Tài liệu Hình học giải tích trong mặt phẳng

Phơng trình Đờng thẳng và các bài toán liên quan
1. Phơng trình Đờng thẳng
1.1 Tóm tắt lý thuyết:
1. Quan hệ giữa hai đờng thẳng (nhắc lại):
Cho 2 đờng thẳng (d) và (d) có phơng trình lần lợt là: y = ax + b và y = ax + b. Khi
đó:
(d) // (d)

a = a và b

b.
(d)

(d)

a = a và b = b.
(d)

(d)

a.a = - 1.
2. Phơng trình đờng thẳng:
a. Qua 2 điểm phân biệt A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
):

Nếu x
1
= x
2
thì đờng thẳng AB có phơng trình: x = x
1
Nếu y
1
= y
2
thì đờng thẳng AB có phơng trình: y = y
1
Nếu
2121
, yyxx

thì đờng thẳng AB có phơng trình:

12
1
12
1
yy
yy
xx
xx


=

b. Qua M(x
0
, y
0
), có hệ số góc k: y - y
0
= k( x x
0
).
c. Qua M(x
0
, y
0
) và có vtpt
),( BAn
: A(x - x
0
) + B(y - y
0
) = 0 (Phơng trình tổng
quát ).
d. Qua M(x
0
, y
0
) và có vtcp
),( bau
:
)(

0
0
Rt
btyy
atxx




+=
+=
(Phơng trình tham số).
1.2 Bài tập:
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1; 2) và N(3; 4).
2. Cho M(1; 1), N(0; 2), P(m; m - 2). Tìm m để M, N, P thẳng hàng.
3. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a. (d) đi qua M(1; -2) và có vtcp
)1,2(
=
u
b. (d) đi qua M(3; 2) và song song với (d): x + 2y 1 = 0.
c. (d) đi qua M(1; 2) và có vtpt
)3,2(
=
n
.
d. (d) đi qua M(3; 2) và vuông góc với (d): 2x - y 1 = 0.
4. Cho đờng thẳng (d):

=
=
ty
tx
4
23
(t

R). Chuyển (d) về dạng chính tắc và dạng tổng
quát.
5. Cho đờng thẳng (d): 2x+3y- 1= 0 . Chuyển (d) về dạng tham số và dạng chính tắc.
6. Cho (d) : 2x - 3y+ 3 = 0 và M(-5; 13).
a. Viết phơng trình đờng thẳng qua M song song với đờng thẳng (d).
b. Viết phơng trình đờng thẳng qua M vuông góc với (d) .
c. Xác định toạ độ hình chiếu H của M trên (d).
d. Xác định tọa độ của M đối xứng với M qua (d).
1
7. Cho M( 1; 1), N(3; 2), P(2;-1) là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của

ABC .Tìm
toạ độ các điểm A, B, C và trọng tâm G của

ABC.
8. Cho 3 điểm A(-2; 1), B(2; 5), C(4; 1).
a. Lập phơng trình các đờng cao qua A, B. Tìm tọa độ trực tâm H.
b. Lập phơng trình các đờng trung trực của AB, BC. Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC.
c. Tính chu vi và diện tích

ABC.
9. (Đề 72 - Va) Viết phơng trình các cạnh của

ABC biết trung điểm các cạnh lần lợt
là M(2; 1) , N(5; 3), P(3; -4).
10. (ĐHQG - 95) Viết phơng trình các cạnh và phơng trình các đờng trung trực của

ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lợt là M(2; 3), N(4; -1), P(-3; 5).
11. (Đề 14 - Va) Viết phơng trình các đờng trung trực của

ABC biết trung điểm các
cạnh lần lợt là M(-1; -1), N (1; 9), P(9 ; 1).
12. Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh A( 2; 2) và 2 đờng cao có phơng
trình lần lợt là: (d
1
) : x + y - 2 = 0, ( d
2
) : 9x - 3y - 4 = 0.
13. Cho

ABC, cạnh AB có phơng trình (d): x + y - 9 = 0, đờng cao qua A, B lần lợt có
phơng trình là (d
1
): x+2y - 13 =0, (d
2
): 7x+5y - 49 = 0. Lập phơng trình AC, BC và đ-
ờng cao thứ ba.

14. (Đề 58 - Va) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết B(-4; -5) và 2 đờng cao có
phơng trình là (d
1
): 5x + 3y 4 = 0, (d
2
): 3x + 8y + 13 = 0.
15. (Đề 89 - Va) Cho

ABC, cạnh AB có phơng trình: 5x 3y + 2 = 0, các đờng cao
qua A, B lần lợt có phơng trình (d
1
): 4x 3y + 1 = 0, (d
2
): 7x + 2y 22 = 0. Lập ph-
ơng trình hai cạnh CA, CB và đờng cao thứ 3.
16. Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh C(3; 5), đờng cao và đờng trung tuyến
kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là (d
1
): 5x + 4y - 1 = 0, (d
2
): 8x + y - 7 = 0.
17. (ĐHVH - 98) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh C(4; -1), đờng cao và
trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là: (d
1

): 2x 3y + 12 = 0, (d
2
):
2x + 3y = 0.
18. Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết đỉnh A(3; 1) và 2 đờng trung tuyến có ph-
ơng trình lần lợt là: (d
1
) : 2x - y - 1 = 0, (d
2
): x - 1 = 0.
19. Phơng trình 2 cạnh của

ABC lần lợt là (d
1
): 3x - y + 24 = 0 và (d
2
): 3x + 4y - 96 =
0. Viết phơng trình cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H(0;
3
32
).
20. (Đề 85 - Va) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết A(1; 3) và 2 trung tuyến có
phơng trình lần lợt là: (d
1
): x 2y + 1 = 0, (d
2

): y 1 = 0.
21. (ĐH Luật - 96) Lập phơng trình các cạnh của

ABC biết A(3; 1) và 2 đờng trung
tuyến có phơng trình (d
1
): 2x y 1 = 0, (d
2
): x 1 = 0.
22. (ĐHBK - 94) Phơng trình 2 cạnh của

ABC là (d
1
): 5x 2y + 6 = 0 và (d
2
): 4x +
7y 21 = 0. Viết phơng trình cạnh thứ 3 của

ABC biết trực tâm của tam giác là
gốc tọa độ.
23. Cho

ABC và M(-1, 1) là trung điểm của một cạnh, 2 cạnh còn lại có phơng trình
lần lợt là: (d
1
): x + y - 2 = 0 và (d
2
): 2x+6y+3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam
giác.
24. (ĐHTM - 2000) Cho

ABC, biết A(2; 1) và 2 đờng phân giác trong của góc B, C
lần lợt có phơng trình (d
B
): x 2y + 1 = 0, (d
C
): x + y + 3 = 0. Lập phơng trình cạnh
BC.
25. Cho A(3; 1), B(-1; 2) và đờng thẳng (d) có phơng trình : x-2y+1=0.
2
a. Xác định C trên (d) sao cho

ABC cân.
b. Xác định C trên (d) sao cho

ABC vuông tại C.
c. Tìm điểm M đối xứng với M(-6; 4) qua đờng thẳng d: 4x - 5y + 3 = 0.
d. Tìm điểm P trên Ox sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm E(1; 2), F(3;
4) là nhỏ nhất.
26. Cho

ABC có đỉnh A(1; -2), đờng cao BH, CK lần lợt có phơng trình (d
1
): 2x 3y
+ 1 = 0, (d
2
): 3x + y + 7 = 0.
a. Lập phơng trình các cạnh của

ABC.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của

ABC và tọa độ trung điểm M của BC.
c. Lập phơng trình đờng cao AP (P

BC) và tìm tọa độ điểm P.
27. Cho

ABC, biết BC có trung điểm M(-1; 1), cạnh (AB): x + y 2 = 0 và (AC): 2x
+ 6y + 3 = 0.
a. Xác định tọa độ các đỉnh của

ABC.
b. Viết phơng trình đờng trung trực của cạnh BC.
28. Cho

ABC có trọng tâm G(-2; -1), (AB): 4x + y + 15 = 0, (AC): 2x + 5y + 3 = 0.
a. Tìm tọa độ trung điểm M của BC.
b. Tìm tọa độ điểm B và viết phơng trình đờng thẳng BC.
c. Tính diện tích

ABC.
29. Cho 2 điểm A(1; 1), B(-1; 3) và đờng thẳng (d): x + y + 4 = 0.
a. Tìm điểm C

(d) sao cho C cách đều A và B.
b. Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và tính diện tích hình bình
hành đó.
c. Tìm điểm A đối xứng với A qua (d).
30. Cho 2 điểm A(-1; 2), B(3; 4). Tìm điểm C trên đờng thẳng (d): x 2y + 1 = 0 sao

cho:
a.

ABC vuông tại C.
b.

ABC cân tại C.
c.

ABC vuông tại A.
31. Cho A(-7; 1), B(2; 5). Tìm điểm M trên đờng thẳng (d): 2x-y+5 = 0 sao cho MA +
MB bé nhất.
32. Cho A( -3;2) B(2;5) . Tìm điểm M trên trục tung sao cho
MBMA

lớn nhất.
33. Cho 2 đờng thẳng (d
1
):



=
=
ty
tx
3
2
và (d
2

):



+=
=
3'6
'3
ty
tx
a. Tìm tọa độ giao điểm A của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm cos(d
1
,d
2
) và phân giác góc tạo bởi (d
1
), (d
2
).
c. Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua P(2; -1) và tạo với (d
1
), (d
2
) một tam giác cân
đỉnh A.

34. Hãy tìm phơng trình đờng thẳng:
a. Song song với (d): 3x 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến (d) bằng 1.
b. Qua A(2; 5) và cách Q(5; 1) một khoảng bằng 3.
2 . Vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng. Chùm đờng thẳng
2.1 Tóm tắt lý thuyết:
3
1. Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng:
Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đờng thẳng (d
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và (d
2
): A
2
x + B
2
y +
C
2
= 0. Toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) là nghiệm của hệ:

=++
=++
0
0
222
111
CyBxA
CyBxA
. Từ số
nghiệm của hệ trên, ta xác định đợc vị trí tơng đối của (d
1
) và (d
2
).
2. Chùm đờng thẳng:
Định nghĩa: Tập hợp các đờng thẳng của mặt phẳng cùng đi qua một điểm I gọi là
một chùm đờng thẳng. Điểm I gọi là tâm của chùm.
Định lý: Giả sử hai đờng thẳng phân biệt của một chùm có phơng trình tổng quát lần
lợt là:
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0. (1)
A
2

x + B
2
y + C
2
= 0. (2)
Lúc đó, mỗi đờng thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi phơng trình của nó có dạng:

(A
1
x + B
1
y + C
1
) +
à
(A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0, (
0
22
+
à
).
2.2 Bài tập:
1. Bài tập 1 trang 16 GSK.
2. Xét vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng:

a. (d
1
):



=
+=
ty
tx
1
1
và (d
2
):



=
+=
uy
ux 2
, (t, u

R).
b. (d
1
):

+=
=
ty
tx
4
2
và (d
2
):



=
=
uy
ux
2
2
, (t, u

R).
c. (d
1
):



=
+=

ty
tx 2
và (d
2
):



=
+=
uy
ux
2
22
, (t, u

R).
3. Xét vị trí tơng đối giữa 2 đờng thẳng:
a. (d
1
):



=
+=
ty
tx
1
1

và (d
2
): x + y + 1 = 0, (t

R).
b. (d
1
):



+=
=
ty
tx
4
2
và (d
2
): x + y - 7 = 0, (t

R).
4
c. (d
1
):



=

+=
ty
tx 2
và (d
2
): x - y + 2 = 0, (t

R).
4. Xét vị trí tơng đối giữa 2 đờng thẳng:
a. (d
1
): x + 2y + 1 = 0 và (d
2
): x + 4y + 3 = 0.
b. (d
1
): mx + y + 2 = 0 và (d
2
): x + my + m + 1 = 0.
c. (d
1
): 2x + my 5 = 0 và (d
2
): mx + 2y 2m 1 = 0.
5. Cho 2 đờng thẳng (d
1
): y = 3x 5, (d
2
): y = kx k
2

+ 4. Tìm điều kiện cần và đủ để:
a. (d
1
) cắt (d
2
).
b. (d
1
) // (d
2
).
c. (d
1
)

(d
2
).
d. (d
1
)

(d
2
).
e. Khi (d
1
)

(d

2
), hãy tìm giao điểm A của (d
1
), (d
2
) và tính diện tích hình giới hạn
bởi (d
1
), (d
2
) và 2 trục tọa độ.
(Đề 17 - Va) Cho 2 đờng thẳng: (d
1
):



=
=
1
1
3
2
ty
tx
và (d
2
):

+=
+=
2
2
63
31
ty
tx
, (t
1
, t
2


R).
a. Xác định giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
b. Tính cos góc nhọn tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
6. (ĐHYHN - 96) Cho a
2
+ b
2

> 0 và 2 đờng thẳng (d
1
): (a - b)x + y = 1, (d
2
): (a
2
- b
2
)x +
ay = b.
a. Xác định giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm điều kiện của a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành.
7. (Đề 136 - Va) Cho 2 đờng thẳng (d
1
): kx y + k = 0, (d
2
): (1 k
2
)x + 2ky (1 +
k) = 0.
a. CMR (d
1
) luôn đi qua một điểm cố định khi k thay đổi.
b. Xác định giao điểm (d
1
) và (d

2
), tìm quỹ tích giao điểm khi k thay đổi.
8. (ĐHL - 94) Cho 2 đờng thẳng (d
1
): x ky k = 0, (d
2
): 2kx (k
2
1)y (k
2
+
1) = 0.
a. Xác định giao điểm I của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm quỹ tích của I khi k thay đổi.
9. Bài tập 2 -> 5 trang 16 SGK.
10. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): 2x + 3y 5
= 0, (d
2
): x 2y + 1 = 0 và qua A(2; 1).
11. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): 3x 5y + 2
= 0, (d
2

): 5x 2y + 4 = 0 và song song với (d
3
): 2x y + 4 = 0.
12. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): 2x 3y + 5
= 0, (d
2
): x 2y 3 = 0 và vuông góc với (d
3
): x 7y 1 = 0.
13. Cho

ABC với các cạnh (AB): x y 2 = 0, (AC): 3x y + 5 = 0, (BC): x 4y
1 = 0. Viết phơng trình các đờng cao của

ABC.
14. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): x + 3y 8 =
0 và (d
2
): 3x 2y 2 = 0 đồng thời tạo với (d
3
): x y 1 = 0 một góc 45
0
.
15. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
): 2x y + 1 =

0 và (d
2
): x 2y 3 = 0, đồng thời chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng nhau.
5