Dang 4. Các bài toán khác(góc, khoảng cách,...) liên quan đến thể tích khối đa diện(VDT

Câu 1.

[2H1-3.4-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho khối chóp

S . ABC

3
24 cm , SB = BC = 5 cm, SC = 8 cm. Tính khoảng cách từ điểm A

đến mặt

có thể tích bằng
phẳng
A.

( SBC ) .

3 cm.

B.

4 cm.

C.

6 cm.

D. 12 cm.

Lời giải
Chọn C

Nửa chu vi của
Diện tích

∆ SBC

∆ SBC

là:

là:

p=

SB + BC + SC 5 + 5 + 8
=
2
2

= 9 cm.

SSBC = p ( p − SB ) ( p − BC ) ( p − SC ) = 9 ( 9 − 5 ) ( 9 − 5) ( 9 − 8 ) = 12 cm2 .

Thể tích của khối chóp

S . ABC

là:

3VS . ABC 3.24

1
VS . ABC = .SSBC .d ( A, ( SBC ) ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) =
=
S SBC
3
12
Câu 2.

[2H1-3.4-3] (Gang Thép Thái Nguyên) Cho hình chóp

AB = a; AD = 2a . Tam giác SAB

cân tại

S

A.

d=

a 1513
89 .

SC

và mp

B.

d=

2a 1315
89 .

S. ABCD có đáy là hình chữ nhật;

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc

( ABCD ) bằng 45° . Gọi M
khoảng cách d từ điểm M đến ( SAC ) .
giữa đường thẳng

= 6 cm.

C.
Lời giải

d=

là trung điểm của

a 1315
89 .

D.

SD . Tính theo a

d=

2a 1513
89 .

Tác giả: Nguyễn Dạ Thu ; Fb: nguyen da thu
Chọn A


Gọi

Xét

Xét

H

là trung điểm đoạn AB

VBCH
VSHC

B , có:

vng tại

vng cân tại

⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .

CH = 4a 2 +

H , có:

SH =

a 2 a 17
=
4
2 .

a 17
a 34
; SC =
2
2 .

17a 2 a 2 3 2
SA =
+ =
a
Xét VSAH vng tại H , có:
4
4
2 .
Xét

VABC

⇒ SVSAC =

2

2
B , có: AC = a + 4a = a 5 .

vuông tại

89 2
a
.
4

1
a 3 17
1
a 3 17
V
= V = .SH .S ABCD =
VS . ACD = V =
Ta có: S . ABCD
3
3 ;
2
6 .
1
a 3 17
1
89 2
VS . ACM = VS . ACD =
VS .MAC = .d .SVSAC =
a .d
2

12 . Mà
3
12
Câu 3.

[2H1-3.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Chóp
tam giác cân tại
phẳng
A.

( SBC )

45° .

và

A

và

· = 120° .
AB = a, BAC

( ABC ) bằng
B.

90° .

S.ABC

⇒

d=

a 1513
89 .

có đường cao

SA , tam giác ABC

là

3a3
,
Biết thể tích khối chóp là 24 góc giữa hai mặt

C. 60° .
Lời giải

D.

30° .

Tác giả: Đỗ Bảo Châu ; Fb: Đỗ Bảo Châu
Chọn A


Diện tích tam giác

ABC
h=

Đường cao
Ta có:

SA

S∆ ABC

là:

3V
=
S

là:

3

1
1
3
3a 2
·
= AB.AC.sin BAC = a.a. =
2
2
2
4 .

3 3
a
24 = a
3 2 2
a
.
4

SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB và SA ⊥ AC .

⇒ SC = SA 2 + AC2 = SA 2 + AB2 = SB ⇒ ∆ SBC
Gọi

M

là trung điểm

∆ ABC : AM ⊥ BC.

Trong

∆ SBC : SM ⊥ BC .

góc giữa hai mặt phẳng

Trong tam giác vng

Trong tam giác vng

S.

BC .

Trong

⇒

là tam giác cân tại

( SBC )

ABM
SAM

ta có:

có

và

( ABC )

là góc

·
cos BAM
=

AM = SA =

a
2

· .
SMA

AM
a
⇒ AM = .
AB
2

⇒

tam giác

SAM

vuông cân tại

S

· = 45° .
⇒ SMA
Câu 4.

[2H1-3.4-3] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối lập phương
điểm của
đúng?

A.

cosϕ =

AD , ϕ
3
4.

là góc giữa hai mặt phẳng

B.

cosϕ =

4
5.

( BMC ′ )
C.

Lời giải

và

cosϕ =

ABCD.A′ B′C ′D′ . Gọi M

là trung

( ABB′A′ ) . Khẳng định nào dưới đây
1
3.

D.

cosϕ =

2
3.


Tác giả: Hà Khánh Huyền ; Fb: Hà Khánh Huyền
Chọn D

Giả sử khối lập phương

ABCD. A′ B′C ′D′

Lập hệ tọa độ như hình vẽ:

có cạnh bằng

a.

A′ ( 0;0;0 ) , B′ ( a ;0;0 ) , D′ ( 0; a ;0 ) , A ( 0;0; a ) , C′ ( a ; a ;0 ) ,

B ( a ;0; a ) , C ( a ; a ; a ) , D ( 0; a ; a ) .
Do

 a 
⇒ M  0; ; a ÷
là trung điểm của AD
 2 .

M

uuuur uuuur  a 2
uuuur 

a  uuuur

⇒  BM , BC ′  =  − ; − a 2 ; − a 2 ÷
BM =  − a ; ;0 ÷
Ta có:
2  , BC ′ = ( 0; a ; − a )
 2
.

Chọn

ur
n1 = ( 1;2;2 )

uur r
n2 = j = ( 0;1;0 )

là VTPT của mặt phẳng

là VTPT của mặt phẳng

( BMC ′ ) .

( ABB′A′ ) .

ur uur
n1. n2
1.0 + 2.1 + 2.0
2
2
cosϕ = ur uur =
= .
2
2
2
2
2
2
cos
ϕ
=
3
n1 . n2
1 + 2 + 2 . 0 +1 + 0
Khi đó,
Vậy
3.
Câu 5.

[2H1-3.4-3] (Sở Nam Định) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng AC và vng góc với mặt phẳng (SCD) cắt đường thẳng SD tại E. Gọi
là thể tích khối chóp S.ABCD và D.ACE, biết
mặt đáy của hình chóp S.ABCD.

1
A. 2 .

3
B. 2 .

V

và

V1

lần lượt

V = 5V1 . Tính cosin của góc tạo bởi mặt bên và
1
C. 2 2 .

D.

2
3.

Lời giải
Tác giả: Trần Đức Hiếu ; Fb: Tran Duc Hieu
Chọn A

Gọi O là tâm của hình vng ABCD

Þ SO ^ ( ABCD)

(S.ABCD là hình chóp đều)

Vẽ OH vng góc với SD tại H.

ïìï AC ^ BD
Þ AC ^ ( SBD) Þ AC ^ SD
í
Ta có: ïïỵ AC ^ SO
mà OH ^ SD
nên

SD ^ ( ACH ) Þ (SCD) ^ ( ACH ) Þ

Đặt

2
2
OA = OB = OC = OD = x , SO = y Þ SD = x + y

Vẽ EI // SO (I thuộc BD)

H trùng với E.

Þ EI ^ ( ABCD)

DE EI
=
và DS SO

ìï
1
1
ïï V = VS . ABCD = SO.S ABCD = SO. AD.CD
ïï
3
3
ïï
1
1
1
ïí V = V
AD.CD
1
D. ACE = EI .S ACD = EI .
ïï
3
3
2
ïï
ïï V = 5V1
Ta cú: ùùợ

5
EI 2

ị SO = EI ị
=
2
SO 5
ị

DE 2
2
= Þ DE = x 2 + y 2
DS 5
5

Ta có:

DO 2 = DE.DS Þ x 2 =

2 2 2 2
x 6
x + y . x + y2 Þ y =
5
2

OE.SD = OS .OD Þ OE =
Ta có:
Ta có:

xy
x2 + y 2

SOCD = S SCD .cos ( ( SCD ) , ( ABCD ) )

=

x 15
2 x 10
x 10
; CE =
; SD =
5
5
2


Þ

1
1
OC.OD = CE.SD.cos ( ( SCD ) , ( ABCD ) )
2
2

Þ x2 =

2 x 10 x 10
.
.cos ( ( SCD ) , ( ABCD ) )
5
2

Þ cos ( ( SCD ) , ( ABCD) ) =

1
2 . Vậy chọn A.


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Câu 6.

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

[2H1-3.4-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
NGÃI) Cho hình lập phương

( A′ C ′D ) .
A.

30° .

B.

ABCD. A′ B′ C′ D′ . Tính góc giữa đường thẳng BD′

45° .

C. 60° .
Lời giải

D.

và mặt phẳng

90° .

Tác giả: Lê Thế Nguyện; FB: Lê Thế Nguyện
Chọn D

Giả sử hình lập phương

ABCD. A′ B′ C′ D′

có cạnh là

a ( a > 0 ) . Ta chọn hệ tọa độ Oxyz

với:

A ( 0;0;0 ) ; B ( a;0;0 ) ; D ( 0; a;0 ) ; A′ ( 0;0; a ) . Qua đó ta có tọa độ các điểm

C ' ( a; a; a ) ; D ' ( 0; a; a ) .
Ta có:

uuuur
uuuur
uuuur
BD′ = ( − a; a; a ) ; A′ C ′ = ( a; a;0 ) ; A′ D = ( 0; a; − a ) .
uuuur uuuur
⇒  A′ C ′, A′D  = ( − a 2 ; a 2 ; a 2 )

r
Gọi n
Chọn

r
′
′
A
C
D
(
)
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Ta có n
r
n = ( 1; − 1; − 1) . Ta có góc giữa đường thẳng BD '

uuuur uuuur


cùng phương với  A′ C ′, A′ D  .

và mặt phẳng

( A′ C ′D ) có:

uuuur r
BD′. n
uuuur r

−a − a − a
sin ( BD′, ( A′ C ′D ) ) = cos BD′, n = uuuur r =
=1
3
a
.
3
′
BD . n
.

(

Vậy góc giữa đường thẳng

)

BD′

và mặt phẳng

( A′ C ′D ) bằng 90° .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

Vậy ta chọn đáp án D.
Cách 2 :
Do

ABCD.A′ B′C ′D′

là hình lập phương nên :

A′C ′ ⊥ ( BDD′B′ ) ⇒ A′C ′ ⊥ BD′ 
 ⇒ BD′ ⊥ ( A′C ′D )
′
′
′
′
′
DC ⊥ ( BCD A ) ⇒ DC ⊥ BD 
.
Vậy góc giữa
Câu 7.

BD′

và mặt phẳng

( A′ C ′D )

bằng

90°

[2H1-3.4-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hình hộp chữ nhật

AB = a , BC = a 2 , AA′ = a 3

. Gọi

(tham khảo hình vẽ).

Giá trị

tan α

α

là góc giữa hai mặt phẳng

ABCD. A′ B′C ′D′

( ACD′ )

và

có

( ABCD )

bằng

3 2
A. 2 .

2 6
B. 3 .

2
D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

Tác giả: Nguyen Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyen Phi Thanh Phong
Chọn A

Ta có mặt phẳng

( D′AC )

cắt mặt phẳng

( ABCD )

theo giao tuyến

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

AC .
Trang 8 Mã đề 201

STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

( ABCD ) dựng DE vng góc AC tại E (1)
Mà DD′ ⊥ ( ABCD ) nên DD′ ⊥ AC (2)
Do đó AC ⊥ ( D′DE ) nên AC ⊥ D′ E .
· ′ED .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ACD′ ) và ( ABCD ) là: α = D
Trong mặt phẳng

Xét tam giác

Xét tam giác
Câu 8.

ACD

D′DE

vuông tại D:

AC.DE = AD.CD ⇒ DE =

· ′ED = DD′ = a 3 = 3 2
tan α = tan D
DE a 6

2
vuông tại D:
.
3

[2H1-3.4-3] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Hình lăng trụ
vuông tại

I

ABC. A′ B′C ′

A , AB = a, AC = 2a . Hình chiếu vng góc của A′

thuộc cạnh

2a
A. 3 .

AD.CD a.a 2 a 6
=
=
AC
3 .
a 3

có đáy

ABC

lên mặt phẳng

là tam giác

( ABC )

là điểm

BC . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( A′ BC ) .

3
a
B. 2 .

2 5
a
C. 5
.

1
a
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Ngân; Fb: nguyenthithuy.ngan

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề 201

STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

Chọn C

Trong mặt phẳng

Tam gác

Câu 9.

kẻ

AK ⊥ BC .

A′ I ⊥ ( ABC ) ⇒ A′ I ⊥ AK . Suy ra AK ⊥ ( A′ BC ) . Khi đó d ( A, ( A′ BC ) ) = AK .

Ta có

Vậy

( ABC )

ABC

1
1

1
1
1
5
=
+
= 2+
= 2 ⇒ AK = 2 5 a.
2
2
2
2
AB AC a ( 2a )
4a
vng tại A có: AK
5

d ( A, ( A′ BC ) ) = AK =

2 5
a.
5

[2H1-3.4-3] (THPT LÊ Q ĐƠN QUẢNG NGÃI) Cho hình chóp
là hình chữ nhật
điểm

S . ABCD

AB = a ; BC = 2a , SA vng góc với đáy và SA = a

có đáy

ABCD

. Tính khoảng cách từ

A đến mặt phẳng ( SBD ) .

a
A. 3 .

a
B. 2 .

2a
C. 3 .

Lời giải

3a
D. 4 .

Tác giả: Đoàn Ngọc Hoàng; Fb:Hoàng Đoàn
Chọn C

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 10 Mã đề 201

STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

Trong mp

( ABCD )

dựng

Ta có SA ⊥

BD

SA ⊥ ( ABCD )

( do

AM ⊥ BD

.

nên

BD ⊥ ( SAM )

BD ⊂ ( SBD ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAM )

( SBD ) ∩ ( SAM ) = SM
Trong mp

( SAM )

dựng

AH ⊥ SM

⇒ AH ⊥ ( SBD )
⇒ AH = d ( A, ( SBD ) )

.

1
1
1
= 2+
2
Trong tam giác vng SAM , ta có AH
SA AM 2
Mà

SA = a

1
1
1
1 1
5

= 2+
= 2+ 2= 2
2
2
và trong tam giác vng ABD, ta có AM
AB AD a 4a 4a nên

1
1 5
9
2a
= 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
2
AH a 4a 4a
3 .
Vậy

d ( A, ( SBD ) ) =

2a
3 .

Câu 10. [2H1-3.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hình lập phương
khoảng cách giữa hai đường thẳng

BC ′

và

CD′ .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

ABCD. A′ B′C′D′

cạnh

a . Tính

Trang 11 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

A.

a 2.

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

B.

a 3
C. 3 .

2a .

a 2
D. 3 .

Lời giải
Chọn C

ABCD. A′ B′C ′D′

là hình lập phương

⇒ BC ′ // AD′ ⇒ BC ′ // ( ACD′ ) ; CD′ ⊂ ( ACD′ )

⇒ d ( BC ′ ; CD′ ) = d ( BC ′ ; ( ACD′ ) ) = d ( B ; ( ACD′ ) ) = d ( D ; ( ACD′ ) ) = h .
(Gọi

O = AC ∩ BD ⇒ O

Tứ diện

⇒

D. ACD′

có

là trung điểm của

DA, DC , DD′

BD ).

đơi một vng góc.

1
1
1
1
3
a 3
=
+
+
= 2 ⇒ h=
2
2
2
2
h DA DC DD′ a
3 .

Câu 11. [2H1-3.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Trong không gian cho tam giác

AB = a . Dựng AA′, CC ′
trung điểm

a
A. 2 .

A′ C ′

đến

cùng một phía và vng góc với

mp ( BCC ′ )
B.

a.

ABC

có

·ABC = 90° ,

mp ( ABC ) . Tính khoảng cách từ

.

a
C. 3 .

D.

2a .

Lời giải
Chọn A
Cách 1.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Gọi

I, I′

AA′, CC ′

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

lần lượt là trung điểm của
cùng vng góc với

⇒ AA′ // CC ′ ⇒ ACC ′A′

AC , A′ C ′ .

( ABC ) .

là hình thang.

Do đó

II ′ // CC ′ ⇒ II ′ // ( BCC ′ ) ⇒ d ( I ′ ; ( BCC ′ ) ) = d ( I ; ( BCC ′ ) ) .

Trong

( ABC ) , kẻ IH // AB, H ∈ CB .

·
ABC
= 90° ⇒ BC ⊥ BA


 ⇒ BA ⊥ ( BCC ′ ) ⇒ IH ⊥ ( BCC ′ )
CC ′ ⊥ ( ABC ) ⇒ BA ⊥ CC ′ 
.

1
a
d ( I ; ( BCC ′ ) ) = IH = AB =
Do đó
2
2.
Cách 2.

·ABC = 90° ⇒ AB ⊥ BC


 ⇒ AB ⊥ ( BCC ′ )
CC ′ ⊥ ( ABC ) ⇒ AB ⊥ CC ′ 
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề 201

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
2019

Gọi

I

1
A′ C ′ ⇒ d ( I ; ( BCC ′ ) ) = d ( A′ ; ( BCC ′ ) )
là trung điểm của
.
2

AA′, CC ′
Do đó

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUN LAM SƠN LẦN 2–

cùng vng góc với

( ABC ) ⇒ AA′ // CC′ .

AA′ // ( BCC ′ ) .

1
1
1
a
d ( I ; ( BCC ′ ) ) = d ( A′ ; ( BCC ′ ) ) = d ( A ; ( BCC ′ ) ) = AB =

2
2
2
2.
Câu 12. [2H1-3.4-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hình chóp
cạnh bằng

2a . Tam giác SAB

cân tại

S

S. ABCD

có đáy là hình vng

và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

4a 3
đáy. Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng 3 . Tính độ dài SC.
A.

SC = 6a .

B.

SC = 3a .

C. SC =

Lời giải

2a .

D.

SC = 6a .

Tác giả: Dương Thị Bích Hịa; Fb: Dương Thị Bích Hịa.
Chọn D

Diện tích hình vng
Do tam giác

SAB

⇒ SH =

3VS . ABCD
S ABCD

∆ BHC

vuông tại

ABCD

cân tại

S

là:

và

S ABCD = 4a 2

. Gọi

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

H

nên

là trung điểm cạnh

AB .

SH ⊥ ( ABCD ) .

4a 3
3.
= 32 = a
4a
.

B

nên

HC = BC 2 + HB 2 = 4a 2 + a 2 = a 5 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

∆ SHC
Câu 13.

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

2
2
2
2
H nên SC = SH + HC = a + 5a = a 6 .

vuông tại

[2H1-3.4-3] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hình chóp

SO ⊥ ABCD ,
A. 90° .

SO =

S . ABCD đáy là hình thoi tâm O và

a 6
3 ,

SB = BC = a . Số đo góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD )
B. 60° .
C. 30° .
D. 45° .

là

Lời giải
Tác giả: Tác giả: Nguyễn Thị Trang; Fb: Trang Nguyen
Chọn A

Ta có:

( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC . Gọi H

là trung điểm của

SC . ∆ SBC

cân tại

B , suy ra

BH

DH .

BH ⊥ SC .
Ta có:

SO ⊥ BD

∆ SBC

cân tại

B , có H

Suy ra góc giữa

Xét

∆ SOB

tại trung điểm

( SBC )

O nên SB = SD = CD = a .

là trung điểm của
và

( SCD )

SC ⇒ BH ⊥ SC .

chính là góc giữa hai đường thẳng

và

6a 2 a 2
a
OB = SB − SO = a −
= ⇒ OB =
vuông tại O :
9
3
3.
2

2

2

2

a 2 2a 2
OC = BC − BO = a − =
.
Xét ∆ BOC vuông tại O :
3
3
2

2

2

2

1
1
1
9
3
3
a
= 2+
= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
Xét ∆ SOC vuông tại O : OH
SO OC 6a 2a a
3.
Suy ra

·
tan BHO
=

BO a 3
·
·

= . = 1 ⇒ BHO
= 45° ⇒ BHD
= 90°
.
HO
3 a

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Vậy góc giữa

( SBC )

và

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

( SCD )

là

90° .

Câu 14. [2H1-3.4-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp

là hình vng cạnh bằng

2a . Tam giác SAB

mặt đáy. Biết thể tích khối chóp
đáy. Tính
A.

tan α

tan α =

S. ABCD

cân tại

S

S . ABCD

có đáy

và nằm trong mặt phẳng vng góc với

4a 3
bằng 3 . Gọi

α

là góc hợp bởi cạnh

SC

và mặt

.

3
.
3

B.

tan α =

2 5
.
5

C.
Lời giải

tan α =

7
.
7

D.

tan α =

5
.
5

FB: dacphienkhao
Chọn D

H

Gọi
.

 ( SAB) ⊥ ( ABCD)

 ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

là trung điểm của AB , theo giả thiết ta có:  SH ⊥ AB

(

) (

)

·
·
·
⇒ SC ,( ABCD) = SC , CH = SCH = α (vì Tam giác SHC

Có

tan α =

vng tại

H

nên

· nhọn).
SCH

SH
⇒ SH = HC.tan α = CB 2 + BH 2 .tan α = a 5.tan α
.
HC

1
4a 3 1
5
2
VS . ABCD = SH .S ABCD ⇒
= .a 5.tan α . ( 2a ) ⇒ tan α =
Theo bài ra, có
3
3 3
5 .
Câu 15. [2H1-3.4-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình
chóp tứ giác

S. ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật tâm

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

O , AB = a , AD = 2a ,
Trang 16 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

SA = SB = SC = SD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN
( ABCD) bằng 600 . Gọi α là góc tạo bởi MN và mp ( SBD) . Tính sin α .
A.

sin α =

4
65 .

B.

5
65 .

sin α =

C.
Lời giải

sin α =

1
65 .

D.

sin α =

và mp

2
65 .

Tác giả: Tú Nguyễn ; Fb: Tú Nguyễn
Chọn A

SA = SB = SC = SD , OA = OB = OC = OD



và cũng là đường cao của tam giác cân


Gọi

· = 600
(·MN ;( ABCD)) = MNI

.
. Khi đó

K = MN ∩ (SBD) và E là hình chiếu

·
·
NE ⊥ (SBD) ⇒ (MN,(SBD))
= NKE

1
a
IJ JC 3
3a
NJ = BC =
=
= ⇒ IJ=
Ta có
4
2 và AB BC 4
4



Ta có

NI = NJ 2 + IJ 2 =

a 13
NI
a 13
⇒ MN =
=
4
cos600
2

1
1
1
a 5
=
+
⇒
NE
=
Ta lại có NE 2 BN 2 NO 2
5



Xét

là đường trung tuyến

⇒ MI / / SO ⇒ MI ⊥ ( ABCD ) .

H = IN ∩ BD . Kẻ HK / / MI ,( K ∈ MN )

của N trên BD. Suy ra

SO

SAC và SBD . Khi đó: SO ⊥ ( ABCD ) .

Gọi I là trung điểm của OA

Suy ra

nên suy ra

∆ NKE

vng tại E có

NE =

a 5
1
a 13
NK = NM =
5 và

2
4

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Suy ra

·
sin NKE
=

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

NE a 5 a 13
4
=
:
=
NK
5
4
65 .

Câu 16. [2H1-3.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hình

chóp

F

SABCD

có

ABCD

lần lượt là trung điểm

là hình vng cạnh

a , SA vng góc ( ABCD ) , SA = a . Gọi E và

SB , SD . Cơsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng ( AEF )

và

( ABCD )

là

S

F
E

D

A

B

1
A. 2 .

C

3
B. 3 .

C.
Lời giải

3
D. 2 .

3.

Tác giả: Nguyễn Dạ Thu ; Fb: Nguyen Da Thu
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có:

 a a  a a
A ( 0;0;0 ) , B ( a ;0;0 ) , D ( 0; a ;0 ) , S ( 0;0; a ) , E  ;0; ÷, F  0; ; ÷
 2 2  2 2.
z
S

F
E

D

A

y
B

C

x

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

uuur  a a  uuur  a a 
AE  ;0; ÷, AF  0; ; ÷ ⇒
 2 2
 2 2

⇒

Một VTPT của mặt phẳng

2
2
uuur uuur  2

 AE , AF  =  − a ; − a ; a ÷


4 4 .
 4

( AEF ) là ( 1;1; − 1) .

Phương trình mặt phẳng

( AEF ) : x + y − z = 0 .

Phương trình mặt phẳng

( ABCD ) : z = 0 .

Góc hợp bởi hai mặt phẳng

( AEF )

và

( ABCD ) là α

, ta có:

Câu 17. [2H1-3.4-3] (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Cho lăng trụ
cạnh

a , hình chiếu của A′

lên mặt phẳng

khoảng cách giữa hai đường thẳng
trụ đó.

a3 3
A. 12 .

a3 3
B. 6 .

AA′

và

( ABC )

BC

cos α =

−1
1
=
3.1
3.

ABC. A′ B′C ′

có đáy là tam giác đều

trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết

a 3
bằng 4 . Tính theo

a thể tích của khối lăng

a3 3
C. 3 .

a3 3
D. 24 .

Lời giải
Tác giả: Lê Hoa; Fb: Lê Hoa
Chọn A
Cách 1:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Gọi

E

là trung điểm

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

BC , G

là trọng tâm tam giác

⇒ BC ⊥ ( EA′ A) .
Trong

( EA′ A)

kẻ

EF ⊥ AA′ ⇒ EF

⇒ d ( AA′; BC ) = E F =

a 3

4 . Xét

ABC , ta có BC ⊥ AE

là đoạn vng góc chung của

∆ ABC

có

AE =

AA′

và

và

BC ⊥ A′ G

BC

a 3 ⇒ AG = a
3.
2

a2
AA′ = A′G + AG = A′G +
Trong tam giác vuông AA′ G có
3 (*).

2

Ta có

S∆ A A′E =

2

2

1
1
a 3 a 3
′
A′ G. AE = EF . AA′
⇔
A
G
.
=
. AA′
⇔ A′ G.AE = EF .AA′
2
4
2
2

⇔ AA′ = 2 A′ G
Vậy

2

thay vào (*) ta được

VABC . A′B′C′ = S∆ ABC . A′ G =

4 A′ G 2 = A′ G 2 +

a2
3

⇔

A′ G =

a
3.

a 2 3 a a3 3
. =
4 3 12 .

Cách 2:

Gọi

O là trung điểm của AC . Ta gắn hệ Oxyz

như hình vẽ. Đặt

A′ G = h ( h > 0 ) .

a 3

a 3

B 
;0;0 ÷÷ C  0; − a ;0 ÷ A  0; a ;0 ÷ A′ 
;0; h ÷÷
Ta có  2
;  2 ;  2 ;  6

uuur  a 3 a 
r
CB = 
; ;0 ÷÷
u
 2 2  cùng phương

(

3;1;0

).

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 20 Mã đề 201

STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

uuuur  a 3 − a 
r
AA′ = 
; ; h ÷÷
v = a 3; − 3a;6h .
 6 2  cùng phương

(

rr
 u; v  = 6h ; − 6 3h ; − 4 3a
 

(

)

uuur

) và AC = ( 0; − a;0) .

r r uuur
 u; v  . AC
6 3ha
6 3ha

 
d ( AA′; BC ) =
=
=
rr
 u; v 
144h 2 + 48a 2
144h 2 + 48a 2 .
+
 

+

d ( AA′ ; CB ) =

6 3ha
a 3
a
a 3⇔
=
⇔ h=
2
2
4
144h + 48a
4
3

⇒ VABC . A′B′C ′ = h.S ∆ ABC

a3 3
=
12 .

Câu 18. [2H1-3.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho khối lăng trụ tam giác đều

ABC. A′ B′C ′

có thể tích

31
bằng 3 ; cosin góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC ′ bằng 34 . Chiều cao của lăng trụ đã cho
bằng
A.

2.

B.

6.

C.

3.

D.

4.

Lời giải

Tác giả: Hồ Xuân Dũng; Fb: Dũng Hồ Xuân
Chọn D
Cách 1

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề 201


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
2019

Gọi

AB = 2a, BB′ = h

Chọn hệ trục tọa độ
Khi đó

và

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

O, O′

Oxyz

lần lượt là trung điểm của

BC , B′C ′ .

như hình vẽ.

(

)

O ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) ; A 0; a 3;0 ; O′ ( 0;0; h )

.

B′ ( a;0; h ) ; C ( − a;0;0 ) ; C ′ ( − a;0; h ) .
uuur
uuuur
′
AB = a; − a 3; h ; BC ′ = ( − 2a;0; h ) .

Suy ra

(

Khi đó

)

uuur uuuur
′
′
cos ( AB ; BC ) = cos AB′; BC ′ =

(

)

h 2 − 2a 2
h 2 + 4 a 2 . h 2 + 4a 2

=

31
34

⇔ 34 h 2 − 2a 2 = 31( h 2 + 4a 2 ) ⇒ h 2 = 64a 2 ⇒ h = 8a .
Ta có

3 = VABC . A′B′C ′

( 2a )
= h.

2

4

3

1
= 8a 3 3 ⇒ 8 a 3 = 1 ⇒ a = ⇒ h = 4
.
2

Cách 2
Đặt

AB = a, AA′ = h

ta có

uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur AB′ 2 + AC ′ 2 − B′C ′ 2 AB′ 2 + AB 2 − BB′ 2
AB′.BC ′ = AB′ AC ′ − AB = AB′. AC ′ − AB′. AB =
−
2
2

(

)

2
2
2
2
2
AC ′ 2 + BB′ 2 − AB 2 − B′C ′ 2 ( a + h ) + h − a − a 2h 2 − a 2
=
=
=
2
2
2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 22 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

2h 2 − a 2
uuur uuuur
uuur uuuur
2
AB′.BC ′
31
cos ( AB′, BC ′ ) = cos AB′, BC ′ = uuur uuuur = 2 2 = ⇔ h = 4a.
a +h
34
AB′ . BC ′
Vì vậy

(

Suy ra

V=

)

3a 2 h
= 3a 3
3
. Do đó 3 = 3a ⇔ a = 1 ⇒ h = 4 .
4

Câu 19. [2H1-3.4-3] (CổLoa Hà Nội)Cho hình chóp

· = 60° , SA
a 3 , BAD
thẳng

SO

và

AD

S . ABCD

vng góc với mặt phẳng đáy,

có đáy là hình thoi tâm

SA = 3a.

O , cạnh bằng

Khoảng cách giữa hai đường

bằng

17a
A. 17 .

3 17 a
B. 17 .

5a
C. 5 .

Lời giải

3 5a
D. 5 .

Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan
Chọn B

Gọi

M

Khi đó

là trung điểm

AB , khi đó OM //AD

và

AD ⊄ ( SOM ) ⇒ AD // ( SOM ) .

d ( AD, SO ) = d ( AD, ( SOM ) ) = d ( A, ( SOM ) ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Gọi

K

H

là hình chiếu

là hình chiếu của

Ta có
Mà

OH ⊥ AH

AK ⊥ SH

Ta có

và

nên

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

A trên OM .
A trên SH .

SA ⊥ OH , nên OH ⊥ ( SAH ) ⇒ OH ⊥ AK

AK ⊥ ( SOH )

hay

(do

AK ⊂ ( SAH ) )

AK ⊥ ( SOM ) . Khi đó AK = d ( A, ( SOM ) ) .

·
·
· = 60° .
HMA
= BMO
= BAD

Xét tam giác

sin 60° =

AHM

vuông tại

H.

AH
1
1
3 3
⇒ AH = AM .sin 60° = AB.sin 60° = a 3. = a
AM
2
2
2 4

Xét tam giác

SAH

vuông tại

A , AK

đường cao.

2

1
1
1
=
+ 2 ⇒ AK =
2
2
AK
AH
SA

Vậy

d ( AD, SO ) = AK =

2
3 
a ÷ . ( 3a )
2
2

AH .SA
3a 17
4
=  2
=
2
2

AH + SA
17
2
3 
 a ÷ + ( 3a )
.
4 

3a 17
17 .

Câu 20. [2H1-3.4-3] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ

ABC.A′ B′C ′

có đáy là tam giác đều cạnh

a . Hình chiếu vng góc của điểm A′ lên mặt phẳng

a3 3
( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ là 4 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng

3a
A. 4 .

3a
B. 2 .

AA′

và

BC

là

2a
C. 3 .

4a
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Trần Như Tú ; Fb: Tú Tran
Chọn A

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề 201


STRONG TEAM TỐN VD-VDC
2019

Gọi

M

là trung điểm

Thể tích lăng trụ
Nhận thấy
Kẻ

BC

và

G

là trọng tâm tam giác

V = S∆ ABC . A′G ⇔

BC ⊥ AM ; BC ⊥ A′ G

MH ⊥ AA′

Do đó

TỞ 6 – 06– ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2–

tại

H , ta có MH

ABC , ta có A′ G ⊥ ( ABC ) .

a3 3 a 2 3

=
.A′ G ⇒ A′ G = a
.
4
4
nên

BC ⊥ ( A′ AG ) .

là đoạn vng góc chung của

BC

và

AA′ .

MH = d ( AA′; BC ) .

A′ G. AM
A′G. AM
1
1
MH =
=
S∆ A′AM = A′ G. AM = MH .A′A
AA′
Ta có
, suy ra
A′ G 2 + AG 2

2
2
Tam giác đều

MH =
Do đó

ABC

có

AM =

a 3 AG = 2 AM = a
3
3.
2 ;

a2 3
A′G. AM
3a
2
=
=
4
3a
A′G 2 + AG 2
a2
d ( AA′; BC ) =
a2 +

. Vậy
3
4.

Câu 21. [2H1-3.4-3] (Sở Vĩnh Phúc) Cho khối đa diện đều

n

mặt có thể tích là

V

và diện tích mỗi

mặt của nó là S . Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong khối đa diện đến
các mặt của nó bằng

V
A. 3S .

nV
B. S .

3V
C. S .

V
D. nS .

Lời giải

Tác giả: Chu Quốc Hùng, FB: Tri Thức Trẻ QH
Chọn C

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề 201