  1  2i

z2  2z  3  0 � �
z  1  2i
�





 





z1 z2  z1 z2  1  2i 1  2i  1  2i 1  2i  2

Vậy

.

z1 z2  z1 z2  2.

2
'
Cách 2: Phương trình bậc hai z  2 z  3  0 có   2 là số ngun âm nên phương trình có

hai nghiệm phức z1 , z2 và z1 = z2 , z2 = z1 .

�
z1 + z2 =- 2

�
�
� z .z = 3
Áp dụng định lý Viét, ta có: � 1 2
2
z1 z2  z1 z2  z12  z2 2   z1  z2   2 z1 .z2  4  6  2.
Suy ra:

z z
Câu 52. [2D4-4.1-2] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Gọi 1 , 2 là hai nghiệm phức của phương trình
2
2
3z 2  z  2  0 . Tính giá trị biểu thức T  z1  z2 .
2
8
4
11
T
T
T
T 
3.
3.
3.
9 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Fb: Phamhoang Hai
Chọn C
� 1  23i
z1 
�
6
2
�
  (1)  4.3.2  23 �
�
1  23i
�z2 
2
6
�
Phương trình 3z  z  2  0 có
.
2

2

z2  z1

2

2
2 2 4
�1 � � 23 � 2
 � � �


�
T

 
�
�
3 3 3
�6 � �
�6 � 3

.