Giải bài tập Tích của vectơ với một số SGK Hình học 10

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 TRANG 17 SGK HÌNH HỌC
10: TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
A. Tóm tăt kiến thức Tích của véctơ với một số
1. Định nghĩa
Cho một số k # 0 và vec tơ →a # →0
Tích của một số k với vec tơ →a là một vec tơ , kí hiệu là k→a
cùng hướng với →a nếu k > 0, ngược hướng với →a nếu k< 0 và có độ dài bằng |k|. |→a |
2. Tính chất : Tích của một số với một vec tơ có tính chất:
a) Phân phối với phép cộng vec tơ: k (→a + →b ) = k →a + k→b
b) Phân phối với phép cộng các số: (h+k)→a = h→a +k →a
c) Kết hợp: h(k→a ) = (h.k)→a .
d) 1. →a = →a (-1)→a = –→a
3.Áp dụng
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có →MA + →MB = 2 →MI.
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thi mọi điểm M ta có
→MA

+ →MB + →MC = 3→MG.

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ cùng phương là có một số k để →a = k→b.
5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ khơng cùng phương
Cho hai vec tơ →a và →b không cùng phương. Khi đó một vec tơ →x đều hân tích được một
cách duy nhất theo hai vec tơ →a , →b
nghĩa là có duy nhất một cặp số h, k sao cho →x = h→a + k→b
B. Hướng dẫn giải bài tập SGK Tích của véctơ với một số trang 17 Hình học lớp 10
Bài 1 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: →AB + →AC + →AD = 2→AC.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

→AB

+ →AC + →AD = →AB + →AD + →AC

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ABCD là hình bình hành nên →AB + →AD = →AC(quy tắc hình bình hành của tổng)
⇒→AB + →AC + →AD= →AC + →AC=2→AC

Bài 2 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ →AB, →BC, →AC
theo hai vectơ sau →u = →AK, →v = →BM.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:
Vì M là trung điểm của BC nên →BC = 2 →BM = 2 →v;
Vì K là trung điểm của CA nên →CA = -2 →AK = -2 →u;
Ta có: →CB = – →BC = -2 →v
nên →AB = →CB – →CA = -2 →v – (-2 →u) =2( →u- →v).

Bài 3 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho →MB = 3→MC .

Hãy phân tích vectơ→AM theo hai vectơ →u = →AB , →v = →AC.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

Ta có: →AM = →AB + →BM = →AB + →BC + →CM
Vì →MB = 3→MC nên →BM = 3→CM
⇒ →BC = 2→CM ⇒ →CM =1/2 →BC
Từ đó: →AM = →AB +3/2 →BC
W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Mặt khác →BC = →AC – →AB = →v – →u
Khi đó: →AM = →AB + 3/2 →BC = →u +3/2 (→v – →u) = 3/2→v -1/2 →u.

Bài 4 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:
a) 2→DA + →DB + →DC = →0;
b) 2→OA +→OB+ →OC = 4→OD, với O là điểm tùy ý.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
a) Ta có:
→DB

+ →DC = (→DM + →MB) + (→DM + →MC) = 2 →DM + (→MB + →MC) = 2 →DM + →0 = 2→DM

(vì →MB = –→MC).
Mặt khác, do D là trung điểm của đoạn AM nên →DM = – →DA.
Khi đó: 2→DA + →DB + →DC = 2→DA + 2→DM =2 (→DA +→DM) = →0
b) Ta có:
2→OA + →OB + →OC = 4 →OD ⇔ 2(→OA – →OD) + (→OB –→OD) + (→OC – →OD) = 0
⇔ 2DA + DB + DC= 0 (luôn đúng theo câu a)
Vậy 2→OA +→OB+ →OC = 4→OD, với O là điểm tùy ý.

Bài 5 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
2→MN= →AC + →BD = →BC + →AD.

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
Ta có: →AC = →AM + →MN + →NC
→BD

= →BM + →MN + →ND

→AC

+→BD = 2→MN + (→AM + →BM) + (→NC +→ND)

=2→MN + →0 + →0 = 2→MN
(Vì BM = – AM; ND = -NC)
Tương tự, từ: →BC = →BM + →MN + →NC
→AD

= →AM + →MN + →ND

Ta suy ra: →BC + →AD = 2 →MN. Vậy 2 →MN = →AC + →BD =→ BC + →AD.

Bài 6 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3→KA + 2 →KB = →0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:
Ta có: →KA + 2 →KB = →0 ⇒ 3→KA = -2 →KB ⇒→KA = – 2/3 →KB
Đẳng thức này chứng tỏ hai vec tơ →KA ,→KB là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn
AB
Ta lại có: |→KA| = – 2/3|→KB| ⇒ KA = 2/3 KB
Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 2/3.

Bài 7 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho →MA + →MB +2 →MC = →0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 7:
Gọi I là trung điểm của AB; J là trung điểm của CI
Ta có, theo quy tắc hình bình hành: →MA + →MB = 2 →MI. Khi đó: →MA + →MB + 2→MC = →0
⇔2 →MI + 2 →MC = →0 ⇔2(→MI + →MC) = →0;

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cũng theo quy tắc hình bình hàng: →MI + →MC = 2→MJ
Do đó 2(→MI + →MC) = 0 ⇔ 4→MJ = 0 ⇔ →MJ = 0 ⇔ M=J
Vậy M là trung điểm của CI.

Bài 8 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE,
EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 8:
Ta có: →MN =1/2 →AC
→PQ

=1/2 →CE

→RS=1/2 →EA

⇒ →MN + →PQ + →RS = 1/2(→AC + →CE + →EA) = 1/2 →AA = →0
⇒ →MN + →PQ + →RS = →0 (1)
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR, ta có:
→GM

+ →GP + →GR = →0 (2)

Mặt khác →MN = →MG +→ GN
→PQ

=→ PG + →GQ

→RS

= →RG + →GS

⇒ →MN +→ PQ + →RS = (→MG + →PG +→ RG) + →GN + →GQ + →GS (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra: →GN + →GQ + →GS = →0
Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS.

Bài 9 trang 17 sgk hình học 10 – Chương 1
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần
lượt là chân đường vng góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:→MD + →ME + →MF
= 3/2→MO.

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 5

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đáp án và hướng dẫn giải bài 9:
Từ M kẻ SP//BC; HR//CA và KQ//AB. Ta có:
+ ΔMKH đều: MD là đường trung tuyến ⇒ 2→MD = →MK + →MH
+ ΔMPQ đều: ME là đường trung tuyến ⇒ 2→ME = →MP + →MQ
+ ΔMRS đều: MF là đường trung tuyến ⇒ 2→MF = →MR + →MS
⇒ 2(→MD + →ME + →MF) = →MH + →MK + →MP + →MQ + →MR + →MS
=(→MQ + →MR) + (→MS + →MK) + (→MH + →MP) = →MA + →MB + →MC
(Vì các tứ giác MHCP, MQAR, MSBK là các hình bình hành)
Vì O là trọng tâm của ΔABC nên →MA + →MB + →MC = 3 →MO
Từ đó: 2(→MD + →ME + →MF ) = 3 →MO
⇒→ MD +→ ME + →MF = 3/2 →MO (đpcm)

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 6 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Tốn Nâng Cao/Tốn Chun/Tốn Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online

-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Tốn Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình u thích, có thành tích, chun mơn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 7