Bài 4. Phép thử và biến cố

Câu 1.

[1D2-4.0-1] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Xét một phép thử có khơng gian
mẫu  và A là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào sau đây sai ?
n  A
P  A 
n  
A. Xác suất của biến cố A là
.
B.
C.
D.

0 �P  A  �1

.

 .

P  A  1  P A

P  A  0

khi và chỉ khi A là biến cố chắc chắn.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Hữu; Fb: Nguyễn Trần Hữu

Chọn D
Theo định nghĩa biến cố chắc chắn ta
n  A
P  A 

 1 �0
n  
Suy ra:
.
Câu 2.

n  A  n   
có: Với A là biến cố chắc chắn thì

[1D2-4.1-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho phép thử
là “gieo 2019 đồng xu phân biệt” và xét sự xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của các đồng xu.
Khi đó số phần tử của không gian mẫu bằng
1
3
2019
A. 2019 .
B. C2019  C2019  ...  C2019 .
2020

C.

�C
k 0

k
2020

2019

k

 �C2019
k 0

D. 2 .

.

Lời giải
Tác giả: Ngô Văn Hiếu; Fb: Ngo hieu
Chọn C

Ta có

2020

2019

k 0

k 0

k
k
 �C2019
  1  1
�C2020

2020

  1  1

2019

 22020  22019  22019.  2  1  22019

.

2019
Vì một đồng xu có hai mặt nên khi gieo 2019 đồng xu phân biệt ta có 2
kết quả có thể xảy
2019
n    2
ra của phép thử. Vậy số phần tử của không gian mẫu là
.

Bài tập tương tự:
Câu 3.

Cho phép thử là “gieo 10 con súc sắc cân đối, đồng chất phân biệt”. Khi đó số phần tử của
khơng gian mẫu bằng
10
A. 6 .
B. 60 .
C. 10 .
D. 6 .

Câu 4.

Cho phép thử là “gieo 10 đồng xu phân biệt” và xét sự xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của các
đồng xu. Xác suất để có đúng một lần suất hiện mặt ngửa là

5
1
11
99
A. 512 .
B. 1024 .
C. 512 .
D. 1024 .
Ghi nhớ:
-Phép thử “gieo hai đồng tiền phân biệt” thì hai kết quả SN , NS của phép thử là khác nhau.


n
-Phép thử “gieo n đồng xu phân biệt” thì khơng gian mẫu có 2 phần tử, với n ��* .

Câu 5.

[1D2-4.2-2] (Nguyễn Du số 1 lần3) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc
2
xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình x  2bx  4  0 có nghiệm là
2
B. 3 .

A. 1 .

1
C. 6 .

5
D. 6

Lời giải
Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ.
Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan
Chọn D

b � 1; 2;3; 4;5;6
Theo đề bài b là số chấm của con súc sắc nên
.
2
� b2 4
Để phương trình x  2bx  4  0 có nghiệm thì �۳

Kết hợp

b � 1;6

suy ra

b � 2;3; 4;5;6

0

b

2.

2
. Suy ra xác suất để phương trình x  2bx  4  0 có

5
nghiệm là 6
Câu 6.

[1D2-4.3-2] (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Tổ 1 của lớp 10A có 10 học
sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra 2 bạn trong tổ 1 để phân công trực nhật. Xác suất để chọn
được 1 bạn nam và 1 bạn nữ là
4
6
1
8
A. 15 .
B. 25 .
C. 9 .
D. 15 .
Lời giải
Tác giả: Phùng Hoàng Cúc ; Fb: Phùng Hoàng Cúc.
Chọn D

n     C102
Số phần tử của không gian mẫu
.
Gọi biến cố A: “Chọn được 1 bạn nam và 1 bạn nữ để phân công trực nhật.”
n  A   C61 .C41  24
Ta có
.
n  A  24 8
P  A 



n    45 15
Vậy
.
Câu 7.

[1D2-4.3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định Lần 1) Một hộp đựng 6 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên từ
hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu vàng.
3
1
3
2
A. 14 .
B. 35 .
C. 7 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Huyền; Fb: Huyen Nguyen
Chọn C
4
� n     C104
Chọn 4 quả cầu từ 10 quả cầu có C10 (cách )
.

Gọi A là biến cố “ 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả màu vàng”.
2
2
� n  A   C42 .C62
Chọn 4 quả cầu trong đó có đúng 2 quả màu vàng có C4 .C6 (cách)
.

Xác suất của biến cố A là:
Câu 8.

P  A 

n  A
C 2 .C 2
 446 3
n  
C10
7.

[1D2-4.3-2] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các
số tự nhiên có bốn chữ số. Tính xác suất để số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền
nhau.
A. 0,029 .
B. 0,019 .
C. 0, 021 .
D. 0,017 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Chí Thìn; Fb: Nguyễn Chí Thìn
Chọn A
Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số”
n   9.103  9000
Ta có  
.
Biến cố A : “Số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau”.

Gọi số có 4 chữ số abcd là trong đó có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau, a �0.
TH1: Có đúng hai chữ số 8 đứng liền nhau.
+) Số có dạng 88cd : có 9.9  81 số.
+) Số có dạng a88d hoặc ab88 : mỗi dạng có 8.9  72 số.
TH2: Có đúng ba chữ số 8 trong đó có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.
+) Số có dạng a888 : có 8 số.
+) Số có dạng 8b88 hoặc 88c8 hoặc 888d : Mỗi dạng có 9 số.
TH3: Cả 4 chữ số đều là chữ số 8: Có 1 số là số 8888.
Do đó

n  A   81  2.72  8  3.9  1  261

Xác suất cần tìm
Câu 9.

P  A 

n  A

n  



.

261
 0,029
9000

.

[1D2-4.3-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Tại SEA Games 2019, mơn bóng chuyền nam
có 8 đội bóng tham dự, trong đó có hai đội Việt Nam và Thái Lan. Các đội bóng được chia
ngẫu nhiên thành hai bảng có số đội bóng bằng nhau. Xác suất để hai đội Việt Nam và Thái Lan
nằm ở hai bảng khác nhau bằng:
3
3
11
4
A. 7 .
B. 7 .
C. 14 .
D. 14 .
Lời giải
Tác giả: Trần Ngọc Uyên ; Fb: Tran Ngoc Uyen
Chọn B
Số phần tử không gian mẫu là số cách chia 8 đội bóng vào hai bảng sao cho mỗi bảng có 4 đội
4
4
� n     C8 .C4
Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.
n  A  2.1.C63 .C33 4
n  A   2.1.C63 .C33 � P  A  


n  
C84 .C44
7
Ta có:
.

Câu 10. [1D2-4.3-2] (Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 3) Trên kệ sách có 10 cuốn sách Tốn và 5 cuốn
sách Văn. Người ta lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 cuốn sách mà khơng để lại. Tính xác suất để được
hai cuốn sách đầu là Toán, cuốn thứ ba là Văn.
18
7
8
15
A. 91 .
B. 45 .
C. 15 .
D. 91 .
Lời giải
Tác giả:Trần Quốc Khang; Fb:Bi Trần
Chọn D
Lấy lần lượt 3 cuốn sách có 15.14.13  2730 cách.
Lấy 2 cuốn sách đầu là Tốn và cuốn cịn lại là Văn có 10.9.5  450 cách.

450 15

Xác suất để được hai cuốn sách đầu là Toán, cuốn thứ ba là Văn: 2730 91 .
S   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Câu 11. [1D2-4.3-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho tập hợp
. Chọn ngẫu nhiên ba
p
S
số từ tập . Tính xác suất
của biến cố trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên
liên tiếp nào.

5
5
3
5
p
p
p
p
21 .
16 .
16 .
12 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tình; Fb: Gia Sư Toàn Tâm
Chọn D
Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập

S   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9

”. Ta có

n     C93  84

.

Gọi A là biến cố: “trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên liên tiếp”.

Gọi

a1 a2 a3
1 �a1  a2  a3 �9
, ,
là ba số thỏa mãn
.

ۣۣ
1 �
a1
Khơng có hai số nguyên liên tiếp nào 
Đặt

a2 1 a3 2 7 .

b1  a1 b2  a2  1 b3  a3  2
1 �b1  b2  b3 �7
,
,
. Khi đó:
.

Số cách chọn bộ ba số
Suy ra

Do đó

n  A   C73  35
p  A 

3
b1 b2 b3 C73 �
a a a
, , là
có C7 cách chọn 1 , 2 , 3 .

.

n  A  35 5


n    84 12

.

Câu 12. [1D2-4.3-3] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho hình tứ diện đều ABCD . Trên mỗi cạnh của
tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Gọi S là tập
hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu. Lấy ra từ S một tam giác, xác suất để
mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho bằng

2
A. 45 .

9
B. 34 .

2
C. 5 .

4
D. 15

Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen
Chọn D


Cách 1:
A

M1

N1

P1

M2

M3

B

N2

P2

Q1

Q2

N3

Q3

D

P3

E1

F1

E2

F2
E3

F3
C

Gọi các điểm được đánh dấu để chia đều các cạnh của tứ diện đều ABCD như hình vẽ.
+ Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu.
Số phần tử của

S là số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng trong số 18 điểm đã cho.

3
Chọn ra 3 điểm trong 18 điểm trên: có C18 cách.
3

Chọn ra 3 điểm thẳng hàng trong 18 điểm trên có 6.C3  6 cách.
3
Suy ra số tam giác thỏa mãn là C18  6  810

T là tập hợp các tam giác lấy từ S sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với
+ Gọi
đúng một cạnh của tứ diện ABCD .
- Chọn 1 cạnh của tứ diện để mặt phẳng chứa tam giác chỉ song song với đúng cạnh đó: có
C61  6 cách.
Xét các tam giác mà mặt phẳng chứa nó chỉ song song với cạnh BD , suy ra tam giác đó phải có
một cạnh song song với BD .

M N ,M N ,M N ,E F ,E F ,E F
- Có 6 cách chọn cạnh song song với BD là 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 .
- Giả sử ta chọn cạnh M 2 N 2 là cạnh của tam giác. Cần chọn đỉnh thứ 3 của tam giác trong 16
điểm còn lại.

M 2 N 2 � ABD 

mà mặt phẳng chứa tam giác song song với BD nên đỉnh thứ 3 khơng thể
mp  ABD 
là 7 điểm cịn lại nằm trong
.
Do

Do mặt phẳng chứa tam giác chỉ song song với BD nên đỉnh thứ 3 không được trùng với một
E ,F ,P
trong ba điểm 2 2 2 . Vậy đỉnh thứ 3 chỉ được chọn trong 16  7  3  6 điểm cịn lại.
Suy ra có 6 tam giác có 1 cạnh là

M 2 N2

và mặt phẳng chứa nó chỉ song song với BD .


Vậy số tam giác mà mặt phẳng chứa nó chỉ song song với cạnh BD là: 6.6  36 .
Tương tự cho các trường hợp khác, ta có số tam giác mà mặt phẳng chứa nó chỉ song song với
đúng một cạnh của tứ diện ABCD là: 36.6  216 .

Vậy xác suất cần tìm là

n  T  216 4


n  S  810 15

.

Cách 2: Lưu Thêm

+) Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu.
3
Chọn ra 3 điểm trong 18 điểm trên: có C18 cách.
3
Trong số C18 đó, có 6 cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng trên các cạnh.

Suy ra

n  S   C183  6  810

n     810
+) Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một phần thử thuộc S ”. Ta có
.
+) Gọi T là biến cố: “Mặt phẳng chứa tam giác được chọn song song với đúng một cạnh của tứ
diện đã cho”.
Chọn một cạnh của tứ diện: 6 cách, (giả sử chọn AB ).
Chọn đường thẳng song song với AB : 6 cách, (giả sử chọn PQ ).
 M , N , E, K , F , I  .
Chọn đỉnh thứ 3: 6 cách,
n  T   6.6.6  216.
Suy ra
n  T  216 4


n    810 15
Vậy
.
Câu 13. [1D2-4.3-3] ( Hội các trường chuyên 2019 lần 3) Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có
đúng một bạn tên Thêm và đúng một bạn tên Q vào ba bàn trịn có số chỗ ngồi lần lượt là 6,
7, 8. Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau bằng
1
12
2
1
A. 10 .
B. 35 .
C. 19 .
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan; Fb: Ngoclan nguyen

Chọn A


Đánh số ba bàn trịn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8 là bàn 1, bàn 2, bàn 3.
+) Xét phép thử: “Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh vào ba bàn trịn 1, 2, 3 nói trên”.
6
Chọn 6 học sinh trong số 21 học sinh và xếp vào bàn 1 có C21.5! cách.
7
Chọn 7 học sinh trong số 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có C15 .6! cách.

Xếp 8 học sinh cịn lại vào bàn 3 có 7! cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

n     C216 .5!.C157 .6!.7!

.

+) Gọi A là biến cố: “ Hai bạn Thêm và Quý luôn ngồi cạnh nhau ”.
Trường hợp 1: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 1.
4
Chọn 4 học sinh từ 19 học sinh cịn lại có C19 cách.

Xếp 4 học sinh vừa chọn và hai bạn Thêm, Quý vào bàn 1 có 4!.2! cách.
7
Chọn 7 học sinh từ 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có C15 .6! cách.

Xếp 8 học sinh cịn lại vào bàn 3 có 7! cách.
4
7
Số cách xếp thỏa mãn trường hợp 1 là : C19 .4!.2!.C15 .6!.7! .

Trường hợp 2: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 2.
5
6
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 2 là: C19 .5!.2!.C14 .5!.7! .

Trường hợp 3: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 3.
6
6
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 3 là: C19 .6!.2!.C13 .5!.6! .

� n  A   C194 .4!.2!.C157 .6!.7! C195 .5!.2!.C146 .5!.7! C196 .6!.2!.C136 .5!.6!

Vậy

P  A 

.

n  A C194 .4!.2!.C157 .6!.7! C195 .5!.2!.C146 .5!.7! C196 .6!.2!.C136 .5!.6! 1


n  
C216 .5!.C157 .6!.7!
10

.

Câu 14. [1D2-4.3-3] (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Xếp ngẫu nhiên 4 quyển sách Tốn khác nhau
và 4 quyển sách Hóa giống nhau vào một giá sách nằm ngang có 10 ơ trống, mỗi quyển sách

được xếp vào một ô. Xác suất để 4 quyển sách Toán xếp cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa xếp
cạnh nhau bằng
1
2
1
1
A. 175 .
B. 525 .
C. 105 .
D. 1050 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích Hạnh ; Fb:Hạnh Bích
Chọn B
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách xếp 4 quyển Tốn khác nhau và 4 quyển Hóa giống
nhau vào 8 trong 10 ơ trống.
4
4
4
4
Khi đó, n()  C10 A6 hoặc n()  A10C6 .
Gọi A là biến cố: “ Bốn quyển sách Toán xếp cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa xếp cạnh nhau ”.
Để xếp 4 quyển sách Tốn cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa gần nhau trên giá sách 10 ô trống ta
xem như có 4 vị trí để xếp
Xếp 4 quyển tốn cạnh nhau có 4! cách, xếp 4 quyển Hóa có 1 cách, sau đó xếp 2 bộ đó vào 2
trong 4 vị trí.


Do đó:

n  A   4! A42

.

Xác suất để 4 quyển sách Tốn cạnh nhau và 4 quyển Hóa cạnh nhau là:
n  A  4! A42
2
P  A 
 4 4 
n    C10 A6 525
.
Câu 15. [1D2-4.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số.
Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để số chọn được là một số tự nhiên chia hết cho 9 và
có các chữ số đơi một khác nhau bằng
19
A. 225

29
B. 450

16
C. 225

7
D. 75

Lời giải
Tác giả:Vũ Ninh ; Fb:Ninh Vũ
Chọn A
+) Không gian mẫu  = “Chọn ngẫu nhiên một số trong các số tự nhiên có 3 chữ số”.

�   9.102
+) Biến cố A = “Số tự nhiên được chọn chia hết cho 9 và các chữ số đơi một khác nhau”.
Ta tìm số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 (tổng các chữ số là một số
chia hết cho 9).
Bộ ba số (a;b;c) với
liệt kê dưới đây:

*
a, b, c � 0;9 a, b, c
(
đôi một khác nhau ) và a  b  c  9m , m �� được

(0;1;8);(0; 2;7);(0;3;6);(0; 4;5);
(1; 2;6);(1;3;5);(1;8;9);
(2;3; 4);(2;7;9);
(3;6;9);(3;7;8);
(4;5;9)(4;6;8);
(5;6;7).
Vậy có tất cả 10 �3! 4 �2 �2!  76 số thỏa mãn
p( A) 
Xác suất cần tính bằng

�  A  76

A
76
19


.

2

9.10
225

Câu 16. [1D2-4.3-3] (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Xếp ngẫu nhiên 4 quyển sách Tốn
khác nhau và 4 quyển sách Hóa giống nhau vào một giá sách nằm ngang có 10 ô trống, mỗi
quyển sách được xếp vào một ô. Xác suất để 4 quyển sách Toán xếp cạnh nhau và 4 quyển sách
Hóa xếp cạnh nhau bằng
1
2
1
1
A. 175 .
B. 525 .
C. 105 .
D. 1050 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích Hạnh; Fb:Hạnh Bích
Chọn B
Khơng gian mẫu là tập hợp tất cả các cách xếp 4 quyển Toán khác nhau và 4 quyển Hóa giống nhau vào 8
trong 10 ơ trống.
4
4
4
4
Khi đó, n()  C10 A6 hoặc n()  A10C6 .


Gọi A là biến cố: “ Bốn quyển sách Toán xếp cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa xếp cạnh nhau ”.

Để xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa gần nhau trên giá sách 10 ơ trống ta xem như
có 4 vị trí để xếp
Xếp 4 quyển tốn cạnh nhau có 4! cách, xếp 4 quyển Hóa có 1 cách, sau đó xếp 2 bộ đó vào 2 trong 4 vị
trí.
Do đó:

n  A  4! A42

.

Xác suất để 4 quyển sách Toán cạnh nhau và 4 quyển Hóa cạnh nhau là:
n  A
4! A42
2
P  A 
 4 4 
n    C10 A6 525
.
Câu 17. [1D2-4.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Có một dãy ghế gồm 6 ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh
gồm 2 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B , 2 học sinh lớp C ngồi vào dãy ghế sao cho mỗi ghế
có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để khơng có học sinh lớp C nào ngồi cạnh nhau bằng
2
A. 3 .

1
B. 3 .

5
C. 6 .

1
D. 5 .

Lời giải
Tác giả: Ngô Nguyễn Anh Vũ ; Fb: Euro Vu
Phản biện: Nguyễn Thị Hồng Gấm ; Fb:Nguyễn Thị Hồng Gấm
Chọn A
n   6!
Số cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh vào dãy ghế:  
.

Gọi M là biến cố “xếp 6 học sinh vào dãy ghế mà khơng có học sinh lớp C nào ngồi cạnh
nhau”.
Gọi M là biến cố “xếp 6 học sinh vào dãy ghế mà hai học sinh lớp C ngồi cạnh nhau”.
Ghép 2 học sinh lớp C thành nhóm X .
Xếp nhóm X , 2 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B vào dãy ghế: 5! .
Hoán đổi vị trí 2 học sinh lớp C : 2! .

 

2!.5!
� n M  2!.5! � P M  6!
.

 

Vậy:

 

P M  1 P M 

2
3.

Câu 18. [1D2-4.3-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Xếp
ngẫu nhiên các học sinh trên thành hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất để khơng có hai học
sinh nữ nào đứng cạnh nhau.
65
1
7
1
A. 66 .
B. 66 .
C. 99 .
D. 22 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Xuyến; Fb: Nguyen Xuyen
Chọn C
Số phần tử của không gian mẫu là

n     P11 11! 39916800

.

Gọi A là biến cố "khơng có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau".


Mỗi phần tử của A tương ứng với 1 hàng ngang gồm 11 bạn đã cho mà khơng có hai nữ xếp
cạnh nhau. Để xếp được 1 hàng như vậy ta thực hiện liên tiếp hai bước:

Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành một hàng ngang, có 6! = 720 cách.
Bước 2: Xếp 5 bạn nữ vào 7 vị trí xen giữa hai nam hoặc ngoài cùng (để 2 nữ khơng cạnh
5
nhau), có A7  2520 cách.

Vậy

n  A   720.2520  1814400

Xác suất cần tìm là

P  A 

.

n  A
1814400
1


n    39916800 22

.

Câu 19. [1D2-4.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 1) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp
ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng
một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng?

2
A. 5 .

1
B. 20 .

3
C. 5 .

1
D. 10 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quý, FB: Quybacninh
Chọn A
Cách 1:
A

B

C

1
2
Số phần tử không gian mẫu là 6!  720 .
Xếp bạn nam thứ nhất có 6 cách, bạn nam thứ 2 có 4 cách, bạn nam thứ 3 có 2 cách.
Xếp 3 bạn nữ vào ba ghế cịn lại có 3! cách.
6.4.2.3! 288 2


6!
720 5 . Đáp án A.

Vậy xác suất cần tìm là
Câu 20. [1D2-4.6-3] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 9 chữ số
đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ
số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các
chữ số lẻ).
5
20
5
5
A. 648 .
B. 189 .
C. 27 .
D. 54 .
Lời giải
Tác giả & Fb: Trần Mạnh Trung ; Fb: Trung Tran
Gv phản biện: TUẤN MINH
Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu là

n     9.9.8.7.6.5.4.3.2  3265920

Gọi số cần tìm là a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 .

.


a2  0

2
2

2
lẻ nên có A5 cách xếp, hai chữ số lẻ cịn lại có C3 . A6 cách
2
2
2
xếp, 4 chữ số chẵn cịn lại có 4! cách xếp. Vậy theo quy tắc nhân có A5 .C3 . A6 .4!  43200 (số).

* Trường hợp

: Khi đó

a1 , a3

* Trường hợp a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 bằng 0: tương tự trường hợp a2  0.
Vậy xác suất cần tính là:

P

43200.7
5

3265920 54 .

Câu 21. [1D2-4.6-3] (SỞ LÀO CAI 2019) Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham dự trong đó có
9 đội nước ngồi và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3
bảng đấu A, B, C, mỗi bảng đấu có 4 đội. Xác suất để 3 đội Việt Nam ở 3 bảng đấu khác nhau
là
C 3 .C 3
2.C 3 .C 3
P  94 64

P  4 9 46
C12 .C8 .
C12 .C8 .
A.
B.

6C93 .C63
P 4 4
C12 .C8 .
C.

3C93 .C63
P 4 4
C12 .C8 .
D.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Dương; Fb: Duong Nguyen.

Chọn C
Không gian mẫu  :” Chia 12 đội thành 3 bảng mỗi bảng 4 đội”

� n     C124 .C84

.

Gọi biến cố A :” 3 đội Việt Nam ở 3 bảng đấu khác nhau”.
+ Có 3! cách xếp 3 đội Việt Nam vào 3 bảng đấu.
3
3
+ Có C9 .C6 cách xếp 9 đội nước ngoài vào 3 bảng đấu.

3!.C93 .C63 6.C93 .C63
P 4 4  4 4
� n  A   3!.C93 .C63
C12 .C8
C12 .C8 .
. Vậy xác suất cần tìm là
Câu 22. [1D2-4.6-3] (THPT-YÊN-LẠC) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2
học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 12 thành một
hàng ngang. Xác suất để khơng có học sinh khối 11 nào xếp giữa hai học
sinh khối 10 bằng
3
3
1
7.
A. 35 .
B. 70 .
C.
2
D. 7 .

Lời giải
Tác giả: Phan Trung Hiếu; Fb: Hieu Pt
Chọn D

 : “Xếp 10 học sinh thành một hàng ngang” � n()  10!

A : “Khơng có học sinh khối 11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10”.
Trường hợp I (2 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau):
Bước 1: Buộc 2 học sinh khối 10 thành một phần tử X và đổi chỗ 2 học sinh đó có 2! cách.

Bước 2: Xếp phần tử X và 8 học sinh cịn lại thành một hàng ngang có 9! cách.
Vậy, có 9!.2! cách.
Trường hợp II (giữa 2 học sinh khối 10 có 1 học sinh khối 12):
Bước 1: Chọn 1 học sinh khối 12 trong 3 học sinh có

C31

cách.

Bước 2: Buộc 2 học sinh khối 10 và học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2
học sinh khối 10 có 2! cách.
Bước 3: Xếp phần tử X và 7 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 8! cách.
Vậy, có

C31.2!.8!

cách.

Trường hợp III (giữa 2 học sinh khối 10 có 2 học sinh khối 12):
Bước 1: Chọn 2 học sinh khối 12 trong 3 học sinh có

C32

cách.

Bước 2: Buộc 2 học sinh khối 10 và 2 học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ
2 học sinh khối 10, đổi chỗ 2 học sinh khối 12 có 2!.2! cách.
Bước 3: Xếp phần tử X và 6 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 7! cách.

Vậy, có

C32 .2!.2!.7!

cách.

Trường hợp IV (giữa 2 học sinh khối 10 có 3 học sinh khối 12):
Bước 1: Buộc 2 học sinh khối 10 và 3 học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ
2 học sinh khối 10, đổi chỗ 3 học sinh khối 12 có 2!.3! cách.
Bước 2: Xếp phần tử X và 5 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 6! cách.
Vậy, có 2!.3!.6! cách.
Theo quy tắc cộng, ta được
n( A) 2
P( A) 
 .
n( ) 7
Vậy,

n( A)  9!.2! C31.2!.8! C32 .2!.2!.7! 2!.3!.6!

Câu 23. [1D2-4.6-3] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ
P  A
hơn 300 . Gọi A là biến cố “số được chọn không chia hết cho 4”. Tính xác suất
của biến
A
.
cố
1
3
2

1
P  A 
P  A 
P  A 
P  A 
3.
4.
3.
4.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
 Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 là 300 số. Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 300 có

300 cách, suy ra n     300.
 Gọi A là biến cố “số được chọn khơng chia hết cho 4”, khi đó A là biến cố “số được chọn
chia hết cho 4”.
4n,  n �� .
 Gọi số tự nhiên nhỏ hơn 300 và chia hết cho 4 là


<4n  300 0 n 75, suy ra
 Ta có 0 �<
1 3
P  A  1   .
4 4
Vậy

 

n A  75

. Do đó

 

P A 

75 1

300 4 .

Câu 24. [1D2-4.6-4] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Gọi S là tập hợp
các số tự nhiên, mỗi số khơng có q 3 chữ số và tổng các chữ số bằng 9. Lấy ngẫu nhiên một
số từ S . Tính xác suất để số lấy ra có chữ số hàng trăm là 4.
6
3
1
4
A. 55 .
B. 11 .
C. 11 .
D. 55 .
Lời giải
Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình
Chọn A
- Bổ đề: Cho m, n ��* , ta có:

n 1
x  x  ...  xn  m  1
“Số nghiệm ngun khơng âm của phương trình 1 2
là Cm n 1 ”
i � 1; 2;...; n
y  xi  1
Thật vậy: Đặt i
với
.
y �1 i � 1; 2;...; n
y  y2  ...  yn  m  n
Khi đó i
và 1
(2)
Hiển nhiên số nghiệm nguyên không âm của (1) bằng số nghiệm nguyên dương của (2)
- Xếp m  n chữ số 1 thành một hàng: có 1 cách.
- Xếp n  1 dấu gạch ngang " " vào trong m  n  1 khoảng trống giữa các chữ số 1 (mỗi
khoảng trống nhiều nhất một dấu gạch ngang) để chia dãy m  n chữ số 1 thành n phần (mỗi
n 1

phần có ít nhất một chữ số 1 ): có Cm n 1 cách.
1...1
{  1...1
{ .....  1...1
{  1...1
{
y1

y2

yn1

yn

y , y , ..., yn
Mỗi phần được chia ra có tổng các chữ số 1 lần lượt là 1 2
và cho ta một nghiệm
nguyên dương của phương trình (2).
n 1
n 1
Do đó số nghiệm ngun dương của phương trình (2) là 1.Cm n 1  Cm n 1 .
n 1
Suy ra số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) là Cm n 1 (đpcm).
Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả của bổ đề để giải bài tốn đã cho:
- Tính số phần tử của tập S :

a, b, c � 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Gọi phần tử của S là abc với
và a  b  c  9 (*)
31
2
n  S   55
Theo bổ đề thì số nghiệm ngun khơng âm của (*) là C931  C11  55 . Vậy
.
- Tính số các phần tử của S có chữ số hàng trăm bằng 4 .
Khi đó a  4 và b  c  5 (**).
2 1
1
Theo bổ đề thì số nghiệm nguyên không âm của (**) là C5 21  C6  6 .

Vậy có tất cả 6 phần tử của S có chữ số hàng trăm bằng 4 .
- Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S ” và biến cố A : “Số lấy ra có chữ số hàng
trăm bằng 4 ”

Ta có

1
n     C55
 55

và

n  A   C61  6

Vậy xác suất của biến cố A là

P  A 

.

n  A

n  



6
55

.